竞争条件下的最优契约

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英文标题：
《Optimal contracts under competition when uncertainty from adverse
  selection and moral hazard are present》
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作者：
N. Packham
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In a continuous-time setting where a risk-averse agent controls the drift of an output process driven by a Brownian motion, optimal contracts are linear in the terminal output; this result is well-known in a setting with moral hazard and -under stronger assumptions - adverse selection. We show that this result continues to hold when in addition reservation utilities are type-dependent. This type of problem occurs in the study of optimal compensation problems involving competing principals.
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中文摘要：
在连续时间环境中，风险厌恶主体控制由布朗运动驱动的输出过程的漂移，最优合约在终端输出中是线性的；这一结果在道德风险和逆向选择的环境中是众所周知的。我们表明，当另外的保留实用程序依赖于类型时，这个结果仍然成立。这类问题发生在涉及竞争主体的最优薪酬问题的研究中。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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PDF下载：
--> Optimal_contracts_under_competition_when_uncertainty_from_adverse_selection_and_.pdf (119.07 KB)

2022-6-2 22:13:01 上传

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关键词：MORAL HAZARD Optimization Contribution Quantitative Compensation

当存在逆向选择和道德风险的不确定性时，竞争条件下的最优契约。PackhamJuly 30，2018Abstracts在一个连续的时间环境中，风险规避者控制由B罗文运动驱动的输出过程的漂移，最优合约在终端输出中是线性的；这一结果在道德风险和逆向选择的环境中是众所周知的。我们表明，当附加保留实用程序依赖于类型时，这个结果仍然成立。这类问题发生在涉及竞争主体的最优薪酬问题的研究中。关键词：委托代理模型；合同设计；随机过程；随机控制1简介本说明的目的是表明，在存在口头风险、私人信息和代理人竞争的环境中，当委托人向代理人提供最优合同时，线性报酬就会出现。在主代理关系中，薪酬方案的设计通常涉及奖金部分，以激励代理人（如雇员、工人）为委托人（雇主）的利益行事。经济模型所建议的复杂、通常高度非线性的合同形式在现实中很少得到满足，因为所遇到的奖金计划很简单，而且代理人产生的产出往往是线性的。

理论与实践之间存在这种差距的一种解释是，线性薪酬方案在更丰富、更具差异性的真实环境中是稳健的，而在高度程式化的经济模型中，最优合同在模型假设或参数发生最轻微的变化时就会失效。在这种背景下，Holmstrom和Milgrom（1987）表明，当主体观察到输出过程时，主体控制由布朗运动驱动的输出过程漂移的最优契约是终端输出的线性函数。委托人无法直接观察代理人的行为是一个道德风险问题，这意味着代理人的责任不能通过合同约定，但必须激励代理人施加责任。Sung（2005）将委托人的观察能力限制在终端输出上，将其扩展到代理人具有委托人无法观察或直接推断的不同能力（私人信息）的环境。在这种逆向选择问题中，最好是为不同的代理人类型提供一系列线性合同，激励每个代理人选择为其类型设计的合同（筛选）。筛选通常为代理类型提供不同的实用程序。因此，如果有多个主体竞争代理，那么代理的预订实用程序将取决于类型（例如，与外部选项根本不起作用的情况相反）。这种情况可以在最近关于竞争的文献中找到，例如Jullien（2000）；B'enabou和Tirole（2016年）；Natalie Packham，柏林经济和法律学院，巴登切斯特商业和经济系。5210825柏林，德国。电子邮件：packham@hwr-柏林。deAccepted for publication in Statistics and Probability LettersBannier et al.（2016年）发表。

我们证明了Holmstrom-Milgrom模型中契约的线性关系适用于道德风险、私人信息和竞争的情况。证明使用随机控制理论的技术，参见Fleming和Rishel（1975）。2模型设置类似于Holmstrom和Milgrom（1987）、Schaettler和Sung（1993）和Sung（2005）。委托人雇佣的代理人行使（昂贵的）职责，这反过来又增加了产出。委托人只观察输出，包括代理人的福利水平和随机噪音（道德风险）。因此，福利水平不能收缩，必须通过奖金计划来激励。由于代理人具有不同的能力，而这些能力是委托人无法观察到的（私人信息），委托人可能会发现其最适合提供为每种类型指定的不同合同，并且必须注意每个合同对其设计的类型最具吸引力。最后，由于多个委托人竞争代理，预订实用程序是从被另一个委托人雇用的外部选择中衍生出来的。正如向不同能力的代理提供的效用不同，他们的预订效用也不同。希望雇佣各类代理人的委托人必须考虑这些因素。委托人面临的优化问题考虑了dom噪声、不可观察的代理类型和依赖于类型的保留实用程序。这类问题可以用鞅理论推导出一个Hamilton-Jacobi-Bellman方程来解决，从而得到不依赖于时间的常数控制。首先，我们将设置形式化，然后在下一节中给出主体的优化问题。风险中性委托人使用风险厌恶代理人，其偏好由参数ρ的Cara效用表示，即U（x）=1- e-ρx。

代理的能力θ∈ {θL，θH}是私人信息。概率α，r特别是1- α、 分别满足H型。L型，代理人为委托人所知。k型药剂，通过施加作用力u=（ut）t≥假设有界，0控制输出过程的漂移，动态Cdzt=utθkdt+σdWt，t≥ 0，σ>0，其中W=（Wt）t≥0是独立于θ的布朗运动。该试剂观察布朗运动W，从而使u适应布朗运动产生的过滤。代理商的服务受到瞬时成本c（ut），t的影响≥ 0，其中c（0）=0，CI严格递增，凸且连续可微。此外，我们需要c′\'≥ 0表示命题2。我们将假设θH>θL，表示H型代理以与L型代理相同的效率成本产生更大的漂移。负责人观察输出过程Z=（Zt）t≥0，但既不是W也不是u，因此在时间1实现的补偿可能取决于（Zt）0≤t型≤1仅限。在时间0时，负责人签订合同，包括共享ru les（（Zt）t∈[0,1]，θk），k∈ {H，L}，其中S（·，θk）表示为k型代理设计的共享规则。代理人在时间0选择合同S（·，θk），在时间1S（（Zt）0）接收≤t型≤1，θk）-Zc（ut）dt，而委托人接收z- S（（Zt）0≤t型≤1，θk）。3委托人问题用s（·，θm）表示为m型代理人设计的合同。k型代理人∈ {H，L}，当选择合同S（·，θm）时，施加uk，m=（uk，mt）t≥0并导出确定性等效值wk，mat time 1。每当k=m时，我们写ukan和wk。校长的问题如下：问题1。

选择控件{uH，uL}和合同菜单{S（·，θH），S（·，θL）}，最大化αE中弘- S（（ZHt）0≤t型≤1，θH）+ (1 - α） E类ZL公司- S（（ZLt）0≤t型≤1，θL）,根据（1）dZkt=uktθkdt+σdWt，k∈ {H，L}，（2）uk，mt∈ argmax（ut）0≤t型≤1EhUS（（Zt）0≤t型≤1，θm）-Rc（ut）dti、 式中，dZt=utθkdt+σdWt，和k，m∈ {H，L}，（3）EhUS（（Zkt）0≤t型≤, θk）-Rc（ukt）dt我≥ EhUS（（Zk，mt）0≤t型≤1，θm）-Rc（um，kt）dti、 式中，dzk，mt=uk，mtθkdt+σdWtand m，k∈ {H，L}，（ICC）（4）EhUS（（Zkt）0≤t型≤, θk）-Rc（ukt）dt我≥ U（wk），其中k∈ {H，L}，（PC）。在选择为她设计的合同时，第一个解释定义了每种类型输出过程的动态。第二个约束表示代理将其预期效用最大化。第三个约束是激励相容约束（ICC），它使代理人能够最优地选择自己设计的合同。最后，第四个约束，即参与性约束（PC），确保代理人与委托人签订合同，而不是选择具有确定性等效工作的外部选项（如果无法吸引特定代理人类型，一般结果不会改变）。4.代理人的选择当我们面对一系列合同时，我们会考虑代理人的问题。以下结果改编自Holmstrom和Milgrom（1987）。定理1。自适应随机过程（ut）0≤t型≤1由k型代理通过共享规则S（（Zt）0以确定性等效方式实现≤t型≤1，θk）仅当ifS（（Zt）0≤t型≤1，θk）=w+Zc（ut）dt+Zc′（ut）θkdZt-Zc′（ut）utdt+ρZc′（ut）θkσdt。（1） 证明。参见霍姆斯特罗姆和米尔格罗姆（1987）的定理6和谢特勒和宋（1993）的推论4.1。如果代理人选择施加作用力（ut）0，前两个术语提供了相当于w的确定性和对作用力成本的直接补偿≤t型≤1、第三项激励代理人选择绩效水平u。

最后两个术语补偿代理输出过程的平均值和风险，即它们对应于第三个术语的确定性等价物。提案1。k型代理在选择为m型代理设计的契约时，会得到预期的效用EUwm+Zc′（uk，mt）uk，mt- c（uk，mt）-c′（umt）umt- c（微吨）dt公司, （2） 式中，uk，mde表示k型代理的最优控制，其解算sc′（uk，mt）=θkθmc′（umt）。（3） 此外，与L型代理相比，H型代理在给定的合同中发挥更大的作用并获得更大的效用。证据设S（（Zt）0≤t型≤1，θm）是为提供WM和实施um的m型代理设计的合同。实现um的k型代理，即dZt=utθkdt+σdWt，t≥ 0，导出预期效用e“Uwm+Zc（umt）- c（ut）dt+Zc′（umt）θmdZt-Zc′（umt）umt-ρc′（umt）θmσdt！#，可写为E[U（Xu）]，状态进程XuU：=wmu+Zuc（umt）- c（ut）dt+Zuc′（umt）θmσdWt+Zuc′（umt）utθkθm- c′（umt）umt+ρc′（umt）θmσdt。根据It^o公式，dXut=“wm+c（umt）- c（ut）+c′（umt）utθkθm- u公吨+ρc′（umt）θmσ#dt+c′（umt）θmσdWt。定义J（t，x；u）=E[U（xu）| xut=x]，它是一次（两次）连续可微分的int（x）（在期望算子内对d微分应用支配收敛），因此J（0，x；u）=E[U（xu）]对应于目标函数。因为J是鞅，所以以下PDE成立：Jt+c′（umt）θmσJxx+“wm+c（umt）- c（ut）+c′（umt）utθkθm- u公吨+ρc′（umt）θmσ#Jx=0，其中Jt、Jx、jxx表示各自的一阶和二阶偏导数。设置V（t，x）=supuJ（t，x；u），Hamilton-Jacobi-Bellman PDE为VT+σVxx+su puc′（umt）θkθmut- c（ut）Vx+“c（umt）- c′（umt）umt+ρc′（umt）θmσ#Vx=0，边界条件V（1，x）=U（x）。

agent的哈密顿量由h=-c（ut）+c′（umt）utθkθm，导致最佳输出选择uk，充分填充FOC（3）。如果k=H，m=L，FOC表示H型代理人对L型合同的边际影响大于L型代理人。此外，由于c的凸性，因此uH，Lt>uLt。相反，如果k=L，m=H，则uL，Ht<uHt。k-type代理的预期效用由（2）给出。由于c是严格递增且凸的，中值定理意味着c′（x）x>c（x），和ddxc′（x）x- c（x）= c′′（x）x＞0，x＞0。因此，当m=H和k=L时，积分严格为正，H型代理从L型契约中获得的效用大于L型契约。相反，如果m=L和K=H，则L型从H型合同中获得的效用比H型小。经典的结果是，如果两种类型的保留效用相等，那么如果提供了第二好的合同（即仅具有道德风险的合同），则Htype有动机模仿，在这种情况下，需要扭曲为L型设计的合同，以防止H型模仿（例如Salani\'e（2005））。如果保留实用程序依赖于类型，则情况可能会逆转，H-type的合同可能需要扭曲，以防止L-type模仿。5最优契约针对问题1，我们将分析限制在H型具有模仿激励的情况下；当类型的预订效用差异很大时，L型会有模仿激励，这种情况也会以类似的方式处理。

当H型具有模仿激励时，我们省略了以下众所周知结果的证明（例如Salani'e（2005））：L型的（PC）具有约束力（问题1中的约束（4））；吸引L型）和H型（ICC）具有约束力（问题1中的约束（3）；以防止高级类型模仿），而L-type（ICC）不具有约束力。H-type的合同具有次佳（恒定）漂移率uH，（没有理由偏离最佳值），尽管影响水平为uL，在合同中，L型被扭曲，以防止H型被模仿。因此，主体解出SUPuH，uL，S（·，θH），S（·，θL）Eα（ZH- S（（ZHt）0≤t型≤1，θH））+（1- α） （ZL- S（（ZLt）0≤t型≤1，θL））,受（1）EhU约束S（（ZLt）0≤t型≤1，θL）-Rc（uLt）dti=U（wL）；（PCL）（2）EUS（（ZH，Lt）0≤t型≤1，θL）-Ztc（uH，Lt）dt= EUS（（ZHt）0≤t型≤1，θH）- c（uH，)= Eh1型- 经验值- ρwL+Zc′（uH，Lt）uH，Lt- c（uH，Lt）-c′（uLt）uLt- c（uLt）dt{z}=：u（uL）i、 式（3）中给出的uH，Lt；（ICCH）（3）EUS（（ZHt）0≤t型≤1，θH）- c（uH，)≥ E[U（wH）]；（PCH）提案2。在逆向选择、道德风险和保留设施类型依赖的情况下，最佳的输出水平为uH，, uL，在为H型设计的合同中。L型代理是常数，最优契约在终端输出ZHand ZL中是线性的。在证明中，如果（PCH）不具有约束力，则uL，满意度（uL，) =θL-α1 - αc′（uH，L，)uH，L，uL，uH，L，- c′（uL，)uL，1+ρσθLc′（uL，)-1，（4）假设c′\'≥ 0直接得出最优控制小于无反向选择的次优控制（当α=0时获得）。如果（PCH）结合，则uL，满意度WH- wL=c′（uH，L，)uH，L，- c（uH，L，) - [c′（uL，)uL，- c（uL，)]. （5） 证明。首先，假设（PCH）是无约束力的（这种情况发生在保护设施之间的差异很小或为零时）。

根据（ICCH），右侧仅取决于委托人激励的福利水平，因此H型的确定性等效为-ln E【E】-ρu（uL）]ρ。使用Theorem1，条件表示（（ZLt）0≤t型≤1，θL）=wL+Zc（uLt）dt+Zc′（uLt）θLdZLt-Zc′（uLt）uLtdt+ρZc′（uLt）θLσdt（6）和（（ZHt）0≤1.≤t、 θH）=- ln E【E】-ρu（uL）]ρ+c（uH，) +c′（uH，)θHZH- c′（uH，)uH，+ρc′（uH，)θHσ. （7） 设置xuLt：=αZHt-(-ln E【E】-ρut（uL）]ρ+c（uH，)t+ρc′（uH，)θHσt+c′（uH，)θHσWt）！+(1 - α） ZLt公司-（wLt+Ztc（uLu）du+ρZtc′（uLu）θLσdu+Ztc′（uLt）θLσdWt）！，dZLt=uLtθLdt+σdw，dZHt=uH，θHdt+σdWt，委托人的问题是puLE[XuL]。XuLaredXuLt=α（uH，θH+tln E[东]-ρut（uL）]ρ- c（uH，) -ρc′（uH，)θHσ） dt公司+1.-c′（uH，)θHσdWt！+(1 - α） （uLtθL- wL型- c（uLt）-ρc′（uLt）θLσ） dt公司+1.-c′（uLt）θLσdWt！，主哈密顿量isH=αtln E[东]-ρut（uL）]ρ+（1- α） （uLtθL- c（uLt）-ρc′（uLt）θLσ） ，带有tln E[东]-ρut（uL）]ρ=-Ehe公司-ρut（uL）nwL+c′（uH，Lt）uH，Lt- c（uH，Lt）- [c′（uLt）uLt- c（uLt）]oiE[e-ρut（uL）]。（8） 等式（8）描述了与H型代理等效的确定性变化，包括防止她模仿的信息租金。这是F-可测量的，即固定在时间0。根据最优性原理，确定性等价物的最优变化不依赖于任何特定的时间t；同样，最优控制不依赖于特定的时间t，因此方程（8）是常数。这对于确定性和恒定控制来说是完全合适的。一个恒定的最优控制也是必要的，因为哈密顿量是通过确定性选择uLt来优化的，根据最优性原则，它是恒定的。