用偏微分方程方法对GARCH扩散模型的第一选项校正

此外，P模型时间序列估计通常对是否包括1987年10月19日这样的崩溃日非常敏感。为了使PDE引擎适应赫斯顿定价PDE：调整v扩散和混合衍生效率和相应地，在（17）和（20）中。唯一需要的其他更改是选择.我们相信“射程”， ,  应允许在校准中使用。然而，一旦你在命中范围内找到了最佳Q-估计比，你就不得不考虑其影响。事实上，波动率分布在零处会产生一个可积的散度，v=0成为最可能的值，重复的波动率击中零成为可能。如果P-evolution模型 ,    任意地理机会的发展——至少在构建模型的理想化连续时间世界中。然而，在打击范围内找到一个微笑校准的Feller比率是众所周知的常见现象[15]。图2：。GARCH扩散和赫斯顿模型暗示了链A的到期波动率。表1给出了GARCH扩散模型参数。赫斯顿模型的参数为  和.  GARCH扩散=  1.68%，赫斯顿=  1.28%.赫斯顿-费勒比率=0.12。为了故意夸大费勒比率的问题，我们还只在链A中安装了前两个最短的呼气时间。尽管看起来达到了一个不错的拟合（图4），但赫斯顿模型符合实际为Yzero，伐木率为0.05。另一方面，GARCH扩散模型通过最合理的参数和不为零的波动过程实现了更接近的拟合。

然而，我们校准的波动率-与典型的P估计值相比，GARCH扩散值也可能“过高”。在链条B的情况下（图5），赫斯顿模型表现稍好（if00.10.20.30.40.51700 1900 2100 2300 2500 2700IVKT=21天MarketGarcheston00.10.20.30.40.51400 1600 1800 2000 2200 2400 2600KMarketGARCHHeston00.10.20.30.40.50.61000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800IVKT=77天MarketGarcheston00.10.20.30.40.50.6700 1200 1700 2200 2700IVK市场GARCHHESTON00.10.20.30.40.50.6500 1000 1500 2000 2500 3000IVT=259天市场调查00.10.20.30.40.50.6400 900 1400 1900 2400 2900IVKT=441天市场调查00.10.20.30.40.5400 900 1400 2400 2900 3400IVT=630天MarketGarcheston00.10.20.30.40.5400 900 1400 1900 2400 2900 3400KT=994 daysmarketgarchestonscillatory），正确地跟随微笑（模型K*非常接近市场K*在K=1140左右），而GARCH扩散模型K*约为1180。图3：。GARCH扩散和赫斯顿模型暗示了链B的到期波动率。表1给出了GARCH扩散模型参数。赫斯顿模型的参数为  和.  GARCH扩散=  1.19%，赫斯顿 = 1.01%.

Heston-Feller比率=0.29.0.10.150.20.250.30.350.40.45850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200IVT=19天MarketGarcheston0.10.150.20.250.30.350.40.45650 750 850 950 1050 1150 1250IVKMarketGARCHHeston0.10.150.20.250.30.350.40.45750 850 950 1050 1150 1250IVKT=46天MarketGarcheston0.10.150.20.250.30.350.40.450.5450 550 750 850 950 1050 1150 1250 1350KT=228天MarketGarcheston0.10.150.20.250.30.350.40.45450 550 650 750 950 1050 1150 1250 1350IVT=319天市场调查0.10.150.20.250.30.350.4450 650 1050 1250 1450 1650IVKMarketGARCHHeston0.10.150.20.250.30.35450 650 850 1050 1250 1450 1650 1850IVKT=1054天MarketGarchest配置图4。GARCH扩散和Heston模型仅适用于链A中的前两个到期日时，意味着波动率。GARCH模型参数为 和.  赫斯顿模型参数为  和. GARCH扩散= 0.61%，赫斯顿= 0.86%.  赫斯顿-费勒比率=0.05。图5：。GARCH扩散和Heston模型仅适用于链B中的前两个到期日时，意味着波动率。GARCH模型参数为 和. 赫斯顿模型参数为 和. GARCH扩散= 0.64%，赫斯顿= 0.59%. 赫斯顿-费勒比率=0.38。总之，从一开始，我们就知道这两种模型都有其良好的特性和问题。特别是，这两种模型都不能很自然或很好地处理资产价格或潜在波动性的极端波动。

然而，尽管我们的数据集非常小，但我们仍然惊讶地看到赫斯顿模型实现了更好的微笑拟合。4.6一些简单的PDE扩展到目前为止，我们校准的两个模型都是更一般的幂律SV模型的子类 (32)  流行的仿射赫斯顿模型() 具有一些众所周知的局限性，例如：（a）无法捕捉到陡峭的短期波动率微笑，（b）拟合参数在重新校准过程中的不稳定性，以及（c）拟合参数与P-world估计的参数不兼容。GARCH扩散模型() 在文献中受到的关注较少，但我们在这里的测试表明，它也受到（a）的影响。关于（b）和（c），需要进行更多的测试；例如，GARCH很可能产生比Heston更稳定的参数。为了解决这些问题，研究人员引入了各种想法。再次，命名一些：（i）远离仿射模型，因此使用上面更通用的p模型（或其他双因素扩散变量），（ii）随机化（潜在）点方差,  （iii）添加跳跃，（iv）添加更多随机因素，（v）使用分数布朗00.10.20.30.40.51700 1900 2100 2300 2500 2700IVKT=21天MarketGarcheston00.10.20.30.40.51400 1600 1800 2000 2200 2400 2600KT=49天MarketGarcheston 0.10.150.20.250.30.350.40.45850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200KT=19天MarketGarcheston0.10.150.20.250.30.350.40.45750 850 950 1050 1150 1250IVT=46天作为波动驱动因素的MarketGarchestonMotion。在这些扩展中，（i）和（ii）特别容易添加到当前框架中，因此我们将在这里简要探讨它们。我们的PDE引擎可以轻松解决GARCH扩散、Heston或任何“中间”模型，即.

事实上，让 浮动并让优化器确定最佳值。如图2和图3所示，值 对应于更“灵活”，而 更加“刚性”的配合。中间值 可以预见的是，产量匹配看起来就像两者之间的混合。的低值 减少 通过局部启用足够的曲率来模拟短期市场微笑，另一方面，随着中期到期（过度）灵活行为的持续，它会增加微笑（赫斯顿案例）。但总的来说，至少对于我们的数据集来说可以用较低的p值实现。我们的测试发现了一个最佳值  链条A为0.62(=1.23%），而对于链B，我们发现(= 1%). 因此，与赫斯顿模型相比，Fitton模型的改善并不显著（相对减少1%~4%）。不过，这可能并不能说明全部情况。让我们承认，赫斯顿和加什·迪夫里奥纳对原因的描述基本上都是错误的。因此，优化器被迫使用不自然的参数（例如，不切实际的低和/或高ξ），以适应观察到的短期微笑。如果这两个模型被错误指定，那么通用p模型也将被错误指定。我们的结论是，如果有某种短期的微笑支持扩展，使扩散模型更自由地适应剩余的呼气期，则最好评估为一般p模型选择特定p值的任何益处。通常这将涉及添加跳跃，但更简单的方法是通过区域化；参见Mechkov【16】或Jacquier&Shi【17】。虽然我们发现这种方法的动态原理可能并不完全清楚，但我们也发现它确实成功地“打开”（向上）了短期微笑。

由于我们的代码中添加此功能所需的更改也是最小的，所以我们尝试了一下。表8显示了摘要链A的结果。如上所述，当模型缺乏匹配短期微笑的能力时，改变p几乎没有什么区别。但是，当微笑得到更好的解释时（这里通过随机化），最优p模型在校准拟合方面比Heston和GARCH扩散模型都有更实质性的改进。这种情况在附录D中有更详细的描述。我们最后补充说，其他非仿射双因素变化也可以很容易地适应。作为一个例子，我们校准了Langrené等人提出的反伽马SV模型。如表8所示，就整体拟合质量而言，它介于Heston和GARCH扩散模型之间(链B为1.11%）。我们还注意到和 对于该模型，两个数据集的werequite相互接近（未显示）。表8：。校准适用于纯扩散模型变化下的链A。模型幂律模型：1.28%GARCH扩散1.68%最优p模型1.23%赫斯顿-随机化0.96%GARCH扩散-随机化0.94%最优p模型-随机化0.79%逆伽马体积模型1.53%5。结论在这项工作中，我们首次（据我们所知）使用PDE方法对GARCH扩散模型进行全选项校准。校准非常快速和准确（在modernPC上不到一分钟），改善了封闭式解决方案的不足。这是通过使用efficientyet“普通”二阶有限差分PDE引擎实现的。虽然我们在这里校准了Europeanvanilla选项，但相同的定价引擎只需稍作修改即可用于快速校准其他类型的选项，这些选项可以在PDE设置中轻松处理，例如：。

美国的选择或障碍。其他类似的模型也可以很容易地适应我们对Sec的简短实验。4.6展示。在对两条SPX期权链进行的一项小型测试中，smile与GARCH扩散模型的拟合程度要高于赫斯顿93年模型的拟合程度。这与之前的一些文献（如[1]）不同。Heston拟合的所谓伐木条件比值很低，这导致了其他问题。尽管如此，我们还是感到惊讶。我们更普遍的贡献是，闭式解不一定是模型选择的有力标准。类似的PDE引擎可能会处理在实践中基本上被忽视的各种相关模型，因此可以为特定的交易区域提供更明智的选择。对于未来，将解算器扩展到能够以类似的高效率处理双变量跳跃扩散的解算器将是非常有趣的。最后，第二作者（Lewis）想强调的是，第一作者（Papadopoulos）完成了这里所有的繁重工作：开发和实现所有C/C++解算器及其Excel和Mathematica接口。参考文献[1]P.Christoffersen、K.Jacobs和K.Mimouni，“标普500指数的波动率动力学：来自已实现波动率、数据回报和期权价格的证据”，《金融研究评论》，第23卷，第8期，第3141-3189页，2010年。[2] R.Zvan、P.Forsyth和K.Vetzal，“双因素期权定价模型中的负系数”，《计算金融杂志》，第7卷，第1期，第37-73页，2003年。[3] K.J.in’t Hout和S.Foulon，“具有相关性的赫斯顿模型中期权定价的ADI有限差分格式”，《国际数值分析与建模杂志》，第7卷，第2期，第303–320页，2010年。[4] Y.Ait Sahalia和R.Kimmel，“随机波动率模型的最大似然估计”，《金融经济学杂志》，第83期，p。

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在存在确定性股票股利收益率的情况下,  在此过程下，与Q-测度GARCH扩散兼容的P-测度演化具有以下形式：  现在  是一对相关的P-布朗运动,  二者都  在P或Q下是相同的，我们使用. 事实上，“无套利”要求Q-演化必须通过Girsanov替换与P-演化相关 和. 在这种隐含的测量变化下，SDE的方差-协方差结构保持不变，但漂移可能会改变。财政上代表（股票、波动性）风险的市场价格。这个 功能独立于任何衍生资产，但通常取决于   然后，Q演化模型变为   哪里  和 . 固定 （其中) 从我们假设的Q-测度GARCH扩散（1）仍然为P-演化留下了很大的自由度。在这种普遍性中，“无套利”下唯一剩下的兼容性要求是：o,  因为持有股票会在瞬间无风险，假定短期利率是决定性的.o  边界和 应该在有限时间内通过P-测度无法实现过程，因为假设的Q-测量过程也是如此。然而，该模型的精神在于，P-测度演化也是一种GARCH扩散（名称的起源）。所以，让我们 , 可能有不同的P参数。例如，let\'spostulate i）波动性相关的股票风险溢价 , 哪里 是一个（正）常数，且ii）也是常数。