金融网络中的动态清算与传染

与priorexample默认触发器不同，此设置具有（潜在的）异构和依赖时间的默认函数。与上述最低和最高联合违约触发条件相反，任何级联的触发违约完全基于违约银行的回报。在ui=r=0的风险中性设置中，如果Dλi（t，0，K）>0，则该转移违约为非流动性，否则为基本破产。然而，如果ui>r=0，则任何级联的触发违约将始终是非流动性；相反，如果ui<r=0，则任何级联的触发违约都是一种破产。5个数值例子在本节中，我们希望考虑两个简单的数值例子来证明上述模型的某些性质。首先，在示例5.1中，我们考虑清理cas h和资本账户的单一样本路径，以便可视化早期违约的影响。特别是，在违约时间，资本账户（向下）和现金账户（向上）的跳跃都得到了清楚的证明。因此，沿着此示例路径，默认传染很明显。然后，在例5.2中，我们利用蒙特卡罗模拟来确定系统风险的统计数据。具体而言，我们研究了违约规则对违约概率和社会财富的影响（通过现金和资本账户衡量）。值得注意的是，尽管违约概率是单调的，但系统动力学内在地构造了一个非单调的结果，使得违约规则的严格性发生了变化。为了简单起见，在本节中，我们将考虑假设4.8的几何布朗运动设置。示例5.1。考虑一个有三家银行的中央系统，每家银行都有义务成为外部社会节点。考虑时间间隔T=[0，1]。

让这些银行对i有随时间变化的义务Lij（t）=t1{i6=j}∈ N和j∈ N、 即，一个对称且完全连接的义务体系。附录Cto中显示了持续相对负债的假设，以提供在忽略违约的情况下，艾森伯格Noe在最终时间清算财富；在此，我们将看到，对于早期违约，这种情况不再成立。我们将根据假设4.8（即每个银行i的ui=r=0）对外部资产进行风险中性设置∈ N） 当初值xi（0）=2时，波动率σi=1，对于任何一对组i，j，布朗运动的成对相关性ρij=1{i=j}+{i6=j}∈ N、 由于本示例的目的是证明违约对现金和资本账户的单一充足路径的影响，因此we0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4时间（t）0.51.52.53.5社会：K（t）-Et[x（t）]银行1：K（t）银行2：K（t）银行3：K（t）（a）示例5.1：清算资本账户超时。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4时间（t）0.51.52.53.5社会：V（t）-x（t）银行1：V（t）银行2：V（t）银行3：V（t）（b）示例5.1：清算现金账户超时。图1：示例5.1：清算现金和资本账户的单一样本路径，以证明早期违约对其他机构财富的影响。将采用v=k=0的最小联合违约触发，即，如果银行的现金或资本账户达到0，则银行将违约。值得注意的是，所提供的设置是{x（t）+L（t）~1.- L（t）~ 1 | t∈T} 因此，如4.11提案所述，第一次违约将因基本破产（即τmin[1]=τK[1]）而发生。在默认情况下，我们将回收率取为α=、β=、γ=。图1提供了该清算系统的单个示例路径。在此示例路径中可以看到，银行3在时间τ发生破产事件≈ 0.224触发银行2的级联违约。

对1号银行的影响是显而易见的，虽然不是直接的级联故障，但对1号银行资本l的影响也导致了其早期违约。然而，社会和1号银行的现金账户在违约发生后立即得到改善≈ 0.224; 违约后，社会现金账户明显放缓了利率，因此，尽管现金账户在短期内有所改善，但在长期内却受到了损害。示例5.2。再次考虑示例5.1中的三银行+社会节点系统，该系统具有相同的网络结构，但在违约情况下完全恢复（即α=β=γ=1）。然而，我们现在希望考虑违约触发水平v=k（在最小联合触发规则集下）对以下方面的影响：（i）违约概率；（ii）社会节点终端现金账户的分配减去其外部资产V（T）- x（T）；以及（iii）社会节点及其外部资产K（T）的终端资本账户分布- x（T）。这些统计数据将通过10次模拟的蒙特卡罗方法进行处理。值得注意的是，由于该系统中的银行是对称的，在所有设置下，每家银行的违约概率都是相等的，因此，我们将报告三家银行的平均概率，以减少不确定性。我们进行这一分析是为了考虑违约触发因素对金融稳定性的高度非线性影响。更改默认阈值的结果如图2所示。首先，在图2a中，正如预期的那样，联合违约阈值v=k中的违约概率增加。

然而，如图2b和2c所示，违约风险的增加可以通过违约情况下增加的恢复来抵消；正如现金账户特别值得注意的那样，违约和社会账户之间存在着明显的权衡。例如，对于默认阈值v=k=1，几乎可以肯定每个银行都会违约，但社会会全额收回其资产，这样无论是现金账户还是资本账户都不会发生损失。在图2b中，我们观察到社会的预期和中位数cas h账户对v=k不敏感∈ [-2.-0.5].对于v=k≥ -0.5，平均值和中值社会现金账户单调改善，直到Lv=k≥ 然而，尽管违约可能性增加，社会仍会全额收回所有资产。值得注意的是，对于v=k∈ [-0.5，0]，虽然社会现金账户的平均值和中位数有所改善，但收回所有债务的概率小于该地区以外的债务；这是由于早期违约造成的损失。此外，对于v=k∈ [-1.5, -0.5]，社会资本账户单调恶化；对于v=k∈ [-0.5，1]，这种单调性随着社会对额外资产的核算（v=k的完全回收）而逆转≥ 0）即使违约概率继续增加。还请注意，由于银行有可能未向社会支付债务，但没有违约，因此v=k<0时，社会资本账户一致优于现金账户；对于v=k≥ 0此事件不能发生，因此，Terminalsocial现金和资本账户必须相等。6结论在本文中，我们考虑扩展[12]的金融传染模型，以允许现金流和债务在时间上是动态的。

我们在一个连续时间框架下给出了该模型，并在确定性和It^o设置下给出了清算解存在唯一性的条件。在这种动态背景下，我们引入了流动性不足和破产违约的数学定义，这取决于央行可能提供的救助类型，以避免违约。值得注意的是，非流动性和非流动性之间的这种区别只能由于本工作中引入的时间动力学而发生；在staticEisenberg-Noe系统中，资本账户和现金账户是相同的。对我们来说，这一模型有五个明显的扩展，我们预计将进一步创建-2-1.5-1-0.5 0.5 1v=k0.10.20.30.40.50.60.70.80.9（a）示例5.2：银行违约的经验概率随最小阈值SV=k.-2-1.75-1.5-1.25-1-0.75-0.5-0.25 0.25 0.5 0.75 1v=k0.51.52.5（b）示例5.2：终端社会现金账户的经验分布和平均值（黑线）减去其外部资产TSV（T）- x（T）在变化的最小阈值v=k.-2-1.75-1.5-1.25-1-0.75-0.5-0.25 0.25 0.5 0.75 1v=k0.51.52.5（c）示例5.2：终端社会资本账户的经验分布和平均值（黑线）减去其外部ass etsK（T）-x（T）在变化的最小阈值v=k上。图2：示例5.2：实证结果表明，最小违约触发点的违约阈值v=k对三银行系统系统风险度量的影响。静态和动态模型之间的差异。第一个扩展是将银行间债务的会计估值从此处使用的向后看的历史价格会计程序更新为向前看的按市值计价会计规则。[4，3]在单周期设置下研究了这种网络估值调整程序。

第二个扩展是将非流动资产和证券销售包括在内。在静态模型中，例如[8、1、14]，当所有公司都收到相同的价格时，清算资产没有先动优势。然而，在动态模型中，为了获得更高的价格，提前清算可能会有好处，但这可能会在其他财务报表中产生更大的利润，正如【15】中在纯价格中介传染环境中所做的那样。第三个扩展是纳入或有付款和信用违约掉期。在静态设置中，[2、31、30]最近考虑了这一点。考虑到网络动态取决于清算现金账户的历史，静态工作中报告的许多难题可能会自然得到重新解决；我们参考文献[2]，其中对该扩展进行了初步讨论。第四个扩展是包括保证金要求和票据化债务。[23]在静态设置中对此进行了探讨。最后的扩展，我们认为提议的动态模型将特别有用，是在考虑市场参与者的战略或动态行动时，例如，将债务滚动和早期违约的战略决策纳入[11]中的研究。参考文献[1]Hamed Amini、Damir Filipovi'c和Andree a Minca。具有清算费用的支付系统均衡的唯一性。运筹学快报，44（1）：1-52016。[2] 如来B anerjee和Za chary Feinstein。或有付款对金融网络系统风险的影响。数学与金融经济学，13（4）：617–6362019。[3] 如来班纳吉和扎卡里范斯坦。与共同捐赠基金组成的金融网络中的债务和股权定价。2021.

工作文件。[4] 保罗·巴鲁卡、马尔科·巴多西亚、法比奥·卡奇奥利、马尔科·德里科、加布里埃尔·维森丁、斯特凡诺·巴蒂斯顿和圭多·卡尔达尔·埃利。金融系统中的网络估值。MathematicalFinance，30（4）：1181–120 42020。[5] Agostino Capponi和Peng Chu Chen。金融网络中的系统性风险缓解。《经济动力与控制杂志》，58:152–166，2015年。[6] 阿戈斯蒂诺·卡波尼、彭楚珍和大卫·D·姚。《金融网络中的负债集中和系统性损失s.运筹学》，64（5）：1121–11342016。[7] 陈楠、刘欣和姚大卫。金融系统风险建模的优化视角：网络效应和市场流动性效应。运筹学，64（5），2016年。[8] Rodrigo Cifuntes、Hyun Song Shin和Gianluigi Ferrucci。流动性风险和传染。《欧盟ropean经济协会杂志》，3（2-3）：556–5662005。[9] Rama Cont和David Antoine Fournié。泛函It^o演算与鞅的随机积分表示。《概率年鉴》，41（1）：109–133，2013年。[10] Rama Cont和Eric Schaanning。监测间接传染。《银行与金融杂志》，104:85–1022019年。[11] 迪迪埃·科辛和亨利·谢尔霍恩。网络经济中的信用风险。《管理科学》，53（10）：1604–16172007。[12] Larry Eisenber g和Thoma s H.Noe。金融系统中的系统性风险。《管理科学》，47（2）：236–2492001。[13] 马修·埃利奥特、本杰明·戈卢布和马修·O·杰克逊。金融网络和传染病。《美国经济评论》，104（10）：3115–315320014。[14] 扎卡里·范斯坦。金融传染和资产清算策略。运营研究快报，45（2）：109–1142017。[15] 扎卡里·范斯坦。

价格影响和动态金融传染下的资本监管。《欧洲运筹学杂志》，281（2）：449–4632020。[16] Zachary Feinstein、Weijie Pang、Birg it Rudlo off、Eric Schaanning、Stephan Sturm和Mackenzie Wildman。Eisenber g和Noe c学习向量对单个银行间负债的敏感性。《暹罗金融数学杂志》，9（4）：1286-13252018。[17] 扎卡里·范斯坦、比吉特·鲁德罗夫和斯特凡·韦伯。系统性风险度量。《金融数学杂志》（SIAMJournal on Financial Mathematics），8（1）：672–7082017年。[18] 扎卡里·范斯坦和安德烈亚斯·索杰马克。动态违约传染模型：从Eisenberg-Noe到平均场。201 9. 工作文件。[19] 扎卡里·范斯坦和安德烈亚斯·索杰马克。具有异质性的传染McKean-Vlasov系统。2021，工作文件。[20] 扎卡里·范斯坦和安德烈亚斯·瑟马克。异质性银行间系统中的动态违约传染。S IAM金融数学杂志，12（4）：SC83–SC97，2021。[21]Gerardo Ferrara、Sam Lang field、Zijun Liu和Tomohiro Ota。银行间网络的系统性流动性不足。量化金融，19（11）：1779–179512019。【22】Prasanna Gai和Sujit Kapadia。金融网络中的传染。皇家学会学报A：数学、物理和工程科学，466（2120）：2401–24232010。[23]Samim Ghamami、Paul Glasserman和H Pey ton Young。并行网络。管理科学，2021。内政部：10.1287/mnsc。2020.3938.保罗·格拉斯曼和H·佩顿·杨。金融网络中的传染可能性有多大？《银行与金融杂志》，50:383–3992015。【25】罗宾·格林伍德、奥古斯丁·兰迪亚和大卫·塞斯马。弱势银行。《金融经济学杂志》，115（3）：3-282015。[26]Michael Kusnetov和Luitgard A.M.Veraart。多个到期日的金融网络中的银行间清算。《暹罗金融数学杂志》，10（1）：37–672019年。【27】亚历山大·利普顿。

现代货币回路理论、互联银行网络的稳定性以及各银行的资产负债表优化。《国际理论和应用金融杂志》，19（06）：16500342016。【28】BerntOksendal。随机微分方程：应用简介。2007年第6版。[29]Leonard C.G.Rogers和Luitgard A.M.Vera rt.《银行间网络中的故障与救援》。《管理科学》，59（4）：882–8982013。[30]Ste ffen Schuldenzucker、Sven Seuken和Stefano Battiston。在具有信用违约掉期的金融网络中查找清算付款已完成PPAD。Christos H.Papadimitriou，《第八届理论计算机科学创新大会》（ITCS 2017）编辑，《莱布尼茨国际信息学会议录》（LIPIcs）第67卷，第32:1–32:20页，德国达格斯图尔，2017年。Schloss Dagstuhl–Le ibniz–Zentrum fuer Informatik。[31]Ste ffen Schuldenzucker、Sven Seuken和Stefano Battis ton。违约模糊性：信用违约掉期在金融网络中产生了新的系统性风险。《管理科学》，66（5）：1981-1998、2020。[32]Isaac M.Sonin和Konstantin Sonin。银行即银行：财务清算的连续时间模型。2017年，工作文件。【33】Luitgar d A.M.Veraa rt.《金融网络中的困境和违约传染》。MathematicalFinance，30（3）：705–7372020。[34]Stefan Weber和Kerstin Weske。破产成本、固定资产和交叉持股对金融网络系统性风险的重要影响。概率、不确定性和量化风险，2（1）：9，2017年6月。【35】埃伯哈德·泽德尔。非线性泛函分析及其应用Ⅰ：不动点定理。Springer Verlag，1986年。第3A节中的结果证明。1命题证明3.6证明。（i） 考虑公司i∈ N

假设tτ的aij（t）解出了初始微分方程：daij（t）dt+Pk∈NdLik（t）/dtVi（t）-aij（t）=dLij（t）/dtVi（t）-.为了简单起见，让微分方程从时间0开始，Vi（0）<0，s omeinitial value aij（0）。然后可以通过积分因子ν（t）：=RtPk来求解该微分方程∈NdLik（s）Vi（s）-ds。因此，对于tτ，可以得出aij（t）=e-ν（t）中兴通讯ν（s）dLij（s）Vi（s）-+ aij（0）.因此，利用L\'H^ospital法则，limtτaij（t）=limtτe-ν（t）中兴通讯ν（s）dLij（s）Vi（s）-+ aij（0）= 极限τeν（t）dLij（t）Vi（t）-eν（t）ddtν（t）=limtτdLij（t）/Vi（t）-主键∈NdLik（t）/Vi（t）-=dLij（τ）Pk∈NdLik（τ）。（ii）首先，如果Vi（t）≥ 0然后通过构造（和上述结果），得出aij（t）=dLij（t）Pk∈NdLik（t）≥ 0表示任何i，j∈ Nand ai0（t）≥ δ通过本施工。现在考虑Vi（t）<0的情况，并假设aij（t）<0。设τ=sup{s≤ t | Vi（s）=0}。Sinceaij（τ）∈ [0，1]通过构造和相对曝光是连续的，这意味着存在一些时间s∈ [τ，t）使得aij（s）=0。根据相对风险的定义，这必须遵循daij（s）≥ 任何时间aij为0≤ 0（如果aij（s）<0，则daij（s）>0，因此aij（t）<0永远无法达到。此外，假设ai0（t）<δ。根据假设3.3，ifai0（s）≤dLi0（s）峰值∈NdLik然后dai0≥ 特别是，如果ai0（s）≤ δ然后dai0（s）≥ 0（如果ai0（s）<δ，则DAI0（s）>0）。因此，根据j的情况中发现的相同矛盾∈ N，我们可以绑定ai0（t）≥ δ.（iii）首先，如果i=0，则pj∈Na0j（t）=1，根据a0j（t）=n{j6=0}的性质，对于所有时间t。现在考虑i∈ N，如果Vi（t）≥ 0然后通过构造（和上述结果），它遵循Pj∈Naij（t）=Pj∈NdLij（t）Pk∈NdLik（t）=1。现在考虑Vi（t）<0且letτ=sup{s的情况≤ t | Vi（s）=0}。