与general签订的列维型提款合同的公允估值

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英文标题：
《Fair valuation of L\\\'evy-type drawdown-drawup contracts with general
  insured and penalty functions》
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作者：
Zbigniew Palmowski and Joanna Tumilewicz
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we analyse some equity-linked contracts that are related to drawdown and drawup events based on assets governed by a geometric spectrally negative L\\\'evy process. Drawdown and drawup refer to the differences between the historical maximum and minimum of the asset price and its current value, respectively. We consider four contracts. In the first contract, a protection buyer pays a premium with a constant intensity $p$ until the drawdown of fixed size occurs. In return, he/she receives a certain insured amount at the drawdown epoch, which depends on the drawdown level at that moment. Next, the insurance contract may expire earlier if a certain fixed drawup event occurs prior to the fixed drawdown. The last two contracts are extensions of the previous ones but with an additional cancellable feature that allows the investor to terminate the contracts earlier. In these cases, a fee for early stopping depends on the drawdown level at the stopping epoch. In this work, we focus on two problems: calculating the fair premium $p$ for basic contracts and finding the optimal stopping rule for the polices with a cancellable feature. To do this, we use a fluctuation theory of L\\\'evy processes and rely on a theory of optimal stopping.
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中文摘要：
在本文中，我们分析了一些与提取和提取事件相关的股票挂钩合同，这些合同基于受几何频谱负L拞evy过程控制的资产。提取和提取分别指资产价格的历史最大值和最小值与其当前价值之间的差额。我们考虑四份合同。在第一份合同中，保护买方以固定的强度支付保费$p$，直到出现固定规模的提款。作为回报，他/她在提款期收到一定的保险金额，这取决于当时的提款水平。其次，如果某个固定支取事件发生在固定支取之前，保险合同可能会提前到期。最后两份合同是前两份合同的延伸，但有一个额外的可取消功能，允许投资者提前终止合同。在这些情况下，提前停止的费用取决于停止时期的提款水平。在这项工作中，我们关注两个问题：计算基本合同的公平保费$p$，以及找到具有可取消特征的策略的最优停止规则。为此，我们使用了列维过程的波动理论，并依赖于最优停止理论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Fair_valuation_of_Lévy-type_drawdown-drawup_contracts_with_general_insured_and_.pdf (2.48 MB)

2022-6-2 18:11:22 上传

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关键词：General Era Differential respectively Quantitative

与一般保险公司和罚款职能部门签订的L’EVY型提款合同的公允价值Bigniew PALMOWSKI和JOANNA TUMILEWICZAbstract。在本文中，我们分析了一些与提取和提取事件相关的股票挂钩合同，这些合同基于几何谱负L'evy过程控制的资产。提取和提取分别指资产价格的历史最大值和最小值与其当前价值之间的差异。我们考虑四份合同。在第一份合同中，保护买方以恒定的强度支付溢价，直到出现固定规模的提款。作为回报，他/她在提款期收到一定的保险金额，这取决于当时的提款水平。其次，如果在固定支取之前发生特定的固定支取事件，保险合同可能会提前到期。最后两份合同是前一份合同的扩展，但有一个额外的可取消功能，允许投资者提前终止合同。在这些情况下，提前停止的费用取决于停止时期的提款水平。在这项工作中，我们关注两个问题：计算基本合同的公平保费p，以及找到具有可取消特征的政策的最优停止规则。为此，我们使用了L'evy过程的波动理论，并依赖于最优停止理论。关键词。保险合同？公平估价？提款？提取？Levy流程？最佳停止内容1。导言22。预备阶段23。支取保险合同53.1。公平溢价53.2。可取消功能84。纳入备用金154.1。公平溢价154.2。可取消功能185。附录25参考文献29日期：2021年11月24日。1991年数学学科分类。C61、G01、G13、G22。这项工作得到了国家科学中心第。

2015/17/B/ST1/01102（2016-2019）和2016/23/N/ST1/01189号（2017-2019）。2 Z.Palmowski-J.Tumilewicz1。简介最近的金融危机表明，提款事件可以直接影响个人和机构投资者的收入。这一基本观察结果表明，水位下降保护在日常实践中非常有用。因此，在本文中，我们考虑一些保险合同，这些合同可以保护买方免受巨额提款的影响。通过价格过程的下降，我们这里指的是当前价值与迄今为止达到的最大价值之间的距离。作为保护的回报，投资者支付溢价。更确切地说，我们考虑以下保险合同。在最简单的合同中，保护买方以恒定的强度支付赔偿金，直到出现固定规模的提款。作为回报，他/她在提款期收到一定的保险金额，这取决于此时的提款水平。另一份保险合同为任何特定的支取提供保护，包括支取意外开支。提取金额定义为资产现值当前超过运行最低值的增长。如果在固定支取之前发生特定的提前支取事件，则本合同可能提前到期。从投资者的角度来看，这是保险合同的一个非常苛刻的特征。事实上，当实现大规模提款时，几乎不需要为提款投保。因此，这种支取意外开支会自动停止保费支付，这是一个有吸引力的功能，有可能降低支取保险的成本。事实上，保险合同的买方可能会认为他们不太可能获得大额提款，他/她可能会想在其他任意时间停止支付保费。因此，我们通过添加一个可取消的特性来扩展前两个契约。

在这种情况下，提前停止的费用取决于停止时期的水位下降水平。我们关注两个问题：计算公平保费p*对于基本合同，并表明投资者的最佳可取消时间基于提款过程的第一个通过时间。这使我们能够确定我们所描述的所有合同的公平价格。差异模型在表示与大市场波动相关的风险方面的缺陷导致了各种跳跃式期权定价模型的发展，其中，大对数回报被表示为价格随时间的不连续性。因此，在本文中，我们用几何谱负L'evy过程对这些合同中出现的资产价格进行建模。在该模型中，对数价格log St=Xt由无正跳的L'evy过程描述。这是Black-Scholes市场的自然概括（对于Black-Scholes市场，XT=Btis是一个布朗运动），它允许更真实地表示价格动态，并允许更灵活地根据市场价格校准模型。这也将使我们能够再现各种各样的隐含性偏差和微笑（参见例[3]）。在本文中，我们遵循Zhang等人[24]以及Palmowski和Tumilewicz[13]。Zhang等人[24]考虑了Black-Scholes模型，与我们更一般的Levy型市场形成对比。然而，他们并不认为保险合同具有草拟或有事项和可撤销的特点。在Zhang等人【24】和Palmowski及Tumilewicz【13】中，保险金额和罚款是固定不变的。在本文中，我们允许这些工程量取决于停止期承包商到期时的水位下降水平。我们模型中的这一新功能允许更灵活的保险合同。

分析这一有趣的案例还需要更深入地了解L'evy过程在这些停止时间的位置，这也是理论上的兴趣所在。显然，这可以通过使用光谱负L'evy过程的波动理论来实现，并且可以从最佳停止理论中确定和发现新的结果。本文的研究继续了一系列分析缩编和缩编过程的论文，参见示例【1、6、11、17、18、20、21、22、23】。在本文中，我们还进行了广泛的数值分析，结果表明，建议的最佳停车时间和公平保费规则易于找到，实现的算法非常有效。我们主要关注资产价格的对数是线性布朗运动（Black-Scholes模型）或漂移负复合泊松过程（所谓的Cram'er-Lundberg风险过程）的情况。所考虑的合同价格对所选模型参数的依赖性显示出一些非常有趣的现象。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了稍后将使用的主要定义、符号和主要标识。在第3节中，我们分析了仅基于提取（有无可撤销特征）的保险合同。在第4节中，我们增加了在第一次提款时停止的额外可能性（有无可取消特征）。附录中给出了我们的一些证明。2、预备工作我们研究一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 P）满足通常条件。我们通过谱负L'evy过程Xt对风险标的资产价格对数St进行建模；也就是说，XT是一个具有独立增量的平稳随机过程，具有左极限的右连续路径，并且只有负跳跃（或者根本没有跳跃，这意味着XT是一个具有线性漂移的布朗运动）。

任何L'evy类型提款合同的L'evyFair估值3过程通过其特征函数与三元（u，σ，π）关联，如：ψ（φ）：=-iuφ+σφ+ZR（1- eiφy+iφy（| y |<1））π（dy），（1）其中u∈ R、 σ≥ 0和L'evy度量∏满意度（1∧ y） π（dy）<∞.在本文中，我们重点讨论了L'evy过程Xt的两个例子。我们显式地计算了所有这些量，并对它们进行了数值分析。第一个涉及Black-Scholes市场，在此市场下，XT是线性布朗运动，由XT=ut+σBt给出，（2）其中Bt是标准布朗运动，如果P是鞅测度，则u=r- 无风险利率r和波动率σ>0的σ/2。显然，Xtin（2）是一个光谱负的L'evy过程，因为它没有跳跃。在另一个经典例子中，我们关注具有指数跳跃的Cram'er-Lundberg过程：（3）Xt=ut-NtXi=1ηi，其中^u=u-R（0,1）y∏(- dy），序列{ηi}{i≥1} 由i.i.d.指数分布的随机变量组成，参数ρ>0，NTI为泊松过程，强度β>0，与序列无关。这两个例子描述了列维型原木价格的最重要特征：其差异性和可能的跳跃。因此，它们可以作为本文所述理论的核心示例。本文的主要观点是，公平保费、所有合约的价格和所有最优停止规则只能用两个特殊函数表示，这两个函数称为尺度函数。为了正确地定义它们，我们引入了Xt的拉普拉斯指数：（4）ψ（φ）：=log E[EφX]，这对于φ是很好的定义≥ 0，因为没有正跳转。回想一下，对于u∈ R、 σ≥ 对于L'evy测度∏，根据L'evy Khintchine定理：（5）ψ（φ）=uφ+σφ+Z（0，∞)e-φy- 1+φy（y<1）Π(- dy）。请注意，ψ在原点处为零，在原点处趋于完整，并且严格凸。

因此，我们可以很好地定义一个右逆Φ：[0，∞) → [0, ∞) （4）中给出的拉普拉斯指数ψ。因此，对于所有r，Φ（r）：=sup{φ>0：ψ（φ）=r}和ψ（Φ（r））=r≥ 0.对于r≥ 0我们在[0，∞) 使用拉普拉斯变换givenby:Z∞e-φyW（r）（y）dy=ψ（φ）- rforφ>Φ（r）。（6） 这就是所谓的第一尺度函数。从这一定义可以看出，W（r）是一个非负函数。第二个尺度函数通过以下关系与第一个尺度函数相关：Z（r）（φ）=1+rZφW（r）（y）dy.（7）在本文中，我们假设要么过程XT具有非平凡的高斯分量，即σ>0（因此，它是无界变差），要么是有界变差和∏(-∞, -y） 是y>0的连续函数。由[9，Lem 2.4]可知，W（r）∈ C（R+）（8）表示R+=（0，∞). 此外，在这种假设下，过程Xt具有绝对连续的跃迁密度，即对于任何固定的t>0，随机变量Xt是绝对连续的。示例1。对于线性布朗运动（2），拉普拉斯指数等于ψ（φ）=uφ+σφ4 Z.Palmowski-J.Tumilewicz，因此，φ的标度函数≥ 0，如下所示：W（r）（φ）=σe（Ξ-uσ)φ- e类(-Ξ-uσ)φ=Ξσe-uσφsinh（φ），Z（r）（φ）=rσe（φ-uσ)φΞ -uσ+e(-Ξ-uσ)φΞ +uσ!= e-uσφ余弦（φ）+σsinh（φ）,式中，Ξ=pu+2rσ。示例2。对于Cram'er-Lundberg过程（3），我们有ψ（φ）=^uφ+βρρ+φ- β，因此，对于φ≥ 0，W（r）（φ）=eΦ（r）φψ（Φ（r））+eζφψ（ζ），Z（r）（φ）=1+reΦ（r）φ- 1Φ（r）ψ（Φ（r））+reζφ- 1ζψ（ζ），其中Φ（r）=2^u（β+r- ^uρ）+p（β+r- ^uρ）+4r^uρ,ζ =2^u（β+r- ^uρ) -p（β+r- ^uρ）+4q^uρ.让我们表示：Xt=sups≤tXs，Xt=infs≤tXs。本文分析了与提取和提取过程相关的保险合同。这些过程的经典定义如下。Drawdown是进程运行最大值与其当前值之间的差值。

同时，drawup是过程电流值与其运行最小值之间的差值。在不丧失一般性的情况下，假设X=0。此外，可以允许从某些点d开始提取和提取流程≥ 0和u≥ 分别为0。也就是说，Dt=Xt∨ d- Xt，D=D，Ut=Xt- Xt公司∧ (-u） ，u=u。因此，上述值d和-u可以解释为processX的历史最大值和历史最小值。在日常实践中，Xmight的零水平被视为我们所处理资产的原木价格的当前位置。在这种情况下，上述对d和-你更清楚了。以下缩编和缩编过程的首次通过时间分别对进一步的工作至关重要：τ+D（a）：=inf{t≥ 0:Dt>a}，τ-D（a）：=inf{t≥ 0：Dt>a}，τ+U（b）：=inf{t≥ 0:Ut>b}，τ-U（b）：=inf{t≥ 0:Ut>b}，对于某些a，b>0。稍后，对于固定的d，u，我们将使用以下符号约定：P | d[·]：=P[·| X=0，d=d]，Px | d[·]：=P[·| X=X，d=d]，P | d | u[·]：=P[·| X=0，d=d，u=u]，Px | d | u[·]：=P[·| X=X，d=d，u=u]。最后，我们表示Px[·]：=P[·| X=X]，其中P=Pand E | d，Ex | d，E | d | u，Ex | d | u，Ex，E将是上述度量的相应预期。我们还将使用以下符号约定：E[·（A）]=E[·；A]。对L'evy过程的影响进行的开创性观察是，尺度函数（6）和（7）用于解决所谓的退出问题，由以下给出：Exhe-rτ+a；τ+a<τ-i=W（r）（x）W（r）（a），（9）Exhe-rτ-; τ-< τ+ai=Z（r）（x）- Z（r）（a）W（r）（x）W（r）（a），（10）列维型提款合同的公允价值5，其中x≤ a、 r≥ 0和τ+a：=inf{t≥ 0:Xt≥ a} ，τ-a： =inf{t≥ 0:Xt<a}是过程Xt的第一次通过时间。我们用公式（Mijatovi\'c和Pistorius[12，Thm]中给出）完成本节。

3] ）确定了{τ+U（b），Xτ+U（b），Xτ+U（b）}的联合定律，对于r，U，v≥ 0:Ee-rτ+U（b）+uXτ+U（b）；Xτ+U（b）<v=eub1+（r- ψ（u））Rb-ve公司-uyW（r）（y）dy1+（r- ψ（u））Rbe-uyW（r）（y）dy- e-u（b-v） W（r）（b）- v） W（r）（b）。(11)3. 提取保险合同3.1。公平溢价。在本节中，我们考虑保险合同，其中保护买方连续支付constantpremium p>0，直到发生规模a>0的提款。作为回报，他/她会收到奖励α（Dτ+D（a）），这取决于此时的提款过程的值。对于φ<a，很自然地假设α（φ）=0。设r≥ 0为无风险利率。我们在本文中考虑的第一个基本合同的价格等于未来现金流的贴现价值：f（d，p）：=E | d“-Zτ+D（a）e-rtp dt+α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）#。（12） 在本合同中，投资者希望保护自己免受资产价格St=Ext从上一个最大值下跌超过固定水平Ea的影响，其中一些固定a>0。换言之，她/他认为，即使价格在规模EAT的首次提款后再次上涨，也不会给她/他带来足够的资金。因此，她/他准备签订此类合同，通过在提款期获得α（Dτ+D（a））来减少损失。请注意，我们根据投资者的头寸确定提款合同价值（12）。当价值为正时，这代表投资者的储蓄利润；当价值为负时，这代表投资者的损失。因此，对于第一种情况下的保险公司和第二种情况下的投资者来说，该合同是不可靠的。对双方而言，唯一公平的解决方案是合同价值等于零。显然，这意味着这是建造合同所依据的溢价p，或者可以作为基本参考经济溢价。定义1。当合同价值开始时等于0时，保费p被认为是公平的。

我们用p表示该公平保费*. 我们将添加初始支取（和后期支取）的参数，以强调其对初始条件的依赖性，例如书写p*（d） 或p*（d，u）。本节和本文的主要目标是确定公平保费p*对于第一个合同（12）预期负L'evy型市场。让我们从基本观察出发：（13）f（d，p）=prξ（d）-pr+Ξ（d），式中ξ（d）：=E | dhe-rτ+D（a）i，（14）Ξ（D）：=E | dhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））i（15）分别是τ+D（a）的拉普拉斯变换和折扣奖励函数。注意ξ∈ [0，1]定义良好。此外，从现在起，我们假设≥ 0Ξ（d）<∞,（16） 对于Ξ的定义。观察（16）是否成立，例如对于有界奖励函数α。为了给合同（12）定价，我们首先确定关键函数ξ和Ξ。提案2。对于ξ和Ξ，支取合同（12）的值等于（13）：ξ（d）=Z（r）（a- d）- rW（r）（a）- d） W（r）（a）W0（r）（a）6 Z.Palmowski-J.TumilewiczandΞ（d）=ZaZ∞α（a+h）W（r）（a）- d） W0（r）（a）- z） W0（r）（a）- W（r）（a）- d- z）Π(-z- dh）dz+α（a）σW0（r）（a）- d）- W（r）（a）- d） W00（r）（a）W0（r）（a）,其中∏是（5）中正式定义的基础过程的L'evy度量。证据见附录。注意τ+D（a）<∞ a、 根据命题2，在ξ（d）中取r=0。从（13）中，利用命题2，我们可以得出以下定理。定理3。对于合同（12），公平保费等于：（17）p*（d） =rΞ（d）1- ξ（d）。示例1（续）。