用偏微分方程方法对GARCH扩散模型的第一选项校正

例外情况是 使用单侧（迎风）二阶公式的边界:    对于混合导数项，我们选择基于7点模板的自定义二阶方案，这与Ikonen和Toivanen在[6]中提出的方案非常相似，但不完全相同。可以构造这样一个模式，以便与基于9点模板的标准二阶模式相比，它为结果系统的离散化矩阵a贡献的负非对角系数更少。这反过来使解决方案不太可能产生负估值。当相关系数 是负数（我们将其视为第2.1节中讨论的情况），这是一个适当的近似公式  在由给出    （13） 在哪里 （14） 考虑期权价值的泰勒展开式，很容易得到公式（13在左上角和右下角的八个钻孔网格点处和. 这种公式可以与特殊构造的网格（对网格步骤施加限制）以及对流项的一阶迎风公式结合使用和, 通过设计制作anM矩阵（例如，参见[6]）。这将确保解决方案在任何情况下都不会产生负面评估，这对于我们的校准来说是一个特别有用的功能（需要计算隐含的挥发性）。

这种方法虽然在目前的工作中不受欢迎，因为我们认为，通过次优网格构造将不必要地降低解决方案的平均精度：网格点分配应该由问题的物理特征（例如，收益不连续的位置）驱动，而不是通过非负系数的数学要求来强制。我们在第二节中再次讨论这个问题。3在这里，我们解释如何处理在建议的离散化下确实可能出现的偶然负值。现在，我们可以将方程（2）右侧的空间导数替换为上述的离散化版本，以获得其半离散化公式。从稳定性角度来看，使用一阶（两点）迎风公式会更好，但会导致精度损失和离散化的整体二阶收敛。在实践中，我们没有发现在众多校准练习的广泛测试中使用（12）所产生的稳定性问题。Zvan等人[2]提供了类似的讨论，尽管是在有限体积/单元离散化的背景下。        其中扩散、对流和混合导数系数由下式给出：      方程式（15）应用于每个网格点 对于 和. 我们不需要解决由于Dirichlet边界条件（5）和（6）指定了选项值的常量值.

在 （15）中的二阶导数和混合导数项消失，迎风离散化（12）意味着我们只使用网格内的值。远边界网格线并非如此和: Neumann型条件（7）（9）意味着混合导数 （因此，（15）-（19）中的所有术语乘以)消失但我们仍然有二阶导数，其模板引用网格外的一个点。这些点被视为虚拟点，其值是根据最后一个实际网格点和该点的已知梯度值通过外推获得的。2.3. 时间离散化随着空间离散化的实施，我们现在只剩下一个时间上的刚性常微分方程（ODE）大系统，我们可以将其写成   在这里是大小的向量 和 是  空间离散化矩阵，其中 是未知的总数。的要素将取决于边界条件（5）-（9）和关于初始条件（4）。我们现在需要采用时间推进方法来求解（21）。对于一维问题，常用的选择，如隐式Euler和Crank-Nicolson格式，在高维上效率低下，导致大型稀疏系统的求解成本远远高于一维情况下的小型（通常为tridiagonal）系统。因此，ADI型分裂方案是二维和三维中最流行的选择。然而，如果使用快速、稀疏的直接解算器，标准（非分裂）方案对于二维问题仍然具有竞争力。对于普通期权定价问题尤其如此，因为系数与时间无关，矩阵分解步骤只需执行一次（或几次）。

我们采用了一种金融中不常用的方法，即BDF3（或4级隐式）方案。我们的主要工作是webriefly首先提出的两个流行的ADI方案。2.3.1 ADI方案有关金融领域混合衍生产品PDE的ADI方法的详细审查，请参阅[3]。所有这些方法的第一步是分解 在（21）中，分为三个子矩阵：  包含源自（2）、（3）中混合导数项离散化的所有项，即（15）中的所有项，包括作为一个因素。和包含分别在S方向和v方向上与离散导数相对应的所有项。源项 平均分布在和. 通过对流和扩散项的3点中心离散化，和是三对角矩阵。我们拆分向量和功能自（21）起，相应为  和   我们将使用由点定义的统一时间网格  .

允许是控制精确拆分的实参数。现在，我们概述了我们的两个主要方案，它们是根据稳定性、精度和固有振荡阻尼特性的最佳组合而选择的【7】。Hundsdorfer-Verwer（HV）方案          改进的Craig-Sneyd（MCS）方案               这两种方案都采用多个中间步骤来推进解决方案到. HVscheme从前向Euler（预测）步骤（1）开始，然后是两个单向隐式（校正）步骤（2和3），用于稳定显式第一步。然后，第二个预测步骤（4）之后是两个更隐式的校正步骤（5和6）。除了双秒预测器步骤（步骤4和5），MCS方案具有相同的结构。隐式步骤需要求解三角系统，我们使用LU分解有效地求解该系统。我们使用HV方案 （我们将其称为HV1）和 （HV2）。文献[3]中推测HV1只在条件上稳定（但更精确），而HV2无条件稳定（且不精确）。对于我们使用的MCS方案 , 根据稳定性分析和实验，在[8]中推荐为最佳值。

无论这两种方案都是二阶的。我们注意到，尽管被证明是无条件（冯·诺依曼-）稳定的，但这些方案并不总是能够有效地抑制由初始条件中的不连续性引起的局部高频误差。这可能导致虚假振荡和收敛阶数降低；参见示例【3，9】。在这种情况下，可以使用称为Rannacher时间步进的技术来缓解问题。这涉及对第一个时间步（分为两个相等的子步）使用不同的方案，其中一个可以成功抑制振荡，通常是一阶的（通常是Euler隐式方案）。对于matrix，这并不是严格正确的因为单侧公式（12）用于 边界包括对角线外的一个点。2.3.2 BDF3方案作为一种更稳健的替代方案，可以为（基于梯度的）优化器提供更平滑的输入，我们研究三阶BDF3方案。虽然不是典型的选择，但它实现起来非常简单，并且具有良好的稳定性（在ODE意义上几乎是a-稳定的）和振荡阻尼特性。为了求解生成的系统，我们使用特征C++矩阵库，该库为几个直接稀疏系统解算器提供简单的接口。目前系统结构中速度最快的似乎是UMFPACK解算器，我们在这里的实验中使用了它。该方案相当于取代时间导数在（21）中，使用单侧4级向后有限差分表达式。

（21）的离散化版本如下  以及价值观给定前三个时间级别的值，计算时间级别n  由于不仅需要来自前一个时间级别的值（如ADI方法），而且还需要来自前两个级别的值，因此我们必须为集成的前两个步骤使用一些替代方案。我们使用一阶隐式Euler（IE）格式和二阶BDF2格式。TheIE方案由  并且需要分解  .BDF2方案如下所示   并要求工厂化  . 为了提高第一个时间步的精度，我们采用Richardson外推，如下所示：我们首先对大小为4个子步使用IE方案 获取值在第一个时间步骤结束时。然后重复，这次使用大小为的2个子步骤获取并得到第一步的最终合成值，如下所示 注意，这需要2个矩阵分解，对应于具有 和. 获取值在第二个时间步骤的末尾，我们使用BDF2方案。总的来说，presentimplementation需要4个昂贵的因式分解，这增加了大量的前期计算成本。2.4. 提高计算效率让我们粗略地将计算效率（CE）定义为每单位CPU时间所达到的精度。基于APDE的解算器无法匹配半解析解的CE，例如可用于Heston模型的解。因此，我们需要研究如何改进我们机构的CE。这里我们考虑网格构造、初始条件的平滑和理查森外推。2.4.1电网建设2.4.1.1。

网格截断我们的域是半无限的（或者方程（3）中的X是无限的），因此在实践中，网格需要在某个点进行定位。如果网格没有延伸足够远，那么施加的边界条件将不完全成立，并且将其强制在解上会引入一些错误。如果网格扩展得比需要的更远，那么对于相同数量的点，网格步长将更大，从而导致有限差分近似精度较低。没有明显的方法来确定截断极限，因此我们在这里做出以下经验选择。请注意限制对模型参数的依赖性，这意味着每个目标函数评估使用的网格将不同（基于优化器每次设置的参数）。S方向对于S网格，我们在, 设M=5和. 然后我们设置： 这种选择总体上会带来很好的解决方案准确性，但对于极端的模型参数区域和基准计算，我们会额外乘以安全系数为2到3。对于左边界和方程（2），我们设置0,  我们在 ,  其中，设m=6。然后，我们进一步要求, 哪里 是一个常数。我们通常设置但为了获得高精度，我们建议v方向我们设置, i、 例如，我们不截断左边界。为了设置适当的右边界，我们注意到,  遵循逆伽马分布（见附录B）。根据分布，我们可以设置 和是逆累积（逆伽马）概率函数。我们发现  之间  和  是准确估价所必需的。

对于短期期权，可在任何时候使用（27）的经验分数  . 或者，可以通过数值计算精确的分布，从而– 每次到期。这在附录B中有描述，并用于我们在Sec中的实验。4带    . 我们最后注意到，通常情况下. 仅此观察就需要使用非均匀网格，如下所述。2.4.1.2. 网格生成可以显著提高计算效率，并缓解因不连续性引起的任何问题，使用网格可以在需要的地方集中更多的点。我们采用了一种众所周知的基于反双曲正弦的无量纲网格生成（拉伸）函数，该函数满足用于有限差分方法的某些标准。感兴趣的读者请参考Vinokur【10】。金融文献中经常使用相同但形式略有不同的函数，例如Tavella&Randall【11】和in’t Hout&Foulon【3】。S方向的网格由下式给出：    对于, 式中，K是走向（或更一般地说是所需的聚集点），并且arefree参数。表示介于和K和控制不均匀度。我们设置  这对应于适度的非均匀性，通常会导致整个货币频谱的低误差分布。

鉴于, 可以设置为使网格上升到使用：    , 哪里   .然后，我们通过进一步轻微调整以确保罢工正好落在网格点上:  我们发现然后重置.最后，我们使用相同的方法生成方程式（3）中的X网格。对于v方向，我们再次使用相同的网格生成函数：   对于, 哪些群集指向周围. 自从我们设置 这是我们在CE开始下降之前所能得到的最不均匀的结果。我们第一组所以网格上升到:    , 哪里 .如果我们想将走向放置在网格点之间的中间，我们将使用  相反然后我们发现和重置确保精确位于网格点上。当输入 低和/或, 那么以上最后一个网格点的调整结果现在低于.  在这种情况下，我们不断使用（29）添加点，直到, 这意味着最终网格大小将为, 具有.  典型的将比输入高出50%.另一种似乎比刚才描述的建筑有一些优势的建筑是混合建筑，周围有一个狭窄的（但最重要的）区域均匀分布，其余部分不均匀。Haentjens和In’t Hout【12】提出了一种在S方向构建此类网格的方法，用于解决赫斯顿偏微分方程。在这里，我们使用上面的第一个构造作为基础和. 细分市场( 然后通过步骤使其均匀.