用偏微分方程方法对GARCH扩散模型的第一选项校正

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英文标题：
《A First Option Calibration of the GARCH Diffusion Model by a PDE Method》
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作者：
Yiannis A. Papadopoulos and Alan L. Lewis
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Time-series calibrations often suggest that the GARCH diffusion model could also be a suitable candidate for option (risk-neutral) calibration. But unlike the popular Heston model, it lacks a fast, semi-analytic solution for the pricing of vanilla options, perhaps the main reason why it is not used in this way. In this paper we show how an efficient finite difference-based PDE solver can effectively replace analytical solutions, enabling accurate option calibrations in less than a minute. The proposed pricing engine is shown to be robust under a wide range of model parameters and combines smoothly with black-box optimizers. We use this approach to produce a first PDE calibration of the GARCH diffusion model to SPX options and present some benchmark results for future reference.
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中文摘要：
时间序列校准通常表明，GARCH扩散模型也可以是期权（风险中性）校准的合适候选者。但与流行的赫斯顿模型不同，它缺乏一个快速、半解析的解决方案来为普通期权定价，这可能是它没有以这种方式使用的主要原因。在本文中，我们展示了一个高效的基于有限差分的PDE解算器如何有效地替代解析解，从而在不到一分钟的时间内实现精确的选项校准。所提出的定价引擎在广泛的模型参数下表现出鲁棒性，并与黑盒优化器平滑结合。我们使用这种方法首次对SPX期权的GARCH扩散模型进行PDE校准，并给出一些基准结果，以供将来参考。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_First_Option_Calibration_of_the_GARCH_Diffusion_Model_by_a_PDE_Method.pdf (2.59 MB)

2022-6-6 17:00:22 上传

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关键词：GARCH 偏微分方程 微分方程 ARCH 扩散模型

APDE方法对GARCH扩散模型的第一选项校准Annis A.Papadopoulosand Alan L.Lewisastract时间序列校准通常表明，GARCH扩散模型也可能是选项（风险中性）校准的合适候选者。但与流行的赫斯顿模型不同，它缺乏一个快速、半解析的解决方案来为普通期权定价，这可能是它没有以这种方式使用的主要原因。在本文中，我们展示了一个高效的基于有限差分的PDE解算器如何有效地替换解析解，从而在不到一分钟的时间内实现精确的选项校准。所提出的pricingengine在广泛的模型参数下具有鲁棒性，并与黑盒优化器平滑结合。我们使用这种方法对GARCH扩散模型到SPX期权进行了首次PDE校准，并给出了一些基准结果，以供将来参考。引言随机波动率模型是开创性的Black-Scholes-Merton（BSM）期权理论的自然推广。在此类模型中，常数波动率参数 将BSM理论推广到随机过程：  .  事实上，金融界普遍同意，波动率（以多种形式）最好建模为某种均值回复随机过程。从这个前提出发，有很多可能性。其中最简单的一个具有瞬时方差率在SDE之后演变为正扩散过程：  .

在这里是一个附加的布朗运动， 是常数参数，两个布朗运动  与常数参数相关.再加上上述（风险中性）股价演变 这定义了GARCH扩散模型。GARCH扩散模型有几个很好的性质。首先，暂时忽略漂移项，演变为几何布朗运动（GBM）——金融学中实现正随机过程的一种自然方式。GBM最初是由M.F.M.Osborne在20世纪50年代引入金融领域的tomodel股票价格持续波动。事实上，时间序列分析似乎更倾向于GBM波动性，而不是流行的赫斯顿93年（平方根）波动性过程。第二，使用, 该模型是SABR模型的先锋，在利率建模中非常流行。SABR-GARCHconnection的优点是非常容易处理的小时间行为，因为小时间动力学与双曲布朗运动密切相关。（虽然可处理的小时间行为有助于通过最大似然法进行时间序列分析，但我们发现它在选项链校准中并没有特别的帮助）。最后，该模型的名称来自于一个属性（由于D.Nelson），即存在一个连续的时间限制的离散时间GARCH模型（GJR-GARCH），这导致了GARCH扩散模型。模型与选项链的匹配程度如何？回答这一问题称为校准。不幸的是，一个理想的——但不存在的——属性是一个解析解，只剩下数字。虽然基于模拟的（蒙特卡罗）方法似乎不是最有效的方法，但事实上，Christoffersenet等人在[1]中使用蒙特卡罗对模型进行了校准，将其扩展到一个大型期权数据集。

他们发现GARCH扩散比经常校准的赫斯顿93模型和所谓的三分之二模型更适合他们的比较点。希腊塞萨洛尼基；电子邮件：yianpap99@gmail.comNewport美国加利福尼亚州比奇；电子邮件：alewis@financepress.comBriefly摘要（带 在Bollerslev和Rossi 1995年的D.Nelson纪念作品中【20】。考虑到良好的性能、先前的校准结果和普遍的挑战，我们有动机为该模型开发一种高效、准确的PDE校准器。在此，我们报告我们的方法和初步结果。1.1股价水平独立性（或MAP）属性.该模型与一系列模型共享的一个重要特性是股票价格水平独立性，这是一种常见期权价格的比例关系。具体来说，在最初的某个时候, 考虑一个普通的欧洲看涨期权价格 具有执行价格, 到期,和状态变量. 然后 =  , 其中标准化期权定价功能  独立于  和.  固定和抑制,考虑定价功能它满足KBE（Kolmogorov向后方程）问题：  带终端条件  ,  在哪里是进程生成器。那么，当然，) 满足与c相同的PDE .现在修复, 说, 并一次性解决（连续体）KBE问题. 这给了, 的函数 对于 自从/r.h.s的所有值.  如果还有其他罢工,  一个人马上就会得到.

关键是，一个单一的KBE解决方案在给定的到期日为不同的罢工产生所有（普通）期权值。虽然事后看来很明显，但MAP属性的KBEI应用最初还是让我们难以理解。早些时候，我们认为远期方程式（Fokkerplan）是在固定到期日“一次定价所有期权”的唯一方法。与我们最初的“一次一个选项”方法相比，利用缩放特性可以显著提高性能：3倍 6×. 请注意，改善率很高，但低于平均值：. 第二节讨论了一些微妙的原因。3.1.1.2我们的PDE求解器简介。鉴于我们的KBE方法，必须选择如何解决定价PDE。与theHeston模型一样，GARCH扩散模型下的期权价格由一个带混合导数项的二维对流扩散反应PDE控制。合适的数值模式的关键特征是a）实际使用下的稳定性，b）良好的精度与执行时间比，以及c）鲁棒性（良好的振荡阻尼特性）。如【2】所述，期权价格数值计算中的虚假振荡可能有三个不同的原因：对流占优、无法充分抑制因支付不连续性产生的高频误差的时间步长方案，以及最终因扩散项离散化产生的负系数。在这里，我们来仔细看看最后两个。对于空间离散，我们在非均匀网格上使用有限差分法。我们对扩散项和对流项采用标准的中心有限差分公式，但对混合导数项采用较不常见的公式，这有助于减少可能导致解为负值的振荡。

虽然不是我们的首选，但我们也对自然条件下的偏微分方程进行离散化。我们很清楚简单随机波动率扩散的一般局限性。例如，他们很难拟合短期SPX期权和VIX期权。克服这些限制似乎需要重新部署流程。但是，即使您想将跳跃包含到所谓的“非仿射”模型中（如GARCHdiffusion），也需要从一个好的PDE解算器开始。对于美式期权、障碍期权和其他更奇特的期权，需要单独的KBE解决方案。一般来说，更换在上面的缩放参数中, 一个（D-1）向量值状态变量，用于多维跳跃扩散或其他。然后，欧式vanillasholds的扩展（从而“一次完成所有选项”）：过程(,  是一个映射（马尔可夫加性过程），其中是添加剂和是马尔可夫分量。地图在钦拉尔【19】中定义；Lewis（2016）[5]强调了建模影响。注意，这种普遍性甚至允许离散时间过程。因此，对于MAPs，只需解决一次反向进化问题，就足以获得给定到期日的所有普通期权价格.允许跳跃，向后进化问题（连续时间）通常是一个PIDE（部分积分微分方程）问题。资产价格的对数；结合混合导数方案，这可以进一步防范负值（但不能完全排除它们）。空间离散化到位后，剩下的就是一个庞大的刚性常微分方程组，必须采用时间推进方法。我们采用了两种常用的方案加上另一种不同寻常的方案。对于这种类型的PDE，最流行的选择是交叉衍生的enabledADI变体（有关概述，请参见[3]）。

我们选择了Hundsdorfer Verwer和改良的CraigSneyd方案，它们提供了最佳的整体特性。我们的备选方案是BDF3完全隐含模式，据我们所知，该模式在金融文献中尚未在这种背景下使用。可能已经很明显，我们的目标并不是为了一个唯一的方案，而这个方案是设计所必需的；我们认为，这样一个计划可能会比需要的更不准确或更慢。相反，我们的目标是建立一个可靠的设置，实现尽可能快和准确的校准。为此，我们提出了一种策略，其中包括偶尔进行重新评估，以及在这种情况下从ADI切换到较慢但更稳健的BDF3方案的混合引擎。使用商业软件进行优化。我们主要使用局部约束优化例程，但也尝试全局方法（差分进化）。后者虽然被证明太慢而不是推荐的选项，但可以用来增加局部优化器确实在寻找全局极小值的信心（我们在所有测试中都发现了这种情况）。本文的其余部分组织如下：第。2介绍了定价PDE的数值方法，并给出了更详细的非标准实施细节。第。3描述校准阶段，并提出优化性能的策略。第。4包含各种数值结果。我们比较了时间推进格式的计算效率，并检验了Richardson外推在空间和时间上的有效性。然后将校准结果与实际数据进行对比，并与赫斯顿模型进行比较。最后，我们简要探讨了我们的框架易于处理的其他非仿射模型。

最后，我们提出了我们的结论和进一步发展的建议。2、GARCH扩散的数值解PDE2.1。GARCH扩散偏微分方程。GARCH扩散随机波动率模型（在风险中性测度下）描述如下： (1)  这里是与标的资产相关的布朗噪声（此处为SPX）及其方差A相关；即。， 附录A给出了兼容的真实世界演变。时间序列分析（类似的真实世界模型）表明相关系数 为负值，典型值约为-0.75（Ait Sahalia&Kimmel[4]）。所以这里我们假设. varianceprocess具有波动性 并恢复到其长期平均值 平均回复率为    是期权到期的时间。通常，我们的模型假设一个具有确定性利率和股息收益率的环境：( 但我们写( 表明我们正在为每个选项到期使用逐步常数。（对于( 与此兼容）。那么让我们表示欧洲期权的价格  基础资产价格等于 其方差等于. 根据上述规范，很容易验证必须满足以下抛物线PDE     对于我们也可以用价格的自然对数来计算方程      对于 方程（2）和（3）被归类为无界空间域上随时间变化的对流扩散反应PDE。虽然（3）的形式略为简单，但在-网格优化。

这一点尤其正确，因为在许多情况下，网格需要从非常小的S值开始（以避免网格截断导致精度损失），这意味着许多X点将被放置在低兴趣区域。因此，我们将主要对（2）进行离散化和求解，但代码也（非常）适合切换到求解（3）。初始和边界条件是（2）我们有一般的看涨期权和看跌期权的初始条件  ,（4） 其中K是期权的行权。我们在左侧和右侧边界上分别施加Dirichlet类型（5）-（6）和Neumann类型（7）-（9）的（数值）边界条件： 在此模型下  是所有人的入口边界,  意思是  每当进程在开始时都无法访问. 然而，该过程原则上可以在, 之后，它立即进入内部，再也不会碰到原点（有关更多详细信息，请参阅Lewis【5】，第102页）。因此，从数学的角度来看，没有边界条件是必要的。PDE本身可以应用于 （其中所有扩散项因因子的存在而消失) 从数值的角度来看，也不需要任何额外的条件。网格截断边界的选择,（或,)  和在第节中讨论。2.4.1.1. 以等式（3）的等效方式设置边界条件。2.2. 空间离散我们使用有限差分法在空间中进行离散，并在非均匀网格上工作，我们认为这是有效解决定价偏微分方程所必需的。

在S方向，在走向周围分配更多的点可以显著减少初始三角洲不连续性产生的误差。在v方向，在附近分配更多点有道理，因为我们希望更好地解决我们想要获得价格的地区。此外，由于我们通常（见第2.4.1.1节），为了充分解决周围区域的问题，几乎需要一个不均匀的v形网格同时，向具有合理数量的网格点。对于（2）和（3）中的一阶和二阶导数，我们使用标准的中心有限差分公式，而对于混合导数，我们使用的是标准的七点模板表示。所有公式化的二阶精确近似值，前提是网格步长变化足够平滑（第2.4.1.2节中提出的网格构造的情况确实如此）。这意味着，对于将S方向上的栅格定义为   点数，0以及相应的网格步骤 . 然后我们定义了一阶和二阶导数的离散化版本 和在像     我们使用导数的等价表达式  和在在V方向上，网格由定义    积分，和 .