金融网络中的动态清算与传染

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英文标题：
《Dynamic Clearing and Contagion in Financial Networks》
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作者：
Tathagata Banerjee, Alex Bernstein, Zachary Feinstein
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In this paper we introduce a generalized extension of the Eisenberg-Noe model of financial contagion to allow for time dynamics of the interbank liabilities, including a dynamic examination of default risk. Such a system allows us to distinguish between defaults resulting from either insolvency or illiquidity, and to analyze the resulting effects on the rest of the network. As a special case, we are also able to recover the solution to the Eisenberg-Noe system under certain model choices within the dynamic framework.
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中文摘要：
在本文中，我们引入了金融传染艾森伯格-诺伊模型的广义扩展，以考虑银行间负债的时间动态，包括违约风险的动态检查。这样的系统使我们能够区分破产或流动性不足导致的违约，并分析对网络其他部分的影响。作为特例，我们还能够在动态框架内的某些模型选择下恢复Eisenberg-Noe系统的解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Dynamic_Clearing_and_Contagion_in_Financial_Networks.pdf (1.07 MB)

2022-6-2 21:17:22 上传

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关键词：金融网 Mathematical Quantitative Applications mathematica

金融网络中的动态清算和传染Stathagata Banerjee*Alex Bernstein+Zachary Feinstein2022年3月22日摘要本文介绍了金融传染的Eisenberg-Noe模型的一般扩展，以考虑银行间负债的时间动态，包括违约风险的动态检查。该框架将cas h账户和长期资本账户分开，以更准确地模拟金融机构的健康状况。在这样做的过程中，这样一个系统允许我们区分破产或流动性不足导致的违约，并分析对网络其他部分造成的影响。关键词：系统性风险；金融传染；金融网络；动态网络；从Eisenb erg&Noe关于金融支付网络的开创性工作开始，人们广泛研究了金融网络和银行倒闭的传染。2007-2009年的金融危机和信贷紧缩表明，系统性危机可能对金融部门和整个经济产生严重影响。由于此类级联事件的成本巨大，因此必须对此类事件进行建模。最近有一些关于金融系统风险和金融传染建模的重要研究。系统性风险的一大类模型是基于[12]中的网络模型的模型。值得注意的是，这些网络模型通常只在静态环境中处理问题。*圣路易斯华盛顿大学电气与系统工程系，美国密苏里州圣路易斯市，邮编63130+加利福尼亚大学圣巴巴拉分校，统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉市，邮编93106美国新泽西州霍博肯市史蒂文斯理工学院商学院，邮编：07030，zfeinste@stevens.eduIn在这项工作中，我们将重点关注一个时间动态的银行间网络模型。

这样做，除了先前的静态系统外，还引入了两个主要的并发症。首先，需要介绍和研究defaulttimes之间的系统动力学。这是在[32]的特殊时间同质情况下考虑的；在这项工作中，我们考虑了异构网络结构的超时情况。其次，时间动力学的引入最终将企业的现金账户和资本账户解耦，这在静态时间设置中完全一致。重要的是，流动性和资本之间的这种区别导致了违约概念的不同，即非流动性和非流动性，它们不需要重合。本文的组织结构如下。在本导言的其余部分，我们提供了详细的文献综述，并强调了这项工作的主要贡献和收获。在第2节中，我们将回顾静态Eisenberg-Noe框架。特别是在本节中，我们认为清算是根据企业的权益和损失进行的，如[33，4]中所述，而不是根据[12]中最初研究的付款。在第3节中，我们为故障时间之间的Eisenberg-Noe模型提出了一个连续时间公式。我们考虑It流程模拟的现金流下清算解决方案的存在性和唯一性。在第4节中，我们提出了一个扩展的艾森伯格-诺框架模型，其中包括早期违约的影响。这些违约可通过银行间网络中的破产或流动性不足事件触发，以考虑由于银行间网络中的破产或流动性不足而导致的严重违约。利用该模型，我们研究了现金流动力学对违约类型和时间的影响。数值案例研究得出第5节的结论。附录A提供了主要技术结果的证明。

此外，附录B简要介绍了离散时间公式及其在推导连续时间公式中的使用。附录C提供了静态Eisenberg Noe系统的公式，作为特定动态网络结构下违约间时间动态模型（第3节）的解决方案；这独立地复制了[32]的结果。1.1文献综述【12】首先研究了银行间网络，以模拟金融系统中违约的蔓延。在Eisenberg-Noe框架中，金融企业必须通过转让资产来满足其负债。一家公司由于资产短缺而无法偿还其债务，可能会导致其他公司也拖欠其债务，从而导致金融系统出现连锁故障。Eisenberg-Noe框架已向多个方向扩展。[29]包括interba nk网络的破产成本，该成本已在许多子项目中扩展（例如，参见[13、24、34、6、33]）。在这项工作中，我们将重点关注在银行间网络方法中添加时间动态。事实上，【12】的结论提供了对未来延期的讨论，其中之一是包括多个清算日期。[5，21]对此进行了直接研究。此外，[26]考虑了一种类似的方法来建模具有多个到期日的金融网络。所有这些工作都只考虑在离散时间进行清算，例如，不允许因a FIR m资本冲击而在清算时间之间发生违约。[32]提出了一个连续时间清除模型，该模型准确地复制了静态Eisenberg-Noe框架，而不考虑e arlydefaults。[18、20、1、9]在[22]的网络模型中扩展了这一工作，提出了一种特殊情况，即大型银行限额可以表示为McKean-Vlasov方程。

【27】提出了动态金融传染的相关框架，并产生了严重的不良后果。正如我们将在下文，特别是在第4节中进一步阐述的那样，在这段时间内，动态银行间网络将区分由于流动性不足和破产而导致的违约类型。之前已经对流动性不足进行了研究，主要侧重于零售和流动性不足。我们请感兴趣的读者参阅，例如，[8、7、25、1、14、10]。在此，我们不同于那些认为破产可以从根本上区别于流动性不足的工作，而不是先前认为流动性不足会导致破产的假设；也就是说，我们允许企业为（i）溶剂和液体；（ii）溶剂和非流动性；（iii）破产和流动；或（iv）资不抵债和流动性不足，据作者所知，这在系统风险文献中是新颖的。1.2主要贡献和创新在这项工作中，我们专注于银行间债务的连续时间Eisenberg-Noe系统。这导致了以下一些重要贡献：（i）我们构建了一个数学模型，该模型在连续时间动态环境中捕获了EisenbergNoe框架的clearing s系统。我们的动态系统允许随着时间的推移产生异构的义务，这编码了一个真实而复杂的高级结构，而静态模型或连续时间Eisenberg-Noe系统上的其他工作无法捕获该结构（例如，[32]）。此外，系统响应中的现实非线性内在地表现为本工作中引入的默认规则。具体而言，更严格的监管要求会像预期的那样导致违约增加，但金融系统的财富是非单调的，因为违约增加会被更高的支付回收率抵消。

这在许多案例研究中得到了证明。先前关于动态艾森伯格Noe模型的工作（例如，[20]）规定了固定的默认规则；在此，我们提出了在实践中可以联合应用的多个规则。（ii）在财务上，与静态网络模型相比，我们发现这一次的动态模型在每个银行的现金账户和（长期）资本账户之间产生了偏差。特别是，考虑到违约时间，这允许区分由于流动性不足（即由于流动性不足导致银行无法按时支付债务）和破产（例如，由于资本监管或股东选择重组以实现长期财富最大化）导致的违约原因。重要的是，违约类型的这种区别规定了不同的监管反应以防止继续；例如，流动性不足导致的违约可以通过最后贷款人来预防，而最后贷款人可能无法防止破产导致的违约。（iii）此外，由于上述流动性不足和破产导致的违约之间的区别，我们研究了第一次违约时间，以确定其是否是由于流动性不足或无偿债能力造成的。特别是，我们根据外部现金流的动态来描述这一首次违约时间，即现金流是超级还是次级参与者；我们将这种考虑扩展到杠杆需求，就作者而言，这在艾森伯格-诺伊框架内是新颖的。2 Eisenberg-Noe静态清理我们从一些简单的符号开始，这些符号将与本文的整个内容保持一致。Letx，y∈ 对于某个正整数n，则为x∧ y=（最小（x，y），最小（x，y），最小值（xn，yn））,x个-= -（十）∧ 0）和x+=(-x）-. 此外，为了便于记法，我们将表示[x，y]：=[x，y]×[x，y]×。

×【xn，yn】 Rnto是y的n维紧致区间- x个∈ Rn+。同样，我们将考虑x≤ y当且仅当y- x个∈ Rn+。在本文中，我们将考虑一个金融机构网络。我们将用N来表示网络中所有银行的集合：={1，2，…，N}。我们通常会考虑一个额外的节点0，它包含n家银行之外的整个金融系统；该节点0也将被称为社会或社会节点。包括社会节点在内的整套机构用N表示：=N∪ { 0}. 我们参考[17，24]进一步讨论社会节点后的含义和概念。在本文中，我们将对[12]中的模型进行扩展。在这项工作中，任何一家银行∈ N可能有义务Lij≥ 0致任何其他公司或社会j∈ N、 我们将假设没有任何公司对自己有任何义务，即对于所有公司i，Lii=0∈ N，并且society节点完全没有责任，即对于所有公司j，L0j=0∈ N、 因此，银行i的总负债∈ N由π表示：=Pj∈NLij公司≥ 0和相对负债πij：=Lij'piif'pi>0，否则任意；对于隐式，在'pi=0的情况下，我们将让πij=所有j∈ N \\{i}和πii=0以保留Pj的属性∈Nπij=1。在资产负债表的另一端，假设所有公司都从一定数量的外部资产开始xi≥ 所有公司i均为0∈ N、 在按比例还款（即无付款优先权）假设下，产生的清算付款满足付款p中的固定点问题∈ [0，\'p]p=\'p∧x+πp. （1） 也就是说，每家银行支付其所欠金额（(R)pi）和所拥有金额（xi+Pj）的最低金额∈Nπjipj）。所有公司现金账户的合成向量由v=x+π给出p- 第（2）页注意，付款可以作为现金账户的简单函数写入（p=\'p- 五、-),我们提供以下专业职位。

我们还参考了[33、4、2]中关于使用清算现金账户而不是清算付款的类似概念。我们参考附录D了解可用于计算这些清算现金账户计数的fictiousdefault算法。提案2.1。A向量p∈ [0，\'p]是艾森伯格Noe设置（1）中的清算付款，且仅当p=[\'p- 五、-]+对于某些V∈ Rn+1满足以下固定点问题v=x+π[(R)p- 五、-]+- p.（3）反之亦然，向量V∈ Rn+1是一个清算现金账户（即满足（3）），当且仅当（2）中定义了一些清算付款p∈ [0，p]如定点问题（1）所定义。证据我们将仅证明第一个等价，第二个等价如下。让p∈ [0，\'p]是清算支付向量。通过（2）定义现金账户向量V，那么很明显V-= \'\'p- p也按定义，即p=(R)p- 五、-≥ 因此，从m（2）可以立即恢复到现金账户向量V必须满足（3）。设p=[(R)p- 五、-]+对于某些现金账户向量V∈ Rn+1满意（3）。按结构我们发现p=[(R)p- 五、-]+= \'\'p-x+π[(R)p- 五、-]+- \'\'p-= \'\'p-x+πp- \'\'p-= \'\'p∧x+πp.我们注意到'p≥x+π[(R)p- 五、-]+- \'\'p-可以显示琐事。由于Proposition 2.1中提供的清算付款和清算现金账户的等价性，我们可以将艾森伯格Noe系统视为公平和损失的固定点，而不是付款点。在【12】中，提供了清算支付（以及清算ca sh账户）存在性和唯一性的结果。事实上，它可以表明，只要所有公司的Li0大于0，艾森伯格Noe框架中就存在一个独特的清算解决方案∈ N我们将在本文后面利用这一结果。

这是一个合理的假设（如[24]所述），因为对社会的义务包括对银行的存款。在继续我们的动态模型之前，我们希望考虑（3）与函数相对风险矩阵a的重新公式，即aij（V）：=πijif？pi≥ 五、-iLijV公司-iif？pi<V-我i、 j∈ N、 （4）这里我们介绍函数矩阵A:Rn+1→ [0，1]（n+1）×（n+1）为相对曝光矩阵。也就是说，aij（V）V-我提供了我的损失对公司j\'scash账户的（负面）影响。这与∏相对负债形成对比，因为它内在地强加了有限风险的概念。在这项工作中，这两个概念通常是一致的，但从形式上来说，我们引入了这个相对曝光矩阵。对于等效性，我们定义了相对暴露，以便~1.- A（V）五、-= Π[(R)p- 五、-]+对于任何V∈ Rn+1。该公式是这样的，如果从右侧移除积极部分，则相对敞口A将精确定义为施工的相对负债∏。特别是，我们将从元素角度和点角度定义相对扩展，以涵盖（4）中的有限扩展。如果π>0，我们可以进一步简化为aij（V）=Lij/max{π，V-i} 。使用上述符号和术语，我们可以将（3）重写为（分段）线性系统：V=x+π[(R)p- 五、-]+- \'p=x+L~1.- A（V）五、-- L ~=[I- A（V）∧（V）]-1（x- [我- A（V）]其中∧（V）：=diag（1{V<0}）是违约银行的对角矩阵。矩阵【I】-A（V）∧（V）]-1通常被称为网络乘数（参见，例如，[7，16]），它表示损失在整个金融网络中的传播。以下命题证明了网络乘数的可逆性，前提是每家银行都对社会负有一定的义务。提案2.2。

对于任何相对暴露矩阵A∈ A：={A∈ [0，1]（n+1）×（n+1）| A ~ 1=~ 1，aii=0，ai0>0我∈ N} 和任何遇险矩阵∧∈ {0，1}（n+1）×（n+1）使得∧=0且∧ij=0，对于i 6=j，矩阵i- A.∧与Leontief形式可逆，即（i- A.Λ)-1=P∞k=0（A∧）k.证明。通过检查，对于任何∈ A、 （一）- A.∧）（I+A（一）- ∧A)-1∧）=I，即逆形式由I+A提供（一）- ∧A)-1Λ. 我们参考【16，定理2.6】，以获得以下详细证明（I- ∧A)-1是非正弦的，由Leo ntief逆函数提供。因此，byconstruction（I- A.Λ)-1=（I+A（一）- ∧A)-1∧）=I+A∞Xk=0（λA)k∧=I+∞Xk=0A∧（A)k∧k=I+∞Xk=0（A∧）k+1=∞Xk=0（A∧k.3连续时间系统中的违约间时间清算现在考虑一组连续的清算时间T=[0，T]，对于某些（有限）终端时间T<∞.我们将使用[9]中的符号，这样过程Z:T→ Rn在时间t时具有z（t）的值∈ T和历史Zt:=（Z（s））s∈[0，t]。我们现在将构建[32]的连续时间设置的延长，因为我们考虑到负债随时间的变化，并且为了简单起见，在本节中，我们假设之前的违约时间发生在时间0，随后的违约时间不早于时间T；这可以调整为任何两个停止时间0≤ τ< τ≤ T而不改变本节的结果。随机现金流。3.1设置和动态系统为了构建连续时间模型，我们将首先考虑现金流和名义负债的网络参数。通常，我们会考虑外部（流入）现金流x:T→ Rn+1和名义负债L:T→ R（n+1）×（n+1）+是清算时间的函数，即作为不同到期日的资产和负债。