SABR模型的Dirichlet形式和有限元方法

文献[44，68]研究了CEV定价方程的变量公式的适定性，但据我们所知，迄今为止，相关文献中还没有完整的误差分析。预备知识和问题公式预备知识和符号：系统（1.1）存在唯一的弱解，该解将通过相关的鞅问题【50，定理21.7】和（1.1）的（路径）唯一性【50，定理23.3】建立。此外，当β<1时，（1.1）中的过程X是鞅[45，定理5.1]，对于β=1，它是鞅当且仅当ρ≤ 0【49，备注2】，另见【56，第1节和定理3.1】。对于空间V上的两个范数，表示法| |·| | V≈ ||·||证明范数在V上是等价的。二元函数的函数空间将用斜体表示（V，H，…）和一元函数空间by（V，H，…）照着对于域G R（响应间隔I R） 我们用Lloc（G）（分别为Lloc（I））表示G（分别为I）上的局部可积函数，并用C∞（G） （分别为C∞（一） ）支持紧凑的平滑功能。关于时间的导数将用˙u、¨u、。根据地役权注释。2.1. SABR模型的分析设置。在本节中，我们建立了三重态V H五、*空间，根据SABR过程定制，我们在该过程上投射Kolmogorov定价方程不变性形式。然后，我们继续证明这些定价方程在这个三元组上的适定性，即不等式（2.17）和（2.18）已完全满足。我们通过提供定价方程的弱公式所产生的双线性形式确实是一种非对称Dirichlet形式，对应于SABR过程的（唯一）定律，从而结束本节。

为SABR模型5horizon[0，T]和seteY=log（Y）固定一个timeDIRICHLET形式和有限元方法，使SDE（1.1）变为（2.1）dXt=Xβtexp（eYt）dWtX=X>0，d▄Yt=νdZt-νdtY=对数Y，Y>0dhW，Zit=ρdt。其中，我们在X=0时施加吸收边界条件，以确保过程的马丁尼性。然后对（2.3）（和（1.1））的解进行唯一定义。实际上，对于参数β∈ [0.5，1]这是唯一的选择。我们在此指出，在最近的一些研究成果中（例如，在[8]中），建议选择原点处的反射边界条件（对于区域β∈ [0，0.5]）以适应利率可能变为负值的市场条件。我们的分析可以很容易地适应这种设置，但为了简洁起见，我们将我们的陈述限制在吸收情况下。时间t∈ J=（2.1）上欧式合同的（0，T），付息（2.2）u（T，z）=E[u（Zzτ）]，T∈ 其中τ：=（T- t） Zzτ：=（Xτ，eYτ）是从z开始的过程：=（X，~y）∈ R≥0×R，带（x，~y）=（Xt，~Yt）P-a.s.然后表示u∈ C1,2（J；R≥0×R）∩ C（\'J；R）≥0×R）（2.1）的Kolmogorov pricingequation为（2.3）˙u（t，z）- Au（t，z）=g（t，z）in J×R≥0×R，u（0，z）=R中的u（z）≥0×Rwhere g∈ L（J，V）∩ H（J，H）表示一般强迫项（见[44，第4节]）和V*如（2.12）所示，其中（2.1）的最小生成器A读取（2.4）Af=x2βe2  yxxf+ρνxβeyx▄yf+ν~y~yf-νyf代表f∈ C（D） D（A）。从现在起，为了便于记法，我们在对数波动率中去掉颚化符。（2.4）中的算子A是一个线性二阶算子，在边界{（x，y）：x=0，y>0}处退化（即非椭圆）。操作员A的域D（A）配备有一个规范| |·| | V（在下面的定义2.4中规定），根据该规范完成D（A）将用V表示。

此外，我们用H（定义见下文2.2）表示一个可分离的希尔伯特空间，即包含V的枢轴空间，因此V→ H是稠密嵌入。将H的内积（·，·）推广到对偶对（·，·）V*×冯V*×V，其中V*表示V的双空间，配备双范数| |·| | V*. Hilbert空间H的对偶H识别*我们得到了相应的Gelfand三重态（2.5）V→ H~=H*→ 五、*,哪里→ 表示密集嵌入。考虑到离散化，通常（参见[44，64，68]）将PDE的空间域本地化（R≥0×R in（2.3）），在这一点到有界域G R≥0×R，Lipschitz边界。在下面的内容中，所有本地化域都是矩形G=[0，Rx）×(-Ry，Ry）表示价格（和波动性）过程可采用的容许值范围。备注2.1。对于看涨期权和看跌期权，将域截断为G R×R≥0对应于通过淘汰障碍期权近似期权价格，直至边界的起始时间G、 见【44，第5.3节和第6节】。[44，Theorem5.3.1]中的估计可以直接应用于波动性维度Y，并得出截断问题以指数速度收敛到原始问题的结果。此外，对于资产价格中的CEV过程，通过比较CEV（β∈ [0，1]）过程和几何布朗运动β=1。Cont和Voltchkova在[19，20]中提出了通过淘汰障碍选项估计定位误差的概率论证，即使在更一般的L'evy模型设置中也是如此。事实上，对于SABR模型，我们认为符号简单的概率为零无风险利率。

此外，我们对Payoff函数u做出了一些标准的技术假设：根据[44，等式（5.10）第47页]，我们假设uto满足u（0）=0和多项式增长条件（由普通合同满足），并且u∈ H（定义2.2）符合【64，方程式（2.10）和（2.12）】。6 RXREP的BLANKA HORVATH和OLEG REICHMANNhitting时间。Ry在T收敛到零之前发生，如Rx，Ry→ ∞. 但是，下限不能截断为任何域(, Rx）对于正极 不可能引入严重的定位错误。这是由于当β<1时，SABR过程每T>0，就在0处累积一个正质量。有关详细信息，请参见【38，39】，其中零质量是针对几个相关参数配置计算的。定义2.2。设G：=[0，Rx）×(-Ry，Ry） R+×R，Rx，Ry>0是一个开放子集。在Gwe定义加权空间（2.6）H：=L（G，xu/2）={u:G→ R可测量| | | u | | L（G，xu/2）<∞}带u∈([-2β，0]表示β∈ [0,)[-1, 1 - 2β]表示β∈ [，1），（2.7）其中| | u | L（G，xu/2）：=（u，u）H对于双线性形式（2.8）（u，v）H：=ZGu（x，y）v（x，y）xudxdy，u，v∈ 五、 备注2.3。注意，（H，（·，·）H）是希尔伯特空间，见附录a.1引理a.5和a.3。重量的可能选择为u=-β表示任何β∈ [0，1）。或者，可以区分情况β∈ [，1）和β∈ [0，）并选择u=-β代表β∈ [，1），但β的u=0∈ [0,) ∪{1}.区分上述参数区域的优点是，我们保留了参数β的未加权L（G）-空间的经典设置∈ [0,) ∪ {1}. 后一种选择进一步强调，我们的分析设置始终将单变量CEV情况扩展到双变量ABR情况：CEV的分析设置见【44，第4.5节】和备注2.8。定义2.4。设置G：=[0，Rx）×(-Ry，Ry） R+×R，Rx，Ry>0，兴趣域。

对于第一个坐标，我们考虑L（[0，Rx），xu/2）={u∈ L（[0，Rx]），xu/2u | | L<∞}. 仅（[0，Rx），xu/2）我们定义了空间vx：=C∞（[0，Rx））| |·| | Vx其中| | u | | Vx：=| | xβ+u/2xu）| L（0，Rx）+| xu/2u | L（0，Rx），u∈ C∞（[0，Rx））。对于我们在L上考虑的第二个坐标(-Ry，Ry）空间vy：=H(-Ry，Ry），其中| | u | | Vy：=||yu | | L(-Ry，Ry）+| | u | | L(-Ry，Ry），u∈ H类(-Ry，Ry）。我们确定了双变量情况v：=Vx公司 L(-Ry，Ry）\\L（[0，Rx），xu/2） Vy公司.（2.9）双空格将用V表示*并配备通常的双标准（2.10）| | v | | v*= supu公司∈V（V，u）V*×V | | u | | V，V∈ 五、*.备注2.5。请注意，空间（2.9）上的范数按构造相当于（2.11）| | u | | V≈ ||xβ+u/2xu | | L（G）+| | xu/2yu | | L（G）+| | xu/2u | | L（G），用于u∈ 五、 引理2.6。对于（2.7）中的任何u，空间H、V和V*在定义2.2和2.4中，形成Gelfandtriplet。特别是，包裹体图为密集嵌入（2.12）V→ H→ 五、*,其中，（2.6）和（2.9）中规定了V和H。因此，标量积（·，·）可以（通过引理2.6）推广到对偶（·，·）V×V*.详见附录A.2.1。一维（Vx）零件中的类似陈述在[44，方程式（5.33），第56页]的CEV分析中给出。SABR模型7证明的DIRICHLET形式和有限元方法。第一个包含后面是构造（参见定义2.4），第二个包含后面是在加权空间H=L（G，xu/2）中通过具有紧支撑的平滑函数进行直接近似。我们将Hilbert空间的内积（·，·）推广到对偶（·，·）V*×上述Vas。回顾：∈ L（V；V*) 我们应用对偶对（·，·）V*×V：双线性形式（·，·）：V×V→ 因此，通过设置（2.13）A（u，v）：=-（Au，v）v*×V，u，V∈ 五、 如果操作符A在弱意义上作用于V，请参见下面的（2.14）。

因此，我们通过关系式（2.13）定义了ABR双线性形式，因此其读数为SA（u，v）=Z ZGx2β+ue2y徐xv dxdy+2β+uZ ZGx2β+u-1E2年xu v dxdy+ρνZ ZGxβ+uey徐yv dxdy+ρνZ ZGxβ+ueyxu v dxdy+νZ ZGxu于yv dxdy+νZ ZGxuyu v dxdy，u，v∈ 五、 （2.14），由（2.13）-通过散度定理和V Lloc（G）-当Au、u∈ V被解释为弱导数。带空格V H 五、*对于双线性形式（2.13），我们可以建立对应于（2.3）的变分（或弱）框架。传递到弱公式的动机是，对于退化方程（如（2.3）），通常不可能找到经典解u∈ C1,2（J，R）∩C（(R)J，R）到原始问题（2.3）。然后，变分重构（2.15）问题可能仍然允许（弱）解u具有较少的正则性。只要变分问题的（弱）解是充分光滑的，它就与相应原始问题的解一致。定义2.7（SABR定价方程的变分公式）。让V，V*H（分别为L（G，xu/2））如定义2.4和2.2所示，并使V上的双线性形式a（·，·）如（2.14）所示。此外，让我们∈ H（分别为u∈ L（G，xu/2）），并考虑T>0时的有限间隔j=（0，T）。然后，SABR定价问题的变分公式如下所示：Findu∈ L（J；V）∩ H（J；V*), 使得u（0）=u，并且对于每个v∈ 五、 ^1∈ C∞（J） （2.15）-ZJ（u（t），v）H˙И（t）dt+ZJa（u（t），v）Д（t）dt=ZJ（g（t），v）v*×VД（t）dt。在适当的Bochner空间中，函数u的时间导数可以在weaksense中理解：对于u∈ L（J；V），其在˙u中的弱导数∈ L（J，V*) ∩H（J；V*) 由关系式（2.16）ZJ（˙u（t），v）v确定*×VД（t）dt=-ZJ（u（t），v）v*×V˙И（t）dt，有关Bochner空间的定义和性质，请参见[44，第2.1节和第3.1节]。备注2.8（CEV情况：ν=0）。

在[44，68]中，针对单变量情况研究了相应的分析装置：对于CEV模型，Gelfand triplet V H~=H* V in【44，68】由加权空间SH：=L（（0，R），xu/2）和V：=C组成∞（[0，R））| |·| | V与| | u | | V：=| | xβ+u/2xu）| | L（0，R）+| | xu/2u | | L（0，R）如其双V*, 其中参数u∈ [最大值{-1.-2β}, 1 -2β]按照定义2.2和2.4选择。实际上，设置ν=0，具有平凡volatilityprocess的SABR过程（1.1）（resp.（2.1））减少到CEV模型，状态空间G减少到[0，Rx） R、 因此，对于ν=0，空间H，V，V*定义2.2和2.4与空间V、H和V重合*在上面此外，SABR双线性形式（2.14）减少到相应的CEV双线性形式。因此，请注意，对于这一点，算子A不需要是自伴的，也不需要相关的双线性形式是对称的。乘以-带v的Au∈ C∞积分得到（2.13），部分积分得到（2.14）。8 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmanour分析设置将CEV模型的单变量设置一致地扩展到双变量ABR情况。V、H、V的定义参见【68，方程式（21）】、【44，方程式（4.30）和（4.33）】，如【44，第62页】*和[44，方程（4.28）]，用于CEV双线性形式。2.2. 变分定价方程的适定性和SABR-Dirichlet形式。在这一节中，我们展示了空间的三元组V H~=H* 五、*（定义2.2和2.4）我认为最小生成元（2.4）的简并度为零：在这种情况下（由于定理2.11和适定性，参见定理2.13），SABR定价方程的变量公式在V中有唯一的解，因此期权价格族Pt=E[u（Zt）]，t≥ 0是希尔伯特空间H上的强连续收缩半群，cf。

定理2.12和2.13。本节的主要结果是在OREM 2.13中建立的SABR变分方程的适定性。此外，我们证明了SABR双线性形式（2.14）是Hilbert空间H上具有域V的（非对称）Dirichlet形式，参见定理2.19。后者推广了[22]关于SABR-Dirichlet型的结果。我们首先回顾本节中的一些概念和结果。定义2.9（连续性）。如果存在0<C，则V上的形式a（·，·）称为连续<∞ 这样（2.17）u、 五∈ V：| a（u，V）|≤ C | | u | | V | V | | V.definition 2.10（矫顽力，Garding不等式）。如果存在常数C，则表示形式（2.13）满足V上的Gardinginequality≥ 0，以便（2.18）u∈ V:a（u，u）≥ C | | u | | V- C | | u | | H。如果（2.18）在C=0时成立，则形式a（·，·）是强制的，等价物a（·，·）≈ || · ||沃兹。定理2.11。设V和H是具有连续稠密嵌入V的可分Hilbert空间→ H、 此外，设a:V×V→ R是满足不等式（2.17）和（2.18）的双线性形式。然后，相应的变分抛物问题（回忆定义2.7）在L（J；V）中有唯一解∩ H（J；V*).证据参见[54，定理4.1]以获得证明。定理2.12。考虑双线性形式a（·，·）：V×V→ 与A关联的R∈ L（V，V*) via（2.13）。如果a（·，·）满足属性（2.17）和（2.18），则-A是有界解析C半群（Pt）t的微元生成器≥0英寸V*. 在这种情况下，对于给定的u∈ H和g∈ L（J；V*),相应方程的唯一变分解可以表示为（2.19）u（t）=Ptu+ZtPt-sg（s）ds。证据参见【59，定理2.3】，【64，第2节。方程式（2.13）和备注2.1】以及【54】。现在，我们在本节中阐述了主要定理：定理2.13（SABR定价方程的适定性）。

对于每个配置（β，|ρ|，ν）∈SABR参数的[0，1]×[0，1]×R+，满足条件|ρ|ν<2，对于任意x，y>0，与SABR模型（2.3）对应的定价方程（2.3）的变分公式（2.15）允许唯一解u∈ L（J，V）∩ H（J，V*) 对于任何强制项，请注意V、H、V*以调整为当前符号的形式呈现。标准（参见示例【64，备注2.4】）是，（较弱的）Garding不等式可以通过替换v：=e简化为C性-Ctu。如果在u处为运算符A填充（2.18），则在v处为C=0的（2.18）。然后运算符A+CI是强制的，并解决相关问题˙v（t，z）+（A+CI）v（t，z）=e-t中的Ctg（t，z）∈ J、 z∈ R、 根据上述定理2.11。SABR模型9g的DIRICHLET形式和有限元方法∈ L（J，V*) 定价方程的唯一变分解可以表示为（2.20）u（t，z）=Ptu（z）+ZtPt-sg（s）ds，t≥ 0，z∈ G关于强连续半群（Pt）t≥0on H，微型发电机A在（2.4）中。证据这是应用于下面引理2.14和2.16的定理2.11的直接结果，该引理建立了该三元组上SABR-Dirichlet形式（2.14）的连续性（2.17）和Garding不等式（2.18）。引理2.14。双线性形式（2.14）是连续的：存在一个常数C>0，使得| a（u，v）|≤ C | | u | | V | V | V，对于所有u，V∈ 五、 （2.21）证明。连续性声明（2.21）是以下六种估计的直接结果，每种估计对应于（2.14）中a（·，·）的一个分量：（1）RRGx2β+ue2y(徐）(xv）dxdy≤||xβ+u/2eyxu | | L（G）+| | xβ+u/2eyxv | | L（G）,（2） 根据Cauchy-Schwarz不等式，2β+uRRGx2β+u-1E2年(xu）vdxdy≤2β+uRRGx2β+u-2e2yvdxdy1/2RRGx2β+ue2y(xu）dxdy1/2，后者的上界来自哈代不等式[44，（5.56）p。

54]:≤2β+u|2β+u-1 | | | xβ+u/2eyxv | | L（G）| | xβ+u/2eyxu | | L（G）≤2β+u|2β+u-1|||xβ+u/2eyxv | | L（G）+| | xβ+u/2eyxu | | L（G）（3） ρνRRGxβ+uey(徐）(yv）dxdy≤ |ρν|||xβ+u/2eyxu | | L（G）+ν| | xu/2yv | | L（G）,（4） ρνRRGxβ+uey(xu）vdxdy≤ |ρν|||xβ+u/2eyxu | | L（G）+ν| | xu/2v | | L（G）,（5） νRRGxu(yu）(yv）dxdy≤ν||xu/2yu | | L（G）+| | xu/2yv | | L（G）,（6） νRRGxu(yu）vdxdy≤ 0≤ν||xu/2yu | | L（G）+| | xu/2v | | L（G）.备注2.15。引理2.14的证明表明，如果域是整个（非截断）状态空间R×R，则类似的估计是有效的≥在下一个引理中，如果在估计（2）和（6）中，分部积分对消失的边界项有效，则类似的陈述成立。引理2.16。双线性形式（2.14）满足Garding不等式，即存在康斯坦茨>0和C≥ 0使a（u，u）≥ C | | u | | V- C | | u | | H，适用于所有u∈ 五、 （2.22）证明。Garding不等式（2.22）由以下估计值得出：（1）RRGx2β+ue2y徐xudxdy=| | xβ+u/2eyxu | | L（G）我们使用[44，（5.56）p]中的哈代不等式。