与general签订的列维型提款合同的公允估值

（2）中给出的线性布朗运动是一个连续过程，因此，Dτ+D（a）=a。支付的报酬总是等于α（a）：=α，这与[13]中的常数报酬函数的结果相对应。值函数等于：f（d，p）=pr+αe-uσ（a-d） Ξcosh（Ξd）-uσsinh（Ξd）Ξcosh（Ξa）-uσsinh（Ξa）-p和公平保费p*由：p给出*（d） =rα·（Ξcosh（Ξd）-uσsinh（Ξd））u（euσ（a-d） cosh（Ξa）- cosh（Ξd））-uσ（euσ（a-d） sinh（Ξa）- 新罕布什尔州（锡兰））。在图1中，我们演示了p*Black Scholes市场各种α值的提取保险合同价值。我们选择以下参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10。在图2中，我们给出了各种保费p的合同价值f。我们选择了与上述相同的参数，并固定了α=100。最后，对于保费率，当初始提取分别等于d=0、d=5、d=6和d=7时，我们采用公平保费。图1：。p*线性布朗运动的提款合同值和各种奖励值α。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10。示例2（续）。现在让我们考虑一下（3）中定义的Cram'er-Lundberg过程。从[13]我们得到ξ（d）=1+reΦ（r）（a-d）- 1Φ（r）ψ（Φ（r））+reζ（a-d）- 1ζψ(ζ)- reΦ（r）（a）-d） ψ（Φ（r））+eζ（a-d） ψ（ζ）·ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa=：c+cΦ（r）eΦ（r）（r）（a-d） +c-ζe-ζ（a-d） ，Levy型提款合同的公允价值7图2。线性布朗运动和各种premiumsp的下降合同的合同值f。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10，α=100。其中C=1-rΦ（r）ψ（Φ（r））-rζψ（ζ），cΦ（r）=rΦ（r）ψ（Φ（r））-rψ（Φ（r））ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa，c-ζ=rζψ（ζ）-rψ（ζ）ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa。对于Cram'er-Lundberg模型，由于跳跃的存在，我们有Dτ+D（a）>a。让我们考虑d的一般奖励函数α（d）≥ 一

则Ξ（d）=ZaZ∞α（a+h）W（r）（a）- d） W0（r）（a）- z） W0（r）（a）- W（r）（a）- d- z）βρe-ρze-ρhdh dz=Z∞α（a+h）ρe-ρhdhZaβe-ρzW（r）（a）- d） W0（r）（a）- z） W0（r）（a）- W（r）（a）- d- z）dz=E[α（a+Eρ）]ξ（d），其中Eρ是具有参数ρ的指数分布随机变量。因此，价值函数和公平保费由f（d，p）给出=pr+E[α（a+Eρ）]ξ（d）-pr，p*（d） =rE[α（a+eρ）]ξ（d）1- ξ（d）。从Ξ的上述表示中，我们可以很容易地检查条件（16）。例如，设α（d）=ωeκd，其中ω和κ是一些常数。对于该奖励函数，当：E[α（a+Eρ）]=ωEκaE[EκEρ]=ωEκaρZ时，满足条件（16）∞e-(ρ-κ） xdx<∞.当κ<ρ和ω<∞. 对于某些常数α和α，可以在线性奖励函数α（d）=α+αd中找到另一个例子。在这种情况下，e[α（a+eρ）]=α+αa+αe[eρ]=αa+ρ.8 Z.Palmowski-J.TumilewiczThus，当α，α<∞. 特别地，对于线性回归函数α（·），我们得到：f（d，p）=pr+αa+ρc+cΦ（r）eΦ（r）（a）-d） +c-ζeζ（a-d）-pr，p*（d） =rαa+ρ· （c+cΦ（r）eΦ（r）（a）-d） +c-ζeζ（a-d） ）1- c- cΦ（r）eΦ（r）（a）-d）- c-ζeζ（a-d） 。对于图3和图4所示的Cram'er-Lundberg模型，p*各种线性奖励函数的值α（d）和两个保费的合同值f（d，p）：p=p*（0）（这意味着我们从暂时的最大资产价格开始）和p=p*（7.5）。图3：。p*Cram'er-Lundberg模型和各种线性回归函数α（·）的提款合同值。参数：r=0.01，^u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，a=10。图4：。各种保费和线性奖励函数α（·）的Cram'er-Lundberg模型支取合同的合同价值f。参数：r=0.01，^u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，a=10.3.2。可取消的功能。我们现在通过添加一个可取消的特性来扩展以前的合同。

换言之，我们赋予投资者在预先规定的提款规模a>0之前的任何时候终止合同的权利。要终止合同，她/他应支付费用c（Dτ），该费用取决于终止时的提款水平。可以直观地假设惩罚函数c（·）是非递增的。事实上，如果提款的价值是列维型提款合同9的公允价值增加，那么投资者损失更多的钱，费用应该减少。为了简化将来的计算，也让c在c（R+）中。这里我们考虑的合同价值等于：F（d，p）：=supτ∈TE | d“-Zτ+D（a）∧τe-rtp dt- c（Dτ）e-rτ（τ<τ+D（a））+α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）（τ+D（a）≤τ); τ < ∞#,（18） 其中T是所有Ft停止时间的族。本文的主要目标之一是确定最优停止规则τ*这就实现了F（d，p）的价格。韦斯特从简单的观察。提案4。可取消支取保险价值允许以下分解：F（d，p）=F（d，p）+G（d，p），（19），其中G（d，p）：=supτ∈Tgτ（d，p），（20）gτ（d，p）：=E | dhe-rτИf（Dτ，p）；τ<τ+D（a），τ<∞i（21）~f（d，p）：=-f（d，p）- c（d）（22）表示（12）中定义的f。证据使用（τ≥τ+D（a））=1-（τ<τ+D（a））在（18）中，我们得到：F（D，p）=E | D“-Zτ+D（a）e-rtp dt+α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）#+supτ∈TE | d“Zτ+d（a）τe-rtp dt（τ<τ+D（a））- α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）（τ<τ+D（a））- c（Dτ）e-rτ（τ<τ+D（a））；τ < ∞#.注意，第一项不依赖于τ。第二项仅在{τ<τ+D（a）}事件中依赖于τ。然后，利用强马尔可夫性质得到：F（d，p）=F（d，p）+supτ∈TE | d“Zτ+d（a）τe-rtp dt（τ<τ+D（a））- α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）（τ<τ+D（a））- c（Dτ）e-rτ（τ<τ+D（a））；τ < ∞#= f（d，p）+supτ∈TE | d“e-rτE | Dτ“Zτ+D（a）E-rtp dt- α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）- c（Dτ）；τ < ∞#; τ<τ+D（a），τ<∞#.这就完成了证明。

为了确定合同外的最优取消策略，需要解决由（19）的第二个增量表示的最优停止问题，该增量用于识别函数G（d，p）。我们使用“猜测和验证”方法。这意味着我们首先猜测候选停止规则，然后使用下面给出的验证引理验证这确实是最佳停止规则。引理5。设Υt是一个右连续过程，位于某个Borel状态空间B中，在某个FΥt停止时间τ终止，其中FΥ是Υ的右连续自然过滤。考虑以下停止问题：（23）v（φ）=supτ∈TΥEe-rτV（Υτ）|Υ=φ对于某些函数V和族FΥt，停止时间tΥ。假设（24）P（limt→∞e-rtV（Υt）<∞|Υ= φ) = 1.这对（v*, τ*) 是停止问题（23）的解决方案，如果forv*（φ） ：=Ehe-rτ*V（Υτ）*)|Υ=φiwe havi）v*(φ) ≥ V（φ）表示所有φ∈ Bii）过程e-rtv电视*（Υt）是右连续超鞅。10 Z.Palmowski-J.TumilewiczProof。该证明遵循与[7，Lem.9.1，p.240]证明相同的论点；另见【15，第2.2条，第29页】。利用上述验证引理5，我们证明了水位下降过程在某一水平θ以下的第一次通过时间是（20）的最佳停止时间（因此，也适用于（19））；即，（25）τ*:= τ-D（θ）∈ T对于某些最佳θ*∈ （0，a）。对于停止规则（25），我们考虑两种情况：当d>θ和当d≤ θ; 也就是说，我们分解gτ-D（θ）（D，p）如下：gτ-D（θ）（D，p）=gτ-D（θ）（D，p）（D>θ）+gτ-D（θ）（D，p）（D≤θ） ：=g>（d，p，θ）（d>θ）+g<（d，p，θ）（d≤θ).如果是d≤ θ、 那么我们就遇到了投资者应该立即终止合同的情况。在这种情况下，我们有，g<（d，p，θ）=▄f（d，p）。（26）为了分析d>θ的互补情况，现在可以观察到，停车时间（25）类别的选择意味着dτ*= Dτ-D（θ）=θ，因为X在光谱上是负的，并且它持续向上。

这意味着：g>（d，p，θ）=E | dhe-rτ-D（θ）~f（θ，p）；τ-D（θ）<τ+D（a）i=~f（θ，p）W（r）（a- d） W（r）（a）- θ).（27）根据该结构，如果所有θ的f（θ，p）<0，则最好不要提前终止合同。为了消除这个微不足道的情况，我们假设从现在起至少存在一个θ≥ 0满足（28）~f（θ，p）>0。回想一下，（19）最佳水平θ*使（18）中给出的值函数F（d，p）最大化，因此也使值函数G（d，p）（20）最大化。因此，我们必须选择θ*如下所示：θ*= inf{θ∈ （0，a）：g>（d，p，）≤ g> （d，p，θ） ≥ 0 } .（29）引理6。假设（28）成立。那么，存在θ*由（29）和θ给出*不取决于缩编d.Proof的起始位置。开始时，请注意，根据（13）、命题2、假设（8）和（22），函数f是连续的。此外，f（a，p）=-α（a）<0，因为对于初始支取d=a，保险支取水平在开始时达到，必须立即支付奖励。现在考虑两种情况。如果f（0，p）<0，则根据假设（28），存在θ，使得f（θ，p）>0。这意味着θ的存在*在（29）中定义。另一方面，如果f（0，p）≥ 0，然后使用（27），我们有：θg>（d，p，θ）=θИf（θ，p）W（r）（a）- d） W（r）（a）- θ） +~f（θ，p）W（r）（a）- d） W0（r）（a）- θ） （W（r）（a）- θ） ）=W（r）（a- d） W（r）（a）- θ)θИf（θ，p）+θf（θ，p）W0（r）（a- θ） W（r）（a）- θ).（30）注意，（14）-（15）我们得到ξ（0）=0和Ξ（0）=0。因此θИf（θ，p）|θ=0=-prξ（0）- Ξ(0) - c（0）=-c（0）>0。回想一下，（6）中给出的比例函数W（r）是非负的。因此θg>（d，p，θ）|θ=0>0，因为（30）中的每个项都是正的。我们现在可以得出结论，存在局部最大θ*> 0.注意，要找到θ*必须使（30）括号中的表达式等于零，因此θ*不依赖于d。

选择停止规则（25）可确保“连续fit”条件保持：g>（d，p，θ*)|d和θ*= g<（d，p，θ*)|d%θ*（连续fit）。（31）事实上，对于任何θ，连续函数都是满足的∈ （0，a）根据（27）中给出的标度函数W（r）的连续性和g>的定义（d，p，θ）。此外，如果我们选择θ=θ*如（29）所述，我们有一个“平滑”属性：dg>（d，p，θ*)|d和θ*=dg<（d，p，θ*)|d%θ*（平滑）。（32）列维型提款合同的公允价值11θ的平滑*根据其定义（29）和方程式（30）得出。实际上，因为θ*最大化g>（d，p，θ）（在（27）中给出）相对于θ，它必须是（30）的根。然后，通过等式（26），我们得到，dg>（d，p，θ*)|d=θ*= -f（θ*, p） W0（r）（a）- θ*)W（r）（a）- θ*)=df（d，p）| d=θ*=dg<（d，p，θ*)|d=θ*.请注意，从上述等式中，我们可以看到，只要标度函数W（r）具有连续导数，就满足光滑条件。因此，正如我们在（8）中所假设的那样，我们的框架中总是充满了平滑条件。现在我们将验证停止时间τ*（25）中给出的确实是最佳的。这一事实的证明基于验证引理5，我们从以下引理开始考虑。引理7。通过在某个过程中添加上标c，我们表示其连续部分。设Xtbe为谱负的evy过程，定义两个不相交的区域：C={d∈ R+：d>θ*},S={d∈ R+：0≤ d<θ*}对于某些θ*∈ （0，a）。设p（t，d，u）是C和S上的C1,2,2-函数。

我们表示Pc（t，d，u）：=p（t，d，u）（d∈C） 和pS（t，d，u）：=p（t，d，u）（d∈S） 。对于任何函数^p，我们表示：I（^p）（t，Dt，Ut）：=^p（0，D，U）+Zts^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds，Us）Ds+Ztd^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，0，Us-)dXcs-Zt公司d^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds-,我们-)dXcs+Ztu^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds-,我们-)dXcs-Zt公司u^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds-,0）dXcs+Ztd+2du型+u^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds-,我们-)d[X]cs+X0<s≤t型^p（s、Ds、Us）- ^p（s，Ds-, 我们-)-d^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds，Us）Ds公司-u^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds，Us）我们,哪里Ds=Ds- Ds公司-= -（Xs- Xs型-) = -Xs，美国=美国- 我们-.i） 然后，过程p（t，Dt，Ut）是一个超鞅，如果i（pC）（t，Dt，Ut）是鞅，i（pS）（t，Dt，Ut）是一个超鞅，并且如果以下光滑fit条件成立：（33）dpS（t、d、u）d%θ*=dpC（t、d、u）d和θ*, （平滑fit）对于σ>0，如果以下连续fit条件成立：（34）pS（t，θ*, u） =pC（t，θ*, u） （连续fit），σ=0，x为有界变化的L'evy过程。ii）如果停止的过程pC（t∧ τ-D（θ*), Dt公司∧τ-D（θ*), 美国犹他州∧τ-D（θ*)) 是鞅，那么过程I（pC）（t，Dt，Ut）也是鞅，我们有tpC（t，d，u）+A（d，u）pC（t，d，u）=0，（鞅条件）（35）dpC（t，d，u）| d=0=0，upC（t，d，u）| u=0=0，（正常反射）（36）12 Z.Palmowski-J。

Tumilewicz，其中A（D，U）是马尔可夫过程（Dt，Ut）的完整生成器，定义如下：A（D，U）^p（t，D，U）：=- ud^p（t，d，u）+uu^p（t，d，u）+σd^p（t，d，u）+σu^p（t，d，u）-σud^p（t，d，u）+Z（0，∞)^p（t，d+z，（u- z）∨ 0) - ^p（t，d，u）- zd^p（t，d，u）（z<1）+zu^p（t，d，u）（z<1）Π(- dz），（37）对于σ>0，andA（D，U）^p（t，D，U）：=-^ud^p（t，d，u）+uu^p（t，d，u）+Z（0，∞)（p（t，d+z，（u- z）∨ 0) - ^p（t，d））π(- dz），（38），对于σ=0，Xt是有界变化的L'evy过程。iii）过程I（pS）（t，Dt，Ut）是一个超级鞅，如果：tpS（t，d，u）+A（d，u）pS（t，d，u）≤ 0，（上鞅条件）（39）dpS（t，d，u）| d=0≥ 0,upS（t、d、u）| u=0≥ 0.（40）证明。见附录。备注8。这个引理考虑了函数p（t，Dt，Ut）的情况，它可能依赖于t，Dt和Ut。在提款合同的框架中，我们取p（t，d，u）=p（t，d）=e-rtgτ-D（θ*)（d，p）但是，这只取决于t和d。在这种情况下，这个引理仍然成立，因为它将u的所有导数都取为0。因此，我们将（37）中给出的生成器A（D，U）简化为Markovprocess Dtonly的完整生成器：A（D）^p（t，D）：=-ud^p（t，d）+σd^p（t，d）+Z（0，∞)^p（t，d+z）- ^p（t，d）- zd^p（t，d）（z<1）Π(- dz），对于σ>0，andA（D）^p（t，D）：=-^ud^p（t，d）+Z（0，∞)（^p（t，d+z）- ^p（t，d））π(- dz），对于σ=0且XT为有界变化的L'evy过程。这个重要引理的主要信息是，我们可以分别分析连续区域和停止区域。换句话说，为了检查验证引理5的上鞅条件，证明所谓连续区域C中的鞅性质和所谓停止区域S中的上鞅性质就足够了。这是可能的，因为在连接这两个区域的边界处存在光滑/连续的fit条件。我们现在可以解决优化问题了。定理9。

假设（28）成立。设非增有界罚函数c:R+→ R+be为C（[0，a]），满意度：-rc（d）- uc（d）+σc（d）+Z（0，∞)c（d+z）- c（d）- zc（d）（z<1）Π(- dz）≥ -p、 （41）IfZ（θ*-d∞)f（d+z，p）∏(- dz）≥ 0表示所有d∈ [0, θ*),（42）然后停车时间τ-D（θ*) 对于θ*由（29）定义的是停止问题（20）的最佳停止规则，因此也适用于保险合同（18）。证据我们必须证明τ-D（θ*) 因此，gτ-D（θ*)（d，p）满足验证引理5的所有条件。我们取马尔可夫过程Υt=Dt，B=R+，τ=τ+D（a），V（φ）=gτ-D（θ*)（d，p），φ=d。为了证明验证引理5的支配条件（i），我们必须证明gτ-D（θ*)（d，p）≥f（d，p）。为了证明这一点，请注意L'evy型提款合同13的公允估值，即从θ的定义*我们有g>（d，p，θ*) ≥ g> （d，p，θ）对于所有θ∈ （0，a）。此外，对于d>θ*我们有：gτ-D（θ*)（d，p）=g>（d，p，θ*) ≥ g> （d，p，d）=f（d，p）。类似地，对于d≤ θ*,gτ-D（θ*)（d，p）=g<（d，p，θ*) =完成验证引理5条件i）证明的f（d，p）。为了证明验证引理5的第二个条件（ii），我们必须证明-r（t∧τ+D（a））gτ-D（θ*)（Dt∧τ+D（a），p）是一个超鞅。为此，我们证明-rtgτ-D（θ*)（Dt，p）ois是一个超鞅，通过对函数p（t，d，u）应用引理7（i）：=p（t，d）=e-rtgτ-D（θ*)（d，p），对于d≥ 0和C=（θ*, ∞), S=[0，θ*). 给定θ*满足连续fit条件（31），我们可以单独考虑函数pC（t，d）：=e-rtg>（d，p，θ*)（d）∈(θ*,∞))andpS（t，d）：=e-rtg<（d，p，θ*)（d）∈[0,θ*)). 此外，平滑条件（32）也已满足。因此，根据lemma 7（i），足以证明i（pC）（t，Dt）是鞅，i（pS）（t，Dt）是上鞅。在开始时，请注意函数gτ-D（θ*)（21）中定义的（d，p）是有界的。

事实上，这是因为f是有界的，这是不等式ξ（·）的结果≤ 1，假设（16）和假设条件费用函数c（·）。因此，通过引理7（ii），I（pC）（t，Dt）的鞅条件遵循过程的鞅性质：ne-r（t∧τ-D（θ*))g> （Dt∧τ-D（θ*), p、 θ*)o、 该性质源自强马尔可夫性质：Ehe-rτ-D（θ*)g> （Dτ-D（θ*), p、 θ*)英尺∧τ-D（θ*)i=Ee-rτ-D（θ*))E | Dτ-D（θ*)他-rτ-D（θ*)f（θ*, p） 我英尺∧τ-D（θ*)= e-r（t∧τ-D（θ*))g> （Dt∧τ-D（θ*)).现在，通过引理7，我们证明了e的超鞅条件-rtg<（d，p，θ*)（d）∈[0,θ*))令人满意。为此，我们首先证明-rtf（Dt，p）是一个超鞅。使用（22）中给出的f定义，我们可以写：e-rtf（d，p）=-之前-rtξ（d）- e-rtΞ（d）+e-rt公司公共关系- c（d）.（43）此外，过程e-rtξ（Dt）和e-rtΞ（Dt）都是强马尔可夫性质的鞅。因此，对于e的AsuperMartingable属性-如果进程e-rt公司公共关系- c（d）是一个超级艺术家。使用【19，第31.5条】，后一种说法等同于要求a（D）公共关系- c（d）- r公共关系- c（d）≤ 0（44），假设成立（41），且d公共关系- c（d）|d=0=-c（0）≥ 0（45），这是因为函数c是非递增的。证明I（pS）对于pS（t，d）=e的超鞅性质-rtg<（d，p，θ*)（d）∈[0,θ*))我们应用引理7（iii）。也就是说，对于d，该属性保持if∈ [0, θ*) 我们有：- 重新-rtg<（d，p，θ*) + e-rtA（D）g<（D，p，θ*) = -重新-rtg<（d，p，θ*) - ue-rt公司dg<（d，p，θ*) +σdg<（d，p，θ*)+ e-rtZ（0，∞)g<（d+z，p，θ*)（d+z∈[0,θ*))- g<（d，p，θ*) - zg<（d，p，θ*)Π(- dz）≤ 注意，从（26）中，我们得到g<（d，p，θ*) =对于d，f（d，p）∈ [0, θ*). 此外，PSI定义中出现的指标仅在上述积分之和的第一个增量中重要。更准确地说，因为14 Z.Palmowski-J。