投资组合的动态优化

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英文标题：
《Dynamic optimization of a portfolio》
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作者：
Oleg Malafeyev, Achal Awasthi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we consider the problem of optimization of a portfolio consisting of securities. An investor with an initial capital, is interested in constructing a portfolio of securities. If the prices of securities change, the investor shall decide on reallocation of the portfolio. At each moment of time, the prices of securities change and the investor is interested in constructing a dynamic portfolio of securities. The investor wishes to maximize the value of his portfolio at the end of time $T$. We use a novel theoretical approach based on dynamic programming to solve the age old problem of dynamic programming. We consider two cases i.e. Deterministic and Stochastic to approach the problem and show how the portfolio is maximized using dynamic programming.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑由证券组成的投资组合的优化问题。拥有初始资本的投资者对构建证券投资组合感兴趣。如果证券价格发生变化，投资者应决定重新分配投资组合。在每一个时刻，证券价格都会发生变化，投资者对构建动态证券组合感兴趣。投资者希望在时间结束时将其投资组合的价值最大化，即新台币。我们使用一种基于动态规划的新理论方法来解决由来已久的动态规划问题。我们考虑了两种情况，即确定性和随机性来处理该问题，并展示了如何使用动态规划使投资组合最大化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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关键词：动态优化 投资组合 Optimization Constructing Quantitative

马来菲耶夫portfolioOleg-Malafeyev的动态优化*1和Achal Awasthi+2圣彼得堡州立大学应用数学和控制过程学院教授兼主席（社会经济系统建模系），俄罗斯物理系，印度Shiv Nadar大学。摘要在本文中，我们考虑证券组合优化问题。拥有初始资本的投资者对构建证券投资组合感兴趣。如果证券价格发生变化，投资者应决定重新分配投资组合。在每一时刻，证券价格都会发生变化，投资者对构建动态证券组合感兴趣。投资者希望在时间T结束时使其投资组合的价值最大化。我们使用一种基于动态规划的新理论方法来解决动态规划的老化问题。我们考虑了两种情况，即确定性和随机性来处理这个问题，并展示了如何使用动态规划使投资组合最大化。1简介投资组合优化问题在过去几十年中引起了许多人的兴趣。1952年，马科维茨提出了现代投资组合理论（MPT），为一个新的研究领域铺平了道路。Markowitz的MPT的本质是，风险与回报之间存在权衡，个人可以通过分散投资组合来降低与单一资产相关的风险。它的目标是在给定风险的情况下使投资组合的回报最大化，或在给定的预期回报值下使风险最小化[1]。多年来，toMPT出现了许多变体。一些理论甚至试图利用投资者的行为分析来分析这个问题。2000年由Sher fin和Statman提出的行为投资组合理论（BPT）就是这方面的经典例子[2]。

其他一些理论，如Black-Litterman模型、均值-半方差优化，最近也提出了。但是，上述理论都不能为投资组合优化这一令人感兴趣的问题提供答案。由于证券价格在不同的时间段内不断变化，因此投资组合优化问题可以被视为一个动态过程。动态规划是一种分析动态过程的便捷工具。数学建模方法广泛应用于不同的科学技术领域。如果尝试建立数学模型，它将提供深刻的见解*malafeyevoa@mail.ru+aa777@snu.edu.invarious与经济和金融相关的现象。此处应用的方法和方法的基础也可参见【8-56】。Malafeyevand Redinskih（2014）使用动态建模对多代理腐败网络进行数学分析。Kolokoltsov和Ma lafeyev在其著作《理解博弈论》（2010）和《金融市场的数学分析》（2010）中分析了金融市场的数学方面，并深入研究了投资组合优化问题。Grigorie va和Malafeev（2014）也利用动态规划分析了多周期邮差问题。在本文中，我们发展了一种基于动态编程的新理论技术来分析组合优化问题。2模型的数学描述。让我们借助离散点tk，k=1，…，将时间[0；T]的有限区间划分为子区间，f：0=t<t<…<tf=T。在这些离散点，发行LK类证券，其中jk=1，lk。让我们定义一些与构建动态投资组合相关的重要参数。1） τjk-是jk类证券的到期时间，即区间[tk；tk+τjk]。

tk+τjk≤ 是指JK类证券在市场上流通的时期。2） ujk（t）-定义为时间t时jk类型证券的报价，即其市场价值。3） pjk（t）-定义为在时间t购买和出售jk类型证券的费用，对于任何jk=1，lk，k=1，f、 在时间t发行的jare型证券，其中j=1，l、 投资者决定是否在初始状态S下购买此类证券，S（t）=lXj=1sj（t），（1），其中sj（t）-是投资者购买j类证券的金额，j=1，l、 j=1，…，类型证券的价格，l、 在tareuj（t）和投资者购买hj（t）数量的此类证券时，hj（t）=sj（t）uj（t）。s（t）的值必须满足以下条件：s（t）+lXj=1pj（t）·hj（t）≤ S、 （2）其中pj（t）是投资者购买时间t类型证券所支付的费用，j=1，l、 投资者在购买j类证券后拥有的可用资金由以下方程式得出：S=S- s（t）-lXj=1pj（t）·hj（t）（3）在时间t，j类证券的价格，j=1，L应为–uj（t）。因此，投资者在t时的总收入可以定义为：W（t）=S+lXj=1uj（t）·hj（t）。（4） 在时间t，jalso类型证券的价格发生变化，该过程在每个时间步重复。例如，在时间t，jc类证券的价格发生变化，依此类推。现在让我们考虑第i个时间段[ti，ti+1]。假设在时间ti（第i周期开始时），投资者有Si-1可用资金数量。hjk（ti-1） 定义为投资者在第i期初拥有的jk类证券数量，jk=1，lk。W（ti）是投资者在ti时的总收入。

W（ti）可以使用以下方程式进行数学表达式：W（ti）=Si-1+1-1Xk=1lkXjk=1ujk（ti）·hjk（ti-1). （5） 在时间ti，JI类证券的价格发生变化，投资者必须做出决定——是否重新分配其投资组合。s（ti）是投资者在第i期开始时拥有的金额。hjk（ti-1） 是投资者在第i个周期开始时拥有的证券数量，hjk（ti）是投资者在第i个周期结束时和（i+1）个周期开始时想要拥有的证券数量。JK类证券的价格=1，lk，k=1，i该变化（tk+τjk≥ ti）时间间隔。我们考虑以下情况：1）如果hjk（ti）- hjk（ti-1） >0，则投资者决定重新购买这些（hjk（ti）- hjk（ti-1） jk类证券数量。2） 如果hjk（ti）- hjk（ti-1） <0，则投资者决定卖空（hjk（ti）的数量- hjk（ti-1） ）jk类证券。3） 如果hjk（ti）- hjk（ti-1） =0，则投资者在此期间不会改变其投资组合中JK类型证券的数量。4） 如果hjk（t）=0且k>1，则在twhoseprice尚未更改时，存在类型为jk的安全性。类似地，其到期时间已经超过ti（tk+τjk<ti）的证券将为零值。这些证券对投资者没有任何用处。由于我们没有考虑风险，投资者必须尝试将其所有资金投资于证券。因此，在[ti，ti+1]期间在投资组合中重新分配的金额等于：s（ti）=iXk=1lkXjk=1ujk（ti）·（hjk（ti）- hjk（ti-1)). （6） 我们还必须考虑经纪人向其客户收取的证券买卖费用。Si是可用金额，该金额在期末仍由投资者持有【ti，ti+1】。这是他在ti+1时的坐骑。

Si由以下等式给出：Si=Si-1.- s（ti）-iXk=1lkXjk=1pjk（ti）·hjk（ti）- hjk（ti-1) | . （7） 投资者必须选择s（ti），使Sibe的价值不为负值。（hjk（ti）的差异- hjk（ti-1） ）作为小额费用被接管，在证券买卖过程中都会被收取。如果证券市场上有n家经纪公司，r=1，n、 然后，投资者选择在ti时对第种证券的交易收取最低佣金的基金。经纪公司收取的佣金可以以下列方式进行数学表示：pjk（ti）=minrprjk（ti），r=1，n、 （8）如果prjk（ti）是第r家经纪公司收取的佣金，当在[ti，ti+1]期间促成证券类型为jk的交易时，（jk=1，…，lk）。投资者在T时的总收入- 1等于：W（tT-1） =ST-2+T-2Xk=1lkXjk=1ujk（tT-1） ·hjk（tT-2). （9） 如果投资者决定在时间T出售所有现有证券-1在此期间，投资者重新分配其投资组合的金额-1，T]，等于：s（tT-1) = -T-2Xk=1lkXjk=1ujk（tT-1） ·hjk（tT-2） ，（10）投资方在[T]期末拥有的金额- 1，T]周期等于：ST-1=ST-2.- s（tT-1) -T-2Xk=1lkXjk=1pjk（tT-1） ·hjk（tT-2). （11） 因此，投资者在T时的总收入等于投资者在T期末的收入- 1，T]。该收入等于：W（tT）=ST-1.（12）投资者应通过在整个[0，T]期间仔细、动态地改变其投资组合，尝试最大化该价值。

这可以通过改变分配给投资组合中不同类型证券的金额来实现。3动态规划方面的问题描述。3.1确定性情况。我们将使用动态规划作为一种优化方法。让我们考虑一下，当不存在不确定性时，即前一节中提到的所有任务都已精确定义。投资者决定在离散时间点ti，i=1，…，重新平衡其投资组合，f- 1、本流程可分为f- 1个阶段（因为有f- 1需要重新平衡投资组合时的离散点）。在时间ti时，类型为ji=1的lisecurities的价格，说话人变了，每个证券都有一个到期时间，τji。因此，在每个第i步，该过程可以划分为与时间ti时证券价格变化次数相同的步骤数。因此，投资组合中基金真实化过程的内在属性允许将其视为一个多步骤的过程。这可以用数学表示如下：（f- 1） （f）-1Xk=1lkXjk=1ljk）在每一步中，我们都会选择那些价格随时间变化的证券，投资者需要改变其投资组合。手册更改的量等于：smi（ti）=umi（ti）（hmi（ti）- hmi（ti-1） ），（13）mi=1，iXk=1lkXjk=1ljk。（14） 这里，可以将变量smi（ti）视为控制变量。我们将投资者资金的初始金额视为系统的初始状态。s，s。

，平方英尺-1，是投资者在前面步骤中重新分配其投资组合后剩余的余额。我们将把这些值视为状态参数。描述投资者i步总收入的关系式（5）是第i步的效率指数（这是我们的目标函数）。整个过程的效率被描述为投资者在T个期间内收到的收入。它可以表示为（12）：W（tT）=ST-1、ST值-1由方程式（10）和（11）给出：s（tT-1) = -T-2Xk=1lkXjk=1ujk（tT-1） ·hjk（tT-2） ，ST-1=ST-2.- s（tT-1) -T-2Xk=1lkXjk=1pjk（tT-1） ·hjk（tT-2).由关系式（6）和（7）描述的系统状态可以表示为：s（ti）=iXk=1lkXjk=1ujk（ti）·（hjk（ti）- hjk（ti-1） ），Si=Si-1.- s（ti）-iXk=1lkXjk=1pjk（ti）·hjk（ti）- hjk（ti-1) | .我们引入了函数R（ti，Si-1） ，表示投资者在最优政策下第一步收到的收入。函数R（ti，Si-1） 定义为i=2，f必须满足以下形式的函数方程：R（ti，Si-1） =最大SMI（ti）∈Di{R（ti-1，Si-2) + W（ti）}，（15）其中W（ti）=W（ti）- W（ti-1) - （16） W（ti）=Si-1+1-1Xk=1lkXjk=1ujk（ti）·hjk（ti-1） 投资者的收入在一段时间内如何增长-1，ti]受某些条件的约束。DII是这一步中允许的控制集，由问题中的约束确定。这些控件的数学表达式如下：Di:0≤iXk=1lkXjk=1sjk（ti）+iXk=1lkXjk=1pjk（ti）·hjk（ti）- hjk（ti-1) |≤ 硅-1.（17）当i=1时，我们得到r（t，S）=S.（18）方程（15）和（18）是动态规划的主要函数方程。让我们假设，在开始时，投资者的总收入是由：W（t）=S给出的。因此，从（15）和（18），函数R（ti）表示i=2。

，f采用以下形式：R（ti）=maxsmi（ti）∈DiW（ti）。（19） 如果我们知道初始资本的价值，我们可以应用动态编程的方法来获得以下函数序列：{R（ti，Si-1） }是对应于最大收入的函数，i=2，f和相应的向量函数{（s*mi（ti））}是每个步骤i=1，…，的最佳控制，f- 1.3.2随机情况。现在，让我们考虑前一节中描述的确定性过程的随机版本。使用函数方程优化收入的相同方法也适用于随机版本。让我们定义证券价格ujk（t），jk=1，lk，k=1，ft型∈ [0；T]作为离散概率分布Θjk（T）：ujk（T）u（1）jk（T）u（2）jk（T）。u（n）jk（t）Θjk（t）θ（1）jk（t）θ（2）jk（t）。θ（n）jk（t）（20）n的数量取决于证券的数量，即n=n（jk）。nXr=1θ（r）jk（t）=1，（21），但ujk（ti）是一个独立的量。在随机情况下，系统从STATE Si开始-1在最优控制向量的影响下陈述Siunder*mi（ti）），其中mi在方程式（14）中定义，i=1，f- 1、由于Sis常数的值是投资者事先知道的，所以此时的方程将被取消。在这种情况下，动态编程的函数方程如下：hR（ti）i=maxsmi（ti）∈Di{hW（ti）i}，（22）其中hW（ti）i是投资者在时间ti时的收入的数学期望，hR（ti）i是投资者在最优政策下i个时期内收到的收入的数学期望，i=2，f证券的价格ujk（ti）由概率分布Θjk（t），jk=1，lk，k=1，ft型∈ [0，T]。

描述投资者决策过程的连续性关系（6）–（8）包含一个随机变量。它可以用以下形式表示：hW（ti）i=hS（i- 1） i+i-1Xk=1lkXjk=1nXr=1θ（r）jk（ti）u（r）jk（ti）hjk（ti-1） ，（23）hs（ti）i=iXk=1lkXjk=1nXr=1θ（r）jk（ti）u（r）jk（ti）·hjk（ti）- hjk（t（i-1)). （24）假设证券买卖的每笔交易的小额经纪费也与证券价格具有相同的分配。因此（7）采用以下形式：hSii=hSi-1i- hs（ti）i-iXk=1lkXjk=1nXr=1θ（r）jk（ti）p（r）jk（ti）！×××hjk（ti）- hjk（t（i-1） ）|（25）4结论表明，动态规划对于投资组合优化相关问题的分析是一种强大而有效的方法。此外，随机情况下的优化问题是确定控制变量的值集。目标函数的数学期望值根据这些值进行优化。这种情况有点特殊，因为如果在第一步中不知道系统的状态，则无法决定控制变量的选择。这意味着在做出另一个决定之前（下一步），我们需要使用之前（上一步）观察到的随机值的知识。投资者应根据证券价格重新平衡投资组合，以获得最大回报。参考文献[1]Harr y Markowitz投资组合选择《金融杂志》，第7卷，第1期。，第77-911952页。[2] H.Shefrin和M.Statman行为投资组合理论《金融与定量分析杂志》，第35卷，第2期，第127-151页，2000年）[3]F.Black和M.Scholes。期权和公司负债的定价。J、 政治。