与general签订的列维型提款合同的公允估值

因此，这个问题的连续性总是可靠的。在最后一步中，使用验证引理5，我们将证明停止规则（62）确实是最优的。定理16。让c：[d+u- b、 （a）→ R+是C（[d+u]中的非递增有界函数- b、 a）和额外的满意度（41）。假设（63）成立。Letθ*由（68）定义，满足平滑条件：dh>（d，u，p，θ*)|d和θ*=dh<（d，u，p，θ*)|d%θ*如果σ>0。IfZ（（θ*-d） +，∞)k（d+z，（u- z）∨ 0，p）π(- dz）≥ 0表示所有d∈ [0, θ*),（69）然后τ*= τ+d-θ*（62）给出了停止问题（59）的最佳停止规则，因此也是保险合同（57）的最佳停止规则。在这种情况下，具有提款意外事件和可取消特征的提款合同的值K（d，u，p）等于K（d，u，p）+hτ+d-θ*（d，u，p），如（65）中定义的h<（d，u，p，θ*), （66）和（d，u，p，θ*) 在（67）中给出。由于值函数h>的复杂性（t，θ*, u） 我们无法用理论上的考虑来证明平滑粘贴条件。然而，我们相信这始终是正确的。Levy型提款合同的公允价值23证明。我们再次将验证引理5应用于最优停止问题（59）。这次我们取MarkovprocessΥt=（Dt，Ut），B=R+×R+，τ=τ+U（B）∧ τ+D（a）和V（φ）=k（D，u，p），φ=（D，u）。为了证明验证引理5的支配条件（i），我们必须证明hτ+d-θ*（d、u、p）≥k（d、u、p）。为此，我们取θ=d并使用θ的定义*in（68）。特别是，如果θ*< d然后hτ+d-θ*（d，u，p）=h>（d，u，p，θ*) ≥ h> （d，u，p，d）=k（d，u，p）。否则，如果θ*≥ d、 然后：hτ+d-θ*（d，u，p）=h<（d，u，p，θ*) =k（d、u、p）。为了证明验证引理5的第二个条件，该引理指出-r（t∧τ+D（a）∧τ+U（b））h（Dt∧τ+D（a）∧τ+U（b），Ut∧τ+D（a）∧τ+U（b），p，θ*)是一个超鞅，我们使用键引理7。

我们取p（t，d，u）：=e-rth（d，u，p）表示d∈ [0, ∞), u∈ [0，b）和C=（θ*, ∞), S=[d+u-b、 θ*), 然后pC（t，d，u）=e-rth>（t，d，u，θ*)（d）∈C） 和pS（t，d，u）=e-rth<（t，d，u，θ*)（d）∈S） 。注意θ*始终通过所做的假设满足连续fit和平滑fit条件。同时观察函数hτ+d-θ*（60）中定义的（d，u，p）是有界的。实际上，这是由不等式0得出的≤ ν（d，u）≤ 1,0 ≤ λ（d，u）≤ 1，N（d，u）≤ Ξ（d）<∞ （16）对于任何d≥ 0，u≥ 因此，从强马尔可夫性质来看，过程-r（tτ）-D（θ*))h（Dt∧τ-D（θ*), 美国犹他州∧τ-D（θ*), p、 θ*)是鞅（θ的解释如备注14所述*≤ 0). 因此，引理7（ii）中的条件是满足的，而I（pC）是鞅。为了证明I（pS）是区域S的超鞅，我们首先证明了e-rtk（Dt，Ut，p）是一个超鞅。事实上，从（61）中给出的k的定义来看，我们得到了k（d，u，p）=-prν（d，u）-prλ（d，u）- N（d，u）+pr- c（d）。现在，请注意-rtν（Dt，Ut），e-rtλ（Dt，Ut），e-rtN（Dt，Ut）是Ft鞅。然后，e的上鞅条件-rtk在以下情况下保持公共关系- c（d）是一个超级艺术家。根据[19，Thm.31.5]，当：A（D，U）公共关系- c（d）- r公共关系- c（d）≤ 0，这是假设的结果（41）；另见（44）。注意，条件（40）也适用于函数c为非递增的假设。事实上，请注意d公共关系- c（d）= -c（d）≥ 0和u公共关系- c（d）= 证明I（pS）对于pS（t，Dt，Ut）=e的超鞅性质-rth<（Dt，Ut，p）（d∈S） 请注意，对于d∈ 我们有pS（t，d，u）=e-rtk（d，u，p）来自（66）。因此，（37）中定义的pS的生成器A（D，U）相等：A（D，U）pS（t，D，U）=e-rtA（D，U）~k（D，U，p）-Z（（θ*-d） +，∞)k（d+z，（u- z）∨ 0，p）π(- dz）≥ 0、根据假设（69），上述公式中的积分为正。

因此，对于d∈ S、 我们有-rpS（t，d，u）+A（d，u）pS（t，d，u）≤ -重新-rtk（d，u，p）+e-rtA（D，U）~k（D，U，p）≤ 因此，引理7（iii）中I（pS）的上鞅条件（39）是满足的。假设pS（t，d，u）=e-对于d，rtk（d，u，p）∈ S、 两个函数的条件（40）相同，因为（40）中的导数是在D+u时检查的- b∈ S、 因此，条件（40）满足PSE，因为它满足e-rtk（d，u，p），如我们所示。这就完成了I（pS）对于pS（t，d，u）=e的超鞅性质的证明-rth<（d，u，p，θ*)（d）∈S） 。24 Z.Palmowski-J.Tumilewicz示例1（续）。我们继续分析了提款合同撤回偶然性和可撤销性特征的线性布朗运动。我们取b<a。注意，我们可以从（67）计算函数h>。然后，我们可以找到θ*最大化此函数h>。我们可以从数值上检查所选参数的该识别θ*确实满足了平滑的条件。还要注意，条件（69）是满足的，因为布朗运动没有跳跃。这意味着τ+d-θ*是最佳停止规则。图13：。线性布朗运动的函数h和各种费用函数：常数（第一）、线性（第二）和二次（第三）。参数：r=0.01，u=0.04，σ=0.3，a=10，α=100，p=1.35，d=9，u=1。在图13中，我们描述了常数、线性（48）和二次（49）费用函数的函数h。请注意，在这些情况下满足条件（63）。在图14中，取（49）中的费用函数cgiven（图13中的黄色图表），我们显示θ*≈ 之前发现的1.8确实满足了这种情况下的平滑条件。示例2（续）。对于Cram'er-Lundberg模型，我们考虑a=b的情况。

首先假设D+u≥ a、 那么最后一个增量中的指示符等于零，我们有：h>（d，u，p，θ）=（θ>d+u-a） k（θ+，（d- θ+u）+，p）W（r）（u∧ （a）- （d）- θ) ∨ d） ）W（r）（d）- θ+u∧ （a）- （d）- θ) ∨ d） 如果d+u<a，那么使用分部积分公式我们得到：h>（d，u，p，θ）=（θ>d+u-a） k（θ+，d- θ+a- （d）- θ) ∨ d、 p）W（r）（a）- （d）- θ) ∨ d） W（r）（d）- θ+a- （d）- θ) ∨ d）-rΞ（0）W0（r）（a）（W（r）（a））+prZ（r）（a）W0（r）（a）（W（r）（a））-prW0（r）（a）（W（r）（a））- pZ（r）（a）- （d）- θ) ∨ d）- Z（r）（u）!.使用这些公式，我们可以找到线性费用函数的函数h>，其定义为：c（d，c）=c-对于c<pr，prad+pr（d<a）（70）。函数h>的图形如图15所示。在同一个图上，我们还表明条件（69）是满足的。我们通过数字检查条件（63），发现在所有考虑的情况下都是满足的。关于列维型提款合同的公允价值25图14。线性布朗运动和二次费函数c的光滑条件。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10，b=8，α=100，p=1.35，d=9，u=1。图15：。Cram'er-Lundberg模型和线性Feedfunction c的条件（69）（左）和函数h（右）。参数：r=0.01，^u=0.04，β=0.1，ρ=2.5，a=10，α（d）=100+20d，p=0.6。图16显示了带有c（d，35）的黄色图形的连续fit粘贴，其也出现在图15.5中。附录命题2的证明。ξ的恒等式已在[13]中得到证明。我们专注于证明Ξ的身份。注意，τ+D（a）可能发生在达到新的上确界Xt>D之前或之后。在下伏过程X未穿过d级的情况下，水位下降期τ+d（a）刚好超过d级- 另一方面，当X穿过d级时，则会获得一个新的上确界，下降过程从0开始。

然后，我们将函数Ξ分为这两个单独的场景：Ξ（d）=E | dhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））；τ+D（a）<τ+di+E | dhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））；τ+d<τ+d（a）i=Ehe-rτ-d-aα（d- Xτ-d-a） ；τ-d-a<τ+di+Ehe-rτ+d；τ+d<τ-d-爱河-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i=Ea-dhe公司-rτ-α（a- Xτ-); τ-< τ+ai+W（r）（a- d） W（r）（a）Ehe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i.（71）然后我们使用（9）中给出的双边公式。现在，我们确定出现在上述等式最后一行（71）中的期望值。26 Z.Palmowski-J.Tumilewicz图16。具有线性费用函数c的Cram'er-Lundberg模型的连续fit条件（d，35）。参数：r=0.01，^u=0.04，β=0.1，ρ=2.5，a=10，α（d）=100+20d，p=0.6。让我们通过考虑过程X在时间τ的位置来重写第一个预期-:Ea公司-dhe公司-rτ-α（a- Xτ-); τ-< τ+ai=α（a）Ea-dhe公司-rτ-; τ-< τ+a，Xτ-= 0i+Z（0，∞)α（a+h）Ea-dhe公司-rτ-; τ-< τ+a，Xτ-∈ - dhi。上述恒等式的第一个增量指的是当水位下降过程Dt爬升到a级以上时的情况，第二个增量指的是通过将过程Dt严格置于a级以上的XT跳跃来达到停止时间τ+D（a）时的情况。在【16，Cor.3】中对爬升情况进行了分析，得出：Exhe-rτ-; τ-< τ+a，Xτ-= 0i=ur（x，0，a）ur（0，0，a），其中ur（x，·，a）是从x开始退出[0，a]时的Xtkilled势能密度∈ [0，a]。根据[7，Th.8.7]，我们得到：ur（x，y，a）=W（r）（x）W（r）（a- y）- W（r）（x）- y） W（r）（a）W（r）（a）。我们记得，当且仅当XT具有非零高斯系数σ时，光谱负过程XT在0上爬行（见[16，Cor.2]）。

因此，Ea-dhe公司-rτ-; τ-< τ+a，Xτ-= 0i=lim↓0ur（a- d+, , a+)乌尔(, , a+)= lim公司↓0W（r）（a）- d+)W（r）（a）- W（r）（a）- d） W（r）（a+)W（r）()W（r）（a）- W（r）（0）W（r）（a+)=W0（r）（a）- d） W（r）（a）- W（r）（a）- d） W0（r）（a）W0（r）（0）W（r）（a）- W（r）（0）W0（r）（a）=σW0（r）（a）- d）-W（r）（a）- d） W0（r）（a）W（r）（a）.考虑τ的联合定律可以解决跳跃的情况-X（0）和Xτ-X（0），在[8，Th.5.5]中给出（注意这里的结果，虽然只针对漂移-复合泊松过程给出，但对于一般谱负L'evy过程也适用）。然后，Exhe-rτ-; Xτ-∈ - dh，Xτ--∈ dz，τ-< τ+ai=ur（x，z，a）∏(-z- dh）dz，L’evy型提款合同的公允价值27，h>0和z∈ （0，a）。因为我们只需要知道Xτ的位置-,我们必须对上述关于z的方程进行积分。总之，Ea-dhe公司-rτ-α（a- Xτ-); τ-< τ+ai=α（a）σW0（r）（a）- d）- W（r）（a）- d） W0（r）（a）W（r）（a）+ZaZ（0，∞)α（a+h）W（r）（a）- d） W（r）（a）- z） W（r）（a）- W（r）（a）- d- z）Π(-z- dh）dz。为了找到（71），在证明的最后一部分，我们找到了Ehe的公式-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i.注意-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i=α（a）Ehe-rτ+D（a）；Dτ+D（a）=ai+Z（0，∞)α（a+h）Ehe-rτ+D（a）；Dτ+D（a）∈ a+dhi。第一个方程式描述了水位下降过程在a以上爬行的情况，第二个方程式是指水位下降过程在跳跃时严格超过a级的情况。这两个期望值在【12】中计算如下：-rτ+D（a）；Dτ+D（a）∈ a+dhi=ZaW0（r）（a）- z） W（r）（a）W0（r）（a）- W（r）（a）- z）Π(-z- dh）dzandEhe-rτ+D（a）；Dτ+D（a）=ai=σW0（r）（a）- W00（r）（a）W（r）（a）W0（r）（a）.将所有增量放在一起完成证明。引理7的证明。开始时假设σ>0。使用与Eisenbaumand Kyprianou[5，Thm.3]证明中相同的论点，以及根据我们的假设，Dt的瞬时密度存在且henceP（Dt=θ*) = 0表示所有t>0（另见[15，等式。

（2.26）-（2.30）]，我们可以将函数p（t，Dt，Ut）的^o公式扩展为以下变量变化公式：p（t，Dt，Ut）=I（pC）（t，Dt，Ut）+I（pS）（t，Dt，Ut）+Zt聚苯乙烯d-pC机d（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds-,我们-)dLθs，（72），其中Lθ是Dtatθ的当地时间，可以像过程Xtin[5，Thm.3]那样正式定义。然而，在这个构造中，我们使用了一个重要的观察结果。请注意，【5】中的当地时间是沿着一些连续曲线b（t）定义的。点θ处的当地时间Lθtof dt与Xtat b（t）=Xt的当地时间相同- θ、 这是连续的，因为进程XT是连续的。此外，过程Xtin[5]位于整条实线中，而下降过程dt位于非负半线[0，∞). 因此，我们有关于上确界和内确界过程连续部分的in I（pC）和in I（pS）附加积分。现在，平滑fit将变化变量公式简化为以下等式：p（t，Dt，Ut）=I（pC）（t，Dt，Ut）+I（pS）（t，Dt，Ut）。因此，如果I（pC）（t，Dt，Ut）是鞅，而I（pS）（t，Dt，Ut）是上鞅，则p（t，Dt，Ut）是上鞅。这就完成了第一部分（i）的证明。为了证明第二（ii）和第三（iii）部分，请注意，从^p=pCor^p=Ps的Dynkin公式中，我们有：I（^p）（t，Dt，Ut）=I（^p）（0，D，U）+Ztd^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，0，Us-)dXcs-Zt公司u^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds-,0）dXcs+Zts^p（s，d，u）|（s，d，u）=（s，Ds，Us）+A（d，u）p（s，Ds，Us）ds+Mt，（73），其中Mt是鞅部分，a（D，U）是（37）-（38）中定义的马尔可夫过程（Dt，Ut）的完整生成器。另一种解释来自于将漂移识别为Xc的补偿器，等式d[X]cs=σdt和应用于跳跃部分的补偿公式（参见例[7，Thm.4.4，p。

95]).此外，为了证明（ii）部分，观察（74）I（pC）（t∧ τ-D（θ*)-, Dt公司∧τ-D（θ*)-, 美国犹他州∧τ-D（θ*)-) = pC（t∧ τ-D（θ*)-, Dt公司∧τ-D（θ*)-, 美国犹他州∧τ-D（θ*)-),它遵循适用于开集C中Pc的It^o公式。还要注意的是，过程（t，Dt，Ut）以连续的方式从setC到集合S，因为Xt是光谱负的。如果pC（t∧ τ-D（θ*), Dt公司∧τ-D（θ*), 美国犹他州∧τ-D（θ*)) = pC（t∧28 Z.Palmowski-J.Tumilewiczτ-D（θ*)-, Dt公司∧τ-D（θ*)-, 美国犹他州∧τ-D（θ*)-) 是一个鞅，然后从（73）应用到^p=pC，从（74）取smallt>0，我们可以得出结论，鞅条件（35）和正常反射条件（36）都成立。因此，根据（73），过程I（pC）（t，Dt，Ut）是所有t的鞅≥ 类似地，从（73）中，我们可以得出结论，上鞅条件（39）和正常反射条件（40）给出了I（pS）（t，Dt，Ut）的上鞅性质（我们还使用了xcsi是一个递减过程的观察结果）。所有这些参数均为真，对于有界变化的L'evy过程（3）（因此，对于σ=0）几乎没有变化。必须进行的唯一更改是将（72）更改为p（t，Dt，Ut）=I（pC）（t，Dt，Ut）+I（pS）（t，Dt，Ut）+Zt（pS- pC）（s、Ds-, 我们-) dLθs；详见【10】。在下一步中，应采用连续粘贴条件，其余证明与之前相同。这就完成了证明。命题11的证明。对于b<a和b=a两种情况，λ（·，·）和ν（·，·）的恒等式在[13]中得到了证明。我们的重点是识别N（·，·）。注意（τ+D（a）<τ+U（b））=1-（τ+U（b）<τ+D（a）），因为τ+D（a）和τ+U（b）不能同时发生。因此，对于b≤ a、 我们有-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））；τ+D（a）<τ+U（b）i=E | D | uhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i- E | d | uhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））；τ+U（b）<τ+D（a）i=E | D | uhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i- E | d | ue-rτ+U（b）E | Dτ+U（b）| bhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i；τ+U（b）<τ+D（a）,这源于强马尔可夫性。

我们将分别分析b<a和b=a的情况。假设b<a。我们可以扩展事件的等效表示τ+U（b）<τ+D（a），D=y，U=z根据【13】中给出的运行上确界和基础过程XT上确界，在停止时刻τ+U（b）处增加水位下降过程dt的位置，如下所示：nτ+U（b）<τ+D（a），Dτ+U（b）∈ ds，D=D，U=uo=nτ+b-u<τ-（d）-（a）∨(-u） ，Dτ+b-u=（d+u- b） +o∪nXτ+U（b）∨ d- Xτ+U（b）∈ ds+b，Xτ+U（b）≤ -u、 ds公司∈ （（d+u- b） +，a- b） 这是一个纯粹的几何和路径观察。利用这个恒等式，我们可以导出以下等式：E | d | ue-rτ+U（b）E | Dτ+U（b）| bhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i；τ+U（b）<τ+D（a）=Z[（d+u-b） +，a-b） E | d | uhe-rτ+U（b）E | s | bhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i；τ+U（b）<τ+D（a），Dτ+U（b）∈ dsi=Ehe-rτ+b-uτ+b-u<τ-（d）-（a）∨(-u） iE |（d+u-b） +| bhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i+Z（（D+u-b） +，a-b） E | s | bhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））即| D | uhe-rτ+U（b）；Xτ+U（b）∨ d- Xτ+U（b）∈ ds+b，Xτ+U（b）≤ -用户界面。使用（15）中给出的Ξ（·）的定义，我们得到了b<a的结果。对于b=a，请注意≤ 然后{τ+u（a）<τ+d（a）}={τ+a-u<τ-d-a} 。此外，由于- u≤ d，过程X没有正跳跃，那么Xτ+U（a）∨ d=X∨ d=d，Xτ+U（a）=a- u、 在这种情况下，dτ+u（a）=d+u- a、 另一方面，当a>u+d时，则Xτ+u（a）=Xτ+u（a）∈ （d，a- u] （详见【13】）。因此，我们得到Dτ+U（a）=0。我们刚刚证明了Dτ+U（a）=（D+U- a） +。因此，E | d | ue-rτ+U（b）E | Dτ+U（b）| bhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i；τ+U（b）<τ+D（a）= E |（d+u-a） +| ahe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））即| D | uhe-rτ+U（a）；τ+U（a）<τ+D（a）i=Ξ（（D+U- a） +）λ（d，u）。这就完成了证明。Levy型提款合同的公允价值29参考文献[1]Carr，P.，Zhang，H.和Hadjiliadis，O.（2011）《最大提款保险》。《国际理论与应用金融杂志》，14（8）：1-36。[2] Bouleau，N.和Yor，M。

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