固定限额下的退休财富：最优策略

同时，这也是最优无约束策略结果差异最明显的地方（例如，在u-r=5%，^π导致Q0.25增加+116%，Q0.95增加+82%，后者与^πm相同。）然后，可以再次观察到u-r的减少和增加效果之间的不对称。例如，如果间隙减少到1/3，则相应的分位数将减少到20%到30%之间的值，而增加2/3将导致较低分位数增加到200%以上（按比例增加将导致166%）。对于其他参数σ和α，其行为类似。这种不对称的原因在于投资约束的应用。一般来说，对于基本的塞塞纳里奥u-r=0.03，大多数财富路径似乎受到约束的影响（见图7），因此终端收益率的分布接近对数正态分布。由于u-r的减少对约束的应用和终端分布没有太大影响，对分位数的影响相当低。相反，u-r的增加可能会导致更多路径表现更好，并且不会受到投资约束的影响，因此终端财富分布将略接近最优终端财富的正态分布。这种分布的变化可以在分位数中观察到，表现为较低分位数（比例过大）的增加，在直方图中，表现为较低u的值向左移动。与之前一样，另一种解释方式是：财富路径越多地遵循策略的受约束部分，所使用的上行和下行潜力就越小，这导致较低价值更加集中，最终形成右偏对数正态分布。

还要注意的是，如果^πtxt以较低的比率r<u增长，那么股票（以及财富）和^πtxt之间的绝对差距会随着时间的推移而增长，从而导致切换到修改策略的概率下降。因此，在投资初期，我们观察到原始策略和修改策略之间的大部分差异。如前所述，另一个影响可能与以下事实有关，即高分位数表示高财富，而高分位数又与低投资比例有关，因此受限制的影响较小。请注意，最优策略要求投资于风险资产的金额与u-r成比例。此处的变化对修改后的策略具有与初始财富“反向”变化相同的影响，我们在上一节中考虑了这一点（换言之：策略的修改是否有影响取决于相对于^πX的高度）。然而，在曲线图和数量中无法观察到这一点，因为我们设置了X=^πX.2.3.3参数：σ。目前，我们已经看到，约束对投资的影响越强，最终财富分布越趋向对数正态分布。我们假设，当约束的影响因不同的参数σ或r而改变时，也会发生同样的影响。这就是为什么，而不是如何，我们现在感兴趣的是评估这种限制的影响程度。因此，我们将比较此修改策略与原始策略的最终财富分布的经验分位数。

由于投资受限策略的价值可能更受关注，因此此处列出了这些价值，但最佳无约束策略的价值可在附录6.6中找到。我们将α=0.001设为不同的预期收益率，考察了小波动率和高波动率的分位数，r=0.01和X=πX.u-r Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）5%28%172%354%585%3%17%96%296%532%1%11%52%231%481%（a）σ=0.4u-r Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）5%209%245%284%340%3%155%195%231%284%1%103%144%181%234%（b）σ=0.1表4：σ=0.1和0.4的X^πMTA总回报的分位数（并变化u-r）不足为奇，对于高方差，终端分布的分布范围更大，对于小方差，终端分布的分布范围更窄。更令人惊讶的是σ=0.4的结果相当令人失望，其中πmyields的结果比表中显示的所有回报的无约束策略更差：峰值在Q0.25，u-r=0.05，28%而不是94%，唯一的例外是特别“糟糕”的表现（即在Q0.25，u-r=0.01，11%而不是-3%）。与受投资约束影响较大的高波动性情景相反，10%的低波动性产生的结果几乎与最优策略相同。当然，在这种情况下，范围通常更小，结果也更低。总的来说，这可能是个好消息，因为我们预计较小的u-r将与较小的风险相关联，σ是一个指标，更大的差距将与更高的波动性相关联。因此，u-r=0.01，σ=0.1。u-r=0.05和σ=0.4可能是实际情况，Q0.5=144%。

Q0.5=172%为可接受结果。还要注意的是，方差确实对初始投资量有很大的影响，对于u-r=5%，当σ=0.1时，我们得到^πX=256，而σ=0.4.2.3.4参数时，得到^πX=4\'094：我们在这里考虑零利率和负利率的情况，小波动率σ=0.1，T=20，α=0.001。如前所述，我们设定X=^πX。为了进行比较，100%投资股票和100%投资债券的最终财富的中位数也会列出。请注意，股票的分布是右偏的，中位数小于平均值。uXQ0.25Q0.50Q0.75Q0.95Q0.50（πt≡ 1） Q0.50（πt≡ 0）10%10000 270%302%331%374%739%100%6%6000 189%221%250%293%332%1%1000 84%118%148%191%122%（a）r=0%uXQ0.25Q0.50Q0.75Q0.95Q0.50（πt≡ 1） Q0.50（πt≡ 0）4%6\'107 138%164%188%223%223%82%2%3\'664 104%131%155%190%149%0%1\'221 69%97%122%157%100%（b）r=-1%表5:XπMTA总回报的分位数r=0%和r=-1%（和变化u）自然，无风险利率较低时，初始财富回报较低。然而，在大多数情况下，这仍然比100%投资债券要好。与此同时，与100%投资股票相比，u越超过r，终端财富回报中失去的上行潜力就越大。在上面的例子中，我们设置了X=^πX，但如果我们计算初始财富，并考虑一个风险厌恶程度较低的人，则初始投资金额将较大，因此投资于股票的比例较小。因此，终端财富的回报率将更接近于100%的股票投资，而不是100%的债券投资的回报率。

例如，对于α=0.0001，如果r=0且u=10%，则得到Q0.50=675%；如果u=4且r=1%，则得到Q0.50=203%。这意味着上述分位数也反映了投资者的风险规避偏好，与其他选择（如完全投资债券或股票）的比较应考虑到这一点。将这些结果与无限制最优策略进行比较，发现α=0.001时几乎没有差异：这里，对于μπ和u=0.01，在Q0.95=90%时，最大差异为+6%，r=0。但是，对于α=0.0001，这意味着对风险资产的投资要多得多，我们发现了巨大的差异：对于几乎所有的分位数，错过的上行潜力是巨大的。例如，当r=0%时，对于所有考虑的u，其介于200%和1\'510%之间。有趣的例外是u=0.01的较低分位数。在这些情况下，由无限制策略产生的25%的最优终端财富路径的值低于-2%。这就是限制发挥作用的地方，并显示出巨大的优势：对于u=1%和r=0%，Q0.25为82%，对于u=0%，r=-1%，仍为67%（见附录6.5中的表14）。3指数效用和下限约束的最优策略Kl3.1 Kl策略的推导我们现在引入下限约束来限制终端财富，并推导此设置的最优策略。我们将发现，这涉及到按照最优策略（产生影子财富过程）投资初始财富的一部分，并使用另一部分购买看跌期权来对冲这一过程。为了简单起见，我们有时会将其称为asKl策略。我们首先通过约束Kl修改问题1∈ R(-∞,XerT）。问题2。找到最优策略^πl∈ A使得e[U（X^πlT）]=supπ∈AE[U（XπT）]和X^πlT≥ Klholds a.s.（3.1）为了解决这个问题，我们首先确定最佳终端财富。提案4。

对于问题2，最优终端财富的形式为X^πlT=~X^πT+max{Kl-~X^πT，0}，（3.2），其中~X^π是（2.15）中的最优财富过程，其中~X=(-ln（yα）+rT-θT）αe-y>0时的rT（称为阴影值），使得E[HTX^πlT]=x和^πt对应的最优策略。证据该语句直接来自于文献[5]中的引理2。要看到这一点，让I（y）=U0-1（y）=-αln（yα）是U（x）=αe的逆-αx。注意，U是严格递增和凹的。通过引理2，X^πlT=max{K，I（yHT）}=I（yHT）+max{K-I（yHT），0}对于y>0，使得e[HTX^πlT]=X，其中，HT=H（T）是T处的状态价格密度。确定▄X，使I（yHT）=▄X^πT。这是ifI（yHT）的情况=-1α[ln（yα）- （r+θ）T-θWT）]=X ert+Tθα+θαWT因此，我们发现X=（rT-θT-ln（yα））αe-请注意，最优终值财富的结构是无约束财富过程的最优终值加上看跌期权（在此无约束财富过程上）。因此，我们可以通过确定收益率最大的复制投资组合来找到最佳策略-~X^πT，0}T。这将通过风险中性估值参数来实现，类似于[4]。提案5。时间t的价格∈ payoff max{Kl的看跌期权的[0，T]-~X^πT，0}由p（T，~X^πT）=Φ（dl（T，~X^πT））（e）给出-r（T-t） 吉隆坡-X^πt）+θ√T-tαe-r（T-t） φ（dl（t，X^πt））（3.3），其中Φ（X）是累积正态分布，φ（X）是其密度，dl（t，X^πt）=（Kl-X^πter（T-t） ）α√T-tθ。证据假设市场没有套利且完整。然后存在一个风险中性测度Q，使得WQt：=Wt+θt是标准布朗运动。因此，在q下，贴现财富过程是一个鞅：EQ[e-rtXπt | Ft-1] =等式[e-rt（ertXπ+er（t-T）θαWQt）| Ft-1] =等式[~Xπ+e-rTθαWQt | Ft-1] =▄Xπ+e-rTθαWQt-1=e-r（t-1） Xπt-1.π ∈ A.t型∈ [1，T]。因此，我们可以通过风险中性定价来评估看跌期权。

完成此操作之前，请注意：▄X^πT<Kl<==>XerT+θαWQT<Kl<==> WQT<（Kl-XerT）αθ<==> Z<（Kl-XerT）α√Tθ=：d对于替换WQT：=Z√T和Z~ N（0，1）。那么，时间0时看跌期权的价格由以下公式得出：p（0，X）=e-rTEQ[最大值{Kl-~X^πT，0}]=e-rTEQ[（Kl-X^πT）1{X^πT<Kl}]=e-rTEQ[Kl{Z<d}]- e-rTEQ[（℃XerT+θαZ√T）1{Z<d}]=e-rTKlΦ（d）-XΦ（d）-θ√Tαe-rTEQ[Z1{Z<d}]=Φ（d）（e-rTKl公司-X）-θ√Tαe-rT公司√2πRd-∞Ze公司-Z/2dZ=Φ（d）（e-rTKl公司-X）+θ√Tαe-rT公司√2πe-D同样，对于任何t∈ [0，T]这给出：p（T，X^πT）=Φ（dl（T，X^πT））（e-r（T-t） 吉隆坡-X^πt）+θ√T-tα√2πe-r（T-t） e类-dl（t，X^πt）=Φ（dl（t，X^πt））（e-r（T-t） 吉隆坡-X^πt）+θ√T-tαe-r（T-t） φ（dl（t，X^πt））表示命题中定义的符号。作为定价函数p（t，~X^πt）的复制投资组合，我们建议命题6。（3.2）中的看跌期权的复制投资组合由▄πp（t，▄X^πt）给出=-Φ（dl）σ√T-t（Φ（dl）dl+φ（dl））（3.4）对于dl=dl（t，X^πt）=（Kl-X^πter（T-t） ）α√T-命题5中的tθ。证据

需要证明的是，p（t，～X^πt）满足～πpfrom（3.4）的财富方程，因为这是一个财富过程，它复制了价格函数p（t，～X～πt），并达到了终值max{Kl-~X^πT，0}，所以▄πp应该是一个合适的策略。为此，通过代换形成偏导数：=dl（t，X^πt）=（Kl-X^πter（T-t） ）α√T-tθ和dx=αθ√T-t型(-er（t-t） ）：px=ddX^πtp（t，X^πt）=-Φ（d）+φ（d）dx{Kle-r（T-t）-~X^πt}+θ√T-tαe-r（T-t） φ（d）(-d） dx=-Φ（d）+Φ（d）dx（Kle-r（T-t）-X^πt- e-r（T-t） （吉隆坡-X^πter（T-t） ）=-Φ（d），pxx=dd（～X^πt）p（t，～X^πt）=φ（d）αθ√T-ter（T-t） andpt=ddtp（t，~X^πt）=φ（d）dt（e-r（T-t） 吉隆坡-X^πt）+Φ（d）rKle-r（T-t） +θφ（d）α(√T-tre公司-r（T-t）-√T-te公司-r（T-t） ）+θα√T-te公司-r（T-t） φ（d）(-d） dt哪个简单（第一学期和最后一学期取消）topt=Φ（d）rKle-r（T-t） +θφ（d）αe-r（T-t）(√T-tr公司-√T-t） 。请注意，p（t，~X^πt）是两次可微分的，~X^πt是（2.15）中的微分方程，因此是Ito漂移扩散过程。因此，可以应用伊藤引理，并且dp（t，~X^πt）={Φ（d）rKle-r（T-t） +θαφ（d）e-r（T-t） r√T-t+（rX^πt+θαe-r（T-t） （）(-Φ（θ））}dt+θαe-r（T-t）(-Φ（d））载重吨。然后p（t，~X^πt）满足财富方程dp（t，~X^πt）=（r+~πpθσ）p（t，~X^πt）dt+σ▄πpp（t，~X^πt）dWti ffθe-r（T-t）(-Φ（d））=σ￠πpp（t，X^πt），这是￠πp（t，X^πt）的情况=-Φ（d）σ√T-t（Φ（d）d+φ（d））。结合修改后的无约束问题和复制投资组合的最优策略，给出总体策略。提案7。问题2的最优策略是通过在t^πl（t，X^πt）=θασe时投资于风险资产的金额给出的-r（T-t） +p（t，~X^πt）-Φ（dl）σ√T-t（Φ（dl）dl+φ（dl））（3.5），其中▄X^π是一个最优财富过程，初始财富▄X（命题4的影子值）和命题6中的DLA。我们有时会提到影子财富过程。证据

注意，通过定义πl（t，X，πt）=πt，X，πt+，πp（t，X，πt）p（t，X，πt）和（2.3），所得财富过程为X，πlt=，X，πt+p（t，X，πt）。特别是在t=t:XπlT=~X^πt+max{K-~X^πT，0}，因此它在较低的约束条件下产生最优的终值，因此它是一种最优策略。3.2 Kl策略分析为了理解终端财富较低约束对最优策略和财富绩效的影响，我们将首先研究^πl的形式结构。由此，我们可以推断，投资通常低于最优无约束策略所要求的投资，并且在接近终端时变为零。此外，它对Kle周围的影子财富价值最为敏感-r（T-t） 。然后，我们观察不同情景下的定性行为，我们可以观察到，Kl策略在股票价值持续下降方面比无约束策略更成功，但在股票价值增加方面表现不佳，在这种情况下，预期回报率放大了差异。3.2.1第一次观察开始时，考虑命题7给出的Kl策略公式。请注意，由于投资金额与初始财富无关（因此，用影子价值xx代替xb对策略没有影响），因此，第一个字母^πt^X^π与最佳无约束策略相同。因此，这一新策略与之前最优策略的差异由第二项p（t，~X^πt）~πp决定。因为p（t，~X^πt）是看跌期权的价格，所以它总是正的。那么，当且仅当f（d）：=Φ（d）d+φ（d）<0时，p（t，~X^πt）~πp>0为合适的d。

但f是一个严格的正函数，因此低约束条件下的最优策略所需的投资总是比最优无约束策略少。正如公式所示，参数时间确实对策略有影响，如图9所示。我们再次关注差异-~πpp（t，~X^π）。图8：差异^π-^π情人时间（投资额）我们越接近终点时间T（此处为20年），与最优策略的差异越大，因此最优约束策略^πl=^π越小- (-~πpp（t，~X^π））得到，因此投资于风险股票的金额越少。由于我们对最优策略的最大差异非常感兴趣，我们现在将t=19，并研究-~πpp（t，~X^π）关于影子财富。图9：当前影子财富（t=19时的投资金额）的差异π-πlin函数在这里可以看到，对于股票的良好表现（即导致影子财富>4000的股票），与看跌期权相关的策略部分非常接近于零。因此，约束策略和非约束策略实际上是相同的。然而，这些高财富价值可能很少实现，因为我们将以非常小或负的初始影子财富开始这一过程。另一方面，糟糕的表现意味着▄πpp（t，▄X^πt）的投资金额接近最优无约束策略所需的投资金额。总的来说，在这些情况下，对受限财富的投资降至接近于零的价值。请注意，在这两种情况下，该策略对影子财富的变化非常敏感，如图10中的陡坡所示。作为定向点，fixx^πt=Kle-r（T-t） 。