与general签订的列维型提款合同的公允估值

Tumilewiczd进程只向上跳，在可能的跳变后，上述指示器可能会产生零。考虑到这一观察结果，我们可以将上述不等式改写如下：- 重新-rtg<（d，p，θ*) + e-rtA（D）g<（D，p，θ*) = -重新-rtf（d，p）- ue-rt公司df（d，p）+σdf（d，p）+e-rtZ（0，θ*-d）f（d+z，p）-f（d，p）- zf（d，p）Π(- dz）+e-rtZ（θ*-d∞)-f（d，p）- zdf（d，p）Π(- dz）≤ -重新-rtf（d，p）- ue-rt公司df（d，p）+σdf（d，p）+e-rtZ（0，∞)f（d+z，p）-f（d，p）- zf（d，p）Π(- dz）≤ 如前所述，第一个不等式来自（42），第二个不等式来自▄f的超鞅性质。引理7（iii）中的条件（40）满足，因为g<（d，p，θ*) =d上的f（d，p）∈ [0, θ*) 条件（40）已经被证明是f。这就完成了证明。备注10。现在，我们将对所做的假设（41）和（42）给出一些评论。请注意，当满足条件（41）时-u+R（1，∞)z∏(- dz）≤ 0和所有凸非递增惩罚函数c，使得PR≥ c（d）表示所有d≥ 实际上，我们可以将不等式（41）改写如下- uc（d）+σc（d）+Z（0，∞)c（d+z）- c（d）- zc（d）（z<1）Π(- dz）=-u+Z（1，∞)z∏(- dz）！c（d）+σc（d）+Z（0，∞)（c（d+z）- c（d）- zc（d））π(- dz）≥ -p+rc（d）。（47）整数符号下的表达式为正sincec（d+z）- c（d）≥ zc（d）由c的凸性决定。现在，不等式（47）的右侧由（46）变为非正，左侧的所有项均为非负。因此，条件（41）成立。条件（42）适用于布朗运动，因为它有连续的轨迹。不幸的是，我们无法给出假设（42）成立的充分条件。我们用数字来检验这一点，并证明它适用于我们所有的例子。请注意，只要支付函数为非负（例如，对于经典美式期权），即可满足该条件。在本文中，情况并非如此。

事实上，鉴于命题4中的分解，payoff函数f可以获得负值。示例1（续）。让我们考虑两个惩罚函数：线性和二次：c（d）=pra（a- d） （0）≤d<a，（48）c（d）=pra（a- d） （0）≤d<a）。（49）我们选择固定奖励函数；就是这样。α（a）=α。我们还必须选择溢价强度p，以使条件（28）满足。此外，请注意，对于布朗运动，由于没有跳跃，条件（42）始终成立。考虑到函数f相对于c（·）和c（·）的溢价p都在下降，图5显示我们可以选择p≥ 在这两种情况下，我们的参数集均为0.1。回想一下，最佳θ*最大化（27）中给出的函数G>（d，p，θ）。对于布朗运动，我们有：g>（d，p，θ）=eμσ（d-θ） 新罕布什尔州- d） ）信义（a）- θ))-pr+αe-uσ（a-θ） Ξcosh（Ξθ）-uσsinh（Ξθ）cosh（Ξa）-uσsinh（Ξa）+pr- c（θ）.通过绘制该函数，我们可以很容易地确定最佳水平θ*. 这在图6中完成。示例2（续）。我们还分析了线性和二次惩罚函数（48）-（49）以及线性奖励函数α（·）的Cram'er-Lundberg模型。如函数▄f的图7所示，我们可以对勒维类型的提款合同15进行罚款评估图5。布朗运动的函数f、线性惩罚函数c和二次惩罚函数c，以及各种保费p。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10，α=100。图6：。布朗运动、线性惩罚函数C和二次惩罚函数C以及各种起始水位降深水平d的函数g>（d，p，θ）。参数：p=0.2，r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10，α=100。对于条件（28）保持的参数集，强度p大于0.1。

此外，在这种情况下，我们有：g>（d，p，θ）=公共关系- c（θ）-pr+α（a+ρ）c+cΦ（r）eΦ（r）（a）-θ） +cζeζ（a-θ)·ψ（ζ）eΦ（r）（a）-d） +ψ（Φ（r））eζ（a-d） ψ（ζ）eΦ（r）（a）-θ） +ψ（Φ（r））eζ（a-θ).在图8中，我们对条件（42）进行了数值检查，并使用上述公式给出了g>（d，p，θ）的值。找到最佳停车水平θ*对于水位下降，我们选择使值函数最大化的θ。4、合并临时提款4.1。公平溢价。投资者可能希望购买符合某些到期条件的合同。这意味着合同将在这些条件完全满足时终止。我们在之前的合同中加入了这一功能，考虑到了预备费或有事项。特别是，如果在提款期之前发生固定的提款事件，则下一份合同可能会提前到期。选择选股活动是很自然的，因为它符合一些市场上升趋势。因此，投资者可能不再相信在不久的将来会发生大规模的提款，她/她可能希望在这种情况发生时停止支付溢价。在风险中性度量下，该合同的价值等于：k（d，u，p）：=E | d | u”-Zτ+D（a）∧τ+U（b）e-rtp dt+α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）（τ+D（a）<τ+U（b）），（50）16 Z.Palmowski-J.Tumilewicz图7。Cram'er-Lundberg函数、线性和二次线性函数以及各种保费p的函数▄f。参数：r=0.01，^u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，a=10，α（d）=100+10d。图8：。条件（42）（左）和函数g>（d，p，θ）（右），用于Cram'er-Lundberg模型、线性和二次曲线函数以及各种初始水位降深水平d。参数：p=0.1，r=0.01，^u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，a=10，α（d）=100+10d。其中a≥ b≥ 0

首先，我们找到上述价值函数，然后确定公平保费p*其中（51）k（d，u，p*) = 注意k（d，u，p）=prν（d，u）+λ（d，u）+ N（d，u）-pr，（52）式中ν（d，u）：=E | d | uhe-rτ+D（a）；τ+D（a）<τ+U（b）i，（53）λ（D，U）：=E | D | uhe-rτ+U（b）；τ+U（b）<τ+D（a）i，（54）N（D，U）：=E | D | uhe-rτ+D（a）α（Dτ+D（a））；τ+D（a）<τ+U（b）i.（55）注意，自ν，λ起，上述所有函数都得到了很好的定义∈ [0，1]和N（d，·）≤ Ξ（d）<∞ 按（16）。在下一个命题中，我们确定了上述所有数量。我们表示x+=最大值（x，0）。Levy型提款合同的公允估值17提案11。对于任何d，设b<a∈ [0，a]和u∈ 我们有：λ（d，u）=W（r）（（a- d）∧ u） W（r）（b）- u+（a- d）∧ u） +Ehe-rτ+U（b）；Xτ+U（b）∨ d- Xτ+U（b）<a，Xτ+U（b）≤ -ui，ν（d，u）=Z（r）（a）- d）- Z（r）（b）- u+a- d） W（r）（a）- d） W（r）（b）- u+a- d）（d+u≥a） +Ehe-rτ+U（b）；Xτ+U（b）∨ d- Xτ+U（b）≥ a、 Xτ+U（b）≤ -u、 Xτ+u（b）≤ b- ui（d+u<a）Ehe-rτ+U（b）i，N（d，U）=Ξ（d）-W（r）（（a- d）∧ u） W（r）（b）- u+（a- d）∧ u） Ξ（（d+u- b） +）-Z（（d+u-b） +，a-b） Ξ（s）E | d | uhe-rτ+U（b）；Xτ+U（b）∨ d- Xτ+U（b）∈ ds+b，Xτ+U（b）≤ -ui，其中（τ+U（b）、Xτ+U（b）、Xτ+U（b））的联合分布通过（11）给出，其中Ξ（·）在（15）中定义。此外，如果a=b，则对于d，u∈ [0，a]，我们有：λ（d，u）=W（r）（a- d） W（r）（a）- u+（a- d）∧ u）-rW0（r）（a）（W（r）（a））Z（r）（（a- d）∨ u）- Z（r）（u）,ν（d，u）=Z（r）（（a- d）∧ u）- Z（r）（a）- u+（a- d）∧ u） W（r）（a）- d） W（r）（a）- u+（a- d）∧ u） +rZ（r）（a）W0（r）（a）（W（r）（a））Z（r）（（a- d）∨ u）- Z（r）（u）,N（d，u）=Ξ（d）- λ（d，u）Ξ（（d+u- a） +）。证据见附录。恒等式（52）给出了以下定理。定理12。（52）中给出了合同价格（50），而（51）中定义的公平保费等于：（56）p*（d，u）=rN（d，u）1- λ（d，u）- ν（d，u），其中函数λ、ν和N在命题11中给出。示例1（续）。我们继续分析（2）中定义的线性布朗运动的情况。

假设b<a。为了确定合同价格（50），我们使用公式（52），并计算（53）-（55）中的所有函数λ、ν和Ngiven。首先，让我们考虑一个≤ 通过引理11，将函数ν和λ的表达式简化为双边出口公式（9）–（10）。这些是用比例函数明确给出的：λ（d，u）=W（r）（a- d） W（r）（a+b）- d- u） ，ν（d，u）=Z（r）（a- d）- Z（r）（a+b- d- u） W（r）（a）- d） W（r）（a+b- d- u） 。假设布朗运动有连续的轨迹，我们有Dτ+D（a）=a。从函数N的定义（55）表示α（a）=α，我们可以得出结论：N（D，u）=αν（D，u）。a>d+u的情况稍微复杂一些。首先观察双进程bxt：=-XT又是一个带漂移的线性布朗运动-u. 此外，对过程X和bx轨迹的几何观察得出but=dt和bdt=Ut，其中butandbdt分别是bxt的上升和下降过程。18 Z.Palmowski-J。

TumilewiczNow，使用[12]，我们可以找到函数λ和ν的显式表达式：λ（d，u）=rW（r）（b）σ（W0（r）（b））W（r）（b）- W00（r）（b）Z（r）（b）∧ （a）- u） （）- Z（r）（d）e-（a）-b） W0（r）（b）W（r）（b）（b>d）+W（r）（b）W0（r）（b）σ（W0（r）（b））W（r）（b）- W00（r）（b）e-uW0（r）（b）W（r）（b）- e-（a）-b∨d） W0（r）（b）W（r）（b）！（a>u+b）+W（r）（u）W（r）（b）ν（d，u）=W（r）（b- u） W0（r）（b）σ（W0（r）（b））W（r）（b）- W00（r）（b）e-（a）-b∨（d+u））W0（r）（b）W（r）（b）Z（r）（b）-rW（r）（b）σ（W0（r）（b））W（r）（b）- W00（r）（b）Z（r）（b）- u）- Z（r）（d）e-（a）-b） W0（r）（b）W（r）（b）Z（r）（b）（b>d+u），其中W（r）和Z（r）是为bxt定义的标度函数（有关计算的所有详细信息，请参见[23]和[13]）。因为N（d，u）=αν（d，u），所以（52）和（56）中定义的合同价值和公平保费可以表示为：k（d，u，p）=pr+αν（d，u）+prλ（d，u）-pr，p*（d，u）=rαν（d，u）1- λ（d，u）- ν（d，u）。图9和图10显示了合同价值和公平保费水平，具体取决于提取和提取的起始头寸。图9：。合同k（d，u，p）的值，具有线性布朗运动的提取偶然性，取决于各种溢价水平p的提取和提取的起始位置。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10，b=8，α=100。示例2（续）。现在，假设a=b，奖励函数是线性的。为了分析Cram'erLundberg过程，我们使用命题11，该命题确定了（52）中给出的合同价值。公平溢价p*可以从定理12的（56）中导出。图11和图12显示了合同价值和公平保费水平，具体取决于提取和提取的起始头寸。4.2. 可取消的功能。我们在本文中考虑的最后一份合同允许投资者提前终止它，并且它有备用金。换句话说，我们将可取消特性添加到（50）中给出的先前合同k（d，u，p）中。

在这种情况下，保护买方可通过支付费用c（Dτ）终止其地位≥ 在水位下降纪元之前的任何时间为0。请注意，该费用的价值可能取决于L’evy型提款合同19的空中估价时的提款价值图10。公平溢价p*对于合同k（d，u，p），根据水位下降（顶部）和水位上升（底部）的起始位置，线性布朗运动的水位上升偶然性。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10，b=8，α=100。终止时刻。该合同的价值等于，K（d，u，p）：=supτ∈TE | d | u“-Zτ+D（a）∧τ+U（b）∧τe-rtp dt+α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）（τ+D（a）<τ+U（b）∧τ)- c（Dτ）e-rτ（τ<τ+D（a）∧τ+U（b））；τ < ∞#.（57）为了分析可取消特征，我们将合同价值改写为引理5中给出的类似形式。也就是说，我们可以将具有可取消特征的草拟应急合同表示为两部分之和：一部分没有可取消特征（然后是k（d，u，p）），另一部分取决于停止时间τ。提案13。可撤销提取保险价值（57）允许以下分解：K（d，u，p）=K（d，u，p）+H（d，u，p），（58），其中H（d，u，p）：=supτ∈Thτ（d，u，p），（59）hτ（d，u，p）：=E | d | uhe-rτИk（Dτ，Uτ，p）；τ<τ+D（a）∧ τ+U（b），τ<∞i、 （60）~k（d，u，p）：=-k（d，u，p）- c（d）（61）20 Z.Palmowski-J.Tumilewicz图11。Cram'er-Lundberg模型的合同k（d，u，p）的价值与线性奖励函数α（d）和各种保费水平p的提取和提取的起始位置有关。参数：r=0.01，^u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，a=10。对于（50）中定义和（52）中确定的k。证据

使用（τ+D（a）<τ+U（b）∧τ） =（τ+D（a）<τ+U（b））-（τ<τ+D（a）<τ+U（b））我们得到：K（D，U，p）=E | D | U“-Zτ+D（a）∧τ+U（b）e-rtp dt+α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）（τ+D（a）<τ+U（b））#+supτ∈TE | d | u“Zτ+d（a）∧τ+U（b）τ∧τ+D（a）∧τ+U（b）e-rtp dt- α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）τ<τ+D（a）<τ+U（b）- c（Dτ）e-rτ（τ<τ+D（a）∧τ+U（b））；τ < ∞#.注意（τ<τ+D（a）<τ+U（b）=（τ<τ+D（a）∧τ+U（b）（τ+D（a）<τ+U（b）。因此，结果来自于在停止时间τ应用的强马尔可夫性质：K（d，u，p）=K（d，u，p）+supτ∈TE | d | uhe-rτE | Dτ| Uτ“Zτ+D（a）∧τ+U（b）e-rtp dt#- α（Dτ+D（a））e-rτ+D（a）（τ+D（a）<τ+U（b））- c（Dτ）e-rτ；τ<τ+D（a）∧ τ+U（b），τ<∞i。为了确定合同K的价值，从而确定（59）中定义的函数H，我们与之前一样，使用“猜测和验证”方法。最优停车策略的候选者τ*第一次通过时间是否过高- θ*对于某些θ*∈ （d+u- b、 a）稍后将详细说明；即，（62）τ*:= τ+d-θ*.备注14。我们在这里允许θ*为负值，对应于从d tod+|θ上升的运行上确界*|. 最后，注意，如果θ*> 0然后τ*变为τ-D（θ*), 对于无提款或有事项的可撤销提款合同。例如，通过使用验证引理5来简化θ的阐述*< 0我们将稍后处理τ+d-θ*作为第一次水位下降通过时间τ-D（θ*).在这一点上，应注意，如果▄k（Dτ+D-θ、 Uτ+d-θ、 p）对于所有θ<0，则投资者最好不终止合同，因此τ=∞ hτ（d，u，p）=0。为了避免这种琐碎的情况，从现在起，我们假设至少存在一个点（d，u）和d∈ [0，d）和u>u，其中k（d，u，p）>0。这相当于以下不等式：pr- c（d）>prν（d，u）+prλ（d，u）+N（d，u）≥ 0。（63）我们现在将找到（60）中定义的函数hτ（d，u，p），用于假设停止规则（64）τ=τ+d-θ表示θ∈ （d+u- b、 d）。列维型提款合同的公允价值21图12。

公平溢价p*对于合同k（d，u，p），根据线性奖励函数α（d）的下降（顶部）和上升（底部）的起始位置，Cram'er-Lundbergmodel的上升应急。参数：r=0.01，^u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，a=10。然后，我们将在θ上最大化hτ（d，u，p）以找到θ*. 在最后一步中，我们将使用验证引理（检查其所有条件）来验证建议的停止规则是真正的最优。我们从第一步开始，即确定给定τ（64）的函数hτ（d，u，p）。对于θ∈ （d+u- b、 a）我们表示：hτ+d-θ（d，u，p）=hτ+d-θ（d，u，p）（d>θ）+hτ+d-θ（d，u，p）（d≤θ） ：=h>（d，u，p，θ）（d>θ）+h<（d，u，p，θ）（d≤θ).（65）回想一下，基础进程X从0开始。注意，对于θ≥ d、 然后X>d- θ，投资者应立即终止合同；也就是说，h<（d，u，p，θ）=~k（d，u，p）。（66）现在假设θ<d。我们将计算函数h>（d，u，p，θ）。考虑到所考虑的过程XT具有非常明显的正跳变，因此，它在所有水平上连续向上交叉，从提取和提取过程的定义来看，我们有：Uτ+d-θ=Xτ+d-θ- Xτ+d-θ∧ (-u） =d- θ - Xτ+d-θ∧ (-u） ，Dτ+D-θ=Xτ+d-θ∨ d- Xτ+d-θ=（d- θ) ∨ d- （d）- θ) = θ ∨ 此外，关于{τ+d-θ<τ+U（b）∧τ+D（a）}我们可以观察到Uτ+D-θ<b和Dτ+D-θ<a，其中Ut：=sups≤tUsand Dt：=sups≤TDS分别记录进程Utan和Dt的运行上限。事实上，从22 Z.Palmowski-J.Tumilewicz对提款的定义来看，我们有Uτ+d-θ=Uτ+d-θ. 因此，以下不等式成立：Xτ+d-θ∧(-u） >d-θ-b、 在分析提款过程时，我们考虑了两种情况。首先，让θ>0，然后是Dτ+D-θ=d- Xτ+d-θ<a.秒，如果θ≤ 0，那么我们有Dτ+D-θ≤ （d）- θ) - Xτ+d-θ≤ Uτ+d-θ<b<a。这些观察结果给出了一个额外的不等式：Xτ+d-θ> （d）- θ) ∨ d- 一

我们现在可以将函数h>重写如下：h>（d，u，p，θ）=E | d | uhe-rτ+d-θИk（θ∨ 0，d- θ - Xτ+d-θ∧ (-u） ，p）；Xτ+d-θ> （d）- θ) ∨ d- a、 Xτ+d-θ∧ (-u） >d- θ - bi=~k（θ∨ 0，d+u- θ、 p）E | d | uhe-rτ+d-θ; Xτ+d-θ> (-u）∨ （（d- θ) ∨ d- a） i（d+u-b<θ）+E | d | uhe-rτ+d-θИk（θ∨ 0，d- θ - Xτ+d-θ、 p）；-u≥ Xτ+d-θ> （d）- θ - （b）∨ （（d- θ) ∨ d- a） （τ+d）的联合定律-θ、 Xτ+d-θ） 可从（9）中给出的双边公式得出：Ehe-rτ+d-θ; Xτ+d-θ> -yi=Ehe-rτ+d-θ; τ+d-θ< τ--yi=W（r）（y）W（r）（d）- θ+y）。然后，函数h>（d，u，p，θ）的最终形式可以表示为：h>（d，u，p，θ）=k（θ+，（d- θ+u）+，p）W（r）（u∧ （a）- （d）- θ) ∨ d） ）W（r）（d）- θ+u∧ （a）- （d）- θ) ∨ d） ）（θ>d+u-b） +Z（b+θ）-d）∨（a）-（d）-θ)∨d） uk（θ+，（d- θ+y）+，p）yW（r）（y）W（r）（d）- θ+y）dy（（b+θ-d）∨（a）-（d）-θ)∨d） >u）。（67）由于h<（d，u，p，θ）不依赖于θ，正如之前的提款合同一样，我们选择了最佳水平θ*使函数h>最大化（d，u，p，θ）；也就是说，我们定义：θ*= inf{θ∈ （d+u- b、 d）]：h>（d，u，p，）≤ h> （d，u，p，θ） ≥ 0 } .（68）引理15。假设（63）成立。那么，存在θ*定义见（68）。证据首先注意，h>（d，u，p，·）在[d+u]上是连续的- b、 d]因为k和标度函数W（r）是连续的。如果θ↓ d+u- b然后Dτ+D-θ↓ （d+u- b） +和Uτ+d-θ↑ b、 因此，h>（d，u，p，θ）-→ -c（（d+u- b） +）W（r）（u∧ （（a- b+u）∨ d） ）W（r）（b）- u+u∧ （（a- b+u）∨ d） （）≤ 0。一方面，作为θ↑ 我们得到dτ+d-θ↑ 然后，h>（d，u，p，θ）-→k（d、u、p）。如果k（d，u，p）<0，则根据假设（63），存在θ*. 另一方面，当k（d，u，p）≥ 0，则θ*存在于间隔内（d+u- b、 d）或在边界处达到最大值；也就是θ*= d、 第二种情景对应于合同立即终止的情况。从这个证明中，我们可以看到h>（d，u，p，θ）-→k（d、u、p）。