用偏微分方程方法对GARCH扩散模型的第一选项校正

然后我们使用simplestretch函数    ,    （30）要生成非均匀零件，请选择所以第一步等于. 这可以通过任何一维寻根方法轻松实现。这两种v形网格结构通常具有可比的性能。但当与Richardson外推（第2.4.3节）一起使用时，第二种（混合）变体总是可取的。因此，我们将混合结构用于Sec的所有数值实验。4.2.4.2. 初始条件的平滑当初始条件中的某个点出现不连续时，通常最好使用相邻点的值对该点进行某种平均。这可以在求解PDE之前有效地平滑不连续性（在这种情况下位于走向K处）。原因是这种不连续性增加了求解误差。为此，我们只需沿 网格线（记住我们确保有一个网格点在K）上，使用[13]中提出的邻近空间上的简单平均值。对于香草选项，这相当于设置： 对于, 我们在哪里 对于呼叫和 用于看跌期权。2.4.3. Richardson外推（空间）Richardson外推（RE）可以显著提高许多问题的精度，只需增加少量的计算开销。它只涉及基于两个不同网格（空间或时间网格，通常网格步长比为2:1）计算解，并根据离散化的理论收敛顺序“组合”它们。在这里，我们将其应用于空间级别，如下所示：为了获得更高的分辨率  , 我们首先生成(  ) 然后计算期权价格，.

然后使用相同的网格参数（aS，bS）和（aV，bV），我们生成( ) 网格并使用它进行计算.  假设我们的离散化在S和v中都是完全二阶的，那么我们可以计算外推价格为. 请注意，精细栅格将包含所有坐标栅格的点，并在它们之间添加新点。重要的是，两个网格的删除线的相对位置是相同的，事实上也是如此（两个网格的点都正好位于 行）。主要优点是，虽然计算成本仅增加25%，但精度通常会提高1-2个数量级（取决于使用的分辨率和模型参数）。当使用足够细的网格时，RE工作得很好，而当网格过于粗糙时，RE工作得不太好（在这种情况下，它很可能会给出比单一评估更差的精度）。这是因为要保证解决方案始终得到充分解决，我们确保分配的网格点的最小数量达到, 至少占总数的20%，且不少于6。RE的前提是两个解都在渐近范围内，即所用网格的观测收敛阶与理论收敛阶非常接近。降到最低分辨率( )  = （40×20）在我们的实验中，我们发现RE在CE方面明显优于singleevaluation。当使用每个维度具有不同拉伸函数的非均匀网格时，RE对二维和三维问题的效果也较差（这里就是这种情况）。

我们发现，使用混合v网格可以有效地克服这一问题，使v方向的网格在感兴趣的区域内均匀。这有助于规范收敛，从而提高再性能。初始或边界条件中的不连续性和/或奇异性也通常会导致观测到的收敛阶小于理论收敛阶（并使收敛过度平行），再次降低RE的有效性。如果可以以某种方式处理这些问题，则会恢复convergenceorder并提高再性能。这是应用第节中描述的平滑过程的另一个原因。2.4.2.3. 校准目前工作的主要目标是使GARCH扩散模型适合期权市场。一些人选择适合期权价格，另一些人选择适合隐含波动率（IVs）。我们强烈支持第二种方法。IV是调整一组期权价格的自然方式，期权价格可以从0.05美元到数百美元不等。IV在所有选项中都是相同的数量级。对于SPX和其他基础广泛的指数，使用IV的权重也会更高，因为深度看跌期权的影响更大。考虑到这些选项对于模型（尤其是扩散）来说是一个困难的领域，我们也喜欢这个特性。它强调了模型有困难的领域。具体而言，我们试图通过定义以下最小化的目标函数，使模型适合期权数据： 其中，N是我们希望在校准中包括的选项数。我们校准了两条SPX期权链，分别表示为链A和链B。链A从2017年3月31日起使用246条SPX期权报价，从CBOE计算的报价和IV中过滤。

附录C中的数据和注释。对于优化，我们使用流行软件中提供的工具。我们测试了两个局部优化器，Excel的求解工具（基于广义简化梯度（GRG）方法）和Mathematica的FindMinimum函数（基于内点方法）。我们还使用了Mathematica基于全局优化差分进化算法的NMinimize函数。所有例程都接受我们在（31）中对模型参数施加的约束，以便它们与所有可能的值相比较。为了使用Excel和Mathematica，我们构建了一个dll，导出一个返回仅将PDE发动机的配置作为输入。然后，该函数从文件中读取选项链数据，对选项进行定价并进行评估（31）。这很容易在链级并行化，将N个选项分布在所有可用的CPU核上。我们应用了一些基本的负载平衡，因为分辨率（以及计算时间-大致与(   ) 可能会有所不同，我们将在下面讨论。这不包括市场价格很低的期权，如Sec所述。3，通常定价分辨率高于标定的标称输入分辨率。显然，NS、NV和NT（以及PDE引擎的其他配置，如方案选择等）在整个校准过程中保持不变（除非检测到负值，如下所述）。虽然与PDE引擎集成的更可定制的解决方案可能会更快地收敛，但我们希望在此保持简单，并主要关注PDE引擎。使用从Mathematica调用函数非常简单。网络/链接。为了使不同到期日的期权定价具有相似的准确性，我们需要有时间步长的数量 随着到期时间T的增加而增加。

同时，估值的初始期（接近不连续初始条件）总是需要最小值 待充分解决。我们通过采用标称 （31）中的输入是具有,  i、 e.我们设置 .  我们还发现，重要的是确保将一些最小空间分辨率用于链中的超值选项，因为这些选项更有可能产生更高的相对定价错误。更具体地说，当期权的市场价值低于资产现货的0.5%时,  设置为   然后逐渐增加到(   市场价值为或更低。我们发现，这些经验选择可以更快地获得更准确的拟合参数，从而提高效率。如第。2.2，目前的离散化允许设计的负期权值。通常，当分辨率太粗（因此精度太低）和相关系数 强烈否定。在实践中，我们发现，在合理的解决方案下，此类事件相对较少。使用本地优化器，并将以前的结果用作起点时，完成涉及数万个单独评估的校准而不出现一个负值是很正常的。如果你应用转换，这样的事件会变得更加不频繁, 即

离散并求解方程（3），而不是方程（2）。如果在校准期间确实出现负估值，则无法计算隐含波动率。在这种情况下，我们只需使用最稳健（但效率最低）的配置重复失败的期权估值，这涉及切换到等式（3）并使用BDF3方案。如果需要的话，我们会分步执行，使用逐渐增加的分辨率，直到返回正值。这种“蛮力”方法有时会减慢校准速度，主要是在使用全局优化器时。另一方面，它“自动”确保期权定价准确，如果我们对网格步骤进行限制和/或添加某种针对M矩阵的人工扩散（如第2.2节所述），则不会出现这种情况。最后，由于估值可能恰好是正的（即。，,  但在附近地区仍然出现明显的负面影响（因此总体上不准确），对 这还不够。相反，我们在S方向上走向的10%和在v方向，放弃任何正估值如果负值大于检测到。一般来说，如果模型要产生一个与市场IV（从而价格）相当的拟合度，那么作为最优参数集的优化者，模型价格接近于零并因此易受此问题影响的可能性非常低。3.1目标函数评估的两种方法鉴于我们的KBE PDE解算器，第一种也是最明显的评估方法（31）实际上是分别对N个选项中的每一个进行定价，即为每个目标函数评估求解N个PDE。每个PDEI在不同的网格上求解，基于, 如第。2.4.1.

这也是最常用的策略，因为如果我们想在calibrationexercise中包括除vanillas之外的选项，可以使用它。PDE引擎可以轻松处理美式或障碍选项，例如，无需额外成本。在下文中，我们将此称为方法I。不过，我们在这里的目的是根据普通选项进行校准，在这种情况下，我们可以利用第节中介绍的缩放（MAP）属性。1.1. 这意味着只有一个PDE解决方案就足以提供到期区间中的所有期权价格（针对所有不同的罢工）, 哪里是校准中包括的不同过期次数。我们选择为每个尤其是最不划算的（最低执行价K）。这就需要一个具有最高要求的S网格 我们的数据比率（见第2.4.1.1节）。然后，通过S网格上的缩放关系和插值，很容易找到其余看跌期权的价格。买入价从相应比例的卖出价中获得通过put调用奇偶校验。总的来说，它还可以确保在必要时有足够的网格点来平滑计算期权价格的高阶插值, 并通过强制执行一些最小精度来帮助避免负值。我们包括的看跌期权比看涨期权更离谱。该战略（以下称为方法二）要求一次评估（31）的PDE解决方案和实际N期权价格均从中提取。天真地认为，这可能会导致与方法I相比，计算速度快了两倍（例如，如果一条链有240个选项和8个不同的到期日，那么计算速度将增加30倍）。在上一节中，我们描述了为什么某些选项需要使用更高的空间分辨率( .

每个bucket可以包括一个或多个这样的选项，参见计算效率方面的薄弱环节。对于方法I，这意味着大约80%的PDE可以在粗网格上快速求解，而其余的（每个网格中有几个选项桶）将在更精细的网格上定价，并且需要更长的时间。将240个PDE解算器跨不同的CPU核心数量分配到合理的中等粒度并行度，并允许进行适当的负载平衡。另一方面，ApproachII失去了这些优势：如果我们希望所有提取的期权价格在单独计算时具有同等的准确性（如方法I），我们需要考虑每种情况下最薄弱的环节。如果每个包括至少一个需要精细（r）网格的选项PDE解算器需要使用一些替代（高）分辨率（如前一节所述）。这也意味着，现在我们可能有比并行任务更多的CPU内核，比如 和, 留下一些未使用的处理能力。如果一个解算器使用比其他解算器更高的分辨率，也可能导致负载平衡不良。因此，我们降低了最大强制值 发件人(  对于方法I至（2   对于方法II。这意味着很少有现金期权的准确性较低，但现在配售价格是从精细网格中提取出来的（而不是只有少数方法一）。正如我们接下来将看到的，这将导致校准模型参数精度与方法I一样高。对于ADI方案，有一种替代策略，即在PDE解算器级别进行并行化。这是因为可以在显式和隐式步骤中同时更新网格线。

我们对8个或10个核/线程的简短测试表明，即使使用基本的OpenMP指令，通过这种方式也可以轻松实现80%的并行效率，从而使校准时间与我们的主链级并行化方法相似。4、数值实验和结果我们现在分析PDE引擎和校准器的性能，并使用我们的两个样本SPX期权数据集、246个代表2017年低波动市场的期权链A和68个来自2010年高波动环境的期权链B展示结果。附录C中给出了链A数据。计时是在10核Intel i9-7900X PC上进行的；代码是用C++编写的，并在inVS2013中编译。我们使用上一节中的方法I执行大多数测试（即分别为每个选项定价）。我们这样做是因为很明显，最好是通过246或68个样本来评估PDEEEngine的行为/性能，而不是8或7个单独的选项评估。4.1. 一般发现正如预期的那样，ADI方法被证明比BDF3方案更有效，并且可以用于成功和快速的校准。尽管我们发现，在单个期权定价水平上，它们的鲁棒性较差，因为它们不能免疫虚假振荡，主要是在解决方案的delta和gammaof中。最有可能的违规者是HV1计划（这也被证明是总体上最有效的）。我们发现这个问题在MCS方案中更为罕见，因为我们在这里处理的是普通的回报。全隐式BDF3格式具有优越的阻尼特性；在广泛的测试中，我们无法重现该问题的单个案例。在实践中ADI格式也是无振荡的。

即使在试图强制解决问题时（使用一些低 ), 我们的测试表明，单个解决方案中存在的任何此类轻微振荡通常不会阻止优化器收敛（但它们确实会减慢收敛速度）。我们注意到，在下一节中，我们将看到(   足以为大部分资金不足的选项获得准确的IV。Wyns[9]表明，当MCS方案用于现金或非现金期权定价时，此类问题更为常见，其中初始条件的不连续性更为严重。一般特征：PDE解的精度越低，通常需要更多的步骤才能使优化算法收敛。例如，使用过低的NT将导致优化器“搜寻”更多；相反，（空间）Richardson外推的应用通常意味着比使用简单（非外推）解时的收敛步骤更少。另一个相关的问题是偶尔出现的负值。在方程（2）和任何合理分辨率都不可能实现的情况下，使用方程（3）会在中等空间网格分辨率下产生非负解。此外，我们发现在这种情况下，BDF3方案比ADI方案做得更好。作为一个例子，我们顺便提到了在使用全局优化器进行校准期间出现的一个特别困难的情况。那样的话 足以使BDF3方案在罢工附近产生平稳、非负的价格曲线，而ADI方案需要 以获得相同的结果（使用相同的空间离散化）。就我们测试的优化器而言，我们发现Excel的解算器工具是最佳选择。主要原因是，它得益于良好的初始猜测，而Mathematica的FindMinimum则没有。