Black-Scholes模型的严格局部鞅与最优投资

注意y∈ y>y的C[0，T）是（B.20）的后向上（下）解，当且仅当ifddtlog（m（T，y（T），p））≤ (≥) n（t，y（t），p），t∈ [0，T）；（B.21）这源自于使用thatpa1+y从（B.19）到（B.20）的相同重排+Ya和a在U×（0，∞) （B.8）和（B.2）。我们只考虑p<1的情况；案例p≥ 1来自一个类似的论点，基本上覆盖了所有不等式。伯努利不等式，（4.10）和（4.11）yieldb（t，y，p）≤ m（t，y，p）≤ b（t，y，1）1/p，（t，y）∈ U、 （B.22）确定y*是后向上解，请注意（B.17）中的m（t，y*（t） ，p）≥ 1个堡垒∈ [0，T）。因此，b（T，y*（t） ，1）≥ t为1∈ [0，T）乘以（B.22），因此n（T，y*（t） ，p）≥ -1.-p2pσufort∈ [0，T）乘以（B.5）。现在，取（B.17）中的对数并进行差分，可以得出y*完整填充（B.21），带“≤”, 所以y*是后向上解。确定y*是一个后向下解，请注意（B.18）中的m（t，y*（t） ，p）=1表示t∈ [0，T），因此b（T，y*（t） ，p）≤ t为1∈ [0，T）乘以（B.22）。因此，n（T，y*（t） ，p）≤ 0乘以（4.12），通过取对数sin（B.18）和微分，上述声明如下。很明显，y*≤ y*通过第二个变量中m in的单调性，以及limt↑↑Tm（t，y*（t） ，p）=极限↑↑Tm（t，y*（t） ，p）=1。因此，通过引理B.2，存在一个解^y∈ （B.20）的C[0，T）与y*≤ ^y≤ y*.第四，^y>y，因为^y≥ y*> y按结构。第二变量m的单调性与limt↑↑Tm（t，y*（t） ，p）=1=极限↑↑Tm（t，y）*（t） ，p）通过（B.17）和（B.18）屈服极限↑↑Tm（t，^y（t），p）=1。此外，正如^y满足（B.19），计算的基本定理表明，存在一个常数c>0，使得^y满足积分方程m（t，^y（t），p）=c expZtn（u，^y（u），p）du, t型∈ （B.23）现在，我们必须区分p<1和p≥ 1.

我们只考虑第一个；第二个是类似的论点，基本上颠倒了所有的不等式。所以让p∈ (0, 1). Thenm（t，^y（t），p）≥ m（t，y*（t） ，p）=1，由第二个变量和（B.18）中m的单调性决定。因此，（B.22）给出B（t，^y（t），1）≥ 1，因此n（t，^y（t），p）≥ -1.-p2pσuby（B.5）。取极限t↑↑ T在（B.23）中，通过单调收敛和limt↑↑Tm（t，^y（t），p）=1，我们推导出C=exp-ZTn（u，^y（u），p）du！。（B.24）将其插入（B.23）表明^y是（B.15）的解决方案。此外，由于n（t，^y（t），p）是从下方起界的，且c>0，（B.24）意味着满足（B.16）中的第一个条件。这与（B.5）和B（t，^y（t），1）中的n表示一起≥ 1（从上面），然后在（B.16）中建立第二个条件。最后，在（B.15）的右侧定义^f（t）（y替换为^y）。那么^y是m（t，^y（t））=^f（t），t的平凡解∈ [0，T），和极限↑↑T^f（T）=1。因此，引理B.3给出了^y的（B.10）和（B.11）（注意，条件RT |φ（u）^y（u）| du<∞ （B.16）中的后续内容。验证在此，我们收集定理4.2证明步骤2和3的技术部分。第一个结果确定了与策略^π相对应的财富过程，并表明其仍然为正。第二和第三个结果验证了候选三联体（^π，^Q，^z）的（OC1）和（OC2）。引理C.1。设（^π，^Q，^z）为定理4.2（证明）中定义的三元组。用定理3.4给出的W^Qthe^Q-布朗运动表示（y=^y），并设^H为γ在^Q.定义ξ下的分布函数∈ C[0，T）乘以^ξ（T）=expZtφ（u）pσ（u- φ（u）^y（u））（1+^y（u））du（C.1）并设置^X：=EσR·^πtdW^QtM^H^ξ。那么X^π=X^X是对应于策略^π和初始资本X的财富过程。此外，M^H^ξ和^X是正的，因此^π是允许的。证据

对于第一项索赔，必须证明^X满足初始条件^X=1的SDE（4.1）。设置M：=EσR·^πtdW^QtN：=M^H^ξ表示简洁，并从（4.14）中注意到^πt=(R)π（t，γ），t∈ [0，T]，其中'π（T，v）：=pσu - φ（t）^y（t）1{t≤v、 t<t}, （t，v）∈ [0，T]。（C.2）使用此符号，通过定义^ξ，我们得到^ξ（t）=^ξ（t）φ（t）’π（t，t）（1+^y（t）），t∈ [0，T）。（C.3）固定T∈ [0，T]。通过依次使用M是连续的，N是纯不连续的M^H^ξγ=-根据M^H^ξ（cf.（2.2））和A^H^ξ（cf.（2.3）），（C.3）的定义，^ξ（s）=Ns-和'π（s，s）=π（s，γ）=πson{s≤ γ} ，以及（3.16）（fory=^y等），^Xt中的S动力学- 1=MtNt- MN=ZtNs-dMs+ZtMs-dNs=σZtNs-太太-^πsdW^Qs+ZtMs-dM^H^ξs=σZt^Xs-^πsdW^Qs+Zt∧γMs-^ξ（s）ds+Mγ-M^H^ξγ{γ≤t} =σZt^Xs-^πsdW^Qs+Zt∧γMs-^ξds- Mγ-^ξ（γ）κ^H（γ）{γ≤t、 γ<t}=σZt^Xs-^πsdW^Qs+Zt∧γMs-^ξ（s）(R)π（s，s）φ（s）（1+^y（s））ds- Mγ-^ξ（γ）(R)π（γ，γ）φ（γ）（1+^y（γ））κ^H（γ）{γ≤t、 γ<t}=σZt^Xs-^πsdW^Qs+Zt∧γMs-Ns系列-^πsφ（s）（1+^y（s））ds+Mγ-Nγ-^πγM^HZ·φ（u）（1+y（u））duγ{γ≤t} =Zt^πs^Xs-σdW^Qs+dM^HZ·φ（u）（1+y（u））dus=Zt^πs^Xs-DSSS-P-a.s.对于第二种说法，由于M和^ξ是正的，因此有必要证明a^H^ξ也是正的。事实上，使用A^H^ξ的定义（参见（2.3）），（C.3），（3.6），A（v，^y（v），p）=1-φ（v）κG（v）’π（v，v），通过定义（C.2）和（4.7）中的π和a，以及（B.8），a^H^ξ（v）=ξ（v）-^ξ（v）κ^H（v）=^ξ（v）1.- π（v，v）φ（v）κG（v）=^ξ（v）a（v，^y（v），p）>0，v∈ （0，T）。（C.4）引理C.2。定理4.2证明中定义的三元组（^π，^Q，^z）满足U（X^πT）=^zd^QdP。证据引理C.1和U（x）=x的事实-p、 U（X^πT）=X-p^X-pT=x-宠物σZ·^πtdW^Qt-pM^HT^ξ-p、 （C.5）首先，标准计算给定集σZ·^πtdW^Qt-p=ET-pσZ·^πtdWtexp（1- p） pσZT^πtdt！。

（C.6）为了计算第二个因子，我们声称对于v∈ [0，T），^ξ（v）m（v，^y（v），p）=x-1^z-pexp（1- p） σZT′π（u，v）du！^ζ（v）-p、 （C.7）其中（C.2）中定义了“π”，而（3.13）中给出了^ζ（y替换为^y）。此外，在这种情况下G（T）>0，我们声称^ξ（T-) = x个-1^z-pexp（1- p） σZT′π（u，u）du！^ζ（T-)-p、 （C.8）然后，通过（C.4），定义（4.11）、（C.7）和（3.4）中的m，关于{γ<T}，M^HT^ξ-p=A^H^ξ（γ）-p=^ξ（γ）-pa（γ，^y（γ），p）-p=^ξ（γ）m（γ，^y（γ），p）-p（1+^y（γ））=xp^z exp（1- p） σZT^πtdt！-p^ζ（γ）（1+^y（γ））=xp^z exp-(1 - p） pσZT^πtdt！AG^ζ（γ）。（C.9）如果G（T）>0，则A^H^ξ（γ）=^ξ（T-) 和AG^ζ（γ）=^ζ（T-) 在{γ=T}上。这与（C.8）一起表明（C.9）也适用于{γ=T}。最后，通过定义（4.14）中的^π和D^qdpin定理3.4（参见（3.15）），将（C.6）和（C.9）插入（C.5）得到U（X^πT）=zET-pσZ·^πtdWtAG^ζ（γ）=^zET-pσZ·^πtdWtMGT^ζ=^zET-Z·σu - φ（t）^y（t）1{t≤γ、 t<t}载重吨MGT^ζ=^zd^QdP。仍需显示（C.7）和（C.8）。首先，使用（C.2）和（4.12）中的^π和n的定义进行简单但繁琐的计算，结果表明∈ [0，T），φ（u）(R)π（u，u）（1+^y（u））+n（u，^y（u），p）=1- p2pσφ（u）^y（u）（φ（u）^y（u）- 2u）+pκG（u）^y（u）。（C.10）下一步，fix v∈ [0，T）。首先使用^y是积分方程（4.13）的解，以及（C.1）中^ξ和（C.2）中^π的定义，然后使用（C.10），最后再次使用（3.13）中^ξ和^ζ的定义（y替换y），^ξ（v）m（v，y（v），p）m（0，y（0），p）=expZv（φ（u）(R)π（u，u）（1+^y（u））+n（u，^y（u，p））du= 经验值零电压1.- p2pσφ（u）^y（u）（φ（u）^y（u）- 2u）+pκG（u）^y（u）杜邦= 经验值-1.- p2pσuT+（1- p） σZT′π（u，v）du！^ζ（v）-p、 使用（4.17）中的^z定义得出（C.7）。最后，假设G（T）>0。然后也是^H（T）>0，自^Q起≈ P此外，根据定理3.4，MG^ζ为正，根据引理C.1，M^H^ξ为正。

这与命题2.2（a）和（b）（i）一起意味着极限^ζ（T-) 和^ξ（T-) 存在于R中。此外，limv↑↑Tm（v，^y（v），p）=1乘以（4.13）（回想一下定理B.5表明^y是积分方程的解），因此（C.8）从取极限v得出↑↑ T-in（C.7）；右侧极限和积分的交换通过使用|π（u，v）|估计值的支配收敛进行调整≤pσ（u+|φ（u）^y（u）|）和（B.16）；还请注意，对于u∈ [0，T），limv↑↑T'π（u，v）=pσ（u- φ（u）^y（u））=π（u，u）。引理C.3。定理4.2证明中定义的三元组（^π，^Q，^z）满足E^QX^πT= x、 证明。必须证明X^π是一个^Q-鞅。引理C.1表明X^π的形式为（3.17）。因此，通过推论3.5，可以证明RT | A^H^ξ（u）| H（u）du<∞ m^H^ξ是一个^Q-鞅。第一个断言直接来自命题2.2（a），指出M^H^ξ通过引理C.1是正的。对于第二个断言，我们注意到引理A.1（b）（ii），证明M^H^ξ是A（Qγ，Fγ）-鞅是不够的。为此，根据命题2.2（a）和（b），我们可以假设G（T）=0（使用该^Q≈ P）并且必须检查限制↑↑T^ξ（T）（1-^H（t））=0。我们区分了两种情况。首先，让p≥ 1和fix t∈ [0，T）。然后为1-^H（t）≤ 1,0 ≤^ξ（t）（1）-^H（t））≤^ξ（t）（1）-^H（t））1/t并证明右侧收敛为0，即t↑↑ T首先使用（C.1）和（3.14）中的^ξ和^H的定义，然后使用（4.7）中的a（·，·，1）的定义，最后使用（4.10）中的b（·，·，1），^ξ（t）（1）的定义-^H（t））1/p=expZt公司φ（u）pσ（u- φ（u）^y（u））（1+^y（u））-κG（u）p（1+^y（u））杜邦= 经验值-ZtκG（u）p（1+^y（u））1.-φ（u）κG（u）σ（u- φ（u）^y（u））杜邦= 经验值-ZtκG（u）p（1+^y（u））a（u，^y（u），1）du= 经验值-ZtκG（u）pb（u，^y（u），1）du.

（C.11）根据（B.5）中n的表示，我们对u∈ [0，T），n（u，^y（u），p）=-1.- p2pσu+1- p2pσ（φ（u）^y（u）- u）+pκG（u）（b（u，^y（u），1）- 1).由于左侧和右侧的前两个求和在（0，T）上可被（B.16）积，我们推断rtκG（u）| B（u，y（u），1）- 1 | du<∞. 但是G（T）=0意味着ztκG（u）du=-日志(G（T））=∞, （C.12），因此（C.11）的右侧收敛为0，即t↑↑ T第二，让p<1和fix t∈ [0，T）。首先使用（C.1）和（3.14）中的^ξ和^H的定义，然后使用（4.7）中的a的定义，^ξ（T）（1-^H（t））=经验Zt公司φ（u）pσ（u- φ（u）^y（u））（1+^y（u））- κG（u）（1+^y（u））杜邦= 经验值-ZtκG（u）（1+^y（u））1.-φ（u）κG（u）pσ（u- φ（u）^y（u））杜邦= 经验值-ZtκG（u）（1+^y（u））a（u，^y（u），p）du.使用估计值（1+^y（u））a（u，^y（u），p）≥ p1+p^y（u）a（u，^y（u），p）=pb（u，^y（u），p），u∈ [0，T），我们得到0≤^ξ（t）（1）-^H（t））≤ 经验值-pZtκG（u）b（u，^y（u），p）du. （C.13）根据（4.12）中n的定义，我们有∈ [0，T），n（u，^y（u），p）=-1.- p2pσ（φ（u）^y（u））+κG（u）（b（u，^y（u），p）- 1).由于左侧和右侧的第一个和在（0，T）上可被（B.16）积，我们推断RTκG（u）| B（u，y（u），p）- 1 | du<∞. 将其与（C.12）相结合，表明（C.13）的右侧收敛为0，即t↑↑ T参考文献[1]M.Adler和J.Detemple，《关于非交易现金头寸的最佳对冲》，J.Finance 43（1988），143–153。[2] M.Ausloos、P.Boveroux、A.Minguet和N.Vandewalle，《1987年10月的坠机被视为相位转换：振幅和普遍性》，《物理学》A 255（1998），201–210。[3] ，如何预测1997年10月的金融崩溃，欧元。物理。J、 B 4（1998），139–141。[4] ，可视化碰撞前的对数周期模式，Eur。物理。J、 B 9（1999），355–359。[5] C.Belak、S.Christensen和O。

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