固定限额下的退休财富：最优策略

π是一个自筹资金的投资组合}，如果π∈ A、 此外，确定状态价格密度过程H（t）：=e-（r+θ）t-θWt.为了说明投资者的问题，我们首先让财富的效用用一个函数（称为效用函数）U:R来描述+→ R、 x 7-→ U（x）。投资者面临的问题定义如下：问题1。找到策略^π∈ A使得e[U（X^πT）]=supπ∈AE[U（XπT）]，（2.4）成立。（2.4）的解^π（称为最优投资策略）是否存在尚不明确。然而，如果是这样，找到最优投资策略的问题就相当于找到一个随机微分方程的解，即汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程（HJB）。这在[2]中有详细说明。由于其推导的概要可以在附录A中找到，我们将简单地陈述Hamilton-Jacobi-Bellman方程（HJB）0=五、t（t，x）+supπ[rx+（u-r） πx]五、x（t，x）+σπx五、x（t，x）（2.5）边界条件V（T，x）=U（x）。（2.6）对于简化，符号五、t（t，x）=Vt，五、x（t，x）=Vx，五、x（t，x）=引入了Vxxis。2.1.2指数效用函数的最优策略为了找到HJB的解，需要知道效用函数，因为我们需要设置一个边界V（T，x）=U（x）。我们将使用指数效用，这很方便，因为它简化了许多计算，并由函数u:R定义→ (-∞, 0]，x 7-→ U（x）=-e-αx，对于常数α>0。U描述了投资者如何评估财富x，给出了一个（个人）参数α，我们称之为风险厌恶。请注意，其一阶导数U（x）随着财富的增加而收敛到零，这意味着对效用的贡献减少（即财富越大，额外增加对投资者效用的影响越小）。这种特性被称为效用边际递减。

此外，风险厌恶是恒定的，这意味着投资者对风险的态度与他的财富无关。（指数）效用函数的性质将在附录中进一步讨论，因此现在我们将重点讨论最优策略。因为（2.5）中的上确界与标量函数的最大值f（π）=[rx+（u- r） πx]Vx+σπxVxx，最佳值^π需要满足0=f（^π）=（u- r） xVx+σ^πxVxx t型∈ [0，T]，因此^π=-(u - r） σxVxVxx。（2.7）注意，还需要检查f（^π）=σxVxx<0。因此，使用（2.7），（2.5）可以写为VT+rxVx-(u - r） σ（Vx）Vxx=0。（2.8）对于简化，符号θ：=u- 引入了风险的市场价格rσ。基于类似问题的现有结果（例如[18]），我们建议如下：命题1。值函数v（t，x）=-e-αxer（T-t）-θ（T-t） 是HJB的解决方案。（2.9）证明。对于简化定义A（t，x）：=αxer（t-t） +θ（t-t） 并写入V（t，x）=-eA（x，t）。然后VT=dA（x，t）dte-A（x，t）=-[θ+αxrer（T-t） ]e-A（x，t），Vx=dA（x，t）dxe-A（x，t）=αer（t-t） e类-A（x，t）和Vxx=-αe2r（T-t） e类-A（x，t），因此f（πt）<0。将Vxx和Vxfrom从上面代入θ（Vx）Vxx得到θαe2r（T-t） e类-2A（x，t）-αe2r（T-t） e类-A（x，t）=-θe-A（x，t），因此Vt+rxVx-θ（Vx）Vxx=0So，V（t，x）满足方程（2.8），因为V（t，x）=-e-αx，它满足指数效用的HJB（2.5）-（2.6）。提案2。最优投资策略由^πt=θX^πtασe给出-r（T-t） 。（2.10）证明。自（2.9）：^πt=-θxσVxVxx=θxασe-r（T-t） 。因此，命题1成立，根据[2]中的定理19.6（验证定理），V是最优值函数，^π是相应的最优策略。注意，^π取决于时间和财富，所以它不是常数。然而，绝对投资量^πtX^πt=θασe-r（T-t） 不取决于投资者的绝对财富。最优策略给出了命题3。

最优财富过程由X^πt=X^πert+tθαer（t-T）+θαer（T-T）带X^π=X.（2.11）证明的WT。将（2.10）代入（2.3），我们得到dx^πt=[rX^πt+θαe-r（T-t） ]dt+θαe-r（T-t） 载重吨。这是一个线性随机微分方程（SDE），其解的推导见附录6.2。特别是，对于t=t，它如下所示：X^πt=XerT+tθα+θαWT，因此终端财富是正态分布的，E[X^πt]=XerT+tθα，Var（X^πt）=θαt。2.2最优策略简要分析我们将从分析投资者可能影响的因素（即初始投资X、风险规避α和投资地平线T）的最优策略开始。这里将把市场参数r、u和σ视为固定值，但下一节将详细研究其影响。由于最优策略与投资者的风险厌恶参数α成反比，且后者往往取非常低的值，我们将看到它对它特别敏感。此外，初始财富也起着重要作用，因为低风险厌恶可以由高初始财富来弥补，以达到与初始财富相同的预期回报。2.2.1参数：α和TIf如果我们看（2.10）中的公式，可以看出投资策略是逆比例的，因此对X^π和α高度敏感。这可以解释为，投资于股票的比例随着财富的增加而减少，这在边际效用降低的情况下是有意义的。此外，由于α是风险厌恶的一个衡量指标，因此很直观的是，风险财富（即投资于股票）的比例随着α的增加而减少。为了评估参数α的影响，从现在起，我们将考虑投资于t的绝对金额，即^πtX^πt，它独立于X^πt。

由于它是确定性的，因此可以通过观察初始投资（t=0）来描述α的影响，因为它在图1中是“标准”设置的一部分（注意，这里的t相当小，但这不会产生太大差异，我们将在后面看到）。显然，对于低风险厌恶，即使α的微小变化也会对投资产生巨大影响。因此，需要特别注意α的选择。图1：风险规避对^π（T=5）初始投资的影响α的哪些值是合理的？尽管风险规避的估计取决于实验环境和使用的方法，但研究表明类似的范围：[6]意大利家庭的中值为0.000708，平均值为0.01978，[3]加州番茄种植者的最佳估计值为0.001（最小值估计值为0.000708），【14】卢旺达平均绝对风险规避率为0.037，中位数为0.0439，参考【7】了解贷款平台上个人投资者的类似值（0.003平均值，0.109中位数）。除了对投资的影响外，还有其他一些原因值得关注α的较小值：通常情况下，设定的目标是有一定意愿投资的人，因此可以排除极高的风险规避。此外，风险厌恶在人群中的分布似乎是右偏的（见[1]），因此中位数0.0007可能是比平均值更好的参考值。然而，0.01和0.001左右的值似乎也是α的现实选择，也应予以考虑。与α相比，（合理）时间范围T的影响相当小。例如，在图2的第二张图中，与^πtX^πt轴的交点为α=0.0004。这导致在10年至30年之间，约250吨股票的初始投资存在差异。

随着α的增加，初始投资的变化不会太大，这种差异也不会太大。例如，如果α=0.0007，对于相同的T范围，初始投资的差异为150（而初始投资从1\'400左右变为500左右）。图2：风险规避对^π（变化T）初始投资的影响2.2.2初始财富和终端财富分配在无风险利率r下，投资的绝对金额随时间呈指数增长，与股票表现无关（见图3）。这意味着，如果财富的增长率高于r，那么投资于股票的比例就会下降，从而导致最终财富相对于其预期价值的方差较小。另一方面，对于较小的财富，我们预计会有更高的回报，因为投资于股票的比例更大，预期回报更高（u>r）。图3：随着时间的推移，^π（变化的T）α的绝对投资对投资的财富比例的影响与X的影响程度相同。这意味着，对于初始财富较高但风险厌恶程度较小的投资者，与初始财富较少的高度风险厌恶者一样，会将相同百分比的财富置于风险之中。因此，就初始财富回报率和相对于预期回报率的方差而言，终端财富的分布是“相同的”。换言之：低财富可以通过风险承受能力得到补偿。这可以由经验值证实，如下表所示，在r=0.01、u=0.03、σ=0.1、T=20的情况下。这里，σ（XT）=σML（XT）/uML（XT），其中uML（XT）=E[XT]和σML（XT）是终端财富分布的预期值和标准偏差的绝对值，从1000个样本的最大似然函数中获得。

注意，由于X^πt正态分布，50%分位数与预期收益相同。有关其他分位数的更多详细信息，请参阅附录A。（A）α=0.01XE[XT]Xσ（XT）αX10 915%96%0.1201%44%1130%7%10123%1%100122%0%1000（b）α=0.001XE[XT]Xσ（XT）αX10 8\'684%104%0.01938%94%0.1197%45%1130%7%10123%1%100（c）α=0.0001XE[XT]Xσ（XT）αX10 77\'311%115%0.0018\'056%110%0.01938%89%0.1200%46%1130%7%10表1：经验预期收益和方差^π的终端财富注意，T的预期回报是无风险债券利息和股票回报的组合，取决于投资比例。因此，对于更大的X值，收益收敛于无风险债券的确定性收益（e0.01×20=1.22），其方差趋近于零。另一方面，对于较小的初始财富，投资金额远高于初始财富本身（通常较小的α更高），因此预期回报率是初始价值的大倍数。例如，对于α=0.0001和X=10，该策略要求投资16’375的股票和-16’365的无风险资产，这反过来会导致预期的理论绝对回报约为8’012。这意味着，对于小额财富而言，该策略与投资比投资者提供的更多资金有关（即卖空或借贷），而投资者可能希望避免这种情况。2.3投资限制下最优策略的扩展分析在本节中，我们介绍了对风险资产投资的限制，并调查了对最终财富分配的影响。

所有这些参数之间的相互作用都很复杂，表明了一种模式：通常，限制会减少较小的分位数，而对较高分位数的影响较小，因为它会将分布变为对数正态分布。对于高初始财富、大u-r和大σ，影响通常更大。对于较小的r和较小的α，投资限制的优势最为明显。除了这种实证方法外，附录6.4中还提供了一种更具理论性的方法。我们首先确定对^πtX^πtin值的限制，以避免最优策略要求的风险股票投资金额超过财富水平：修正1。投资限制让修改后的策略定义为（t，X^πmt）∈ [0，T）×R×πm（T，Xπmt）=πtif Xπmt≥ ^πtXπmt1如果X^πmt<^πtXπmt，其中X^πmt是X^πm=X的相应财富过程，并且是命题2.2.3.1初始财富中的最优策略让我们首先看看初始财富的价值对策略的影响。从直觉上看，该值越高，财富就越不可能低于过程中最优策略所要求的投资金额，因此修改后的策略和原始策略之间的差异应该很小（或者可以为零）。从另一个角度来看，这也意味着投资的财富比例很小，因此该策略（修改或不修改）在整个终端财富分布中只起到很小的作用，因此会改变影响该策略的参数。

从定性上看，这可以在以下曲线图中观察到，其中初始财富变化为^π所需金额的120%、100%和80%。人们可以观察到终端财富值从高到低的变化，以减少X和增加投资限制的影响（直方图中的红线是供参考的正态分布）。这也反映在经验最终财富分布的分位数中，其中Qp（X）是由初始财富X，^π得出的p分位数-1=X/（^πX）是初始财富占所需初始投资的百分比，以及（Qp）=Qp（X）/Qp（πX）是相对于Qp（πX）=Qp（100%πX）的分位数变化：XQ0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）（Q0.25）（问题0.5）（Q0.75）（Q0.95）4\'912 4\'037 7\'549 10\'848 15\'043 134%117%112%107%4\'094 3\'010 6\'450 9\'653 14\'0643\'275 2\'292 4\'660 8\'067 12\'673 76%72%84%90%-1=120%、100%和80%。值得注意的是，Xa的变化对低分位数的影响大于对高分位数的影响：Xby 20%的增加导致25%分位数的增加大于20%，而95%分位数的增加仅为7%。当Xis减少20%时也会发生同样的情况。还可以观察到Xin项对分位数影响的增加和减少之间的不对称性。例如，在Q0.5，我们观察到下降了28%，而只有17%的增长。对于较低的预期收益u和较高的可用性σ，也可以观察到类似的影响。特别是，更高的波动率似乎会导致更大的变化，例如，当σ=40%时，我们会将Q0.25增加到140%，然后降低到72%。分位数变化的原因在于，财富路径失去了上行潜力，而财富路径的上行潜力低于遵循最佳策略所需的数量。

而不是投资最优策略所需的全部金额，只有可用的财富可以投资，这通常会导致终端财富的价值较低。初始财富越低，受战略修改限制的路径越多，导致财富越少，从而导致分位数越低。由于表现优异的路径更为罕见，也不太可能受到修改的限制，Xa的变化对它们的影响较小，因此上分位数（即Q0.95）的影响较小。另一个原因可能是，X越大，投资比例越小，因此策略的修改对高端财富的分配影响越小。在这种情况下，即使投资于股票的部分由于修改而表现不佳，这也会产生有限的影响，因为该策略的结果以投资于无风险债券的高比例为主导。分位数变化的不对称性可以用以下解释来解释：当财富下降并保持在最优策略所需的数量以下时，它是100%投资于股票，因此它的分布与股票的分布相同，这是一个对数正态分布。因此，对于较低的Xt，分布更接近对数正态分布，而对于增加的Xit，则收敛于最优终端财富的正态分布。2.3.2参数：u-rIn与最初的策略相反，如果投资金额与股票的表现无关，则投资限制建立了与股票市场的联系。因此，预期收益u、无风险利率r和波动率σ等市场参数将在另一个程度上影响最终财富分布。让我们首先看看市场利率和无风险利率的差异。

由于最优策略所需的初始投资金额随u-r的变化而变化，我们将X=πX和r=0.01，并比较不同u和固定α=0.001的结果输出。图5：股票表现（u-r=0.01和u-r=0.05）图6：^π和^πm的财富过程（u-r=0.01和u-r=0.05）由于绝对初始财富在不同情景下有所不同，因此我们查看总回报的数量，而不是绝对终端财富，以进行更好的比较。在下图中，x轴显示了100%的总回报，红线表示正态分布。图7：^πm（u-r=0.01和u-r=0.05）的初始财富总回报直方图。我们再次看到，随着差距的减小，较低分位数的权重增加，表明分布类型发生了变化，而不是简单的值移动。对于经验分位数，假设Qp（u-r）是agapu-r在T=20时初始投资回报的p分位数，并且（Qp）=Qp（u）/Qp（0.03）是相对于间隙u-rof 3%的分位数变化。u-r Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）（Q0.25）（问题0.5）（Q0.75）（Q0.95）5%149%239%314%419%240%213%195%182%3%103%187%268%383%1%58%122%211%322%19%22%26%28%表3:X^πMTA总回报的分位数和u-r=5%、3%和1%的比较与以前一样，我们看到参数变化的影响在较低分位数中更为明显，例如u=5%，Q0.25增加了+140%，而Q0.95只增加了+82%。对于其他参数的不同组合，也可以观察到这种模式，尽管对于较小的初始值和较大的方差，分位数的影响通常更强。