金融网络中的动态清算与传染

辛塞佩∈Naij（τ）=1根据先前的结果，我们将计算Pj∈Naij（t）=1来推导xj∈Ndaij（t）=Xj∈NdLij（t）- aij（t）Pk∈NdLik（t）Vi（t）-=Pj公司∈NdLij（t）Vi（t）--Pj公司∈奈吉（t）主键∈NdLik（t）六（t）-= 因此，根据初始条件，aij（t）必须进化，以保持恒定的行和1。A、 2定理的证明3.7证明。关于Eisenberg-Noe微分系统的所有初始值均为Vi（0）>0，且Ij（0）=dLij（0）Pk∈所有银行i，j的NdLik（0）{i6=0}+n{i=0，j6=0}∈ N、 为了便于记法，考虑τ：=0并递归定义停止时间τm+1：=inf{t∈ （τm，T）| Vi（τm）Vi（T）<0或[Vi（τm）=0，dVi（τm）Vi（T）<0]}。即τm∈ T是∧（V）中第m次变化的时间。在不丧失一般性的情况下，我们假设，如果在一个空集上取最小值，则τm=T。我们注意到，时间τmareall相对于自然过滤的停止时间。在这种情况下，请特别注意，在区间（τm，τm+1）上，我们可以将不良银行的集合视为常数；为了简化并稍微滥用符号，我们可以考虑区间中不良企业∧（τm）的常数矩阵（τm，τm+1）。我们现在将在这些时间间隔内构造向前的唯一强解，注意，我们在发现下一个事件后更新∧和τm+1。首先，通过构造，在[0，τ]上，存在由V（t）=V（0）+x（t）+L（t）提供的微分系统的唯一解~1.- L（t）~1和aij（t）=dLij（t）Pk∈所有银行i，j的NdLik（t）{i6=0}+n{i=0，j6=0}∈ N、 假设在τm<T的时间间隔[0，τm]内存在一个强解。现在我们要证明清算现金账户和区间（τm，τm+1）上的相对风险敞口的存在性和唯一性。

基于其不同形式扩展dx（t），可以考虑（7）asdV（t）=[I- A（t）∧（τm）]-1（u（t，x（t））- [我- A（t）]L（t）~ 1）dt+[I- A（t）∧（τm）]-1σ（t，x（t））dW（t）=？u（t，x（t），A（t），V（t））dt+？σ（t，x（t），A（t），V（t））dW（t）。让我们首先考虑dV的线性增长条件。利用1-范数，其中k·kopdenotes对应的运算器范数，让A∈ A和V∈ Rn+1，thenk'u（t，x，A，V）k+k'σ（t，x，A，V）kop≤ k（I）- A.∧（τm））-1顶部ku（t，x）k+k[I- A.]˙L（t）~ 1k+kσ（t，x）kop≤∞Xk=0千[安∧（τm）]kkopku（t，x）k+k˙L（t）~ 1k+kA˙L（t）~ 1k+kσ（t，x）kop≤1 +∞Xk=1（1- δ） k级-1.ku（t，x）k+k˙L（t）~ 1k+kAkopk˙L（t）~ 1k+kσ（t，x）kop≤1 +δku（t，x）k+2k[˙L（t）~ 1k+kσ（t，x）kop≤1+Δδsups∈[τm，τm+1]ku（s，x）k+2k˙L（x）~ 1k+kσ（s，x）kop≤ θ（1+kxk）第二条线遵循三角形不等式和算子范数定义。第三条线是命题2.2和进一步使用三角形不等式的结果。第四条线来自命题3.6，并注意到，根据假设，∧=0。上限θ≥ 0可以通过假设3.3确定，因为所有项都是连续的，并且在一个紧凑的时间间隔上进行评估（因为τm+1≤ T定义）。此外，我们希望批准：T×Rn+1×A×Rn+1→ Rn+1和σ：T×Rn+1×A×Rn+1→ R（n+1）×（n+1）是（x，A，V）中的联立李普希兹。第一（x、A、V）∈ Rn+1×A×Rn+17→ u（t，x）- [我- A.]˙L（t）~ 1和（x，A，V）∈ Rn+1×A×Rn+17→ σ（t，x）是线性（或常数）形式的Lipschitz连续，Lips chitz常数可以独立于时间（通过连续性和紧凑的时域）以及u和σ的定义进行计算。还需要说明（x，A，V）∈ Rn+1×A×Rn+17→ （一）- A.∧（τm））-1是Lipschitz连续的。

让A、B∈ A、 然后用与上述相同的参数，在矩阵逆的无rm的界上，k（I- A.∧（τm））-1.- （一）- B∧（τm））-1kop=k（I- A.∧（τm））-1[（I- B∧（τm））- （一）- A.∧（τm））]（I）- B∧（τm））-1kop=k（I- A.∧（τm））-1[答- B]∧（τm）（I）- B∧（τm））-1顶部≤ k（I）- A.∧（τm））-1千克（I- B∧（τm））-1kopk∧（τm）kopk[A- B]kop公司≤1 + δδk∧（τm）kopkA- Bkop公司∞≤ n1 + δδk∧（τm）kopkA- Bkop。因此，‘u’和‘σ’在【τm，τm+1】上是适当的局部Lipschitz连续的。现在，我们希望考虑相对风险敞口矩阵的不同形式（8）。首先，如果∧ii（τm）=0（特别是，根据社会节点的假设∧（τm）=0），那么aij（t）=dLij（t）Pk∈NdLik（t）{i6=0}+n{i=0，j6=0}是任何形式j的唯一解决方案∈ Nover all timest公司∈ （τm，τm+1）。特别是，这与现金账户V的演变无关，因此我们只需考虑现金账户V与相关风险之间的联合微分方程，其中银行i在τ和τm+1之间处于困境，即∧ii（τm）=1。考虑银行i∈ N，其中∧ii（τm）=1。因此，对于所有t，通过构造Vi（t）<0∈（τm，τm+1）。如果Vi（τm+1）=0，那么从命题3.6可以看出，唯一解aij（τm+1）=dLij（τm+1）Pk∈NdLik（τm+1）必须保持不变，否则我们可以对t扩展Vi（t）<0∈（τm，τm+1）。间隔（τm，τm+1）上所有相对暴露的差异形式由daij（t）=dLij（t）提供-aij（t）Pk∈NdLik（t）Vi（t）-.

按施工（aij，Vi）∈ [0 , 1] × -R++7→˙Lij（t）-aijPk公司∈N˙Lik（t）-Vi为局部Lipschitz，满足局部线性增长条件（如上所述，利用参数的连续性和紧凑的时域，常数与时间无关）。结合我们对外部现金流x、清算现金ac计数V（7）和相对风险A（8）的联合差分系统的结果，我们发现该系统在区间（τm，τm+1）上满足联合局部线性增长和局部Lipschitz特性。因此，存在一些∈ L∞T（R++）（使得τm+是一个停止时间），其（x，V，a）的强解：【τm，τm+】→ Rn+1×Rn+1×A存在且唯一。使用与局部属性相同的逻辑，我们可以按顺序继续我们唯一的强解。这可以一直持续到达到停止时间τm+1（沿（x，V，A）路径作为停止时间），或该过程达到某个最大时间T*< τm+1对于在时间间隔上存在唯一强解的情况[τm，T*). 首先，由于x（t）可以与清算现金账户和相对敞口分开计算，我们可以立即确定x（t*) = limtT*x（t）存在。此外，我们注意到，几乎可以肯定的是，任何解V（t）都必须存在于（几乎可以肯定的）紧空间hv（τm）中-I+1+ΔδZtτmdx（s）-+ （L（t）- L（τm））~,V（τm）+x（t）- x（τm）+（L（t）- L（τm））~1.- （L（t）- L（τm））~ i Lt（Rn+1），其中={1}（n+1）×（n+1）。下限确定为基于lontief逆的边界；上限来自（15）的连续时间版本，即V（t）=V（0）+x（t）+L（t）~1.- L（t）~ 1- A（t）V（t）-.此外，根据定义，aij（t）几乎肯定存在于紧凑邻域[0，1]中。因此（V（T*), A（T*)) = limtT*（V（t），A（t））通过距离空间的解的连续性和压缩性而存在。

因此，我们可以从时间T继续微分方程*带值（x（T*), V（T*), A（T*)) 这与T*是最长时间。值得注意的是，ifVi（T*) = 0对于某些气缸组i，则必须检查τm+1=T*更新压缩组∧集。因此，通过归纳，对于任何指数m，域[0，τm]上存在唯一的stro ng解（V，a）到（7）和（8∈ N使用[28，定理5.2.1]。尤其是，这可以保持τ*= 卸荷点法∈Nτm.如果τ*≥ 那么证明就完成了。Ifτ*< T，然后通过与上述相同的参数，我们可以找到（V（τ*), A（τ*)) 因为我们可以将现金账户和相对敞口都绑定到一个几乎肯定紧凑的邻域（以及Lτ的子集*（Rn+1））。因此，与之前一样，我们可以在时间τ再次开始该过程*, 这与τ的终端性质相矛盾*. 证明到此结束。B从离散时间清算衍生出违约间时间连续时间清算B。1违约间时间离散时间清算现在考虑一组离散的清算时间T，例如，对于某些（有限）终端时间T<∞ 或T=N。此类设置如【5】所示。与前面一样，我们将使用[9]中的符号，这样过程Z:T→ Rn在时间t时具有Z（t）值∈ T和历史Zt：=（Z（s））ts=0。在此设置中，我们将考虑外部（传入）现金流x:T→ Rn+1+和名义责任L:T→ R（n+1）×（n+1）+是清算时间的函数，即作为不同到期日的资产和负债。外部现金流入和名义负债可明确取决于以前的清算结果（即x（t，Vt-1） 和L（t，Vt-1） ）在不影响我们呈现的存在性和唯一性结果的情况下，但为了简单起见，我们将重点关注外部资产和名义负债与企业健康和财富无关的情况。

自始至终，我们都在考虑贴现现金流和负债，以简化注释。与静态的Eisenberg-Noe框架相比，这里我们需要考虑以前时代的结果。特别是r，如果公司i在t时拥有正权益- 1（即Vi（t- 1） >0）则这些额外资产在时间t可供i公司使用，以履行其义务。同样，如果公司i在时间t为负cas h账户- 1（即Vi（t- 1） <0）则企业尚未支付的债务将及时结转，并在下一期到期。这样，如果一家公司当时无法履行其义务，则可以认为该公司当时处于困境。在这项工作的主体中，违约被连续处理。请参见图3b，了解在时间0拥有正向现金账户并向前滚动到时间1的公司的风格化（快照）资产负债表示例。图3 a显示了本例中仅包含这两个时间段的完整（实际）资产负债表；我们注意到，如图所示的完整资产负债表考虑的是已实现的付款，而不是债务的账面价值。假设B.1。在相关时间之前，所有公司都是溶剂和液体。也就是说，Vi(-1) ≥ 所有公司i均为0∈ N、 我们现在可以在时间t构建总负债和相对负债∈ T为'pi（T，Vt-1） ：=Xj∈NLij（t）+Vi（t- 1)-πij（t，Vt-1) :=Lij（t）+πij（t-1，Vt-2） Vi（t-1)-？pi（t，Vt-1） 如果'pi（t，Vt-1） >0nif？pi（t，Vt-1） =0，j 6=i0如果'pi（t，Vt-1） =0，j=ii、 j∈ N、 这样，再加上随着时间的推移正权益的积累，清算现金账户必须满足时间t现金账户中的以下定点问题：V（t）=V（t- 1） ++x（t）+∏（t，Vt-1)“”p（t，Vt-1) - V（t）-+- “”p（t，Vt-1).

（10） 资产负债表资产负债表现金流量@t=0xi（0）现金流量@t=1xi（1）银行间@t=0Pnj=1πji（0）pj（0）银行间@t=1Pnj=1πji（1）pj（1）现金流量@t=0Pnj=1Lij（0）现金流量@t=1Pnj=1Lij（1）现金账户vi（1）（a）具有两个时间段的公司i的风格化实际资产负债表。资产负债表@t=0资产负债表现金流量xi（0）银行间pnj=1πji（0）pj（0）现金流量pnj=1Lij（0）现金账户vi（0）资产负债表@t=1资产负债表现金流量xi（1）结转vi（0）+银行间pnj=1πji（1）pj（1）现金流量pnj=1Lij（1）结转vi（0）-= 0Cash AccountVi（1）（b）在时间0和1时，对公司i的实际资产负债表进行了风格化的“快照”。图3：完整资产负债表与B.1节中使用的到期日快照的比较。也就是说，所有公司都有一个清算现金账户，该账户是其之前正权益、新的外来现金流和所有其他公司支付的款项的总和，该账户包含公司的总债务（包括之前的未付债务）。通过这种方式，我们可以及时构建企业的现金账户。这可以看作（3）的离散时间扩展。我们现在希望考虑用函数相对曝光矩阵（即aij（t，Vt））重新计算（10）：=πij（t，Vt-1） 如果'pi（t，Vt-1) ≥ 六（t）-Lij（t）+πij（t-1，Vt-2） Vi（t-1)-六（t）-如果'pi（t，Vt-1） <六（t）-i、 j∈ N、 （11）这里我们介绍函数矩阵A:T×Rn+1→ [0，1]（n+1）×（n+1）为相对暴露矩阵。也就是说，aij（t，Vt）Vi（t）-提供t时i公司的损失对j公司的现金账户产生的（负面）影响∈ T、 这与∏相对负债形成对比，因为它内在地强加了有限风险的概念。

在这项工作中，这两个概念通常是一致的，但为了数学上的简单性，我们引入了这个相对暴露矩阵。对于我们寻求的等效性，我们定义了相对风险，以便L（t）~1+A（t- 1，Vt-1)V（t- 1)-- A（t，Vt）V（t）-= ∏（t，Vt-1)[(R)p（t，Vt-1) - V（t）-]+对于任何V（t）∈ Rn+1。该公式是这样的，如果从右侧移除积极部分，则相对敞口A将精确定义为施工的相对负债∏。特别是，我们将按元素和点定义相对敞口，以涵盖（1-1）中的有限敞口。如果'pi（t，Vt-1） >0那么我们可以进一步简化为aij（t，Vt）=Lij（t）+aij（t-1，Vt-1） Vi（t-1)-最大{pi（t，Vt-1） ，Vi（t）-}.使用上述符号和术语，我们可以将（10）改写为现金流量x和相对风险A asV（t）=V（t- 1） ++x（t）+∏（t，Vt-1)[(R)p（t，Vt-1) - V（t）-]+- “”p（t，Vt-1） =V（t- 1） ++x（t）+L（t）~1+A（t- 1，Vt-1)V（t- 1)-- A（t，Vt）V（t）-- L（t）~ 1- V（t- 1)-= V（t- 1） +x（t）+L（t）~1+A（t- 1，Vt-1)V（t- 1)-- A（t，Vt）V（t）-- L（t）~1。（12） 通过这个设置，我们现在希望将[12]的存在性和唯一性结果扩展到Discrete time。定理B.2。Let（x，L）：T→ Rn+1+×R（n+1）×（n+1）+定义一个动态的金融网络，使每家银行在任何时候都对社会节点负有责任∈ T、 即所有银行的Li0（T）>0 i∈ Nand乘以t∈ T、 在假设B.1下，有一种独特的现金账户清算解决方案v:T→ Rn+1至（12）。证据我们将归纳地证明这个结果。首先考虑时间t=0。回想假设B.1，V(-1) ≥ 0.时间0时的现金账户遵循固定点方程V（0）=Φ（0，V（0））：=V(-1） +x（0）+L（0）~1.- A（0，V）V（0）-- L（0）~1。注意，通过构造，A（0，V）V（0）-≤ L（0）~1.

因此，任何清算解决方案都必须在紧凑范围内[V(-1） +x（0）-L（0）~ 1，V(-1） +x（0）+L（0）~1.-L（0）~ 1] Rn+1。从定义可以清楚地看出Φ（0，·）是一个单调算子，因此存在一个更大的ast清除解V↑(0) ≥ 五、↓（0）根据Tarski的定点定理【35，定理11.E】，两者都必须属于该领域。此外，aij（0，V）=LijPk∈NLik（对于i∈ N和J∈ N） 对于自V之后此域中的任何现金帐户V（0）(-1） +x（0）- L（0）~ 1≥ -L（0）~ 1=-(R)p（0，V-1). 我们将证明独特性，正如[12]中所做的那样，另外指出我们可以假设社会节点将始终具有正的公平性（即V↓(0) ≥ 0). 首先，我们将表明，无论采用哪种清算解决方案，即V↑i（0）+=V↓i（0）+对于每个公司i∈ N、 定义V↑(0) ≥ 五、↓（0）和使用PJ∈Naij（0）=每一家公司1∈ Nwe r e c概述∈内华达州↑i（0）+=Xi∈NhV公司↑i（0）+V↑i（0）-i=Xi∈N六(-1） +xi（0）+Xj∈NLji（0）-Xj公司∈纳吉（0，V↑)五、↑j（0）--Xj公司∈NLij（0）+V↑i（0）-=xi∈N六(-1） +xi（0）+Xj∈NLji（0）-Xj公司∈NLij（0）-Xj公司∈内华达州↑j（0）-xi∈纳吉（0，V↑) +xi∈内华达州↑i（0）-=xi∈N六(-1） +xi（0）+Xj∈NLji（0）-Xj公司∈NLij（0）=xi∈内华达州↓i（0）+。因此，必须是V↑i（0）+=V↓i（0）+所有公司i∈ N、 既然我们假设社会节点总是有正的公平，那么V↑（0）=V↓(0). 现在我们假设每个节点∈ N应归功于社会节点（如有）∈ N等于0≥ 五、↑i（0）>V↓i（0）那么一定是V↑（0）>V↓（0），这是一种收缩。继续归纳论证，假设清算现金账户的历史-1截至时间t- 1是固定的和已知的。

时间t的清算现金账户遵循执行点方程nV（t）=Φ（t，V（t））：=V（t-1） +x（t）+L（t）~1.-A（t，Vt）V（t）-+A（t-1，Vt-1)V（t-1)--L（t）~1。注意，通过构造，A（t，Vt）V（t）-≤ L（t）~1+A（t- 1，Vt-1)V（t- 1)-. 因此，任何清除溶液必须在紧致范围内[V（t- 1） +x（t）- L（t）~1，V（t）- 1） +x（t）+L（t）~1+A（t-1，Vt-1)V（t-1)--L（t）~ 1] Rn+1。此外，aij（t，Vt）=Lij+aij（t-1，Vt-1） Vi（t-1)-主键∈NLik+Vi（t-1)-（对于i∈ N和j∈ N） 对于自V（t）以来该域中的任何现金帐户V（t）- 1）+x（t）- L（t）~ 1≥-V（t- 1)-- L（t）~ 1=-“”p（t，Vt-1). 因此，我们可以应用与时间0情况相同的逻辑来恢复时间t时清算现金账户V（t）的存在性和唯一性。备注B.3。假设所有公司在任何时候都对社会节点0负有义务t∈ T保证金融系统始终是一个“正规网络”（见[12，定义5]）。B、 2离散时间到连续时间在前一节关于清算现金账户的离散时间模型中，我们隐含地假设t=1。为了构建连续时间清算模型，我们将首先用显式t>0项。事实上，这与之前的施工是直接相关的，对现金流期限进行了微小的修改。在此，我们构建时间t开始的外部现金流x（t，t） ：=Rtt-tdx和t时的名义负债由L（t，t） ：=Rtt-tdL（s），其中第3节讨论了dx和dL（此外，对于t<0的任何时间，weset dx（t）=0，dL（t）=0）。