SABR模型的Dirichlet形式和有限元方法

我们在这里展示了两个例子，并指出，我们在实践中发现的收敛性（很容易基于此）优于理论预测的收敛性。22 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmann左侧的图像给出了未相关情况下β=0.2和ν=1的有限元素期权价格，成熟度T=25年，K=1，而右侧的图像显示了有限元素近似在线性基础上的收敛性（相对于网格宽度h=2L）。这里，左边的图像给出了β=0.5、ν=1和相关性ρ=-0.3，成熟度T=10年，而右侧的图像显示有限元近似在线性基础上的收敛性（相对于网格宽度h=2L）。最后一幅图像显示看跌期权，作为时间范围t=10上零质量的近似值。看跌期权的形式为max（1-十、 0）对于小型 > 此近似中的参数为β=0.2、ρ=0和ν=1，我们选择了整个u=-β.附录A.关于SABR模型23A所考虑的函数空间Dirichlet形式和有限元方法特性的提示。1、加权空间。为了使阅读内容更加完整，我们在本文中加入了关于加权Sobolev空间的一些性质的提示，并请读者参阅专著[51]和[16]以了解详细信息。通过一个权重，我们指的是Rs上的一个局部可积函数ω，ω（x）>0 a.e。对于可测集e，每个权重ω产生一个度量（通过积分ω（e）=REω（x）dx R） 。该度量值也用ω表示。定义A.1（加权L空间）。设ω是开集G上的一个权 R、 L（G，ω）是G上可测函数u的集合，使得（A.1）| u | L（G，ω）=ZG | u（x）|ω（x）dx<∞定义A.2（加权Sobolev空间）。让k∈ 设a={ωa=ωa（x），x∈ G、 | a |≤ k} 是开集G上的给定权函数族 R

我们用Wk（G，ν）表示所有函数u的集合∈ L（G，ω），其中弱导数D（a）u，带| a |≤ k、 属于L（G，ωa）。如果配备了范数（a.2）| | u | | Wk（G，ω）=X | a，加权Sobolev空间Wk（G，Д）是赋范线性空间|≤kZG | Dau（x）|ωa（x）dx。备注A.3。如果ωω∈ Lloc（G）然后C∞（G） 是Wk（G，ω）的子集，我们可以将空间Wk（G，ω）作为C的闭包∞（G） 关于范数Wk（G，ω），另见[16，52]。Apweights的类别是由B.Muckenhoupt引入的（参见[61]）。此类与确保C∞（G） Wk（G，ω）。这在第2.1节和第2.2节中使用。A重量ω在Apif中存在一个正常数C，因此对于每个球B R（A.3）|B | ZBωdx|B | ZBω-1/（p-1） dx公司p-1.≤ C、 引理A.4。ω（x）：=| x |，x∈ Ris在Apif中，且仅当-2<ω<2（p- 1).证据参见【72】中的推论4.4，以及【35】中的推论2.18。引理A.5。如果ω∈ Apthen自ω-1/（p-1） 是局部可积的，我们有Lp（G，ω） 每个开口集的Lloc（G） 注册护士。因此，很好地定义了Lp（G，ω）中函数的弱导数。此外，如果ω∈ 然后是APC∞（G） 密度为Wk，p（G，ω）。证据参见【73，推论2.1.6】和【31，定理1.5】。A、 2。希尔伯特空间的张量积。设I：=（0，1）表示单位区间，G：=I×I。参见[44，第13.1节]，希尔伯特空间Hk（G），k=0，1，2可以通过张量积结构由Hk（I）构造：L（G）~=L（一） L（一）（A.4）H（G）~=H（一） L（一）\\L（一） H（一）（A.5）H（G）~=H（一） L（一）\\H（一） H（一）\\L（一） H（一）（A.6）回顾【67，第二章4】中的内容，张量希尔伯特空间上的内积定义为（A.7）hu u、 五 viH公司H： =hu，viHhu，viH，用于u，v∈ 手动u、v∈ H、 其中H，hs表示一般希尔伯特空间（如上文（A.4）、（A.5）或（A.6）中涉及的任何传感器产品）。

由这种构造引起的相交空间Hk（G），k=0，1，2 in（A.4），（A.5）和（A.6）上的内积与这些空间上的通常规范相等。此外，为了证明u≡ 用户体验uy和v≡ vx公司vy公司∈ 用于ux、vx的L（G）∈ L（I）和uy，vy∈ L（I）我们回顾了以下[67，定理II.10.c），第II.4章]：24 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmantheorem A.6。设（M，u）和（M，u）为度量空间，使L（M，u）和L（M，u）可分离，则存在唯一同构，使得（a.8）L（M×M，du du）7-→ L（M，du；L（M，du））f（x，y）7-→ （x 7→ f（x，·））。A、 2.1。第4.1.2节中二元空间的显式构造。考虑我们感兴趣的领域G=（0，Rx）×(-Ry，Ry），Rx，Ry>0，加权Sobolev空间（A.9）Hkj（G，xu/2）：={u:G→ R可测量：|a | au∈ L（I，xu/2+axβj），a≤ k} ，k=0，1，2，对于j=0，1，以及| a |=ax+ay的多指数a，其中ax表示在方向x和方向y上的导数数量。对于j=0，Hkj（G，xu/2）中的各自规范定义为（a.10）| u | Hj=0（G，xu/2）：=| xu/2u | L | u | Hj=0（G，xu/2）：=| | xu/2u | | L+| | xu/2y（u）| | L+| | xu/2x（u）| | L | u | | Hj=0（G，xu/2）：=| | xu/2u | | L+| xu/2y（u）| | L+| | xu/2x（u）| | L+| | xu/2yyu | | L+| | xu/2xyu | | L+| | xu/2yyu | | L，对于j=1乘以（A.11）| u | | Hj=1（G，xu/2）：=| xu/2u | L | u | Hj=1（G，xu/2）：=| xu/2u | L+| xu/2y（u）| L+| xβ+u/2x（u）| | L | u | | Hj=1（G，xu/2）：=| | xu/2u | | L+| xu/2y（u）| L+| xβ+u/2x（u）| | L+| | xu/2yyu | | L+| | xβ+u/2xyu | | L+| | x2β+u/2yyu | | L.备注A.7。注意，与备注4.2类似，定义2.2和2.4中的空间H和V以及空间Hkj（G），k=0，1，2，j=0，1，具有（A.10）和（A.11）中的规范的空间H=Hj=0（G，xu/2）=Hj=1（G，xu/2），加权空间V满足度V=Hj=1（G，xu/2）和V Hj=0（G，xu/2），此外，在任何有界域G上，存在估计值（A.12）| v | v≤ CG | | v | | Hj=0（G，xu/2），v∈ 五、 CG>0。引理A.8。

（A.9），k=0，1，2，j=0，1中的空间可以构造为空间（4.5）和通常（未加权）Sobolev空间Hk（G），k=0，1，2，j=0，1 via（A.4）（A.5）和（A.6）的张量积，如下hj（G，xu/2）~=Hj（I，xu/2） H（一）Hj（克，xu/2）~=Hj（I，xu/2） H（一）\\Hj（I，xu/2） H（一）Hj（克，xu/2）~=Hj（I，xu/2） H（一）\\Hj（I，xu/2） H（一）\\Hj（I，xu/2） H（一）.附录B.非对称Dirichlet形式我们在此简要介绍了非对称Dirichlet形式的一些基本概念，这些概念在前面的章节中使用，特别是在定理2.19中。有关详细信息，请参见[70]。定义B.1（对称闭合形式）。如果D（E）是H的稠密线性子空间，且E:D（E）×D（E），则对（E，D（E））称为Hilbert空间（H，（·，·）H）上的对称闭式→ R是非负定义的对称双线性形式，在H上是闭合的。也就是说，D（E）是一个关于范数E（·，·）1/2的完备度量空间：=（E（·，·）+（·，·）H）1/2。定义B.2（强制封闭形式）。如果D（E）是H的稠密线性子空间，且E:D（E）×D（E），则对（E，D（E））称为hilbert空间H上的强制闭式→ R是一个双线性形式，因此以下两个条件成立：o其对称部分（u，v）：=（E（u，v）+E（v，u））是H.DIRICHLET形式上的对称闭合形式，SABR模型25的有限元方法o该对（E，D（E））满足所谓的弱扇区条件：存在连续常数K>0，使得（B.1）| E（u，v）|≤ K E（u，u）1/2E（v，v）1/2所有u，v∈ D（E）。备注B.3。回顾连续性属性（2.17）（也在第2.2节中考虑）| E（u，v）|≤ K E（u，u）1/2E（v，v）1/2所有u，v∈ D（E）表示上述弱扇区条件（B.1）。定义B.4（Dirichlet形式）。考虑形式为H=L（E，m）的希尔伯特空间（H，（·，·）H），其中（E，m）是度量空间。

L（E，m）上的强制闭式（E，D（E））称为（非对称）狄利克雷式，如果对于所有u∈ D（E） E、 一个具有收缩特性（B.2）u+∧ 1.∈ D（E）和E（u+u+∧ 1，u- u型+∧ 1) ≥ 0和E（u- u型+∧ 1，u+u+∧ 1) ≥ 0，其中对于任何u，v:E→ R、 我们已设置（B.3）u∧ v：=inf（u，v），u∨ v：=sup（u，v），u+：=u∨ 0，u-:= -（u）∧ 0).满足（B.2）中两个不等式之一的强制闭式称为-Dirichlet形式。如果（E，D（E））是附加对称的，即E=eE，其中eE表示E的对称部分（recalleE（u，v）：=（E（u，v）+E（v，u）），则（E，D（E））称为对称Dirichlet形式。在后一种情况下，条件（B.2）中的收缩特性降低到（B.4）E（u+∧ 1，u+∧ 1) ≤ E（u，u）。参见【70，第4节，定义4.5】定理B.5。设（E，D（E））是连续常数K＞0的Hilbert空间（H，（·，·）H）上的强制闭形式。定义域（B.5）D（A）：={u∈ D（E）| v 7→ E（u，v）是连续的w.r.t.（·，·）1/2hond（E）}。对于任何u∈ D（A），让Au表示H中的唯一元素，这样（B.6）(-Au，v）=所有v的E（u，v）∈ D（E）。那么A是唯一的强连续收缩预解式（Gα）α>0的生成元，它满足（B.7）Gα（H）， D（E）和E（Gαf，u）+α（Gαf，u）H=（f，u）hf对于所有f∈ H、 u型∈ D（E），α>0。此外，由于（E，D（E））是（H，（·，·）H）上的强制闭式，因此在H上存在另一个唯一的强连续收缩预解（^Gα）α>0，满足（B.8）^Gα（H） D（E）和（f，u）H=所有f的E（u，^Gαf）+α（u，^Gαf）H∈ H、 u型∈ D（E），α>0。特别是，对于所有α>0的情况，^Gα是Gα的伴随。即（B.9）（Gαf，G）H=（f，^GαG）hf对于所有f，G∈ H、 同样，对于（唯一的）强连续收缩半群（Pt）t≥0，（^Pt）t≥0分别对应于（Gα）α>0和（^Gα）α>0，它认为（B.10）（Ptf，G）H=（f，^Ptg）hf对于所有f，G∈ H、 t型≥ 0.证明。参见：[70，定理2.8，推论2.10和命题2.16]。

定义B.6（收缩特性）。设（H，（·，·）H）为希尔伯特空间，其中H=L（E，m），其中（E，m）为测度空间。对于任何f，g∈ L（E，m）我们写f≤ g或f<g对于E上函数的任何m类f，g，如果相应的不等式对相应的代表保持m-a.E。见【70，第4节】。26 BLANKA-HORVATH和OLEG-REICHMANN（i）设G是域D（G）=L（E，m）上的有界线性算子。如果对于所有f，则称为次马尔可夫∈ L（E，m）条件0≤ f≤ 1意味着0≤ Gf公司≤ 1.（ii）强连续收缩半群（Pt）t≥0响应。如果所有Pt，t，预解式（Gα）α>0称为亚马尔可夫≥ 分别为0。αGα，α>0是亚马尔可夫的。（iii）（L（E，m），（·，·）H）上的闭的、密集定义的算子A称为Dirichlet算子，如果（Au，（u- 1） +）H≤ 0表示所有u∈ D（A） E、 参见【70，第4节，定义4.1】。定理B.7。考虑H=L（E，m）形式的希尔伯特空间（H，（·，·）H），其中（E，m）是度量空间。设（Gα）α>0是（L（E，m），（·，·）H）上的强连续收缩预解，对应生成元a和半群（Pt）t≥此外，设（E，D（E））是L（E，m）上的强制闭式，连续常数K＞0，相应的预解式（Gα）α＞0。那么以下是等效的：（i）（Pt）t≥0为亚马尔可夫。（ii）A是Dirichlet算子。（iii）（Gα）α>0是亚马尔可夫的。（iv）对于所有u∈ D（E），u+∧ 1.∈ D（E）和E（u+u+∧ 1，u-u型+∧ 1) ≥ 0，即（E，D（E））是a-Dirichlet形式。如果在上述陈述中，运算符（Gα）α>0（分别为Pt）t≥0和A）替换为其径向接头（^Gα）α>0（分别为^Pt）t≥0和^A），则类似的等效值成立，其中（iv）中E的入口互换。因此，如果（iii）（resp.（ii）或（i））对（Gα）α>0（resp.Aor（Pt）t）均成立≥0）及其伴随（^Gα）α>0（分别为^A或（^Pt）t≥0），则强制闭式（E，D（E））是（非对称）Dirichlet形式。证据

参见【70，第4节，命题4.3和定理4.4】。附录C引理4.5的进一步证明。引理的陈述是通过分解（4.17）基本上是一个事实的序列，即误差ξ满足与函数u相同的偏微分方程：变量公式暗示（C.1）（˙um+θ，v）v×v*+ a（um+θ，v）=（gm+θ，v）v×v*v∈ 五、 使用ξ的定义（4.1），我们将（4.15）改写为：k（ξm+1L- ξmL，vL）V×V*+ a（θξm+1L+（1- θ） ξmL，vL）=k（（梅花+1- um+1L）- （李子- umL），vL）V×V*+ a（李+θ+um+θL，vL）=梅花+1-PLumk，vLV×V*+ a（梅花+θ，vL）-k（um+1L- umL，vL）V×V*- a（um+θL，vL）其中，我们使用um+θ：=θum+1+（1- θ） umand投影仪的线性度：θPLum+1- (1 - θ） 梅花+1L=梅花+θ。此外，对于u，θ-格式（3.26）和（C.1）梅花+1-PLumk，vLV×V*+ a（梅花+θ，vL）-um+1L-umLk，vLV×V*- a（um+θL，vL）=梅花+1-PLumk，vLV×V*+ a（梅花+θ，vL）- （gm+θ，vL）V×V*=梅花+1-PLumk，vLV×V*+ a（梅花+θ，vL）- a（um+θ，vL）- （˙um+θ，vL）V×V*=梅花+1-丰满的-um+1-umk，vLV×V*+ 一梅花+θ- um+θ，vL+um+1-umk公司- ˙um+θ，vLV×V*= （r，vL）V×V*+ （r，vL）V×V*+ （r，vL）V×V*.SABR模型的DIRICHLET形式和有限元方法27引理4.7的证明。我们根据当前情况调整了[44，第3.6.2节]和[64，引理5.3]，并确认[64，引理5.3]的估计值结转至加权情况。与经典（未加权）情况类似，引理的陈述来自| | rm||*≤ ||rm||*+||rm||*+ ||rm||*以及分解的相应范数估计（4.17）。

剩余ris（C.2）| | r的估计||*= ||k（um+1- 嗯）- ˙um+θ||*≤kRtm+1tm | s- (1 - θ） tm+1- θtm | | |¨u||*ds公司≤Cθk1/2Rtm+1tm | |¨u||*ds公司1/2.如果θ=，部分积分得出重新定义的估计值（C.3）| r||*= ||k（um+1- 嗯）- ˙um+θ||*≤2公里Rtm+1tm（tm+1- s） （tm）- s） | | |。。。u型||*ds公司≤Ck3/2Rtm+1tm | |。。。u型||*ds公司1/2.以（C.4）| r为界的剩余ris的范数||*≤ 2.-LCk1/2Rtm+1tm | |˙u | | Vds1/2.界限（C.4）来自（3.24）和估计值（C.5）|（r，vL）V×V*| = |（k（李子+1- 李子）+钾（um+1- um），vL）V×V*|≤ C | | k（梅花+1- 李子）+钾（um+1- um）||*||vL | | a≤Ck | |（I- PL）Rtm+1tm u（s）ds||*||vL | | a≤Ck1/2Rtm+1tm | |˙u- PL˙u | | Hds1/2 | | vL | | a（4.4）≤Ck1/2（2-五十） 加利福尼亚州Rtm+1tm | |˙u | | Hjds1/2 | | vL | a，其中最后一步来自近似属性（4.8）resp。（4.9）和估算（A.12）。上界（C.6）| | r的剩余拉力的范数||*≤ C（2-五十） ca | | um+θ| | Hj。估算值（C.6）来自（3.24）和（C.7）|（r，vL）V×V*| = |a（李+θ- um+θ，vL）|≤ ||梅花+θ- um+θ| | a | | vL | | a（4.4）≤ C（2-五十） ca | | um+θ| | | Hj | vL | | a。第二步来自一个简单的极化参数|（u，v）v×v*|≤（a（u+v，u+v）- a（u- v、 u型- v） （）≤（a（u，u）+a（v，v））≤ |（a（u，u）a（v，v））|对于u=梅花+θ- um+θ和v=vL，在最后一步中，我们使用了| |·| | a≤ || · ||V（保持双线性形式的连续性，参见引理2.14）和近似性质（4.8）。(4.9).C、 1。CEV的近似估计：备选方案。如果我们在一阶导数以下的解上不假设任何额外的可积性要求，我们在备注4.4中指出，当近似阶数取决于参数β时，我们会得到此类近似估计。备注4.4中估计值（4.9）的证明与命题4.3相似，并包含在此处：备注4.4中的28 BLANKA HORVATH和OLEG Reichmanproof。

对于j=1和u∈ [最大值{-1.-2β}, 1 -（4.10）中的不等式变成| |（u- PLu）| L（I，xu/2+β）=▄C∞Xl=L+12llXk=0（2-lk）u+2β| ulk|≥C22L（1-β)∞Xl=0lXk=02l（β-（u/2+β））（k）u+2β| ulk|≥C22L（1-β)∞Xl=0lXk=0（2-lk）u| ulk |=C22L（1-β） | | u- PLu | | L（I，xu/2）。（C.8）类似地，（C.8）在更换（u- PLu）by（u）- PLu）和（u）- PLu）by（u）- PLu）读取| |（u- PLu）| L（I，xu/2+2β）=▄C∞Xl=L+14llXk=0（2-lk）u+4β| ulk|≥C22L（1-β)∞Xl=02llXk=02l（β-（u/2+2β））（k）u+2β| ulk|≥C22L（1-β)∞Xl=L+12llXk=0（2-lk）u+2β| ulk |=C22L（1-β） | |（u- PLu）| | L（I，xu/2+β）。（C.9）最后，结合（C.8）和（C.9）得出（4.9）中的最后估计值。参考文献【1】A.阿方西。关于CIR（和贝塞尔平方）过程的离散格式。蒙特卡罗方法与应用，11（4），1569-39612005。[2] A.阿方西。CIR过程的高阶离散化方案：应用于一项结构andHeston模型。《计算数学》，79（269），209-2372010。[3] 安徒生。赫斯顿随机波动率模型的简单有效模拟。《计算金融杂志》，11（3），1-422008年。[4] J.Andreasen和B.Greg。ZABR–大众扩张。预印本，SSRN//19807261011。[5] J.Andreasen和B.Greg。扩大远期波动性。风险（1月号）：101-1072013。[6] 安东诺夫和斯佩克特。SABR模型的高级分析。预印本，SSRN//20263502012。[7] A.安东诺夫、M.科尼科夫和M.斯佩克特。刀锋展翅。《风险》（8月号），第58-632013年。[8] A.安东诺夫、M.科尼科夫和M.斯佩克特。自由边界SABR：负利率的自然延伸。预印本，SSRN//25570461015。[9] A.安东诺夫、M.科尼科夫和M.斯佩克特。负利率的混合SABR模型。SSRN//26536822015。[10] P.Balland和Q.Tran。SABR正常。《风险》（六月号），第76-812013年。[11] C.拜耳、P.弗里兹和R.洛芬。

半封闭式容积法及其在金融扩散模型中的应用。《定量金融》，13（5）：769-7822013。[12] C.拜耳，J.Gatherel，M.卡尔斯马克。双均值回复模型的快速Ninomiya Victoir校准。《定量金融》13（11）：1813-18292013。[13] S.贝勒、R.施耐德和C.施瓦布。多分辨率加权范数等价及其应用。数字。数学(98): 67-97, 2004.[14] N.布劳和L.丹尼斯。能量图像密度特性和泊松测度的lent粒子方法。《功能分析杂志》，257（4），1144-1174，2009年。[15] N.Bouleau和F.Hirsch。维纳空间的Dirichlet形式与分析。德格鲁特，1991年。[16] 卡瓦列罗。加权Sobolev空间和退化椭圆方程。Boletim da SociedadeParanaense de Matematica，v.26 1-2，117132，2008年。[17] J.F.Chassagneux、A.Jacquier和I.Mihaylov。非Lipschitz SDEs的显式Euler格式，具有强收敛速度。《暹罗金融数学杂志》，7（1），2016年。[18] B.Chen、C.W.Oosterlee和H.van der Weide。SABR随机波动率模型的低偏差模拟方案。《国际理论与应用金融杂志》，第15（2）期，2012年。[19] R.Cont和E.Voltchkova。指数L'evy模型中期权定价的有限差分方案。《数值分析杂志》，43（4）：1596-16262005。[20] R.Cont和E.Voltchkova。指数L'evy模型中期权价格的积分微分方程。《金融与随机》，9（3）：299-3252005。[21]S.Cox、M.Hutzenthaler和A.Jentzen。非线性随机微分方程初值的局部Lipschitz连续性和强完备性。预印本，arXiv:1309.55952013。SABR模型的DIRICHLET形式和有限元方法29【22】L？oring，B.Horvath，J.Teichman。