Black-Scholes模型的严格局部鞅与最优投资

原因是，在这种情况下，如上所述（参见表4.2），最佳策略不涉及卖空。因此，α越高，泡沫破裂时的损失越大，因此投资者的跳跃幅度越小越好；这意味着rESRL在α中增加。另一方面，如果u足够高和/或σ足够低，因此最优策略涉及在相当长的时间内大量空头头寸，那么当泡沫破裂时，投资者的财富很可能会增加。在这种情况下，投资者倾向于更大的跳跃规模；换句话说，rESRL在α中减少。一个有趣的观察结果是，对于较小的σ，即当跳跃部分主导差异部分时，相对风险厌恶程度较低的投资者仅损失其ESR的一小部分，而不是投资于黑市-斯科尔斯市场。相反，相对风险厌恶程度高的投资者在其ESR中面临着巨大的损失，因为σ很小。这是由于相对风险厌恶程度较低的投资者有卖空机会；参见定理4.4之后的讨论。过滤的变化从第2节中可以看出，（原始）过滤FW=（FWt）t∈[0，T]，Fγ=（FγT）T∈[0，T]，F=（Ft）T∈[0，T]由FWt=σ（Wu：0）定义≤ u≤ t） ，Fγt=σ{γ≤u} ：0≤ u≤ t型, Ft=σFWt，Fγt, fw和Fγ在P下是独立的。以下技术结果的关键信息是，（局部）Fγ-鞅不仅在P下而且在某些等价测度Q下都是（局部）F-鞅≈ P下，fw和Fγ不再独立。引理A.1。设函数k:[0，T]→ 形式为k（t，v）=^k（t）+71k（t）1{t≤v、 t<t}，其中^k，^k∈ L[0，T]。

集合Y：=ER·k（u，γ）dWu设Zbe为Z=1的正Fγ-鞅。（a） 设Ybe为Fγ适应的cádlág过程。（i） 以下是等价的：Yis是Fγ鞅；Yis是F-鞅；yy是F-鞅。（ii）如果yi是局部Fγ-鞅，那么Yand和yy是局部F-鞅。（b） 定义Qγ，Q≈ FTbydQγdP=Zt和Dqdp=YTZT上的P。设X2，qa为FγT可测随机变量，Y2，qa为Fγ适应的cádlág过程。（i） X2，Qis Q-可积当且仅当它是Qγ-可积的，在这种情况下，EQX2，QFs公司= 等式γX2，QFγsP-a.s.，s∈ [0，T]。（A.1）（ii）Y2，Qis A（平方可积）（Qγ，Fγ）-鞅当且仅当它是A（平方可积）（Q，F）-鞅。（iii）如果Y2，Qis是局部（Qγ，Fγ）-鞅，那么它也是局部（Q，F）-鞅。证据首先，我们证明了FγT-可测随机变量Xis可积的充要条件是YTXis是so，在这种情况下，EYTX公司Fs公司= YsE公司十、FγsP-a.s.，s∈ [0，T]。（A.2）通过线性，我们可以假设Xis为非负。然后，对于s=0，第一个断言来自（A.2）。建立（A.2），FIX s∈ [0，T]并设置Cs：={C=CW∩{γ ≤ u} ：CW∈ FWs，u≤ s} 。然后Csi是Fs的交闭生成元，通过（A.2）两侧的Fs可测性、Ys的正性和单调类参数，可以证明YTYsXC公司= EE十、FγsC对于所有C∈ 铯∪ {Ohm}. （A.3）建立（A.3），用于固定v∈ [0，T]，设置Y1，v=ER·k（u，v）dWu. 根据k和Novikov条件的假设，每个Y1都是Y1，v=1的正F鞅，因此满足“Y1，vTY1，vsA#=E[1A]，s∈ [0，T]，A∈ Fs。（A.4）注意，Y：=zs的（A）（i）表明YZ是YZ=1的正F-鞅。此外，通过FγT=σ（γ）和W的独立性，单调类变元和（a.4），EYTYs公司FγT= E“Y1，vTY1，vs#v=γ=1 P-a.s.，s∈ [0，T]。

（A.5）现在，（A.3）对于C=Ohm 根据Xand（A.5）viaE的FγT可测性YTYsX公司= EEYTYs公司FγT十、= E十、= EE十、Fγs.如果C=CW∩ {γ ≤ u} ，其中CW∈ FWS和u≤ s、 然后YT/Ys=Y1,0T/Y1,0son C，因为t>v时，k（t，v）=^k（t）=k（t，0）。此外，Y1,0T/Y1,0scw是可测量的，X{γ≤u} 和E十、Fγt{γ≤u} FγT可测量。这就是fw和FγT的独立性，以及（A.4）forA=CWyieldEYTYsXC公司= E“Y1,0TY1,0sXC#=E”Y1,0TY1,0sCW#EX{γ≤u}= E【1CW】EE十、Fγs{γ≤u}= EE十、FγsCW{γ≤u}= EE十、FγsC.其次，我们建立（a）。根据证明的第一部分，X：=YTis可积当且仅当是，在这种情况下，E年初至今Fs公司= YsE公司年初至今FγsP-a.s.，s∈ [0，T]。（A.6）当Ys>0 P-A.s.，（A.6）表明yi是Fγ鞅当且仅当yy是F-鞅，并且对于Y≡ 1（即，对于k≡ 0），这意味着yi是Fγ鞅当且仅当它是F鞅。所以我们有（i）。为了建立（ii），让τ是一个[0，T]值的Fγ-（和一个更大的F-）停止时间。然后根据Y的F-鞅性质（遵循Novikov条件和k上的假设）和（A.2），对于X=| Yτ|和s=0，EYτ| Yτ|= EE年初至今Fτ|Yτ|= EEYT | Yτ|Fτ= EYT | Yτ|= E|Yτ|.这意味着YτYτ是可积的当且仅当Yτ是可积的。现在，如果停止的过程（Y）τ是Fγ-鞅，则根据Y的F-鞅性质，Fγ-鞅性质为（Y）τ，并且（A.2）对于X：=（Y）τT，对于s∈ [0，T]，EYτYτ{τ>s}Fs公司= EE年初至今Fτ∨sYτ{τ>s}Fs公司= EEYTYτ{τ>s}Fτ∨sFs公司= EYT（Y）τTFs公司{τ>s}=YsE（Y） τTFγs{τ>s}=（Y）τs（Y）τs{τ>s}P-a.s。因此，（Y）τ（Y）τ是F-鞅，因为（Y） τT（Y）τTFs公司= YτYτ{τ≤s} +EYτYτ{τ>s}Fs公司= （Y） τs（Y）τsP-a.s.Y≡ 1（即，对于k≡ 0），这也意味着（Y）τ是F-鞅。所以如果（τn）n∈Yin Fγ的Nis定位序列，也是Yand YYin F和wehave（ii）的定位序列。最后，我们建立（b）。对于（i），设置X=ZTX2，Q。

然后根据Bayes定理（A.2），对于s=0，再次使用Bayes定理，公式|X2，Q|= EP公司YTZT | X2，Q|= EP公司YT | X|= EP公司|X个|= EP公司ZT | X2，Q|= 等式γ|X2，Q|,这表明X2，Qis是Q可积的当且仅当它是Qγ可积的。现在，相同的参数使用（A.2）生成（A.1）一般的s∈ [0，T]。对于（ii）和（iii），集Y=ZY2，Q。然后根据贝叶斯定理，Y2，Qis a（局部）（Qγ，Fγ）鞅当且仅当Yis a（局部）（P，Fγ）-鞅。同样，根据贝叶斯定理，Y2，Qis a（局部）（Q，F）-鞅当且仅当yy是a（局部）（P，F）-鞅。现在，（ii）和（iii）根据（a）（i）和（ii）使用（Y2，QT）是Q可积的当且仅当它是Qγ可积的；这是从（A.1）中得出的，对于s=0和X2，Q=（Y2，QT），使用了一个事实，即一个时间范围上的鞅是平方可积的，当且仅当它在最后时刻是平方可积的。B分析结果本节的主要目的是说明积分方程（4.13）解的存在性和唯一性。我们首先需要几个准备结果。ODE的存在结果。让y∈ C[0，T）和U：{（T，y）∈ [0，T）×R:y>y（T）}。Letf:U→ R是一个连续函数，在其第二个变量中局部为Lipschitz。我们考虑了普通微分方程（ODE）y（t）=f（t，y（t）），t∈ [0，T）。（B.1）A函数y∈ y>y的C[0，T）称为（B.1）ify（T）的后向上（下）解≤ (≥) f（t，y（t）），t∈ [0，T）。如果函数y同时是后向上解和后向下解，则称其为（B.1）的解。备注B.1。我们定义了后向上解和后向下解，无需初始条件。此外，请注意，我们称之为后向上解和后向下解的解在[42]中称为左上下解。此外，在[42]中，考虑了严格（而非弱）不等式。

但由于我们要求f在其第二个变量中是局部Lipschitz连续的，所有结果也适用于弱不等式（见[42，推论VIII.9]）。下面的结果通过反向上下解的存在性给出了ODE（B.1）解的存在性。U=[0，∞) ×R可以在[42，定理和备注XIII.9]中找到，并且可以很容易地检查参数是否继续到我们的设置中。引理B.2。让y*, y*∈ C[0，T）带y*≤ y*. 假设y*是向后较低的安迪*（B.1）的后向上解。然后存在一个解y∈ C[0，T）至（B.1），带Y*≤ y≤ y*.辅助函数的属性。我们收集了（4.7）、（4.10）、（4.11）和（4.12）中定义的辅助函数a、b、m和n的一些分析性质。若并没有冲突的危险，我们就不再依赖于符号中的p。很容易检查a、b、m、n∈C（[0，T）×[-1.∞) ×(0, ∞)) ∩C1,2,1（[0，T）×(-1.∞) ×(0, ∞)). 为了进一步的参考，我们注意到了StraightForward恒等式ya（t，y）=pσφ（t）κG（t）≥ 0，（B.2）ym（t，y）=（1+y）ppa（t，y，p）1+y+ya（t，y，p）≥pm（t，y，p）1+y，（B.3）yn（t，y）=κG（t）pa（t，y，p）+（1+y）ya（t，y，p）≥pκG（t）a（t，y，p），（B.4）n（t，y）=-1.- p2pσu+1- p2pσ（φ（t）y- u）+pκG（t）（b（t，y，1）-1). （B.5）根据积分方程（4.13），我们对函数不正的区域感兴趣。为此，定义函数y：[0，T）→ [-1.∞) byy（t）：=(-如果φ（t）=0，最大值为1-1，uφ（t）- pσκG（t）φ（t）如果φ（t）>0。（B.6）利用κGis连续且在[0，T]上为正，不难检查y∈ C[0，T）.SetU={（T，y）∈ [0，T）×R:y>y（T）}。（B.7）然后通过定义y，（B.3）和（B.4），a（T，y），m（T，y），ym（t，y），yn（t，y）>0，（t，y）∈ U、 （B.8）隐式函数结果。以下反函数类型结果是后续分析的基础。

特别是，它在定理B.5中用于构造ODE（B.1）的后向上和后向下解。回顾（B.6）中y的定义。引理B.3。修复p∈ (0, ∞). 让f∈ f（T）>0，T时的C[0，T]∈ [0，T）。然后存在唯一函数y∈ C[0，T），y>y，使得m（T，y（T））=f（T）。（B.9）此外，如果limt↑↑Tf（t）=1，则存在常数 ∈ （0、1）和C≥ 1以便 ≤ 1+y（t）≤ C+Cφ（t）{κG（t）<Cφ（t）}，t∈ [0，T）。（B.10）在这种情况下，如果加上RT |φ（u）y（u）| du<∞, THNZT公司{G（T）>0}κG（u）（1+y（u））du<∞. （B.11）证明。首先，对于固定t∈ [0，T），by（4.11）和（B.3），y 7→ m（t，y）是连续的且在y（t）上递增，∞) m（t，y（t））=0且limy→∞m（t，y）=+∞. 因此，存在一个独特的函数：[0，T）→ 满足y>y的R（B.9）。此外，y∈ C（0，T）的隐函数定理。第二，对于固定t∈ [0，T），我们声称≤ （2f（t））pifφ（t）≤pσ2uκG（t），（B.12）y（t）≤ 最大值f（t）p，uφ（t）如果φ（t）>0。（B.13）事实上∈ [0，T）.如果φ（T）≤pσ2uκG（t），然后a（t，0）=1-upσφ（t）κG（t）≥. 寻找一个矛盾，假设y（t）>（2f（t））p>0。然后根据m和y（t）的定义以及第二个变量中a的单调性，f（t）=m（t，y（t））=（1+y（t））pa（t，y（t））>（y（t））pa（t，0）≥ f（t），这是荒谬的。如果φ（t）>0，则at、 uφ（t）= 1和（B.13）源自类似的论点。我们强调，我们严格使用“增加”、“减少”、“积极”、“消极”等限定词；相应的广义概念是“不减”、“不增”、“非负”、“非正”。第三，通过隐函数定理和（B.3），对于t∈ （0，T），| y（T）|=f（t）-tm（t，y（t））ym（t，y（t））≤ p（1+y（t））f（t）-tm（t，y（t））m（t，y（t））=p（1+y（t））f（t）-tm（t，y（t））f（t）。现在，fix t∈ （0，T），并设C>0，使得y（T）≤ C代表所有t∈ [0，t]。

（这可能是因为（B.12），（B.13）以及f是连续的，而κGis是连续的和正的）。然后，f在[0，t]中的正性和连续性，fin在[0，t]中的连续性，以及[0，t]×中的tm（t，y）[-1，C]以及以下事实：-1.≤ y（t）≤ C代表t∈ [0，t]证明了i在（0，t）中一致有界。此外，根据微积分的基本定理和y∈ C（0，T），y（T）=y（T）-Ztty（u）du，t∈ （0，t）。因此，通过支配收敛，limt↓↓R中存在0y（t）。f和m的连续性和（B.9）givem（0，y（0））=f（0）=limt↓↓0f（t）=极限↓↓0m（t，y（t））=m（0，limt↓↓0y（t）），因此通过y在[0，t]上的唯一性，limt↓↓0y（t）=y（0）>y（0）≥ -1、这一点以及ym和[0，T）×上的tm(-1.∞), fon[0，T]的连续性和恒等式yy（T）=f（t）-tm（t，y（t））/ym（t，y（t））表示t∈ （0，T）（通过隐函数定理）表明极限极限↓↓0y（t）存在于R中。So y∈ C[0，T）。第四，假设极限↑↑Tf（t）=1。SetC：=1+最大支持∈[0，T）（2f（T））p，u，2upσ！（B.14），然后1≤ C<∞. 修复t∈ [0，T）.如果κG（T）≥ Cφ（t），然后φ（t）≤CκG（t）≤pσ2uκG（t）和so1+y（t）≤ C由（B.12）和C的定义。否则，如果κG（t）<Cφ（t），则φ（t）>0，so 1+y（t）≤ C+Cφ（t）乘以（B.13）和C的定义。对于（B.10）中的左不等式，通过y在[0，t]中的连续性和y>y的事实≥ -1在[0，T]上，必须显示lim影响↑↑Ty（t）>-1、寻找一个矛盾，假设有一个序列（tn）n∈N [0，T）增加到T，使limn→∞y（tn）=-必要时传递给子序列，我们可以假设y（tn）≤ 0表示所有n∈ N、 Asφ≥ 0乘以（2.5），则（4.7）中a的定义为a（tn，y（tn））≤ 1代表所有n∈ N

现在，使用（4.11）中m的定义，我们得出了矛盾1=limn→∞f（tn）=limn→∞m（tn，y（tn））≤ lim支持→∞（1+y（tn））p=0。最后，假设G（T）>0，rt |φ（u）y（u）| du<∞. 然后通过（2.1），ZTκG（u）du=-日志(G（T））<∞.如（B.14）所示定义C，并设置A：={u∈ [0，T）：φ（u）≤pσ2μκG（u）}。然后y（u）≤ C代表u∈ A乘以（B.12），k G（u）<2upσφ（u）表示u∈ Ac.这与上述结果一起产生（B.11）viaZT（1+y（u））κG（u）du=ZTκG（u）+1A（u）y（u）κG（u）+1Ac（u）y（u）κG（u）杜邦≤ZT公司（1+C）κG（u）+2upσφ（u）| y（u）|du<∞.推论B.4。修复p∈ (0, ∞). 设f，g∈ C[0，T）使得g（T）>f（T）>0，T∈ [0，T），和极限↑↑Tg（t）=极限↑↑Tf（t）=1。让yf，yg∈ C[0，T），yg，yf>y是引理B.3中满足m（T，yf（T））=f（T）和m（T，yg（T））=g（T）的唯一函数。假设G（T）>0和LIM支持↑↑TG（t）<∞. Thenlimt公司↑↑Tφ（T）（yg（T）- yf（t））=0。证据引理B.3中有常数Cg，f> 0，使1+yg（t）≤ Cg+Cgφ（t）{φ（t）>0}和1+yf（t）≥ f、 t型∈ [0，T）.AsG（T）>0和lim supt↑↑TG（t）<∞, 存在常数κ>0，使得κG（t）=1-G（t）G（t）≥ Cκ，t∈ [0，T）.下一个，作为f∈ C[0，T），f>0（在[0，T）上）和Limt↑↑Tf（t）=1，存在一个常数Cf>0，使得f（t）≥ Cf，t∈ [0，T）。最后，setC=最小值Cf2Cg(f） pCκσ> 0、固定t∈ [0，T）。然后是yg（T）≥ yf（t）由第二个变量中m的单调性决定。

依次使用（B.9）、中值定理（B.3）、（4.11）和（B.2）、第二个变量m的单调性（B.9）和Cg的选择，f、 和Cκ，即CF的选择，最后是C的选择（区分φ（t）的情况）≥ 1和φ（t）<1）产量∈ [yf（t），yg（t）]，g（t）- f（t）=m（t，yg（t））- m（t，yf（t））=（yg（t）- yf（t））ym（t，~y）=（yg（t）- yf（t））（1+~y）ppa（t，~y）1+~y+ya（t，~y）=p（yg（t）- yf（t））m（t，~y）1+~y+σ（1+~y）pφ（t）κG（t）≥p（yg（t）- yf（t））m（t，yf（t））1+yg（t）+σ（1+yf（t））pφ（t）κG（t）≥p（yg（t）- yf（t））f（t）Cg+Cgφ（t）{φ（t）>0}+(f） pCκσφ（t）！≥pφ（t）（yg（t）- yf（t））CfCgφ（t）+Cg+(f） pCκσφ（t）！≥Cpφ（t）（yg（t）- yf（t））。现在，声明如下↑↑ T积分方程解的存在唯一性。我们现在可以证明积分方程（4.13）的主要存在唯一性结果。回顾（B.6）中y的定义。定理B.5。修复p∈ (0, ∞). 然后存在唯一的解决方案^y∈ C[0，T），其中^y>y到积分方程m（T，y（T），p）=exp-ZTtn（u，y（u），p）du！，t型∈ [0，T），（B.15）满足（B.10）和（B.11）（y替换为^y）以及zt | n（u，^y（u），p）| du<∞ andZT（φ（u）^y（u））du<∞. （B.16）此外，y*≤ ^y≤ y*在[0，T]上，其中y*, y*∈ C[0，T）是引理B.3满足y的唯一函数*, y*> y和M（t，y*（t） ，p）=（exp1.-p2pσu（T- t）如果p<1,1如果p≥ 1，（B.17）m（t，y*（t） ，p）=（1如果p<1，exp1.-p2pσu（T- t）如果p≥ 1.（B.18）注意，（B.10）和（B.11）（y替换为^y）以及（B.16）特别意味着（3.12）和（3.18）（y替换为^y）已满。证据首先，我们将积分方程（B.15）转换为ODE。取（B.15）两侧的对数并进行微分，结果表明∈ C[0，T）到（4.13）solvesddtlog（m（T，y（T）），p）=n（T，y（T），p）。

（B.19）使用（4.11）和（B.3）的简单计算给出了SDDTlog（m（t，y（t），p））=y（t）pa（t，y（t），p）1+y（t）+ya（t，y（t），p）+ta（t，y（t），p）a（t，y（t），p）。重新排列这些项表明y解出了ODEy（t）=f（t，y（t），p），t∈ [0，T），（B.20），其中函数f:U×（0，∞) → (0, ∞) 由f（t，y，p）=a（t，y，p）n（t，y，p）给出-ta（t，y，p）pa（t，y，p）1+y+ya（t，y，p）和U在（B.7）中定义。很明显，f∈ C0,1,1（U×（0，∞)). 注意，Denominator的正性由U×（0，∞) （B.8）和（B.2）。此外，（B.15）给出了隐含的“终端条件”限制↑↑Tm（t，y（t），p）=1。其次，我们建立了^y的唯一性。假设^y，^y∈ C[0，T）是（B.15）的两个解。然后，^y，^y>y，这两个函数都是ODE（B.20）的解。在不丧失一般性的情况下，假设^y（0）≥ ^y（0）。由于f在U上的第二个变量中是局部Lipschitz，它遵循了标准的常微分方程局部存在唯一性定理，即^y=^yor^y>^y。为了寻找矛盾，假设第二种情况。然后根据第二个变量中mand n的严格单调性（由（B.8））和^yand^yare解为（4.13），m（0，^y（0））>m（0，^y（0））=exp-ZTn（u，^y（u））du> 经验值-ZTn（u，^y（u））du= m（0，^y（0）），这是荒谬的。所以^y=^y。第三，我们使用引理B.2来证明（B.20）的解的存在性。为此，我们展示*和y*分别是后向上解和后向下解。函数y的存在唯一性*和y*满足（B.17）和（B.18）来自引理B.3。