固定限额下的退休财富：最优策略

通过该策略的公式，可以很容易地检查这是否意味着DL=0，因此^πl=^π，从而达到两种场景之间的中点。这就是为什么当影子财富接近Kle时，我们通常会期望受约束的战略能够快速适应变化并发生变化-r（T-t） 。还要注意，p（t，X^πt）~πpis与股票的方差成反比。相应地，对于较高σ，得出了最优约束策略和最优无约束策略之间的差异。为了了解战略在实践中的表现以及它对（终端）财富的影响，我们研究了三种不同的情况。3.2.2不同的场景场景1:X^πT>Kl，XπlT=Kl图10：影子财富越高，^πl的敏感性越高。在这种情况下，我们可以看到股票价值从T=15开始增加，峰值约为T=18。这种增加导致影子财富的增加，这意味着相关看跌期权的价格下降。按照最优Kl约束策略，投资增加。由于影子财富的价值处于敏感区（从t=15开始约为0，见图11），因此该策略显示出明显的峰值，且非常不稳定。然而，无论是与最优策略相比，还是与总体财富成比例，投资金额都处于相当低的水平。此外，投资的“跳跃”反映了股票过去的走势。由于这些大的变动之后往往是较小的股票变动（例如，在t=18.6时，我们的股票价值增加了+30，而在下一个时间段，我们的股票价值减少了-10），因此对最优低约束财富的影响是有限的。这两种影响可能是股票波动性几乎不影响约束最优财富过程的原因。

请注意，我们设定KL=X=1000，这相当高，因此新策略的上行和下行潜力有限，大部分财富都投资于无风险债券。场景2。XπT<Kl，XπlT=Kl图11：对于股票价值的下降，Xπlgoes为零。在第二种情况下，可以看到受约束的策略优于无约束的策略。这里，我们将Kl设置为200，以便更好地观察新策略的行为。由于最优无约束策略包括独立于财富（或股票）的实际价值进行确定性投资，因此在股票价值下降的情况下，它会失败。这就是受限策略的优势所在：它通过减少投资额来减少财富。如果股票的下跌趋势持续下去，那么这种策略就会更加成功。情景3：XπlT>kl图12：如果股票表现良好，第一年对于受限策略^πl错过的上升潜力更为关键。最后一个情景显示了当我们有持续上升趋势时会发生什么。随着影子财富的增加，战略趋同，投资过程几乎相同，因此财富的表现是平行的。因此，由此产生的终端财富之间的差距，即错过的上行潜力的实现，以较低的影子财富价值所发生的情况为特征。由于财富的变化取决于投资金额乘以股票价值的变化，因此应考虑策略和股票增长之间的初始差异。两者都高度依赖于预期速率u，而其他参数可以忽略。

例如，在上述情况下，投资之间的初始差值为2\'692，当Kl>200时，该差值增大（当Kl=1000时，该差值为3\'668），当α>0.0001、r>0.01、σ>0.2的其他合理值时，该差值减小，但当u=0.06时，该差值为8\'486。预计这种投资差异将被同样的高u所放大，从而导致更大的财富差异。这一影响也可以在图13中观察到，在图13中，即使投资的差异在减小，相应财富之间的差距仍在增长，直到t=10左右。请注意，只有在股票持续向好的趋势下（正如我们在上一个场景中所看到的），最优约束策略才会导致最终财富大于Kl。对于更频繁的情况，终端财富正是Kl。因此，我们预计Klin的最终财富分布将出现一个概率质量点。3.3投资限制下Kl策略的简要分析与无下限最优策略类似，我们将投资限制为实际财富的100%最大值。修改2。将修改后的策略^πl，mbe定义为（t，X^πl，mt）∈ [0，T]×R乘以πl，m（T，Xπl，mt）=^πl（t，X^πl，mt）如果X^πl，mt≥ ^πl（t，X^πl，mt）X^πl，mt1如果X^πl，mt<πl（t，X^πl，mt）X^πl，mt和^πl（t，Xt）是命题7中的最优Kl约束策略。由于Kl限制性策略所需的风险股票投资总是比无限制策略所需的风险股票投资小，因此投资限制的绝对影响通常较低。但由于新策略适应了影子财富的功能，而影子财富又取决于股票表现，因此我们可以观察到，财富价值越低，投资金额越低。

因此，就投资金额而言，这种投资受限Kl策略与非受限Kl策略之间的差异将更少地取决于股票的走势。然而，正如前面所看到的，一旦投资被限制在财富的100%，它就会低于最佳值，因此财富增长可能会减少，因为这一过程无法充分利用上升潜力。这会导致更高的机会保持在所需的最佳投资金额之下，因此财富过程更有可能被“困”在较低的价值上。这一过程发生得越早，影响就越大，因此我们将更仔细地观察起始条件。毫不奇怪，我们将看到最终财富与财富初始设定和最优投资之间的联系。可以确定对策略和限制性能影响最大的两个参数：方差σ和下限Kl。一般来说，标准情况是，t=0时所需的投资已经超过了初始财富X。这不容易看出，并且与Kl约束策略的结构有关，因为Xis是计算影子价值X的基础，而影子价值X又决定了初始投资。在图14的图表中，我们将初始投资视为X的函数，并将这两个参数的不同组合的比较线y=X（设定r=0.01，u=0.03，T=20）。

还显示了固定X=1000对应的财富过程（对于30个样本）。Kl=100，σ=0.1Kl=1000，σ=0.1Kl=500，σ=0.3图13：初始投资作为X的函数，固定XOne的财富过程可以观察到，对于小Kl，这些线之间的差异相当大（除了小值X，因为我们设置了X>Kle，大部分可以排除小值X-rT公司≈ 80%Kl），因此对于有投资约束的策略，实际投资将小得多。这将减少财富的流动，因此终端财富将更加集中。对于股票的下跌趋势，投资将接近0，这将是一个优势，因为受投资约束的策略将使最终财富集中在高于Kl的价值上（在这些情况下，没有投资约束的策略的财富将最终达到）。还要注意的是，即使财富过程在一段时间内是相同的，对于投资受限的策略，股票价值的下降将更快地减少投资金额，因此可能的损失被最小化。当然，与此同时，对于股票的上涨趋势，不受投资限制的策略会从更高的投资中获益，从而获得更高的回报。修改策略的另一个相关参数似乎是市场波动率σ。例如，使用σ=0.3而不是σ=0.1，通常会导致初始投资低于初始财富，因此投资受限和非受限策略之间的差异较小。3.4终端财富分布的比较在定性观察之后，我们现在将量化最终财富分布。

我们对无约束最优终端财富分配的差异以及投资约束的影响特别感兴趣。让我们首先看看低约束条件下最优终端财富的理论分布，然后将其与实证结果进行比较。3.4.1理论与经验分布我们首先推导投资者的最终财富理论分布，该分布遵循上一章的最优无约束策略。从命题3，我们得到了p[X^πT≤ x] =P[x^πerT+Tσα+θαWT≤ x] =P【重量】≤ （十）- 施乐- Tθα）αθ]=Φ（dT），其中dT：=（x- 施乐- Tθα）αθ√T、 现在考虑最优策略，即终端财富受到较低的约束。P[X^πlT≤ x] =P【~x^πT+最大值{Kl-~X^πT，0}≤ x] 根据命题4，=P[Kl≤ x | x^πT<Kl]P[| x^πT<Kl]+P[x^πlT≤ x |x^πT≥ Kl]P[XπT≥ Kl]=P【Kl】≤ x] P【~x^πT<Kl】+P【~Kl】≤ X^πT≤ x]=如果X≥ 如果x<Kl，则为Kl0。因此，在Kl约束策略下，最优终端财富的累积分布在Kland有一个概率质量点，它遵循无约束最优策略的终端财富分布，初始财富的影子值为x>Kl。这表示为在Klin CDF处从零跳到正值，下面显示了标准示例的asit（X=1\'000，Kl=800，α=0.0001，r=0.01，u=0.03，σ=0.1和T=20，样本大小1\'000）。图14：^πlIn终端财富的经验分布本例中，最佳终端财富恰好落在较低约束上的概率约为60%，kl越高，该概率增加得越多。因此，作为Kl→ - ∞, 跳跃向左移动，分布收敛于正态分布的影子终端财富分布。

同时，影子值xconverge为X，因此影子财富过程收敛到最优无约束过程。这也可以在下面的理论分位数中定量观察到，其中突出显示了无约束策略作为参考。KlXQ0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）-∞ - 3\'188.6 9\'221.4 15\'254.2 23\'933.41\'000-10\'701.41\'000 1\'000 1\'000 9\'641.3-1\'000-3\'377.14-1\'000 3\'875.2 9\'908.0 18\'587.2-30\'000 999.5621 3\'188.0 9\'220.9 15\'253.7 23\'932.9表6：不同Kl的X^πLF理论分位数在我们研究投资约束对终端Kl边界的影响之前财富分配，我们希望了解理论分布和经验分布之间的误差（即我们从代码中实现的模拟中获得的误差）。这里，误差主要有两个来源：一个是样本量，它只允许分位数的近似，另一个是步长h，它描述了重新平衡投资组合的频率。后者也在现实生活中发挥作用，因为由于技术、时间和成本的限制，期望持续交易（如理论策略推导中所假设的）是不现实的。为了了解误差的尺寸，我们考虑了一个标准情况（X=1\'000，Kl=100，T=20，α=0.0001，u=0.03，r=0.01，σ=0.1），固定h=0.1，不同的样本大小。

作为参考，X^πlts的理论分位数也以总收益的形式列出。样本s Q0.25（X^πlT）Q0.50（X^πlT）Q0.75（X^πlT）Q0.95（X^πlT）理论回报10%116%719%1\'587%s=1000 0%17%0%-1%s=3000 0%5%-2%1%s=5000 0%12%-1%0%表7：X^πlT（不同样本）的经验量与理论量的偏差lT）由[Qemp，sp（X^πlT）给出- Qtheorp（X^πlT）]/Qtheorp（X^πlT），其中qemp，sp（X^πlT）是从样本量s获得的经验分布中得到的p-分位数。现在我们确定s=3000，并查看不同的步长h。对于读者的方向，h的具体解释是：h=1/10表示“每月一次”，h=1/49表示“每周一次”，h=1/100表示“每周两次”。同样，偏差为[Qemp，hp（X^πlT）-Qtheorp（X^πlT）]/Qtheorp（X^πlT），其中Qemp，hp（X^πlT）是从台阶宽度h获得的经验分布的p分位数。台阶宽度h Q0.25（X^πlT）Q0.50（X^πlT）Q0.75（X^πlT）Q0.95（X^πlT）h=1/10 0%12%~5%~2%h=1/49 0%~4%0%h=1/100 0%~6%~1%1%表8：X^πlT（不同步长）的经验分位数与理论分位数的偏差第一注，理论正态分布的标准偏差非常高（770%），因此样本平均值的标准偏差也是：770%/√000≈ 14%.因此，Q0.50处的偏差值较高，但在合理范围内。在本论文中，计算和时间资源是有限的，但有兴趣进一步研究通过使用更大的样本量减少错误与所需的额外计算资源之间的权衡。

与样本量相比，步长的大小似乎对误差的影响较小，这表明，如果希望获得更多的可信度，重点应该放在样本量上。Q0.25处0%的误差也可以解释，因为该分位数低于下限约束Kl=100，这相当于总回报率为10%。此外，对于较低的Kl，这些结果没有显著变化。例如，如果Kl=-30000，误差范围相似。这尤其意味着，这些观察结果也适用于最优无约束策略的实施。还需要补充的是，代码中阴影值的计算会产生轻微的错误，但因为它通常小于10-我们认为这可以忽略不计。此外，在R中实现的正态随机生成器可能会产生尾部正态分布的不精确性。然而，我们在分位数中看不到这一点。3.4.2投资限制的影响为了评估投资限制至100%所产生的理论分布的差异，我们查看了第3.3节中的三种情况（fixedh=1/49，s=3000）。此处，分位数表示初始财富的总回报，以及Qp：=[Qempp（X^πl，mT）-Qtheorp（X^πlT）]/Qtheorp（X^πlT）（对于qemppt，经验p分位数和Qtheorp理论p分位数）测量偏差。场景分布Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）Kl=100，理论。10%116%719%1\'587%σ=0.1^πl，m110%162%225%343%Qp1004%40%~69%~78%Kl=1000，理论值。100%100%100%964%σ=0.1^πl，m106%128%194%340%Qp6%28%94%~65%Kl=500，理论值。50%50%231%520%σ=0.3^πl，m51%69%223%519%Qp2%39%-3%0%表9：经验、投资受限与。

X^πT的理论分位数（不同情景）这些结果反映了我们在定性分析中看到的行为：对于低Kl，投资约束的影响通常更强。此外，可以清楚地看到下分位数的正效应，这与大于Kl的值周围的浓度有关。对于Kl=1\'000，小分位数的提升不是很强，投资约束的影响可以在中间的值附近检测到，这也与图14一致。请注意，在这两种情况下，提升较低分位数的“价格”是Q0.95的大幅降低。如果我们考虑的是效用的相对损失而不是财富的相对损失，那么这个结果会更糟，这可能是一种更一致的评估回报的方法。例如，在第一种情况下，Q0.5of-0.89的理论效用增加了6%，而Q0.95的理论效用从-0.2下降了255%。然而，在波动性更大的市场条件下，如果对股票投资进行限制，最优Kl约束策略的变化会小得多。为了了解下限终端财富分布是否比最优无界终端财富分布更受100%投资约束的影响，我们查看第2.3节中的情况进行比较。在这里，初始财富设定为股票初始投资最佳策略所需金额的120%、100%和80%。由于策略的收敛性，对于Kl=-30\'000，从^πl，mare得到的结果与从最优（无界）策略^πm.（a）Kl=-30\'000XDistr得到的结果相同。Q0.25（X）Q0.50（X）Q0.75（X）Q0.95（X）4\'912理论。101%163%224%313%πl，m80%160%215%302%Qp-21%-2%-4%-3%4\'094理论。