固定限额下的退休财富：最优策略

97%171%245%351%iπl，m74%158%227%336%Qp-24%-7%-7%-4%3\'275理论值91%183%275%408%nπl，m70%141%238%378%Qp-24%-23%-13%-7%（b）Kl=3\'000XDistr。Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）4\'912理论。82%144%205%293%l，m82%145%205%292%Qp-0%1%0%1%4\'094理论。73%132%206%312%l，m76%133%205%310%Qp4%1%0%-1%3\'275理论。92%95%187%320%πl，m91%183%185%309%Qp0%2%~1%~3%表10：经验的、投资受限的X^πT与理论分位数（变化的Kl）相比，正如预期的那样，投资约束对Kl有界策略^πl的影响较低，只是因为它通常需要较少的投资。特别是，Xis是初始投资^πX的百分比，通常大于^πl（0）X。另一个不同之处是观察到，投资约束对最优无约束策略^π有负面影响，而对^πl有正面影响。这是，因为^π所要求的较高股票投资首先具有更强的上涨潜力。限制这种投资（在表现不佳的情况下，更可能是低分位数）也会降低高回报的可能性，高回报表现为终端财富价值较低。最后，初始值X=3’275对Q0.25的影响特别有趣，因为92%是较低的约束Kl。因此，尽管这里的差异很小，但这表明，如果引入投资限制，终端财富可能会低于较低的限制，在其他情况下，影响可能会更大。4指数效用和上限约束的最优策略KuWe现在将通过为terminalwealth添加一个上界来扩展之前的问题。然后将对由此产生的战略进行定性分析。

为了理解最终的财富分配，我们将采用更具理论性的方法。4.1 Kl-Ku策略的推导在上限和下限约束下，终端财富的最优策略将首先推导出仅存在上限约束的孤立情况下的最优策略。我们会发现，这包括出售看涨期权，并利用额外收入来遵循最佳策略。再加上较低的限制条件，就需要使用一部分新的初始影子财富来购买看跌期权，这将降低其价值。同样，为了简单起见，我们有时会将这种策略称为Ku策略，而结合较低约束的策略称为Kl-Ku策略。4.1.1 Ku策略的推导我们现在来看一种终端财富面临上限Ku的情况∈R[XerT，∞)并使用与之前类似的参数来确定最佳策略。Webegin通过说明修改后的问题。问题3。寻找最优策略^πu∈ A使得e[U（X^πuT）]=supπ∈AE[U（XπT）]和X^πuT≤ 夸。s、 保持。（4.1）通过确定最优终端财富的结构并构建可复制的投资组合，以类似于下限约束的方式解决这一问题。然而，我们首先需要建立一个类似于[5]引理2的陈述。引理1。与问题3的解相对应的最优终端财富给定为：yx^πuT=min{Ku，I（yHT）}，（4.2）其中U是凹的，I是uan的逆，y是正数，使得预算约束E[HTX^πT]=Xholds。证据

该证明类似于[5]中的证明。因为U是凹的，所以我们有U（a）- U（b）≤ U（b）（a）- （b） a、 b类∈ R、 由此，特别是对于任何容许策略π，XπT≤ Ku:E[U（XπT）]- E[U（X^πuT）]≤ E[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）]=E[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）| X^πT≥ Ku]P[X^πuT≥ Ku]+E[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）| X^πuT<Ku]P[XπuT<Ku]。计算第二项：X^πuT<Ku==> X^πuT=I（yHT），由于U（I（yHT））=yHT，我们得到了[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）| X^πuT<Ku]=E[yHT（XπT- X^πuT）| X^πuT<Ku]评估第一项：从X^πuT=min{Ku，I（yHT）}≤ Ku公司==> X^πuT=Kufollows（XπT-X^πuT）=（XπT-Ku）≤ 此外，由于Ui减小，X^πuT≤ I（yHT）它跟随U（X^πuT）≥ U（I（yHT））=yHT。这将导致toE[U（X^πuT）（XπT- X^πuT）| X^πuT≥ Ku]=-E[U（X^πuT）（X^πuT- XπT）| X^πuT≥ Ku]≤ -E[yHT（X^πuT- XπT）| X^πuT≥ Ku]=E[yHT（XπT- X^πuT）| X^πuT≥ Ku]。总之，我们有[U（XπT）]- E[U（X^πuT）]≤ yE[HT（XπT-X^πuT）| X^πuT≥ Ku]P[X^πuT≥ Ku]+yE[HT（XπT-X^πuT）| X^πuT<Ku]P[X^πuT<Ku]=yE[HT（XπT- X^πuT）]=y（X- 十） =0，因为预算约束对两种策略都适用。所以，E[U（XπT）]≤ E[U（X^πuT）]对于所有可容许策略π，从其下面的语句（4.1）中，为了解决指数效用函数的问题3，我们陈述：命题8。效用函数下问题3的最优终端财富由X^πuT=~X^πT给出- 最大{X^πT- Ku，0}（4.3），其中▄Xπ是（2.15）中的最优无约束财富过程，影子值▄X^π=(-ln（yα）+rT-θT）αe-对于y>0，使得E[HTX^πT]=X.Proof。

利用引理1和命题4证明的符号和结果，我们得到指数函数：X^πuT=min{Ku，I（yHT）}=I（yHT）-最大{I（yHT）-Ku，0}，具有相同的阴影值公式。因此，在这种情况下，最优终端财富与最优策略产生的财富相同，且起始值xmin为行使价格为Ku的看涨期权的支付。这意味着，最优财富过程可以通过看涨期权的复制策略加上第一章中的最优策略来复制。同样，我们首先确定对应于调用函数max{X^πT的payoff的定价函数- Ku，0}：命题9。payoff max{X^πT的看涨期权对应的定价函数- Ku，0}由c（t，~X^πt）=Φ给出(-du）（~X^πt- Kue公司-r（T-t） ）+θ√T-tαe-r（T-t） φ（du）（4.4），其中Φ（x）为累积正态分布函数，φ（x）为其密度，du=du（t，~x^πt）=（Ku-X^πter（T-t） ）α√T-tθ。证据通过使用与命题5的证明相同的风险中性估值参数和符号，我们得到了t=0c（0，X^π）=e-rTE[（°X^πT- Ku）1{Z>d}]=▄X^πΦ(-d）- Kue公司-rTΦ(-d） +θ√Tαe-rT公司√2πR∞dZe公司-Z/2dZ=Φ(-d） [X^π- Kle公司-rT]+θ√Tαe-rT公司√2πe-d/2，使用该1- Φ（d）=Φ(-d） 。然后，对任何t展开后得出该语句∈ [0，T]。接下来，我们确定复制投资组合。我们陈述第10号提案。定价函数（4.4）的复制组合由策略▄πc（t，▄X^πt）=Φ给出(-du）σ√T-t（φ（du）- Φ(-du）du），（4.5）以及命题9中的duas。证据

首先取c（t，X^πt）的偏导数：ct=e-r（T-t）[-Φ(-du）rKu+θα√T-tφ（d）（r+2（t-t） ）]，cx=Φ(-du），cxx=φ(-du）α√T-tθer（t-t） 使用▄X^πt- Kue公司-r（T-t） =-由于-r（T-t）√T-tθα和取消。由于Xπ是一个Ito漂移扩散过程，我们可以应用Ito引理和getdc={ct+cx（r Xπt+θαe-r（T-t） ）+cxxθ2αe-2r（T-t） }dt+cxθαe-r（T-t） 载重吨。为了满足财富方程的动力学，dc=（rc+～πcθσ）dt+σ～πccdW（t），它需要保持cxθαe-r（T-t） =σИπcc，根据方程式（4.5）。同样，将（4.5）与最优策略相结合会得到想要的结果。提案11。问题3的最优策略由投资额t^πu（t，X^πt）=θασe给出-r（T-t）- c（t，~X^πt）Φ(-du）σ√T-t（φ（du）- Φ(-du）du）（4.6）对于命题9中的影子财富过程^X^πtand du=du（t，^X^πt）。证据定义^πu（t，X^πt）=^πtX^πt- ~πc（t，~X^πt）c（t，~X^πt）由此产生的财富过程是X^πut=~X^πt- c（t，~X^πt），X^πuT=~X^πt- 最大{X^πT- Ku，0}，so（4.3）成立。4.1.2 Kl-Ku策略如果我们结合终端财富的上限和下限约束，我们会得到一个直观的结果，该结果总结在以下命题中（使用前面的符号）。提案12。在t，πl，u（t，X，πt）=πtX，πt+πp（t，X，πt）p（t，X，πt）的股票绝对投资所决定的策略- ~πc（t，~X^πt）c（t，~X^πt），（4.7），前提是X=E【HTX^πl，uT】是一个解toE【U（X^πl，uT）】=supπ∈AE【U（XπT）】和Kl≤ X^πuT≤ 夸。s、 对于Kl<Ku。（4.8）证明。

通过定义^π、^π和^πc，该策略（4.7）导致终端财富^X^πT+max{Kl-~X^πT，0}-最大{X^πT-Ku，0}，这两个参数都满足（3.2）和（4.2）（注意Ku>Kl），从而解决了问题2和问题3。这意味着，如果我们将上限约束添加到终端财富的（先前存在的）下限约束，则影子初始财富X将增加，因为出售看涨期权会带来额外的“资金”。增加的影响将取决于看涨期权的价格，而看涨期权的价格又由履约价格Ku决定。在我们更仔细地研究这一影响之前，我们分别分析了Ku策略的行为，即只面临上限约束的最优策略。4.2 Kl-Ku策略分析与较低约束的情况相反，现在最优策略中包含了看涨期权，其价值随着财富的增加而增加。同时，它也变得非常敏感，因此这将需要在非常短的时间内卖空大量股票。好消息是，随着Kland Kuan的增加，几乎可以肯定会收敛到^πlca，因为这些极端的频率会减少。我们还将在Kuand Kl之间找到一个平衡点。4.2.1 Kl策略分析由于看跌期权和看涨期权的支付是对立的，因此与之相关的策略行为也是对立的。这意味着，例如，如果影子财富的价值上升，则Put期权失去价值，复制策略将增加投资，相当于看涨期权将获得价值，因此其复制策略将减少投资。

因此，不奇怪的是，由于上限约束导致的与最优策略的差异与由于下限约束导致的与最优策略的“反向”差异类似（下面是Ku=2\'000和u=0.03、r=0.01、σ=0.1和T=20的示例）。图15：当前影子财富（在t=19时投资的金额）的差异π-πuin函数这也可以在公式中看到，例如，它认为：-~πc（d）=-Φ(-d） σ√T-t（φ（d）- Φ(-d） d）=-Φ(-d） σ√T-t（φ(-d） +(-d） Φ（d）=-~πp(-d） d∈ R、 有关这些过程的更详细说明和比较，请参见附录。在此，我们将简要概述这一战略对财富过程的影响。可以观察到，随着时间的推移，两种约束策略的行为相似，并且在t的高值上显示出峰值（在附录中，t=17，在前一章中，t=19）。将其与图16中所示的高X^πtas值策略的增加相结合，这些影响加起来就形成了高X^π耐受t。这导致了^πl值非常小（即负），因为最优策略的正投资无法补偿这一极端影响。在下面的例子中，可以看到时间和影子财富如何影响战略和由此产生的财富。图16：^πubecomes负值表示财富增加和接近到期（Ku=1\'250）。在首次从t=0到t=10左右的时间序列中，股票价格、影子财富和相关看涨期权都在适度增长。然而，影子财富的价值从1000年左右增加到5000年左右，这对战略产生了过多的影响，如图16所示。这就是为什么影子财富的适度波动导致战略的变动越来越突出。

这就增加了时间的影响，这一点可以在后面看到。尽管影子财富的变动并不越来越极端，但该策略变得越来越敏感（即使在约为t=17的Xπtat的低值附近）。尽管如此，这一策略似乎运作良好，当股票略微下跌时，对到期股票的强烈负投资就会产生效果。事实上，由于目标是达到一个目标财富库以下，它可能表现得太好了。这可能就是为什么投资在到期前的最后一段时间内大幅降至零的原因。在实践中，强劲的负投资可以解释为卖空和借贷，并可能导致一些问题。首先，交易成本可能成为一个值得考虑的因素，因为该策略要求在短时间内出售和购买大量股票。然后，再平衡将在离散时间内发生，与理论假设相反（在模拟中，步长为h=1/10）。由于该策略非常敏感，因此输出可能与理论结果相差较大（对于较短的h，可能相差较小），在实践中实施该策略之前，对h的影响进行进一步调查将非常有用。最后，在股票表现不佳和价值损失的情况下，terminalwealth本身将为负值。如果没有较低的约束，这似乎不仅会导致债务概率增加，尤其是非常高债务的概率增加。然而，通过为terminalwealth设置较低的约束条件，可以轻松避免此问题。从上限约束的影响来看，通过设置更高的Ku，可以减少^πl，uca的看涨期权相关部分的影响。然而，很难解释选择一个非常高的约束条件，因为遗漏的可能性可能很小。

下一节还将讨论约束的合理选择。对于第一个断言，我们在下一个场景中将Ku设置为3000。图17：股票表现不佳导致投资增加（Ku=3000）。在这里，我们之前看到的影响也在发挥作用，但总体而言，其影响有所减弱。在投资期结束时，我们甚至观察到最优Ku约束策略收敛到最优无约束策略。这是因为两个原因。首先，Ku值越高，影子财富落入其之下的概率越高，这将导致看涨期权的收益为零。其次，在这种情况下，该股票的表现相当糟糕，影子财富的表现也是如此。因此，期权的价格接近于零，尤其是对于接近到期的时间。这再次表明了影子财富价值对战略的重要性：回顾图16，图16展示了一个类似的案例，我们看到，对于0左右的影子财富，投资与最佳无约束战略的差异比5000左右的财富的差异小10倍。同样，“糟糕”的股票表现会导致投资增加^πu，这是有道理的，因为在这种情况下，目标财富不太可能被超过。进一步研究^πu的行为将是有趣的。

但由于投资受限的Ku策略，以及与较低约束的KlKu策略的结合，可能会降低其敏感性，并且由于最终这些策略对我们来说更为实际，我们宁愿仔细研究这两种策略。4.2.2 Kl-Ku战略分析我们现在将终端财富的上限和下限结合起来，并衡量这些限制因素对战略的影响。首先，请注意，Kland Ku确定了总体最优策略^πl，u上的▄πcc（▄X^πt，t）和▄πpp（▄X^πt，t）的权重。此外，它们对▄X的计算至关重要。因此，我们首先测试了一个方向点，以比较Kland Ku。提案13。对于Ku的上界和Kl的下界，对于终端财富，初始财富X以及命题12X中最优约束策略的影子财富解决方案，它认为：Ku+Kl=2XerT==>X=X.（4.9）。证据首先注意Ku=2XerT-kl表示du=Ku-XerT=-（Kl-XerT）=-dl。将其插入认购期权价格的公式中，给出c（0，X）=Φ(-du）（X- KuerT）+θα√T e公司-rTφ（du）=Φ（dl）（X- （2XerT- Kl）erT）+θα√T e公司-rTφ(-dl）=Φ（dl）（Kle-rT公司- 十） +θα√T e公司-rTφ（dl）=p（0，X），因此，t=0时的期权价格是相同的，因此它们相互设置，并保持：X+p（0，X）-c（0，X）=X，因此Xis是影子财富的解决方案。我们稍后将看到，如果所描述的Kuand-Kl之间的关系成立，那么[Kl，Ku]上的终端财富分布将与最优无约束终端财富的分布相同。此外，可以很容易地看出，以相同的金额减少克朗，同时增加克朗，不会对分布产生影响（定义区域的限制除外）。然而，如果Kl+Ku>2XerT，那么X<X，在另一个意义上，这同样适用于不等式。