金融网络中的动态清算与传染

为简单起见，我们始终在考虑贴现现金流和负债。我们希望注意的是，总负债由L（t）~1给出，传入的银行间债务由L（t）给出~1、通过该公式，我们将考虑外部现金流边际变化的术语dx（t）。同样，我们将dL（t）视为名义负债矩阵随时间t的边际变化；我们注意到，假设dLij（t）≥ 所有i、j公司均为0∈ Nas在不支付任何款项的情况下，总负债应随时间累积。我们在本节中的主要结果（定理3.7）提供了当x（t）=Rtdx（s）是一个It^o过程且L（t）=RtdL（s）是确定性和连续的（例如，dL不包括任何Dirac delta函数）时（dx，dL）驱动的清算现金账户的存在性和唯一性。这种设置以及连续时间Eisenberg-Noe模型的结果可以扩展到现金流和负债是现金账户的额外功能的情况。为简单起见，我们将限制自己，使参数独立于当前现金账户。备注3。尽管外部现金流x通常被假定为非负，如前一节中的静态Eisenberg Noe fra mework所示，但在本工作的其余部分中，我们放宽了假设，除非另有明确提及，因为这在数学上不是必需的。备注3.2。虽然我们引入了持续到期的负债，但本节的公式可以导出为离散系统的极限（见附录B）。连续时间公式在下文第4节中很重要，因为资本（而非流动性）短缺，违约可能发生在特定付款日期的旁边。

在整个工作过程中，离散时间设置可以通过对“离散”负债进行两次差分B近似来近似，因此dL是DIRAC度量的连续和有限近似。假设3.3。外部现金流x由It^o随机微分方程dx（t）=u（t，x（t））dt+σ（t，x（t））dW（t）定义，对于（n+1）-布朗运动向量，图3的附录中提供了离散时间环境下风格化资产负债表的说明。一些过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈T、 P）。此外，漂移和扩散函数u：T×Rn+1→ Rn+1和σ：T×Rn+1→ R（n+1）×（n+1）是联合连续的，并且满足线性增长和Lipschitz连续条件，即存在常数C，D>0，这样在任何时候t∈ T和现金流x，x∈ Rn+1ku（t，x）k+kσ（t，x）kop≤ C（1+kxk）ku（t，x）- u（t，x）k+kσ（t，x）- σ（t，x）kop≤ Dkx公司- xk其中k·kis为1-范数，k·kopis为相应的算子范数。名义负债l:T→ R（n+1）×（n+1）+是决定论ic，可二次微分；对于符号，我们将定义L（t）=L（t）dt和dL（t）=¨L（t）dt。此外，对社会的相对负债以δ>0的水平为界，即inft∈TdLi0（t）峰值∈NdLik（t）≥ 所有银行i的δ>0∈ N我们注意到，只要随机微分方程在T和u上有唯一的强解，σ满足局部线性增长条件且为局部Lipschitz，现金流的假设就可以放宽。附录中的示例C.3中应用了该松弛。与静态艾森伯格-诺伊系统一样，我们希望考虑现金账户V:T→ Rn+1但现在是时间的函数。在此动态设置中，我们可以将V（t）视为一个向量，表示t时金融系统中所有机构的现金账户。

这些ca账户由于流入和流出现金流的变化而增长和收缩。与静态Eisenberg-Noe框架相比，这里我们需要考虑以前的结果。特别是，如果公司i在时间t为负现金账户（即Vi（t）<0），那么我们将假设公司尚未支付的债务将及时结转，并在下一个时间点（t+dt）到期。通过这种方式，我们认为，如果一家公司无法满足其当时的利益，那么它在某个时候就处于困境。在第4节中，我们将处理银行违约的情况。这种困境和违约之间的区别允许我们考虑，例如。，银行必须偿还债务的宽限期。备注3.4。注意，在此设置中，我们考虑向前滚动的债务。回想一下，在本节中，我们只关注违约间时间动态。因此，此设置中的债务向前滚动仅适用于未违约的公司。在第4节中，我们将这一概念扩展到允许并确定银行违约。与第2节一样，我们将介绍函数矩阵A:T→ [0，1]（n+1）×（n+1）为相对曝光矩阵。也就是说，aij（t）Vi（t）-提供公司i\'slosses在t时对j公司现金账户的（负面）影响∈ T、 为简单起见，我们假设所有在任何时候发生的债务都具有相同的优先级；也就是说，新债务和旧的未付债务被赋予相同的优先权，并按比例从传入资产中支付。有了这个概念，我们可以构建这个相对曝光矩阵，类似于（4）中提供的静态设置中的方法。

在这种动态环境下，银行i对银行j的债务在时间上为dLij（t）+aij（t-)Vi（t-)-其中aij（t-)Vi（t-)-是向前滚动的债务总额；银行i在时间t的总债务同样由PK承担∈NdLik（t）+Vi（t-)-对任何未偿还的先前债务进行说明。假设所有这样的对象都是连续的，我们恢复相对的daij（t）Vi（t）-= dLij（t）- aij（t）Xk∈每对气缸组i，j的NdLik（t）（6）∈ Nand任意时间t∈ T、 在这个连续的时间公式中，与静态环境中考虑的相对性矩阵∏（T）的细微差别消失了。这是因为有限敞口概念是由现金账户Vi中的一个连续性参数自动编码的（因此pk∈NdLik（t）+Vi（t-) ≥ Vi（t））。通过这种设置，我们可以考虑现金账户V和相对敞口a的不同系统。简而言之，在时间t，现金账户V（t）根据其主要业务活动的价值变化而增长或收缩，即净实现现金流量的变化，由网络乘数调整[即- A（t）∧（V（t））]-1（如第2节所述），以捕捉损失在整个金融网络中的传播。通过这种方式，现金账户的变化与实际违约算法（见附录D）提供的静态艾森伯格无固定点问题类似。相关支出矩阵A（t）随着时间的推移而变化，以保证所有义务的适当同等优先权——如（6）所述，在t时的新义务和截至t时的所有未付义务。

从数学上讲，这是在微分系统中编码的：dV（t）=[I- A（t）∧（V（t））]-1.dx（t）- [我- A（t）]dL（t）~（7） daij（t）=dLij（t）-aij（t）Pk∈NdLik（t）Pk∈NdLik（t）如果i∈ N，Vi（t）≥ 0dLij（t）-aij（t）Pk∈NdLik（t）Vi（t）-如果我∈ 如果i=0，则N，Vi（t）<00i、 j∈ N（8），其中∧（V）∈ {0，1}（n+1）×（n+1）是处于困境的银行的对角矩阵，即∧ij（V）=如果i=j 6=0且Vi<00，则为1，否则为i、 j∈ 初始条件为V（0）的Nand≥ 0给定且aij（0）=dLij（0）Pk∈NdLik（0）{i6=0}+n{i=0，j6=0}对于所有形式i，j∈ N、 回顾提案2.2 That I- A（t）根据标准输入输出结果∧（V（t））是可逆的。（7）中的差异形式可以被视为（5）在静态设置中的直接动态版本，因此现金账户每次都会清算。（8）中的第一种情况是通过注意aij（t）=dLij（t）Pk来构建的∈NdLik（t）如果Vi（t）≥ 0和i∈ N和da0j（t）=0表示任何形式的j∈ 对于所有时间t；（8）中的第二种情况直接源自（6）的重新表述。请注意，该微分系统是不连续的，当曲线穿过0卡什边界时，即∧（V（t））6=∧（V（t-)). 因此，我们将考虑事件间隔上的差异系统，然后更新这些间隔之间的差异系统。这在定理3.7的证明中更加明确。备注3。5、连续时间微分系统确实可以通过显式时间步长显式构造为离散时间设置的极限t（见附录B.1）。参见附录B.2，了解该指令。我们将通过在相对负债和风险敞口矩阵A中提供一些属性来完成对这一差异体系构建的讨论。值得注意的是，这些属性是相对负债中预期的属性。

也就是说，当一家公司从困境状态中恢复时，其相对风险敞口将恢复为其瞬时相对负债，相对风险敞口的下限为0（假设3.3中提供的δ对社会的下限），相对风险敞口矩阵始终是行随机的。附录A.1中提供了这一命题的证明。提案3.6。Let（dx，dL）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）+定义满足假设3.3的动态财务网络。Let（V，A）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）是初始条件为V（0）的微分系统（7）和（8）的任意解∈ Rn+1++。相对风险矩阵A（t）满足以下性质：（i）对于任何银行∈ N，如果Vi（t）0为tτ，则limtτaij（t）=dLij（τ）Pk∈NdLik（τ）；（ii）对于所有时间t∈ T和任何银行i∈ N，元素aij（t）≥ 所有银行j为0∈ Nand ai0（t）≥ δ; 和（iii）对于所有时间t∈ T和任何银行i∈ N、 行sumsPk∈Naik（t）=1.3.2清除解的存在性和唯一性通过（7）和（8）的微分构造，我们试图证明清除解的存在性和唯一性。为便于注释，请定义相对曝光矩阵的空间a：=A.∈ [0，1]（n+1）×（n+1）| A ~ 1=~ 1，aii=0，ai0≥ δ 我∈ N，a0j=Nj∈ N.从命题3.6中，我们已经证明了如果（V，A）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）是连续时间Eisenberg-Noe系统的解，然后是A（t）∈ A适用于所有时间t∈ T、 定理3.7。设T=[0，T]为有限时间段，设（dx，dL）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）+定义满足假设3.3的动态财务网络。对于清算现金账户和相对风险敞口（V，a）有一个独特的strong解决方案，满足（7）和（8）ifV（0）∈ Rn+1++。虽然附录A.2中提供了完整的证明，但其结果来自用于证明跳跃扩散模型类似陈述的传统ar公式。备注3.8。

假设3.3中对现金流量dx的限制可以放宽，以明确规定现金账户和相对风险，即dx（t）=u（t，x（t），V（t），A（t））dt+σ（t，x（t），V（t），A（t））dW（t）。只要u，σ满足局部线性增长条件，局部Lipschitz条件，对于所有时间t，x（t）可以由Lt（Rn+1）的元素（即可平方积分的Ft可测量随机向量）上下限定。4具有早期违约的连续时间清算4.1模型公式迄今为止提出的动态框架仅考虑违约间时间系统动力学。在本节中，我们考虑违约事件并构建一个整体的动态EisenbergNoe系统。动态模型中的违约可能是由于流动性不足或资不抵债（参见第4.3节或，例如，[18，2 0]）。银行i的非流动性违约是由此处提供的定义引起的，并用于本工作的其余部分，是提案2.2中给出的子集，以强制履行假设3.3中所述的社会义务。手头现金不足Vi.银行i的破产违约是由资本账户Ki（下文（9）中数学描述）过低引起的。这可能导致资本监管导致资本水平为正，或激励股东宣布提前违约以重组以实现长期财富最大化而导致资本水平为非正。在[12、29、22]的静态环境中，流动性不足和资不抵债是相同的。备注4.1。

虽然现金账户和流动性问题自然可以被视为不明确的时间问题（如附录B.1所述），但偿付能力问题需要一个持续的时间结构，因为由于外部投资或现金流的价值，资本可能会下降到所需的水平以下，而现金流可能会超出债务到期的日期。与现金账户Vi相反，资本账户K要求实施会计规则，以确定任何尚未支付的债务和所有未来现金流的估值。我们将遵循外部现金流量x的按市值计价会计和银行间债务L的历史价格会计。特别是，为了简单起见，我们假设所有未违约债务都在银行资产负债表上全部标记。历史价格会计用于银行间债务，因为不存在可交易的公开市场。外部灰烬流的按市值计价将在措施P下进行。值得注意的是，我们不要求P为风险中性指标，这样银行就可以通过这种方式进行投资，以实现现金流量的正（或负）预期增长，因为我们考虑到xi（t）6=Et[xi（t）]，其中Et[·]：=E[·| Ft]是条件预期w.r.t。仍需考虑违约对cas h和资本账户的影响。这些默认值发生在停止时间τ；具体来说，让τi∈ L∞T（R+）（即一致有界的Ft可测量R andom变量）表示银行i的违约时间。如下所述，这些违约可以由流动性（即现金账户V）或偿付能力（即资本账户）产生；就目前的考虑而言，我们只想认为这些是已知的停止时间。

在年施加破产成本后，e。g、 ，[29]，默认情况下，α、β、γ的常数恢复率∈ [0，1]分别适用于流动资产、非默认企业尚未支付的银行间资产和同时违约的同时支付，这会影响系统流动性和系统资本。正如【26】中所强调的，进一步研究对历史价格核算的更全面的观点将包括通过信用评级等隐含的违约概率。由于信贷配给的建模超出了这项工作的范围，为了简单起见，我们仅考虑两种状态用于会计目的：全额支付或违约。银行间债务也可以通过按市值计价来衡量。这些考虑超出了当前工作的范围。这将需要扩展网络估值调整，如[4，3]所示。在[20]中，早期违约会导致银行的现金账户上升，但资本估值会下降。这是由于两种抵消效应造成的：（i）流动性增加，因为早期违约涉及以α、β、γ利率提前偿还未来债务，但（ii）银行破产成本导致资本减少1- α, 1 - β, 1 - γ和未付未来债务的历史价格会计。假设4.2。在整个工作过程中，我们将评估≥ γ. 如果这种关系不成立，那么，与单独发生每次违约相比，违约级联可能会导致更多未偿债务得到偿还；这可能导致周期性违约事件，如[26]。

事实上，通常需要假设α≥ β ≥ γ是由于这些资产类别的流动性以及上述β、γ的排名。我们现在希望提供违约时间τ和上述财务规则下现金和资本账户的数学公式。首先，现金账户dV遵循（7）在违约时间之间的非默认银行间债务下的差异动态，即dV（t）=我- A（t）diag（1{τ>t}）∧（V（t））-1.dx（t）- [我- A（t）diag（1{τ>t}）]dL（t）~.然而，银行i的现金账户在其一个交易对手违约时会产生跳跃效应；这是由于提前偿还破产清算产生的未来债务（如[26]所述）。j银行默认时间的这种修改是由非默认银行（即，银行i的τi>τj）现金账户之间的联合固定收益问题给出的。值得注意的是，任何银行的现金账户在发生违约事件后立即增加，例如，为违约公司拍卖未来资产以支付其所有未付（过去和未来）债务；[5、26、20]对此进行了更详细的讨论。在违约时间τi，我们需要考虑该违约级联中纽约银行可能支付的金额。如果ava ilableassets无法满足未付债务，则银行i的这些付款将在默认时间τi按照回收率α、β、γ进行支付。具体而言，这些可用资产是流动资产、其他同时违约支付款项和非违约企业未付银行间资产的回收价值之和；银行间资产通过回收率β减少，尽管这些资产被假定为非流动资产，因此不会在拍卖中收到全额付款（见[5]）。