金融网络中的动态清算与传染

符号的选择x和我要明确建筑中固有的“变化”。利用这些参数，我们可以构造t-离散时间清洁环过程V（t，t） andexposure matrix A（t，t、 Vt公司(t） ）作者：V（t，t） =V（t- t，t） +x（t，t） +L（t，t）~1.- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t，t）-+ A（t- t，t、 Vt公司-t型(t） （）V（t- t，t）-- L（t，t） ~（13）aij（t，t、 Vt公司(t） （）=Lij（t，t） +aij（t- t，t、 Vt公司-t型(t） ）Vi（t- t，t）-最大{Pk∈NLik（t，t） +六（t- t，t）-, Vi（t，t）-}{i6=0}+n{i=0，j6=0}i、 j∈ N、 （14）这里我们假设V（t）=V(-1) ≥ 在假设B.1中，每次t<0时为0。该构造可以在连续时间t中计算∈ T，滑动间隔大小离散时间t的tor∈ {0, t、 。。。，T}。在假设3.3下，该系统的存在性和唯一性如定理B.2所示。推论B.4。Let（dx，dL）：T→ Rn+1+×R（n+1）×（n+1）+定义满足假设3.3的动态财务网络。在假设B.1下，存在清算现金账户的唯一解决方案V:T×R++→ Rn+1至（13）。此外，清算现金账户在时间和步长上是连续的。证据允许从理论m B.2中获得清算解决方案的存在性和唯一性。为了证明连续性，我们将使用归纳论点。为此，我们将考虑缩减域v:T×【，∞) → Rn+1对于某些>0。也就是说，我们限制步长t型≥ . 正如我们将证明连续性参数对于任何>0都成立一样，那么所需的结果也必须成立。在继续之前，考虑（13）递归公式的扩展版本，即V（t，t） =V(-1） +Ztdx（s）+ZtdL（s）~1.- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t，t）--ZtdL（s）~ 1（15）适用于所有时间t∈ T、 修正最小步长>0。

请注意，相对曝光量为sa tisfyaij（t，t、 Vt公司(t） ）：=RtdLij（s）Pk∈NRtdLik（s）适用于任何时间t∈ [0，）假设V(-1 ) ≥因此我们可以得出V:[0，）×[，∞) → Rn+1通过应用[17，命题A.2]是连续的。现在，通过归纳，假设V：[0，s）×[，∞) → Rn+1对于某些s>0是连续的。同样，根据[17，命题A.2]，我们可以立即得出结论V:[0，s+）∩ T×【，∞) → Rn+1是连续的。由于我们总是能够将continuityresult在时间上扩展>0，因此结果得到了验证。现在我们要考虑这个离散时间系统的极限行为t趋于0。为此，首先，我们将考虑银行i toj的相对风险敞口AIJ的公式。根据推论B.4和假设3.3，我们知道，对于任何时间t∈ T和银行i∈ N必须遵循该PK∈NLik（t，t） +六（t-t，t）-≥ Vi（t，t）-对于由于现金账户在时间和步长上的联合连续性，t>0足够小。因此，在极限情况下t0，我们发现我们可以考虑相对负债，而不是相对风险，即t小enoughaij（t，t、 Vt公司(t） （）=Lij（t，t） +aij（t- t，t、 Vt公司-t型(t） ）Vi（t- t，t）-主键∈NLik（t，t） +六（t- t，t）-{i6=0}+n{i=0，j6=0}i、 j∈ N、 （16）重新排列这些术语，我们可以推断，对于任何一家公司∈ N，[aij（t，t、 Vt公司(t） （）- aij（t- t，t、 Vt公司-t型(t） ）]六（t- t，t）-= Lij（t，t）- aij（t，t、 Vt公司(t） ）Xk∈NLik（t，t） 。（17） 再加上社会节点总是有正现金账户的假设，我们因此能够将（13）的限制行为视为步骤t趋于0。

为此，请考虑v（t，t） =V（t- t，t） +x（t，t） +L（t，t）~1.- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t，t）-+ A（t- t，t、 Vt公司-t）V（t- t，t）-- L（t，t） ~=V（t- t，t） +x（t，t） +L（t，t）~1.- L（t，t）~- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t，t）-+ A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t- t，t）-- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t- t，t）-+ A（t- t，t、 Vt公司-t）V（t- t，t）-= V（t- t，t） +x（t，t）- A（t，t、 Vt公司(t） （）[V（t，t）-- V（t- t，t）-]- [我- A（t，t、 Vt公司(t） （）]L（t，t） 约1人。考虑困境企业矩阵∧（V）∈ {0，1}（n+1）×（n+1）为遇险银行的对角矩阵，即∧ij（V）=如果i=j 6=0且Vi<00，则为1，否则为i、 j∈ N、 我们可以设置∧（V）=0，而不会失去一般性，因为根据假设，外部节点0对系统没有义务。因此，与（16）一样，通过清算cas HACCP和t足够小，我们可以得出结论，除特定事件时间外，它遵循∧（V（t，t） ）=λ（V（t- t，t） ）。

因此，有了这个附加符号，我们可以重新构建清算现金账户方程（13）asV（t，t） =V（t- t，t） +A（t，t、 Vt公司(t） （）∧（V（t，t） ）[V（t，t）- V（t- t，t） ]+x（t，t）- [我- A（t，t、 Vt公司(t） （）]L（t，t） 约1人。对于不同形式的构造，我们可以考虑等效公式v（t，t）- V（t- t，t） =[我- A（t，t、 Vt公司(t） （）∧（V（t，t） ）]-1.x（t，t）-[我- A（t，t、 Vt公司(t） （）]L（t，t）~.（18） 请注意，我- A（t，t、 Vt公司(t） （）∧（V（t，t） ）根据标准投入产出结果是可逆的，并在命题2.2中得到证明。利用（18）和（16），并将限值作为因此，我们能够构造（7）和（8）的联合微分系统，即dV（t）=[i- A（t）∧（V（t））]-1.dx（t）- [我- A（t）]dL（t）~daij（t）=dLij（t）-aij（t）Pk∈NdLik（t）Pk∈NdLik（t）如果i∈ N，Vi（t）≥ 0dLij（t）-aij（t）Pk∈NdLik（t）Vi（t）-如果我∈ 如果i=0，则N，Vi（t）<00i、 j∈ N初始条件V（0）≥ 0给定且aij（0）=dLij（0）Pk∈NdLik（0）{i6=0}+n{i=0，j6=0}对于所有形式i，j∈ N、 如（18）所示，I- A（t）正如命题2.2所证明的那样，∧（V（t））通过标准输入输出结果是可逆的。（8）中的第一种情况是通过注意aij（t）=dLij（t）Pk来构建的∈NdLik（t）如果Vi（t）≥ 0和i∈ N和da0j（t）=0，对于一家公司j∈ 对于所有时间t；（8）中的第二种情况接自（17），并将限值取为t0。请注意，这种差异系统是不连续的，当公司跨越0现金边界时，即∧（V（t））6=∧（V（t））时，会发生事件-)). 因此，我们将考虑事件间隔上的差异系统，然后更新这些间隔之间的差异系统。这在定理3.7的证明中更加明确。与离散时间系统（14）一样，如果一家公司有现金盈余，则相对风险敞口低于传入的比例债务。

当一家公司陷入困境时，相对风险遵循一条路径，该路径提供了新负债和先前未付负债之间的平均相对负债。C静态Eisenberg-Noe模型作为一个微分系统。在此，我们将考虑相对负债随时间保持不变的情况。因此，我们考虑dLij（s）/Pk∈NdLik（s）=dLij（t）/Pk∈NdLik（t）适用于所有时间s，t∈ T和公司i、j∈ Nso长asPk∈NdLik，Pk∈NdLik（t）>0。根据假设3.3，所有银行的总边际负债i∈ N和始终t∈ T比0大得多。该假设的关键含义是，（8）中的相对暴露矩阵可以明确地发现等于相对负债aij（t）=πij：=dLij（0）Pk∈NdLik（0）如果i∈ Nn{j∈N}如果i=0，对于所有时间t和组i，j∈ N、 为了进一步简化该系统的动力学，我们将设置≡ 1对于每一家银行i。也就是说，我们只考虑第3节中介绍的网络动态，无需考虑银行违约。该设置（独立）复制了[32]中关于静态Eisenberg-Noe系统不同配方的结果。此外，通过扩展和求解微分系统（7），我们推断连续时间清算现金账户必须满足定点问题V（t）=V（0）+x（t）+L（t）~1.- L（t）~ 1- ΠV（t）-（19） 始终t∈ 假设xi（0）=Lij（0）=0表示i∈ N和j∈ N、 因此，如果x（t）≥~0在某个时间t，可以得出V（t）是艾森伯格Noe系统的静态清算账户，其聚合数据具有由L（t）定义的名义负债矩阵和由x（t）给出的（传入）外部现金流。

重要的是，如果相对负债随时间保持不变，则采用累计数据并考虑静态Eisenberg-Noe框架将产生与本节中介绍的动态Eisenberg-Noe框架相同的最终清算会计科目。然而，尽管终端时间的不良银行集合与静态设置中的违约银行集合相同，但不良银行的顺序无需严格遵循[12]的实际违约算法中给出的顺序。定义C.1。如果在实际违约算法的第k次迭代中确定银行违约，则在静态Eisenberg-Noe设置中银行被称为第k次违约（参见附录D中的[12，第3.1节”）。我们注意到，一级违约正是那些现金账户为负的公司，即使它对其他公司没有负敞口（即所有其他公司完全履行其义务）。提案C.2。Let（x，’L）∈ Rn+1+×R（n+1）×（n+1）+表示静态传入外部现金流和名义负债。确定一个动态系统在时间段T=[0，T]内的状态，使v（0）∈ [0，x]，dL（t）=t'Ldt，dx（t）=t（x- V（0））dt。终端时间V（T）的清算现金账户等于静态设置中给出的账户。此外，在动态环境中，任何公司都无法从困境中恢复过来。最后，只有在t（k）之后，第一个第k个订单的违约才会发生问题- 1） 静态默认算法中的第四阶默认值；特别是，第一家陷入困境的公司将是静态效果默认算法中的一阶默认值。证据清算现金账户V（T）等于静态艾森伯格-诺伊清算现金账户（如提案2.1所定义）的事实，可从（19）中看出（参见静态系统的（3））。

此外，由于dx（t）在时间上是恒定的，并且公司在有偿付能力的状态下重新开始，随着时间的推移，未付债务可能会累积为银行资产负债表上的一个负面因素，但公司无法摆脱困境。最后，根据定义，只有当（k- 1） 第个订单默认值（并且不仅仅由（k- 2） 顺序默认值）。因此，作为合同的一部分，如果第k个订单违约在任何（k）之前提交给occ ur- 1） 第个订单违约，则该公司必须违约，而不考虑（k- 1） 第个订单默认值，即该公司必须是a（k- 1） 第个订单默认值。按照同样的逻辑，第一家陷入困境的公司必须是一级违约。银行进入困境的顺序与fictiousdefault算法引入的顺序不同，这并不奇怪。考虑一个具有两个子图的金融系统，这两个子图仅通过其对社会节点的义务进行连接。通过构造，一个子图中的企业违约或破产不会对另一个子图中的企业产生影响。因此，我们可以构建一个网络，使一个子图中的所有故障（包括定义C.1中定义的高阶故障）发生在另一个子图中的任何一阶故障之前。值得注意的是，命题C.2的证明指出，如果聚合数据（直到终端时间）保持不变，则在该设置中，终端时间的清算现金账户将是路径独立的。我们将通过一个示例来说明这一点，该示例演示了在一个小型4银行（加上社交节点）系统中的设置。特别是，我们将考虑将现金流x定义为布朗桥，以便在终端时间提供适当的聚合数据。示例C.3。

考虑一个由四家银行组成的金融系统，每家银行对外部社会节点负有额外义务。考虑时间间隔T=[0，1]，聚合数据使得初始现金账户计数由V（0）=（100，1，3，2，5）给出, 现金流dx为x（0）=x（1）=0，其中名义负债矩阵dL=\'Ldt由\'L定义=0 0 0 0 03 0 7 1 13 3 0 3 33 1 1 0 13 1 2 1 0.静态Eisenberg Noe清算现金账户的名义负债和外部资产V（0）为V（1）≈ (109.38, -6.81, -3.03, -0.32, 1.62). 此外，根据静态违约算法，我们可以确定银行1为一级违约，银行2为二级违约，银行3为三级违约。现在考虑三种动态设置，它们仅通过选择现金流dx来区分：（i）考虑命题C.2中引入的确定性设置，即dx（t）=~ 0表示所有时间t∈ T、 （ii）考虑低挥发性的布朗桥，即dx（T）=-x（t）1-独立布朗运动向量r的tdt+dW（t）。（iii）考虑具有高挥发性的布朗桥，即dx（t）=-x（t）1-独立布朗运动向量的tdt+5dW（t）。为每个动态设置提供了一个单独的采样路径。在每个图中，我们将社会节点的公平性减少了100，以便它以0的初始现金账户开始，但更重要的是，它可以很容易地显示在与其他4个机构相同的图中。首先，我们指出，如每个地块中终端时间的圆圈所示，连续时间设置的终端现金账户与静态模型中的清算现金账户相匹配。

We0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-10-8-6-4-2社会：V（t）-100银行1：V（t）银行2：V（t）银行3：V（t）银行4：V（t）（a）示例C.3：在确定性和恒定现金流下随时间清算现金账户。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-10-8-6-4-2社会：V（t）-100银行1：V（t）银行2：V（t）银行3：V（t）银行4：V（t）（b）示例C.3：在低波动布朗桥流量下随时间清算现金账户。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-10-8-6-4-2社会：V（t）-100银行1：V（t）银行2：V（t）银行3：V（t）银行4：V（t）（c）示例c.3：在高波动布朗桥流量下随时间清算现金账户。图4：示例C.3：在确定性现金流和随机性现金流的情况下清算现金账户的比较，这些现金流的总和为相同的终值。进一步注意，在确定性设置（图4a）和低波动性设置（图4b）中，不良资产的顺序保持不变。然而，在高波动性环境下（图4c），由实际违约算法给出的不良顺序不再成立。D静态虚拟默认算法静态Eisenber g-Noe系统可通过所谓的虚拟默认算法进行计算。考虑第2节中介绍的设置。为了完整起见，给出了该结果。算法D.1。在第2节的设置下，可以通过以下算法找到清算现金账户。初始化k=0，V=x+L~1.- L~1和D=. 重复直到收敛：（i）增量k=k+1。（ii）用Dk表示破产银行的集合：={i∈ N | Vk-1i<0}。（iii）如果Dk=Dk-1然后终止并设置V=Vk-1.（iv）确定矩阵∧k∈ {0，1}n×nso∧kij=1如果i=j∈ Dk0其他。（v） 定义Vk=（I- Π∧k）-1（x+L~1.- L~1）。如果我∈ Dk\\Dk-1.