SABR模型的Dirichlet形式和有限元方法

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英文标题：
《Dirichlet Forms and Finite Element Methods for the SABR Model》
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作者：
Blanka Horvath and Oleg Reichmann
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a deterministic numerical method for pricing vanilla options under the SABR stochastic volatility model, based on a finite element discretization of the Kolmogorov pricing equations via non-symmetric Dirichlet forms. Our pricing method is valid under mild assumptions on parameter configurations of the process both in moderate interest rate environments and in near-zero interest rate regimes such as the currently prevalent ones. The parabolic Kolmogorov pricing equations for the SABR model are degenerate at the origin, yielding non-standard partial differential equations, for which conventional pricing methods ---designed for non-degenerate parabolic equations--- potentially break down. We derive here the appropriate analytic setup to handle the degeneracy of the model at the origin. That is, we construct an evolution triple of suitably chosen Sobolev spaces with singular weights, consisting of the domain of the SABR-Dirichlet form, its dual space, and the pivotal Hilbert space. In particular, we show well-posedness of the variational formulation of the SABR-pricing equations for vanilla and barrier options on this triple. Furthermore, we present a finite element discretization scheme based on a (weighted) multiresolution wavelet approximation in space and a $\\theta$-scheme in time and provide an error analysis for this discretization.
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中文摘要：
基于非对称Dirichlet形式对Kolmogorov定价方程进行有限元离散，我们提出了一种SABR随机波动率模型下香草期权定价的确定性数值方法。我们的定价方法在中等利率环境和近零利率制度（如当前普遍的利率制度）下，在对过程参数配置的温和假设下有效。SABR模型的抛物型Kolmogorov定价方程在原点处退化，产生了非标准偏微分方程，而针对非退化抛物型方程设计的传统定价方法可能会崩溃。我们在这里导出了适当的分析设置，以处理模型在原点处的简并度。也就是说，我们构造了一个适当选择的具有奇异权重的Sobolev空间的演化三元组，由SABR-Dirichlet形式的域、其对偶空间和关键Hilbert空间组成。特别地，我们证明了在这个三元组上香草期权和障碍期权的SABR定价方程的变分公式的适定性。此外，我们提出了一种基于空间（加权）多分辨率小波近似和时间$\\θ$-格式的有限元离散化方案，并对这种离散化进行了误差分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Dirichlet_Forms_and_Finite_Element_Methods_for_the_SABR_Model.pdf (1.73 MB)

2022-6-2 21:37:31 上传

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关键词：Dirichlet Rich SABR SAB let

ABR模型Blanka HORVATH和OLEG Reichmananabstract的DIRICHLET形式和有限元方法。基于Kolmogorovpricing方程通过非对称Dirichlet形式的有限元离散化，我们提出了一种确定性数值方法，用于在SABR随机波动率模型下对普通期权进行定价。我们的定价方法在中等利率环境和近零利率制度（如当前普遍的利率制度）下，在Milda假设下，对过程的参数配置有效。SABR模型的parabolicKolmogorov定价方程在原点处退化，产生了非标准偏微分方程，而针对非退化抛物方程设计的传统定价方法可能会崩溃。我们在这里导出了适当的分析设置，以处理模型在原点处的简并度。也就是说，我们构造了一个适当选择的具有奇异权重的Sobolev空间的演化三元组，由SABR-Dirichlet形式的域、其对偶空间和关键Hilbert空间组成。特别地，我们证明了Vanilla和barrier期权的SABR定价方程的变分公式在这三重上的适定性。此外，我们提出了一种基于空间（加权）多分辨率小波近似和时间θ格式的有限元离散化方案，并对这种离散化进行了误差分析。简介Hagan等人在[41，43]中介绍的随机α-β-ρ（SABR）模型是当今利率市场的行业标准。

参数ν>0，β的模型∈ [0，1]和ρ∈ [-1，1]，由一对耦合随机微分方程（1.1）定义，dXt=YtXβtdWt，X=X>0，dYt=νYtdZt，Y=Y>0，dhZ，W it=ρdt，0≤ t型≤ T<∞,其中，W和Z是过滤概率空间上的ρ相关布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。SABR进程（X，Y）采用状态空间D=[0，∞) × (0, ∞), 描述了具有随机波动率Y且初始值X>0和>0的远期利率X的动力学。恒定方差弹性（CEV）参数β决定波动率微笑的一般形状，参数ν（通常用α表示）控制波动率-随机波动率。[41，43]中提出的SABR模型的第一个定价公式（所谓的哈根公式）基于（1.1）驱动的资产Black-Scholes隐含波动率的扩展。这种易于处理且易于实现的隐含波动率的渐近扩展使得对市场数据的校准更加容易。这一点，以及该模型捕捉市场中观察到的波动微笑的形状和动态（当当前值X=资产的X变化时）的能力，都是SABR模型的优点，该模型很快成为利率衍生品市场的基准[5、8、10、65]。只有当扩张参数相对于走向很小时，即到期时间或波动率ν的波动率足够小时，哈根扩张才是准确的。对于低利率和高波动性环境下的低行使期权，很可能日期：2018年1月10日。2010年数学科目分类。35K15、65M12、65M60、91G30。关键词和短语。SABR模型，有限元方法，Dirichlet形式。BH感谢瑞士国家科学基金会（SNSF赠款165248）的财政支持。

作者还感谢匿名裁判的有益评论，感谢罗宾·托普的几次有价值的讨论。本文所表达的观点是作者的观点，并不一定代表欧洲投资银行的观点。2 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmann我们今天面临的问题，这个公式可以为过程Xin（1.1）生成一个负密度函数，这会导致套利机会。因此，随着负密度和套利问题变得越来越普遍，例如在[6、7、10、29、42]中，通过不同的方法解决了这一问题，一些方法建议修改SABR模型或其隐含的波动性扩张。尝试对原始模型提出适当的修改是一项复杂的技术挑战，因为哈根的扩张深深植根于市场，并在中等利率环境下影响市场价格。任何在这些地区偏离其价格的模型都可能被视为没有竞争力。这使得这种定价技术成为可取的，它适用于所有市场环境中的原始模型。这个渐近公式有几个缺点：【62】中提出了一个修正，即前一阶项，而【63】提供了一个二阶项。在不相关的情况下，ρ=0，得到了X（0，∞) 在【6、33、48】中，相关案例通过模拟模型进行近似。然而，这些竞争对手似乎并没有完全解决原点附近的套利问题。

最近的结果[29、38、39]集中于分布的单数部分，并对利率接近零时出现的异常现象提出了解释；[38，39]提供了一种方法，根据[26，37]中得出的尾部渐近，将Hagan的渐近公式正则化为特定参数配置的低行程。我们在这里提出了一种（原始）SABR模型（1.1）的数值定价方法，并对参数进行了rathermild假设。它始终适用于所有市场环境，并允许推导期权价格数值近似值的收敛速度。迄今为止，SABRmodel（或密切相关的模型）最常用的数值近似方法分为以下几类：概率方法-将过程的路径模拟与合适的（准）蒙特卡罗近似相结合，在[18]中考虑了SABR模型，在[1、2、17、21、47]中考虑了相关模型。此外，在[18]中，还讨论了在SABR背景下欧拉方法的一些困难。将过程的最小生成元分解为合适的运算符，从而更高效地计算定价方程的拆分方法为高效正则过程的计算效率提供了一个强大的工具。[12]中考虑了与SABR密切相关的amodel的此类方法（另请参见[11]），而[28]中考虑了一大类模型的此类方法。然而，相应的收敛结果对SABR模型本身的适用性尚未完全解决。在完全确定的PDE方法中，最显著的是有限差分方法，在[5,53]中对SABR模型（1.1）和有限元方法进行了修改[42]，并在[75]中的数学融资背景下进行了描述。

在最近的教科书【44】中，有限元方法已应用于一大类金融模型，包括密切相关的过程（1.3），并提供了一个稳健而灵活的框架来处理这些模型的随机性。尽管如此，到目前为止，在相应的文献中，有限元近似方法并没有出现在SABR模型的背景下。有关在特定参数范围内用于SABR模型（1.1）的模拟方案的广泛审查，另请参见【57】及其参考文献。如果所考虑的模型满足确定性（方法规范）正则性条件，则标准理论提供了上述方法的收敛性。然而，在SABR模型的情况下，这些方法的收敛速度是非标准的：SABR Kolmogorovequation在原点的简并性违反了传统有限差分方法所需的假设，对于一系列参数，也违反了特殊（即未加权）有限元方法所需的假设。SABR过程的路径模拟还需要非标准技术，因为零处的差（1.1）会退化。当漂移和扩散（b和σ）不满足全局Lipschitz条件（1.2）| b（x）时，非标准技术通常对于随机微分方程的数值模拟是必要的- b（y）|+|σ（x）- σ（y）|≤ C | x- y |，对于x，y∈ r和一个常数C>0，与x和y无关，参见[68]。X=0时，SABR模型（1.1）的简并度源于CEV processeX条件（1.2）的失效，以及描述参数α>0和β的SABR模型3的DIRICHLET形式和有限元方法∈ [0，1]通过方程（1.3）deXt=αeXβtdWteX=eX>0，0≤ t型≤ T<∞.虽然可以获得CEV过程的精确分布[55]，但在许多情况下，基于它的完整SABRmodel的模拟可能会变得复杂且昂贵。

事实上，将SABR分布划分为CEV部分和波动性部分的精确公式仅在受限参数区域可用，绝对连续部分见[6、32、48]，奇异部分见[38、39]。一个简单的空间变换（见下文（1.5））使CIR模型的一些数值近似结果（可能是最容易理解的退化扩散）适用于SABR过程的某些参数区域。CIR过程（1.4）dSt=（δ- γSt）dt+a√StdWt，S=S>0，0≤ t型≤ T<∞,a>0时，δ≥ 对于参数γ=0，a=2，0确实减少为平方贝塞尔过程，尺寸δ在正实线上，然后通过（1.5）Д：R连接到CEV≥0-→ R≥0s 7-→1.-δ/2s1-δ、 其中β=1-δ2-δ、 对于δ6=2，也就是说，假设吸收边界条件为零，在空间变换φin（1.5）下，S in（1.4）（对于参数γ=0，a=2）的定律与x in（1.3）的定律一致。这方面的最新结果，即探索概率近似方法，以解决违反整体Lipschitz连续性（1.2）的情况，可在【17、21】和【47】中找到，也可参见【3、27】及其参考文献。在情况2δ<a如[47]所示边界可接近的情况下，建立强收敛速度特别困难，因为这种情况使得SDE（1.4）的系数在状态空间上既不是全局的，也不是局部的Lipschitz连续的。然而，这些收敛结果并没有覆盖SABR模型的参数范围。文[1，2]给出了进一步的近似模式，它们适用于具有可接近边界的CIR过程，并研究了近似的强收敛性和弱收敛性。

Talayand Tubaro[74]的弱误差分析得出了[1，2]中提出的格式的二阶收敛性，该收敛性覆盖了参数0<β<，但结果并不直接适用于这种情况≤ β < 1.在这里，我们转向基于Kolmogorov偏微分方程离散化的完全确定性数值方法，使用有限元。我们推导出适当的分析设置来处理模型在原点处的简并度。也就是说，我们构造了一个合适的具有奇异权重的Sobolev空间的演化三元组，SABR定价方程的变量公式的适定性在此基础上成立。提出的空间离散化方法基于与SABR随机微分方程对应的Dirichlet形式。具体地说，使用Dirichlet形式，我们以弱（变分）形式重新构建Kolmogorov定价方程，并显示后者的所谓适定性。我们在状态空间中使用[13]的加权多分辨率（小波）Galerkin离散化来近似金融合同（普通期权和障碍期权）的SABR-Kolmogorov定价方程的变分解。对于由过程（1.1）生成的半群的时间离散化，我们提出了θ-格式。我们推导了适合加权设置的近似估计，测量定价方程的真实解与其投影到离散化空间之间的误差。在此基础上，我们得出了类似于[64]的完全离散方案的误差估计。在Payoff的适当正则性假设下，我们得到了有限元近似的完全收敛速度。

该方法的优点是，它允许在SABR过程中使用非常温和的参数假设进行一致的定价，并且它非常适用于中等利率环境以及当前的低利率制度。此外，建议的离散化可用于计算复合期权或多期合同的价格，而无需对数值方法进行实质性修改，参见【68】。本文的组织结构如下。第2节致力于在适当的分析环境中制定SABR pricingproblem，并概述了变量4 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmananalysis的总体思路，该分析是SABR模型的拟议有限元方法的基础。在第2节中，我们介绍了一些符号。在第2.1节中，我们介绍了SABR-Dirichlet形式，并在适当的设置下计算了SABR定价方程的变分公式。然后，我们提出了有限元离散化的aGelfand三重空间，由可容许函数的空间V（SABR-Dirichlet形式的域）及其对偶空间V组成*和一个关键的希尔伯特空间，包含V。在第2.2节中，我们简要回顾了一些相关的现有结果，以证明三元组V上SABR定价问题的适定性 H 五、*, 并得出这些空间上Kolmogorov偏微分方程的变分形式存在唯一弱解的结论。在本节中，我们进一步推导了SABR模型的非对称Dirichlet形式，从而将[22]关于SABR型模型Dirichlet形式的结果推广到非对称情况。在第3节中，我们介绍了前几节中检查的方程弱解的有限元离散化。

第3.1节介绍了空间离散化，该离散化通过空间V和H的样条小波离散化来实现。我们回顾了[44，64]（在未加权情况下）的多分辨率样条小波分析，以离散波动性维度。前向维度（CEV部分）更为精细，因为其简并度为零。在这种情况下，我们应用加权多分辨率范数等价，provenin【13】，适用于这种退化。我们通过在每个维度上构造离散化空间的张量积，将一元情形转换为二元情形，如【44】所述。最后，我们指定了空间离散化中涉及的质量矩阵和stiffness矩阵。在第3.2节中，我们通过在时间步进中应用θ-格式，提出了完全离散格式。Wefollow[64]得出结论，θ-格式的稳定性在当前的加权Sobolev空间中继续保持不变。在第4节中，我们推导了有限元离散化的误差估计。在第4.1节中，基于多分辨率（加权）范数等价建立了离散空间投影的近似估计。我们将我们的估计值低于不同规律性假设对定价方程解的规定。我们使用第4.2节中的这些估计来推导有限元离散化的收敛速度，并得出结论，在上一节中检查的关于支付的一些正则性假设下，我们获得了完全收敛速度。我们在此指出，第4节中给出的SABR模型的近似值和误差估计值很容易产生相应的近似值和CEV模型的误差估计值，作为直接推论。