固定限额下的退休财富：最优策略

要了解不同（Kl，Ku）组合的交换方式，请参阅下面的净度，其中X=1\'000（在r=0.01，u=0.03，σ=0.2的设置中）。图18:Kland-Ku函数中的阴影初始财富（X=1000）如果KlandKuvary特别有兴趣降低^πl、Autowards^πt的敏感性，我们现在将更仔细地研究对策略的定性影响。下面的场景是针对20条路径和t=20、r=0.01、σ=0.2和u=0.03的样本进行模拟的。Klis固定为0，为了更好地进行比较，图表中的尺度不适用。（a） Ku=4\'000（b）Ku=2\'443（c）Ku=1\'500图19：随时间和财富过程的投资额，对于^πl，u（不同的Ku）可以观察到，与上限约束相关的策略部分，即^πuc（0，~X^πt）的影响仍然很强，其极低的投资主导了总体策略和财富过程。然而，不同的上限约束之间可能存在差异。在第一种情况下，Ku=4\'000相当大（但在下限Kl=0的情况下，它位于最优策略的50%到75%分位数之间，因此它仍然代表着上行潜力的大幅减少），因此策略的上限部分的权重较小。这一点可以看出，因为很少有战略路径遵循极低的投资，而且集中在向最优战略收敛的一条上线上，这似乎是投资的一个上限。此外，查看终端财富，可以发现两个集中点：Kland-Ku，这表明终端财富分布现在有两个概率质量点。中间的场景代表命题13的设置，其中X=~X。从某种意义上说，这是上下约束的平衡组合，因此投资的负超额更为明显。

从最优财富过程的路径可以推测，股票表现比第一种情况下差得多。由于已知^πUI对Xt的高值特别敏感，因此对于其他模拟，该场景的投资预计会更小。在第三种情况下，上限约束非常低，正如预期的那样，这会导致^πcc（0，^X^πt）对^πl，u产生更大的影响。在这里，从t=0开始，大多数投资都是负面的。不同Kl的情况类似：对于较低的Kl，Ui更接近于^πUa，对于较高的Kl，Ui更接近于^πu。附录中可以找到这方面的说明。如果我们将这两个结果结合起来，设置一个较高的下限约束和一个较高的上限约束，那么总体策略看起来确实更容易接受。

例如，在下面的案例中，我们将Kl=800，KU=5000，初始投资为1000。图20：终端财富分布随时间和财富过程的投资金额（high-Kland Ku）4.3在本节中，我们将看到，为终端财富分布的最优策略添加下限和上限的效果可以描述为初始财富和初始影子财富差异的未来值的分位数的移动。让我们首先计算终端财富的理论分布，遵循受下限约束Kland和上限约束Ku约束的最优策略。P[X^πl，uT≤ x] =P【】x^πT- 最大{X^πT- Ku，0}+最大值{Kl-~X^πT，0}≤ x] 通过命题（12）=P[{x^πT{x^πT}≥ Ku}∩ {X^πT | Ku≤ x} ]+P[{xπT | Kl≤~X^πT<Ku}∩ {X^πT{X^πT}≤ x} ]+P[{x^πT{x^πT<Kl}∩ {X^πT | Kl≤ x} ]，因为Kl<Kuand{x^πT{124; x^πT≥ Ku}∪ {X^πT | Kl≤~X^πT<Ku}∪ {X^πT{X^πT<Kl}是不交集的并，概率为1。对于Kl≤ x<Kuwe然后得到：P[x^πl，uT≤ x] =P[{x^πT | Kl≤X^πT≤ x} ]+P[{x^πT{x^πT<Kl}]=P[~x^πT≤ x} ]- P[~X^πT<Kl]+P[~X^πT<Kl]=P[~X^πT≤ x] 很容易看出，P[x^πl，uT≤ x] =1表示x≥ 宽P[X^πl，uT≤ x] =0表示x<Ku。总之，这导致：P[X^πl，uT≤ x]=P【~X^πT≤ x] 如果Kl≤ x<Ku1如果x≥ Ku0如果x<KlSo，我们将再次在Kland KU边界处找到概率质量点，并且达到这些限值以外的值的概率为零。在这两者之间，终端财富分布遵循影子终端财富的累积分布，即正态分布，即e[~X^πT]=~X^πerT+Tθα，Var（~X^πT）=θαT。由此得出：命题14。

通过引入终端财富的上限和下限，终端财富的分位数的偏移由以下公式得出：▄Qp=Qp+（▄X- 十） erT，（4.10），其中qp是X^πT的分布的p-分位数，~qp是X^πl的分布的p-分位数，uT，Xis是初始财富，~X来自命题12的初始影子财富。证据要查看该声明，首先回顾一下原始的无约束终端财富分布具有正态分布。为了更好的可读性，我们引入了符号E：=E[X^πt]=XerT+TTθα和V：=θα√T然后我们通过分位数的定义得到：Qp=inf{z | P[X^πT≤ z]≥ p} =inf{z | p[X^πT- 电动汽车≤z- 电动汽车]≥ p} =inf{z | p[ZT≤z- 电动汽车]≥ p} ZT：=X^πT- 电动汽车~ N（0,1）=inf{z |Φ（z- 电动汽车）≥ p} 和soΦ（Qp- EV）=p，因为Φ（右）连续。然后我们得到Qp=Φ-1（p）V+E，其中Φ-1（p）是正态分布的p-分位数。对X^πl，uT应用相同的程序~ N（▄E，▄V），其中▄E=▄XerT+Tθα，▄V=V导线至：▄Qp=Φ-1（p）~V+~E=Φ-1（p）V+~XerT+Tθα=Φ-1（p）V+~XerT+XerT+Tθα- XerT=Qp+（￠X- 十） erT。这个结果有一个直观的解释。例如，如果我们只考虑终端财富的上限约束，那么▄X=X+c（0，▄X），因此分位数被t=0时看涨期权价格的未来值精确移动。换句话说：这种策略的结果相当于出售看涨期权（在最优影子过程中）并将收到的钱存入银行账户。对于较低的约束条件，影响是巨大的。从这个意义上讲，constained策略有些微不足道。将此结果与图19相结合，图19说明了上下约束对影子财富的影响，我们可以评估其对最终财富分布的影响。特别是，通过降低Ku来放弃显著的上行潜力，将导致分位数的巨大正移。

表13也反映了这一点，其中显示了固定下限约束Kl=0、σ=0.2、r=0.01、u=0.03和变化上限约束（样本量400）下的经验分位数。例如，将KUA设置为1\'500会导致影子财富几乎是原始初始财富的4倍。因此，分位数显著提高了（3901- 1000）e0.01·20=3543。然而，由于上限约束很低，这只能在Q0.10（XT）中看到。请注意，Ku=2’443是约束相互作用的情况，即边界之间的最终财富分布与无约束财富分布相同（此处，这可参见Q0.25（XT））。KuXQ0.10（XT）Q0.25（XT）Q0.50（XT）Q0.75（XT）Q0.95（XT）无约束1\'000-2\'444 164 3\'067 6\'158 10\'649∞ -1\'038.1 0 0 578 3\'669 8\'1604\'000-288.7 0 1\'493 4\'000 4\'0002\'443 999.7 0 164 2\'443 2\'443 2\'4431500 3\'901.0 1\'100 1\'500 1\'500 1\'500 1\'500表11：Xπl的分位数，uT（不同Ku）5结论使用指数效用实施最优策略时，应特别注意风险规避。首先，在实践中，假设持续的风险厌恶似乎是有问题的。其次，该策略对风险规避参数非常敏感，因此应仔细确定风险规避参数。这种最优无约束策略的一个特征似乎是投资于股票的确定金额。因此，它对初始财富较低的小投资者（约4000人）具有特别的吸引力，但对较高的财富（约10000人）没有明显的影响。

此外，终端财富是正态分布的，这可能是一个优势，因为这是一个众所周知的概念，但它也会导致负退休财富。对退休财富施加限制可能是控制下行风险和提高限额之间回报的有效工具，但其影响取决于其价值的选择。高-低约束将使投资减少到接近于零，而小-低约束可能没有什么意义。除此之外，低约束优化策略似乎适合实施。关于上限约束，可能更容易设置（单个）值，因为较大的值也会显示相应的分位数增量。然而，这种策略涉及大量股票的卖空，至少在实践中，似乎非常敏感。通过设置较低的约束可以减少这种影响，这也是为什么最好在组合中使用约束的原因之一。另一个可能是通过下限约束为上限融资的可能性，在边界之间产生与最优无约束策略相同的分布。将投资限制在财富的100%以内确实避免了负的终端财富，但将其分布改为对数正态分布，即较低的分位数减少。此外，退休财富可以超越上限和下限限制。这种限制的影响程度取决于许多因素，即使在现实情况下，也可能在无影响和完全影响之间变化。由于这是在约束条件下实现最优策略的第一种方法，因此该模型被选择为相当简单。一方面，模拟具有恒定波动性和预期回报且只有一种风险资产的市场可能无法准确反映真实市场的复杂性。

另一方面，投资过程没有考虑投资者的其他要求，如储蓄过程、通货膨胀造成的价值损失或交易成本。尤其是后者可能会产生相当大的影响，因此应予以考虑。6展望未来研究的基础可能是考虑其他更现实的效用函数，并比较结果。由于本论文可以量化限制因素对最终财富分配的影响，并且电力公司也得到了相同的结果，因此可以开始对这些策略进行直接比较。此外，对于投资者来说，估计他们未来的退休需求可能是一项艰巨的任务，并在（相当长的）投资期开始时确定一个约束条件。由于开发的策略涉及期权交易，因此可能会在投资期内的某个时间点提供足够的灵活性来修改约束，进一步研究这种可能性可能会很有趣。为了进一步发展指数效用的最优约束策略，似乎还需要考虑投资者的储蓄过程、交易成本和通货膨胀的影响。附录A6.1 HJBT的推导思路是通过不仅考虑（2.3）中定义的从t=0开始的财富过程，而且考虑任何固定时间t∈ [0，T]。然后，最优策略依赖于时间t和时间t的财富，并通过最优值函数v:[0，t]×R得出终端财富的预期效用+→ R+，（t，y）7-→ V（t，y）：=supπ∈A{E[U（XπT）| XπT=y]}。

（6.1）为了简单起见，我们写E[U（XπT）| XπT=y]=：Et，y[U（XπT）]。设^π和^π为定义在[t，t]×R[y]上的两种策略（称为控制律），∞), 对于执行起点（t，y）∈ [0，T]×R+，使得^π是最优控制律，^π是在短时间h后切换到最优控制律的控制器：^π（s，y）=^π（s）如果t∈ [t+h，t]π（s）如果s∈ [t，t+h）对于固定的任意控制律π∈ A和h>0，使得t+h<t。值函数定义如下：J：[0，t]×R+×A→ R+，（t，y，π）7-→ J（t，y，π）=Et，y[U（Xπt）]（6.2）当然，对于最优策略，值函数与最优值函数相同。比较这两种策略，很明显，最优策略的价值函数在定义上应大于或等于任何其他策略的价值函数，尤其是V（t，y）≥ J（t，y，|π） （t，y）∈ [0，T]×R+。如果∧π取Xπtat time t到Xπt+hat time t+h，则终端时间的预期效用isE[U（X^πt）| X^πt+h=Xπt+h]=V（t+h，Xπt+h）。由于Xπt+his随机性和Xπt=y是固定的，因此它遵循J（t，y，~π）=E[V（t+h，Xπt+h）| Xπt=y]=Et，y[V（t+h，Xπt+h）]。根据该结果，他们的质量V（t，y）≥ Et，y[V（t+h，Xπt+h]（6.3）利用伊藤公式，V（t+h，Xπt+h）可以展开：E[V（t+h，Xπt+h）]=V（t，y）+Et，y[Rt+ht{五、t（s，Xπs）+[（rXπs+πs（u-r） Xπs]五、x（s，xπs）+（σπsXπs）五、x} ds]+Et，y[σπsXπsdW（s）]。如果我们假设有足够的可积性，随机部分就会消失。

方程式（2.7）如下0≥ E[Zt+ht{五、t（s，Xπs）+[（rXπs+πs（u- r） Xπs]五、x（s，xπs）| xπt=y]（6.4）将两侧除以h，得出h的极限↓ 0，设置x=y，然后给出Hamilton-Jacobi-Bellmann方程（HJB），如第1.6.2章求解线性方程。设置边界条件x（0）=x后，我们要求解微分方程dx^πt=[rX^πt+θαe-r（T-t） ]dt+θαe-r（T-t） dWtVia代换dZt：=rdt，dHt：=θαe-r（T-t） dt+θαe-r（T-t） dwt此转换为dx^πt=X^πtdZt+dHtand X（0）=X，可写入X^πt=RtXsdZs+Ht。根据【17】第5章中的定理52，它有一个（唯一）解H（Z）t=（Z） t{H+Rt（Z）-1sd（Hs- [H，Z]s）}，（？）其中，[H，Z]是第2章第6节中定义的二次协变量。首先，注意rztzdz（t）=Rtrdt，henceZt=Z+rt.（6.5），然后根据[17]第2章中的定理37，（Z） 这是表格（Z） t=eZt-[Z，Z]t/2由于[Z，Z]t=0，这就得到了（6.5）（Z） t=eZ+rt（6.6）进一步，从第二次替换中，我们得到：Ht=H+Ztθαe-r（T-s） ds+Ztθαe-r（T-s） dWs。（6.7）将（6.6）、（6.5）、（6.4）插入（？）d[H，Z]t=0给出了一个解x^πt=eZ+rtH+Rte-Z-rs（θαe-r（T-s） ds+θαe-r（T-s） dWs）.在t=0时，我们有X=eZ（H+0），所以我们可以设置Z=0和H=X，并得到X^πt=ertX+erte-rT公司Rte公司-rs（θαersds+θαersdWs）= ertX+et-TRt（θαds+θαdWs）= ertX+et-T（θαT+θαWt），这是命题3中的最优财富过程。注意，为了完成证明，还需要检查Htis是半鞅和Zta连续半鞅。6.3预期效用理论：从彩票到效用函数，效用理论是一种描述人们在结果不确定的情况下的决策的方法，广泛应用于金融经济学。由于这也是本文所用结果的基础，因此本节将简要概述其主要思想。

然而，它们不能反映在所有的完整性和严密性上。除示例外，本总结基于【13】、【10】、【12】和【8】。图21：彩票的例子【9】面临不确定性的情况的基本结构被称为彩票：它有两种可能的结果，每个结果都有一个概率，概率加起来就是一个。为了更接近本文的模型，这可能是一只股票的价值以概率p向su移动，以概率1-p向下移动到sd。当然，决策者不需要参与抽奖，所以问题出现了，他什么时候愿意这样做。这里的一个关键观察是，结果的简单预期值不是描述大多数人决策的合适标准。事实上，在某种程度上，他们更喜欢确定性的结果，而不是不确定的结果，即使彩票的预期价值高于确定性的选择。这种观察通常被称为风险厌恶。为了更详细地评估决策者的风险厌恶，可以比较不同的因素。例如，决策者可能处于这样一种情况：他可以投资两种不同的股票，具有不同的上行和下行可能性以及不同的结果值。然后，他会倾向于一种选择，而不是另一种选择，或者是与众不同。这些偏好由偏好关系描述 假设和具有一些确保一致性的性质（完备性、传递性、单调性、连续性）。此外，假设它们满足所谓的独立公理，即如果一个人更喜欢彩票a而不是彩票B，那么他也更喜欢另一个彩票，这会导致a具有一定的概率p（概率1-p而不是另一个彩票C），而不是导致彩票B具有p（概率1-p而不是另一个彩票C）。