SABR模型的Dirichlet形式和有限元方法

54]，设定ε=2β+u- 1和C=2β+u：CR Rxε-2v（x，y）dx eydy≤ CR |ε-1 | Rxε|xv（x，y）| dxeydy。10 BLANKA HORVATH和OLEG REICHMANN（2）使用(xu）u=x（u）和（2.14）产量2β+uRRGx2β+u第二项中的零件积分-1E2年x（u）dxdy=-2β+u(2β + u - 1） RRGx2β+u-2E2YUDXDY最后一项为非负当且仅当u∈ [-2β, 1 - 2β），这一点可以通过（2.7）得到满足。（3） ρνRRGxβ+uey(徐）(yu）dxdy≥-|ρ|νδ| | xβ+u/2eyxu | | L（G）+δ| | xu/2yu | | L（G）,对于δ>0的常数。（4） ρνRRGxβ+uey(徐）(yu）dxdy≥-|ρ|ν||xβ+u/2eyxu | | L（G）+||xu/2u | | L（G）,对于常数 > 0.（5）νRRGxu于yudxdy=ν| | xu/2yu | | L（G），（6）νRRGxu(yu）udxdy=νR俄罗斯(yu）dyxudx=νR-俄罗斯(yu）dyxudx=0，按部分积分，u的（Dirichlet）边界条件∈ C∞（G） 通过C的密度∞（G） 在V中，因此，a（u，u）≥-|ρ|ν4δ-|ρ|ν||xβ+u/2eyxu | | L+ν-|ρ|νδ||xu/2yu | | L-|ρ|ν4||xu/2u | | L，得出不等式（2.22）a（u，u）≥ C||xβ+u/2eyxu | | L（G）+| | xu/2yu | | L（G）+| | xu/2u | | L（G）- C | | xu/2u | | L（G）=C | | u | V- C | | u | | H，其中C：=最小{ν-|ρ|νδ,-|ρ|ν4δ-|ρ|ν} 和C：=C+|ρ|ν4. 仍需验证常数δ和 可以相应地选择C>0。引理2.17。对于每个配置（β，|ρ|，ν）∈ 满足|ρ|ν<2条件的SABR参数存在常数 > 0和δ>0，使得C>0。备注2.18（讨论参数限制）。注意，如备注2.8所述，ρ=0，ν>0 readilyyields C>0和ν=0的情况下产生CEV模型。此外，引理2.17中的参数条件满足任何|ρ|∈ （0，1）例如if0<ν<√2、在市场上观察到的大多数实际情况下，ν的后一个条件已完全满足，因为该参数的通常值远低于√2： 波动率的波动率通常在ν=0.2左右进行校准；0.4; 0.6，参见示例【41、62、66】。引理2.17的证明。

对于|ρ|ν<2的任何参数配置，可以通过（2.23）|ρ|ν>δ>0的方式选择常数δ，并且常数 相应地，使得（2.24）ν|ρ|-δ>  > 如果满足不等式（2.23）和（2.24），则C>0。仍需验证（2.24）是否与（2.23）不矛盾。δ的界限为（2.25）δ∈|ρ|ν,|ρ|ν.实际上，如果ρν<2，那么（2.25）中的集合是非空的，并且存在 令人满意（2.24）。定理2.19（非对称SABR-Dirichlet形式）。设双线性形式a（·，·）如（2.14）所示，其域V如（2.9）所示。那么，对于每个参数配置（β，|ρ|，ν），对（a（·，·），V）是（2.6）中希尔伯特空间（H，（·，·，·）H）上的（非对称）Dirichlet形式∈ [0,1]×[0,1]×R+，且|ρ|ν<2，对于（2.7）中的任何u。SABR模型11证明的DIRICHLET形式和有限元方法。上述定理中的关键陈述是，对于（2.7）中的任何u，对（a，V）是希尔伯特空间H和L（G，xu/2）上的强制闭式，其中a表示SABR双线性形式（2.14），V表示空间（2.9）。为此，我们首先定义了一个与（2.14）as：（2.26）E（u，v）：=RRGx2β+ue2y相关的辅助对称双线性形式x（u）x（v）dx dy+RRxuy（u）y（v）dx dyD（E）：=C∞（G） 。直接从[71，推论3.5]或[14，命题1]得出，对于任何开G R≥0×R，双线性形式（2.26）在希尔伯特空间H=L（G，xu/2）上是可闭的。那么，（a，C）的可闭性∞（G） 在H和L（G，xu/2）中，通过范数a（·，·）的等价性，继承了辅助对称形式Ein（2.26）的可克隆性≈ ||·||五、 参见【70，第3节，提案3.5】。LattereEquivalence是连续性性质（2.21）和Garding不等式（2.22）的直接结果，这两个不等式已在三胞胎V上的形式a（·，·）中得到证明 H 五、*例如V L（克，xu/2） 五、*第2.2节。

因此，在不等式（2.21）中，范数|································································∈ V | a（u，V）|≤ C（a（u，u））1/2（a（v，v））1/2 ESP|a（u，v）|≤ C（a（u，u））1/2（a（v，v）））1/2对于a（u，v）：=a（u，v）+（u，v）H，u，v∈ 五、 参见[70，方程式（2.4）和（2.3）]。因此，（a（·，·），V）是（H，（·，·）H）和（L（G，xu/2），（·，·）H）上的强制闭式，在[70，定义2.4]的意义上，见下文B.2节。现在强制闭式（a（·，·），V）是Dirichlet形式（参见定义B.4），它仍然表明它是亚马尔可夫形式（即它满足收缩性质（2.27））。这些收缩性质通过定理B.7从（H，（·，·）H）和（L（G，xu/2，（·，·）H））上与（a（·，·，·），V）相关的唯一（参见定理B.5）半群的各自收缩性质得出。定义B.2中双线性形式（2.14）运河的收缩特性（亚马尔可夫性）也可以直接显示：对于任何∈ V它认为u+∧1.∈ V（因为导数是在弱意义上取的）和收缩性质是由形式相当于（2.27）a（u+u）的非负性决定的+∧ 1，u- u型+∧ 1) ≥ 0当且仅当a（u+∧ 1，u- u型+∧ 1) ≥ 0，a（u- u型+∧ 1，u+u+∧ 1) ≥ 0当且仅当a（u- u型+∧ 1，u+∧ 1) ≥ 0、由于函数u+∧1和u-u型+∧1具有不相交的支持，断言a（u+∧1，u-u型+∧1） =0直接来自双线性形式的构造（2.14），产生亚马尔可夫性。因此，形式a（u+∧1，u-u型+∧1） 是一个非对称（通常为a（u，v）6=a（v，u））狄氏形式。为了完整性，我们在附录B中包含了定理2.19中涉及的非对称Dirichletforms的性质。

关于对称和非对称Dirichlet形式的综合处理，请分别参见专著【15、34】和【70】。备注2.20。要将上述证明扩展到非NCA问题，请参见上文备注2.15。此外，我们注意到形式（2.14）是对应于（SABR）马尔可夫过程（2.3）的（唯一）Dirichlet形式。回想一下，过程定律（2.14）是唯一的，当Dirichlet边界条件为零时，（1.1）的解具有路径唯一性，相应的鞅问题（见[50，定理21.7]和[50，引理21.17]）是适定的。3、离散化在本节中，我们推导了SABR定价方程变分公式在空间和时间上的适当离散化。受【64，第3.4节】中（未加权）小波离散化的启发，我们提出了一种多分辨率近似。为了适应当前的设置，我们将依赖于【13，第5.2节和第5.3节】中建立的加权多分辨率分析，更多参考请参见【68】。12 BLANKA HORVATH和OLEG Reichman3.1。空间离散化和半离散问题。给定u∈ V和g∈ L（J；V*),我们首先选择近似值u（0，L）∈ 初始数据u的VL，其中VL V是一个有限维子空间。然后，半离散问题如下所示：Find uL∈ H（J；VL），使得uL（0）=u（0，L）（3.1）（ddtuL，VL）H+a（uL，VL）=（g（t），VL）V*×V，vL∈ VL。（3.2）我们假设u（0，L）=PLu，为PL:V→ VL，u 7-→ ULI是一个合适的投影仪（见下面的等式（3.17））。半离散问题是N=dim V有序微分方程（3.3）的初值问题Mddtu（t）+Au（t）=g（t），u（0）=u，其中u（t）表示t的uL（t）的系数向量≥ 0，M和A分别表示离散化空间VL的一些基的质量和stiffness矩阵，我们将在后续章节中构建。3.1.1.

离散化空间。回想一下，二元定价方程（2.3）是带有退化椭圆算子A的抛物线方程。为了适应（2.4）中A的退化性，我们引入了加权空间H和V，其权重在域G的边界x=0处是奇异的（参见定义2.2和2.4），以建立定价方程变分公式的适定性。为了构造V和H的有限元近似空间，我们分别在每个维度上测试了单变量近似。然后，将（加权）一元空间Vx、Vyand和Hx、Hy的近似空间组合起来，以获得V和H的二元近似空间。从现在起，如果没有另外说明，我们将自己限制在单位区间I=[0，1]上，而不会失去一般性。我们对I的多分辨率分析 R由一个嵌套的空间族（3.4）V组成 五、 . . .  VL . . .  L（I，ω）=：H（I，ω），其中空间Vi的选择（该选择在下面的第3.1.2节中规定）是这样的，即包含（3.4）是有效的，并且∈NVl=L（I，ω）成立，其中L（I，ω）表示I上具有权函数ω的平方可积函数空间。我们选择空间的后一个包含和收敛声明在下一节的定理3.2中进行了调整。为了指定Vlin（3.4）的选择，我们首先指定单位间隔Iat离散化水平L的分区选择∈ N： 为了这个，让我∈ N表示离散化水平，并设为I的初始划分。我们假设，对于任何L>0，单位区间I的划分族{T，…，TL}是这样的，对于每个0<L<L，划分TL从划分TL中获得-1通过对分其每个子区间。因此，对于任何l∈ {0，…，L}，分区TlhasNl=C2lsubintervals，其中C表示初始分区T的间隔数。

注意，对于任何l∈ {0，…，L}空间Vl的维数（第3.1.2节规定）为IM Vl=C 2l=：Nl，0≤ 对于常数C>0，l<l，尺寸VL=C 2L=：N（3.5）。此外，每个级别上的余维l为：=Nl+1- Nl，0≤ l<l.（3.6）3.1.2。区间上L-空间的小波。如上所述，我们现在指定VLIN（3.4）的选择。对于区间I上的Hx：=L（I，ωx），Hy：=L（I），如Vx：=H（I，ωx），Vy：=H（I）的单变量逼近空间，我们概括了[13，第2节]和[69，第6.2节]中的（双）正交紧支撑小波的基本概念和定义。我们考虑两参数小波系统{ψl，k}，l=0，∞, k∈ 紧致支持函数ψl，k的{1，…Ml}。这里的第一个指数l表示响应的“水平”。分辨率：水平指数值较大的小波函数ψl，k在直径supp（ψl，k）=O（2）的意义上很好地局部化-l） 。第二个索引，k∈ Ml，测量小波ψl，Kw在标度l的区间I和指数集Ml的范围内的局部化。我们参考[68，第4节]SABR模型13的DIRICHLET形式和有限元方法，以获取特定示例中构造的图解。为了实现小波系统构造的最大灵活性（可用于满足其他要求，如最小化其支持大小或最小化范数等价中的常数大小，请参见（3.11），（3.12）cf.【69，第6.2节】），我们提出了L（I）中的双正交小波基。这些由原始小波系统{ψl，k}，l=0。。。，∞, k∈ MLI是l（I）的Riesz基（明确输入空间离散化）和相应的双小波系统{eψl，k}，l=0。。。，∞, k∈ Ml，算法中未明确使用，请参见【69，第6.2节】。

原始小波基ψl，kspan有限维空间svl=span{ψi，j | 0≤ 我≤ l、 1个≤ j≤ Ml}，l>0，即Vl=Vl-1MWl，（3.7），即Vl=Vl-1WL感应式，其中Wl=span{ψl，1，…，ψl，Ml}。因此，（3.8）VL=M0≤l<LWl，其中Wl：=span{ψl，1，…，ψl，Ml}和对偶空间通过对偶小波系统evl：=M0进行类似定义≤l<LfWl，其中fwl：=跨度{eψl，1，…，eψl，Ml}。此外，spacesL∞l=0W随机∞l=0F假定l（I）中的l是稠密的。为了构造这样的空间，我们考虑了l（I，ω）的多分辨基{ψk，l}（k，l），具有以下性质：（1）基函数ψ，eψ在l（I）中是双正交的，即zψk，l（x）eψk，ldx=δk，kδl，l。（2）小波ψk，与其对偶的ψk，相对于相应的尺度是局部的，并且是归一化的，即isdiam supp（ψk，l）=Cψk，l-l如| |ψk，l | | l=Cψ-l/2成立，其中常数Cψ，Cψ可能取决于“母”小波。（3） 原始小波满足消失矩条件zψk，l（x）xαdx=0，对于α=0，p、 其中p表示小波的多项式阶数，请参见[13，方程（2.2），（2.4）]suchas[69，方程（6.7），（6.8）]。除了端点处的双小波外，其他双小波满足ψk，l（x）xαdx=0，对于α=0，p+1，而在端点处，双小波只满足ψk，l（x）xαdx=0，对于α=1，p+1。第三个条件意味着小波满足零Dirichlet条件，即ψk，l（0）=ψk，l（1）=0，参见[69，方程（6.8）]。在股票价格维度中，加权空间hx和vx（如其小波基）进一步满足（cf。

【13，假设3.1和3.2】（w1）权函数ω（x）属于w1，∞（（δ，1））每δ>0且满足-1ω≤ω（x）xα≤ Cω，C-1ω≤ω（x）xα-1.≤ 某些α的Cω∈ R和一个常数Cω>0，它只取决于权函数。14 BLANKA-HORVATH和OLEG-REICHMANN（w2）边界小波ψk，l（x）和对偶小波ψk，l（x）用指数集表示Ll={k∈ N、 γ- 1.≤ k≤ 2升- 1, 0 ∈ suppψk，l}，flL={k∈ N、 γ- 1.≤ k≤ 2升- 1, 0 ∈ suppeψk，l}，边界小波及其对偶满足条件ψk，l（x）|≤ Cψl/2（2lx）γ，|（ψk，l）（x）|≤ Cψ3l/2（2lx）γ-1, γ ∈ N、 k级∈ Ll |ψk，l（x）|≤ Cψl/2（2lx）|γ，|（|ψk，l）（x）|≤ Cψ3l/2（2lx）~γ-1, ~γ ∈ N、 k级∈eLl，式中γ，eγ∈ 使α+γ>-和-α + ~γ > -对于（w1）中的参数α进行了填充。我们参考【23】了解明确的结构。因此，任何v∈ V表示为级数和任何vL∈ VLA线性组合（3.9）vL=LXl=0MlXj=1vljψl，j，vL∈ VL；五=∞Xl=0MlXj=1vljψl，j，v∈ 五、 式中，vlj=（V，eψl，j）l（I），参见【13，方程式（2.9）】。通过截断小波展开，可获得V中函数的近似值，参见【64，方程（3.13）】或【44，第161页】。定义3.1（投影运算符）。对于区间I（参见（3.4））上的（可能加权的）希尔伯特空间l（I，ω）的子空间V，到一元有限元离散空间PL:V的投影→ 通过截断相邻水平L（3.10）处的小波展开定义VLV：=LXl=0MlXj=1vljψL，j，v∈ 五、 3.1.3。范数等价。小波范数等价类似于傅里叶分析中的经典Parseval关系（参见[44，第12.1.2节]），允许根据其傅里叶系数的总和来表示Sobolev范数。范数当量与质量和阻力矩阵的构造以及误差分析中的近似估计有关，参见【13，方程（2.5）和（2.6）】。

在未加权的单变量情况下，保持标准的正态当量（3.11）| | u | | Hs（I）≈∞Xl=0lXk=02ls | ulk |。对于股票价格维度Vx，我们需要加权空间中的范数等价，对于加权空间，小波及其对偶上提出了要求（（3.1.2）和（3.1.2），参见【13，第3节】）。定理3.2（加权范数等价）。在第3.1.2节关于离散化空间小波基的假设下，任何u∈ L（I，ω）其L（I，ω）-范数及其系数的离散Lω-范数相对于小波基的范数等价性||u | | L（I，ω）≈∞Xl=0MlXk=0ω（2-lk）| ulk |（3.12）证明。参见【13，定理3.3】，以及【13，定理5.1】。为了进行误差分析，通常（参见[64，第3.1节]和[44，第3.6.1节]）考虑V中的函数，这些函数具有额外的规律性：在未加权单变量情况下，考虑经典Sobolev空间Ht（I），t=0，1，2，其中下标表示Dirichlet边界条件。SABR模型的DIRICHLET形式和有限元方法153.1.4。双变量设置。对于二元情况，我们设置，与上面类似，不损失广义g=（0，1）×（0，1）。Hilbert空间Ht（G，ω），t=0，1，2可以通过张量积由Htx（I，ωxt）和Hty（I）构造，显式构造见附录A.2。我们将二维离散化空间定义为x和y坐标（3.13）VL：=VLx的单变量离散化空间的张量积 VLy公司。因此，与（3.7）类似，（3.14）VL=跨度ψl，k:0≤ lx，ly≤ 五十、 1个≤ kx公司≤ Mlx，1≤ 肯塔基州≤ Mly公司,式中，ψl，k（x，y）=ψ（lx，ly），（kx，ky）：=ψlx，kx（x）ψly，ky（y），对于（x，y）∈ (0, 1) ×(0, 1). 回想一下（3.7），Wlx=span{ψlx，1，…，ψlx，Mlx}和Wly=span{ψly，1，…，ψly，Mly}是对应的补码空间。

因此，从（3.8）和（3.13）直接得出，在二元情况下（3.15）VL=M0级≤lx公司≤LWlx公司M0级≤ly公司≤LWly公司=M0级≤lx，ly≤LWlx公司 Wly。每个元素u∈ L（G）hasa级数表示法参见【44，方程式（13.6）】（3.16）u=∞Xlx，ly=0MlxXkx=1MlyXky=1ulkψl，k，其中l，k=（lx，ly），（kx，ky），投影运算符PL:V→ VL，u 7→ PLu=：ULI定义如（3.10）所示，通过截断上述系列表示的L级，（3.17）uL=LXlx，ly=0MlxXkx=1MlyXky=1ulkψL，k，u∈ 五、 l，k=（lx，ly），（kx，ky）。从基本的张量积结构和一维情形的范数等价（3.11）可以看出，在二元情形中，范数等价（3.18）| | u | | Hs（G）≈∞Xlx，ly=0lxXkx=1lxXkx=12sxlx+22syly|ulk |，对于Sobolev空间Hk（G），k=0，1，2，其中l，k=（lx，ly），（kx，ky），如（3.9）所示，s=（sx，sy）cf[44，方程13.8]。为了符号的简单性，我们在这里陈述了二元范数等价的未加权版本。