SABR模型的Dirichlet形式和有限元方法

然而，请注意，从一元到二元的传递是张量积结构的直接结果（参见第a.2节），类似地，在无加权和加权Sobolev空间中都有效。现在，我们可以计算矩阵Mx、Bx和sx，例如质量矩阵和stiffness矩阵M和a的My、By和Syas构建块，出现在半离散问题（3.3）中，关于构造的小波基{ψl，k}：对于y坐标，适当加权lω范数中的矩阵读取（3.19）Myωy，M：=Rωy（y）ψly，ky（y）ψly，ky（y）ω（2-lyky）ω（2-lyky）dy0≤ly，ly≤L0≤肯塔基州≤2ly，0≤肯塔基州≤2lySyωy，S：=Rωy（y）ψly，ky（y）ψly，ky（y）ω（2-lyky）ω（2-lyky）dy0≤ly，ly≤L0≤肯塔基州≤2ly，0≤肯塔基州≤2lyByωy，B：=Rωy（y）ψly，ky（y）ψly，ky（y）ω（2-lyky）ω（2-lyky）dy0≤ly，ly≤L0≤肯塔基州≤2ly，0≤肯塔基州≤2ly，注意H=L（G，xu/2） L（G）。16 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmanand对于x坐标，相应的矩阵为（3.20）Mxωx，M：=Rωx（x）ψlx，kx（x）ψlx，kx（x）ω（2-lxkx）ω（2-lxkx）dx0≤lx，lx≤L0≤kx公司≤2lx，0≤kx公司≤2lxSxωx，S：=Rωx（x）ψlx，kx（x）ψlx，kx（x）ω（2-lxkx）ω（2-lxkx）dx0≤lx，lx≤L0≤kx公司≤2lx，0≤kx公司≤2lxBxωx，B：=Rωx（x）ψlx，kx（x）ψlx，kx（x）ω（2-lxkx）ω（2-lxkx）dx0≤lx，lx≤L0≤kx公司≤2lx，0≤kx公司≤2lx，其中ωx和ωydenote权重函数在各自的维度中。我们的方程（3.19）和（3.20）密切遵循单变量加权矩阵的[13，方程（3.12）]的构造。我们将其作为构建二元矩阵的构建块，如（3.22）和（3.23）所示，并选择适当的权重函数（ωx，M=xu，ωy，M=1 in（3.22），进一步选择ωy，M=e2y，ωy，S=1，ωy，B=ey，如ωx，M=xu，ωx，S=x2β+u，ωx，B=xβ+uin（3.23））。标准情况下的类似构造可在[44]中找到。

在我们的例子中，半离散问题（3.3）中的stiffness矩阵是（3.21）A=A（l，k），（l，k）0≤lx，lx≤L0≤kx公司≤2lx，0≤kx公司≤2lx：=（a（ψl，k，ψl，k））0≤lx，lx≤L0≤kx公司≤2lx，0≤kx公司≤2lx，其中a（·，·）表示SABR双线性形式（2.14）。关于本节定义的加权多分辨基{ψl，kψl，k}，质量矩阵读数为（3.22）M=Mxxu My和Stiff矩阵A采用形式=QxxSxx2β+u Mye2y+QxyBxxβ+u Byey+QyyMxxu Sy公司+cxBxx2β+u-1. Mye2y+cxBxxβ+u Myey+cyMxxu 通过,（3.23）其中系数为（Qxx，Qxy，Qyy）=（，ρν，ν）和（cx，cx，cy）=（2β+u，ρν，ν）。3.2. 时间离散化和全离散格式。在本节中，我们定义了时间离散化的θ-模式，以介绍有限元法的完全离散模式。此外，在【64】之后，我们得出结论（见下面的命题3.4），θ格式的稳定性在我们的设置中仍然有效。为此，我们为近似空间引入以下对偶范数：（3.24）| | f||*:= supvL公司∈VL（f，VL）V*×V | | vL | | V，vL6=0，f∈ （VL）*,此外，对于T<∞ 和M∈ N我们考虑以下统一时间步长和时间网格（3.25）k：=TM，且TM=mk，m=0，M、 时间离散化的θ格式和完全离散格式描述如下：定义3.3（θ格式和完全离散格式）。给定初始数据uL：=u（0，L）=PLu，对于m=0的（3.17）中的投影仪，M- 1英尺+1升∈ 对于所有vL∈ VL：（3.26）k（um+1L- umL，vL）V*×V+a（θum+1L+（1- θ） umL，vL）=（θg（tm+1）+（1- θ） g（tm），vL）V*×VHence，SABR模型的完全离散有限元方案读数为（3.27）（kM+θA）um+1=kMum- (1 - θ） Aum+gm+θ，m=0，1，M- 1，其中M表示质量矩阵（3.22），A表示stiffness矩阵（3.23），umis表示相对于VL基础的UML系数。命题3.4（θ-格式的稳定性）。

对于≤ θ ≤ 1让常数C和C满足（3.28）0<C<2，C≥2.- C、 SABR模型17和0的DIRICHLET形式和有限元方法≤ θ<表示λA=supvL∈VL | | VL | | H | | VL||*, 常数C和Cbe使得（3.29）0<C<2- σ、 C类≥1+(4-C） σ2-σ-C其中σ：=k（1- 2θ）λA<2。那么θ-方案3.26的解的序列{umL}Mm=0满足稳定性估计（3.30）| umL | H+CkM-1Xm=0 | | um+θk | | H≤ ||uL | | H+CkM-1Xm=0 | | gm+θ||*.证据该命题的证明类似于[64，命题4.1]中给出的证明。误差估计slet VL，解空间V的有限维近似空间，如第3节所示。此外，考虑um（x）：=u（tm，x），其中tm，m=0，（3.25）中的M和完全离散方案（3.26）中的umLas。在本节中，我们估计误差（4.1）emL：=um（x）- umL（x）=（um- 李子）+（李子- umL）=：ηm+ξmL，对于时间点tm，m=0，M、 式中PL:V→ VL表示通过截断小波展开在有限元素空间上的投影（3.10）。在第4.1节中，我们推导了误差ηm，m=0，M（近似估计）。第4.2节致力于从第4.1节的结果得出ξmL，m=0，…，的相应误差估计，M和全离散格式的收敛性。4.1. 近似估计。误差分析的关键因素是近似估计的推导，该估计用于测量误差ηm=（um-PLum）在时间tm，m=0，…，定价方程的真解之间，M及其在可测选择范数下向离散化空间的投影。在未加权的情况下，以下（4.2）中通常Hk（I）（分别为Hk（G））范数k=0、1、2的近似估计是标准的，请参见[44，Jackson类型估计163]。

鉴于随后的误差分析，我们在此推导出（见下文第4.1.2节）适用于Gelfand triple V的加权Sobolev范数的类比估计值 H 五、*在第2.2节中构造，以及在第3.1.4.1.1节中相应的离散化空间。未加权情况下的近似估计。在未加权的单变量情况下，众所周知，所有u∈ Hl（I），其中l=0，1，2是对应离散化空间VL中的元素uLin，因此uL=PLu，对于k=0，1和l=0，1，2，l≥ k认为（4.2）| | u- PLu | | Hk（一）≤ C2级-（l）-k） L | | u | | Hl（I），其中PLs表示投影仪（3.10）。这种元素的存在由形式等价物（3.11）提供。在二维情况下，G=I×I也有相同的估计，见[44，定理13.1.2]，尤其是近似速率（2-五十） （L）-k） 仅取决于隔离级别2-Land与域G的维数无关。类似于单变量情况，对于kx=0，1和lx=0，1，2，lx≥ Kx如ky=0，1和ly=0，1，2，ly≥ ky，它认为（4.3）| | u- PLu | | Hk（G）≤（C2-（l）-k）*L | | u | | Hl（G），如果k 6=0或lx，ly6=2，C2-（l）-k）*LL1/2 | | u | | Hl（G）else，其中我们表示（l-k）*:= 最小{lx-kx，ly-其中，pli是投影算子（3.17）。估算（4.3）是（4.2）和张量积构造（3.13）的直接结果。如上所述，二元范数等价的类似参数（3.18），参见【44，第13章】。18 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmann 4.1.2。加权情况下的近似估计。在加权设置中，近似的阶数可能取决于加权Sobolev空间的范数，我们在其中测量误差。根据通常的惯例，我们在加权设置中考虑V中具有额外规律性的函数，以便进行误差分析。

为此，我们考虑了高达二阶的加权Sobolev空间，Hk（G，ω），k=0，1，2，其中权ω尚未根据我们的设置进行适当选择。我们的目标是建立以下形式的近似估计：对于任何u∈ Hk（G，ω），k=0，1，2存在一个常数C>0，使得以下类型的估计值保持（4.4）| u- PLu | | Hk（G，ω）≤（C2-cω（l-k）*L | | u | | Hl（G，ω），对于k 6=0或lx，ly6=2，C2-cω（l-k）*LL1/2 | | u | | Hl（G，ω）else，对于常数cω∈ R+，这可能取决于Hk（G，ω）中权重的选择，k=0，1，2，其中（l- k）*= 最小{lx- kx，ly- ky}如（4.3）所示。下面，我们将首先证明加权空间中近似性质的一维版本。更具体地说，我们在加权Sobolev空间Hk（I，xu/2）上显示类似于（4.2）的语句，k=0，1，2在x坐标中。为此，我们传递函数u（t，x，y）∈ L（J，V），t∈ J、 （x，y）∈ G touy（t，x）∈ L（J，V），t∈ J、 x个∈ 一、 对于y∈ I（见附录A.2））。请注意，对于y坐标，以未加权设置为准，估计值（4.2）有效。然后，通过构造一元多分辨率有限元空间的张量积，我们继续讨论二元caseG=I×I。与未加权情况类似（参见等式（4.3）），对于二元情况Hk（G，ω），k=0,1,2（见上文第4.1.1节和[44，第13.1节]），获得的一维估计的最小值得出（4.4）的估计。定义4.1。考虑区间I=（0，R），R>0，加权Sobolev空间（4.5）Hkj（I，xu/2）：={u:I→ R可测量：Dau∈ L（I，xu/2+aβj），a≤ k} ，k=0，1，2，对于j=0，1，范数为| | u | | Hkj（I，xu/2）：=Xa≤kZI | Dau（x）| xu+aβjdx，k=0，1，2。（4.6）为了便于记法，我们将用Hk表示Hkj=0，用Hk表示Hkj=1，用Hk表示Hkj=1，k=0，1，2。备注4.2。

注意，对于备注2.8中的空间H和V，以及对于空间Hkj，k=0，1，2，j=0，1 in（4.5），它认为H=H（（0，R），xu/2）=H（（0，R），xu/2），加权空间V=H（（0，R），xu/2）和V H（（0，R），xu/2），如估算值（4.7）| | v | | v≤ CR | | v | | H（（0，R），xu/2），v∈ V对于任何有限值R>0和正常数CR>0。提案4.3。（3.10）中的投影运算符满足k=0，1和l=0，1，2，l≥ k估计值（4.8）| | u- PLu | | Hk（I，xu/2）≤ C2级-（l）-k） L | | u | | Hl（I，xu/2），u∈ H（I，xu/2）。从备注4.2可以立即看出，近似估计（4.8）很容易适用于CEV模型。此外，将x坐标的估计值与y坐标的未加权估计值（4.2）相结合，并取张量积（二元空间的显式构造见附录A.2.1），得出近似估计值（4.3）在（加权）二元情况下仍然有效。与此相反，测量标准误差| | u | | Hkj=1（I，xu/2），k=0，1，2，x坐标中的近似值主导y坐标，见备注4.4。备注4.4。如果我们在定义4.1中考虑j=1，我们不会对一阶导数的解提出任何额外的可积性要求。在这种情况下，我们得到（较弱的）近似估计，其中近似的阶数取决于参数β：projectionCf。[64，第3.1节]和[44，第3.6.1节]，并参见上述未加权案例。具体结构见附录A.2.1。SABR模型19算子PL:V的DIRICHLET形式和有限元方法→ k=0，1和l=0，1，2，l的VLin（3.10）满意度≥ k估算值（4.9）| | u- PLu | | Hk（I，xu/2）≤ C2级-(1-β） （l）-k） L | | u | | Hl（I，xu/2），u∈ H（I，xu/2）。附录C.1中给出了该备注的证明。命题4.3的证明。让u∈ V并考虑PLu∈ VL。

然后从（3.9）和（3.10）开始，U- PL（u）=∞Xl=L+1lXj=1uljψL，j。根据范数等价（3.11）和小波基元素到L（I）中单位范数的缩放，导数满足| |（u- PLu）| L（I，xu/2）=C∞Xl=L+12llXk=0Ω（2-lk）| ulk|≥C22L∞Xl=0lXk=0ω（2-lk）| ulk |=| C22L | u- PLu | | L（I，xu/2）。（4.10）现在，C=~Cand，我们已经设置了h=2-2L，得到以下关系式：（4.11）| | u- PLu | | L（I，xu/2）≤ Ch | |（u- PLu）| | L（I，xu/2）≤ Ch | | u | | L（I，xu/2）≤ 中国||u | | L（I，xu/2）+| | u | L（I，xu/2）= Ch | | u | | H（I，xu/2）。类似地，替换（u-PLu）by（u）-PLu）和（u）-PLu）by（u）-PLu）在等式（4.10）和（4.11）中，得到（4.12）| |（u- PLu）| | L（I，xu/2）≤ Ch | |（u- PLu）| | L（I，xu/2）≤ Ch | | u | | L（I，xu/2），加上（4.11）和（4.12）得到：（4.13）| u- PLu | | H（I，xu/2）=| | u- PLu | | L（I，xu/2）+| |（u- PLu）| | L（I，xu/2）≤ ChPk=0 | | u（k）| | L（I，xu/2）=Ch | | u | | H（I，xu/2）。最后，将（4.10）和（4.11）直接连接，得到：（4.14）| | u- PLu | | L（I，xu/2）≤ Ch | |（u- PLu）| | L（I，xu/2）≤ C（2-五十） | |（u- PLu）| | L（I，xu/2）≤ C（2-五十） | | u | | L（I，xu/2）≤ C（2-五十） | | u | | H（I，xu/2）。4.2. 有限元法的离散误差和收敛性。在本节中，我们应用第4.1节的估计推导离散化误差的估计（参见方程（4.1）），并总结SABR定价方程变分解的拟议有限元近似的收敛性。对于离散化误差的估计，我们遵循【64，第5节】的（未加权）分析。相应的证据以最小偏差为准，并根据附录C中的设置和符号提供，以便于参考。引理4.5。对于u∈ C（(R)J；H（G，a）），误差ξml是θ-格式的解：给定ξL：=PLu- uL，对于m=0。

M- 第1个ξm+1 l∈ 对于所有vL∈ VL:k（ξm+1L- ξmL，vL）V×V*+ a（θξm+1L+（1- θ） ξmL，vL）=：（rm，vL）V×V*（4.15）上述引理的证明依赖于观测结果，即误差ξ满足与解u相同的微分方程，因此ξ和u的θ格式是相似的。下面的推论是引理4.5和命题3.4中建立的θ-格式稳定性的直接结果。详情见附录C，其中我们还包括了一个关于[64，Lemma5.1]证明的完整性提醒，该证明与我们的符号相适应，直接延续到当前情况。20 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmancollary 4.6。存在依赖于离散化水平L和时间网格k的常数Cand和cind，使得（4.15）的解满足估计值（4.16）| |ξML | | H+CkM-1Xm=0 | |ξm+θL | | a≤ ||ξN | | H+CkM-1Xm=0 | | rm||*,任何f的位置∈ （VL）*, ||f级||*:= supvL公司∈VL（f，VL）V×V*||vL | | a，cf.（3.24），其中rm，m=0，M-1忽略方程式（4.15）中定义的弱残差。弱残差rm，m=0，M- 1 in（4.15）可分解为以下部分（rm、vL）V×V*:= （rm，vL）V×V*+ （rm，vL）V×V*+ a（rm，vL），其中组件rm，rmand rm，m=0，M定义为（rm，vL）V×V*:= （k（um+1- 嗯）- ˙um+θ，vL）V×V*,（rm，vL）V×V*:= （k（李子+1- 李子）+钾（um+1- um），vL）V×V*,（rm，vL）V×V*:= a（李+θ- um+θ，vL）。（4.17）使用此分解有助于对残差进行以下估计。引理4.7（残差的范数估计）。考虑θ-格式（4.15）的弱残差Rmo，m=0，M- 1、此外，假设U∈ C（(R)J；Hj（G，xu/2））∩ C（J；Hj（G，xu/2）），J=0，1，其中Hkj（G，xu/2），k=0，1，2，J=0，1是（A.9）中的空格。

然后是估计值（4.18）| | rm||*≤ Ck1/2Rtm+1tm | |¨u||*ds公司1/2, θ ∈ [0，1]k3/2Rtm+1tm | |。。。u型||*ds公司1/2, θ =+2-LCk1/2Rtm+1tm | |˙u | | Hj（G，xu/2）ds1/2+C | | um+θ| | Hj（G，xu/2）,附录C中提供了该引理的证明。通过这些准备工作，我们能够证明本节的主要结果：定理4.8（有限元近似的收敛性：SABR）。假设U∈ C（(R)J；Hj（G，xu/2））∩ C（J；Hj（G，xu/2）），J=0，1，其中Hkj（G，xu/2），k=0，1，2，J=0，1是（A.9）中的空格，并进一步假设近似值u（0，L）∈ 初始数据的VLof是准最优的，即| |ξL | | H=| | u- u（0，L）| | H≤ C2级-2L | | u | | H.（4.19）设um（z）=u（tm，z），z∈ G表示tm，m=0。M如（3.25）所示，让umld注意到完全离散格式（3.26）的解，并让近似空间vle如第3节所示。然后，将保留以下错误边界：| | uM- uML | | H+kM-1Xm=0 | | um+θ- um+θL | | a≤C2级-j（1-β） 2Lmax0≤t型≤T | | u（T）| | Hj+2-j（1-β） 2LZT | |˙u | | Hjds+C（kRT | |¨u（s）||*ds，0≤ θ ≤ 1kRT | |。。。u（s）||*ds，θ=对于j=0，1，其中um+θL=θum+1L+（1- θ） umL，且um+θ=θum+1+（1- θ） 嗯。备注4.9（有限元近似的收敛性：CEV）。当我们在定理4.8中替换空间Hkj（G，xu/2），k=0，1，2，j=0，1，以及相应的范数Hkj（I，xu/2），k=0，1，2，j=0，1 in（4.5）和范数（4.6）时，CEV模型也有相同的估计。SABR模型21的DIRICHLET形式和有限元方法定理4.8和备注4.9的证明。对于证明，我们遵循[44，定理3.6.5]和[64，定理5.4]进行适当的调整。为简洁起见，我们将同时证明Hj=0和Hj=1这两种情况，并用2表示阶的一般收敛-2Lcω：=2-2升-2Lj（1-β） 如（4.4）所示，其中对于Hj=0，cω=1，且cω=（1- β） 对于Hj=1。

根据推论4.6，| | eML | | H=| | um（x）- umL（x）| | H=| |ηm+ξmL | | H≤ 2.||ηm | | H+kM-1Xm=0 | |ηm+θ| | a+| |ξmL | H+kM-1Xm=0 | |ξm+θL | | a.这将产生| | eML | | H+CkM-1Xm=0 | | em+θ| | a≤ 2.||ηM | | H+CkM-1Xm=0 | |ηm+θ| | a+| |ξmL | | H+CkM-1Xm=0 | |ξm+θL | | a≤ C||ηM | | H+kM-1Xm=0 | |ηm+θ| | a+| |ξL | H+CkM-1Xm=0 | | rm||*,通过引理4.7，我们可以进一步估计得到c的最后项||ηM | | H+kM-1Xm=0 | |ηm+θ| | a+| |ξL | H+CkM-1Xm=0 | | rm||*≤ C（| |ηM | | H+kM-1Xm=0 | |ηm+θ| | a+| |ξL | H+CM-1Xm=0（2-五十） 2cωZtm+1tm | |˙u | | Hjds+| | um+θ| | Hj+（kRtm+1tm | |¨u||*ds，θ∈ [0，1]kRtm+1tm | |。。。u型||*ds，θ=！）≤ C | |ξL | | H+C（2-五十） 2cωZT | |˙u | | Vds+C最大值0≤t型≤T（2-五十） 2cω| | u（t）| | Hj+C（kRT |¨u||*ds，θ∈ [0，1]kRT | |。。。u型||*ds，θ=，其中最后一步后跟| |·| | a≤ ||·||五、≤ CG | |·| | | Hj（G，xu/2）对于CG>0（参见备注a.7）的情况，分别为Emma 2.14和近似估计值（4.8）。(4.9). 最后，初始数据的拟最优性（4.19）得出了定理的陈述。5、数值试验在本节中，我们对期权价格进行数值试验，以研究【44，第4章】所述简单线性设置中衍生有限元离散化的稳健性。我们发现，对于CEV参数的不同区域（β<0.5和β≥ 0.5）和整个相关性。