用偏微分方程方法对GARCH扩散模型的第一选项校正

有了这些选择，我们相关的P模型GARCH扩散是     哪里=和=. 现在有两个附加参数需要进行估计，我们的选择下的“P/Q兼容性”成为一个需要检验的假设。所有这些都超出了本文的范围。然而，人们期望 和 比如说，SPX。最后，请注意 哪里, 现实世界和风险中性过程都是映射（马尔可夫加性过程）。正如正文中所讨论的，映射propertyleads到一个“所有选项同时”的KBE解决方案，用于普通选项；此外，它还允许使用傅立叶方法进行降维。附录B–独立波动率过程的关键点在我们的模型中，独立波动率过程演变为  , 哪里是布朗运动。尽管参数的数值可能不同，但在两种测量（P/Q）下，相同的函数形式都成立。允许 表示过程的转移概率密度；即.  然后,    这个关联分布的临界点定义如下,  哪里.有（用于 接近1）对于设置-全2Dprocess PDE解算器的网格（上）截断点。现在分析上未知，但解决了福克-普朗克问题：,  哪里  ,    并以初始条件为准使用Dirac delta。在这里是概率电流或通量。从数学上来说 和 进程无法访问（使用, 连续介质问题不需要边界条件。两种关系。

很容易在极限内找到, 遵循反Gamma分布, 带形状参数  和比例参数.任意t的另一个简单关系是缩放恒等式：这将有效的参数数量减少了两个。虽然在这些实现中没有使用缩放关系，但对其进行了检查。Mathematica实现。当速度不是一个因素时，这个完整的问题（求解福克·普朗克偏微分方程，并计算临界点）很容易在Mathematica中得到解决。我们的简短实现如图6所示。即使您不是Mathematica用户，语法也应该是largelyreadable。基本思想是转换为新坐标  并使用NDSolve解决由此产生的PDE问题。均匀分布的x网格点居中于. 网格位于“西格玛”来自, 其中一西格玛等于. 数值边界条件取（i）零通量和（ii）零空间导数. 初始条件为alattice Dirac delta，仅在, 正好位于节点上。C/C++实现。Mathematica实现通过一个ODE解算器，使用4阶空间离散化和直线法（MOL）及时解决了上述福克-普朗克问题。这会产生非常精确的结果，但速度很慢（尽管我们还没有尝试将其移植到C++）。对于本文所述的测试，我们选择了一种更标准的方法，我们仅在此简要概述：离散化基于均匀中心二阶有限差分和Crank-Nicolsonscheme和Rannacher时间步进。边界条件同上。

这种方法有效，除了网格的最左侧区域，在那里对流可能占主导地位，并导致不稳定/负密度。在这种情况下，我们局部引入了矢量项的1阶迎风格式。如果仍然产生负密度，我们会尝试增大. 如果一切都失败了，我们只需返回从平稳（反伽马）分布。我们还应用了双空间Richardsonextrapolation（如果逆风格式仅用于密度值可忽略不计的区域，则理论上应达到6级精度）。所有这些都导致精度甚至高于Mathematica，需要大约2-3毫秒的CPU时间 和.图6：。Mathematica代码计算独立V分布临界点。附录C–数据描述选项链A。2017年3月31日的日终（EOD）SPX期权数据来自于京东方的LiveVol服务：“带计算器的日终期权报价”。这些文件记录纽约时间15:45的期权报价和CBOE计算的期权隐含波动率（IV）。这一次是纽约和芝加哥常规会议结束前15分钟。来自CBOE（为简洁起见编辑）：“隐含波动率和希腊值是根据1545年的时间戳计算的，被认为是比日终市场更准确的市场流动性快照。LiveVol在实时和历史数据集上应用统一的计算方法，以提供回测和实时应用程序之间的最大一致性。

进位成本输入（利率、股息）由统计回归临界点GARCHPDE q、V0、T、NX、vbar、kappa、xi、n1、AG确定：模块X0、Xmin、Xmax、mu-kappa 0.5 xi^2、omega、a、h0、h、dX、i、grida、gridb、grid、T、soln、cdf、critx、critv、critx99、Off-NDSolve：：eerri；X0 N对数V0；Xmin X0 n1 xi Sqrt T；Xmax X0 n1 xi Sqrt T；dX X0 Xmin NX；欧米伽-卡帕vbar；网格Xmin N表i dX，i，0，NX；网格NX 1 X0；gridb X0 N表i dX，i，1，NX；网格连接grida、gridb；h0 X？数值Q：如果Abs X X0 0.5 dX，1 dX，0；透明溶液，h，t；关闭NDSolve：：eerr；在xminsln h下使用零通量条件。NDSolveth x，t 0.5 xi^2x，xh x，txomega E^x mu h x，t，h x，0 h0 x，0.5 xi^2 D h x，t，x。x XminΩE ^ Xmin mu h Xmin，t 0，D h x，t，x。x Xmax 0，h，x，Xmin，Xmax，t，t，AccuracyGoal AG，方法“线的方法”，“空间离散”，“张量积网格”，“坐标”网格1；一个九合一的soln x，T，x，Xmin，X0，AccuracyGoal AG；cdf y？数值Q：一个九合一的soln x，T，x，X0，y，AccuracyGoal AG；critx99 y。FindRoot cdf y 0.99，y，X0，Xmin，Xmax；critx y。FindRoot cdf y q，y，critx99，Xmin，Xmax；critv E ^ critx；返回critvprocess…。将这些投入预测的结转成本与每个期权到期时的现金期权隐含的结转成本进行比较。如果利率差异很大，且该到期日的期权价差足够窄，则隐含利率将取代标准输入……”。表9：。

SPX期权隐含波动率（%）：链A（2017年3月31日15时45分）。期权到期日（年月日格式）罢工4/21/175/19/176/16/179/15/1712/15/176/15/1812/21/1812/20/1952.2641.5735.3852.1546.7840.0751.4442.4037.4933.2954.2345.0940.2736.2231.7148.0541.6736.4133.2330.2445.3138.9434.4832.1929.5054.8440.5536.6332.5229.9027.8349.6936.6834.2630.8329.0529 26.7844.1434.6232.0929.1227.2725.7841.2632.4929.9027.5125.9424.7645.1737.6030.1927.8925.9624.8023.8040.2833.4827.9226.0224.5823.5422.9136.1930.9125.7824.2323.1322.3821.9141.0032.5227.6623.6222.3721.7821.2821.0934.6527.8824.4321.5620.7820.4420.1520.1430.7323.7521.3919.5719.0719.0919.1419.4224.7419.7218.3417.5517.5017.7818.0618.5917.6715.8015.2815.4315.7616.4716.9517.7911.6112.1312.4013.3614.0615.2015.9316.897.869.6510.3811.8212.8214.3215.2516.517.379.029.8011.3512.4314.0114.9716.347.348.529.2710.9012.0413.7014.7416.127.958.158.9110.4611.6513.3814.4315.998.968.318.6810.0511.2713.0914.2915.8310.438.188.669.7110.9212.8013.9915.6612.208.778.789.4610.6112.5013.7615.5012.689.468.929.2510.2912.2513.5615.3613.5310.149.209.1110.0511.9813.3515.1814.4911.029.549.069.8611.7213.1415.0110.019.079.6511.4112.9414.8510.539.119.5311.2312.8514.759.4312.5411.279.359.4010.7912.3714.399.729.3710.4512.0514.0910.089.4010.1711.7413.819.9913.559.749.9111.1713.3210.7910.0410.7912.8710.6612.4610.6312.1811.9511.8611.4511.75在任何给定的数据上，期权数据可能非常庞大，需要进行过滤，以减少计算负担并消除不相关的噪音。事实上，2017年3月31日的完整数据文件包含8399个选项行项目，我们将其过滤为表9所示的246个项目。这是通过首先关注传统的“第三个星期五”到期，然后进行一些罢工过滤来完成的。15:45 SPXindex值为 （中点引号）。

我们从货币期权中选择了正出价，因此表中所示的IV是在罢工时的看跌期权以及其他调用。（CBOE的sIV方法论有点像一个黑匣子，但它似乎本质上是保持调用奇偶校验的。另请参见[18]）。对于我们选择的第一个到期日（2017年4月21日），隐含波动率趋于平稳, 选择作为下限走向截止点。对于其他过期，数据看起来平滑到, 剩余到期日的截止日期。我们没有规定罢工上限。为了在看跌期权和看涨期权之间实现大致平衡，我们选择了100倍的看跌期权和25倍的看涨期权。我们相信这种过滤保留了完整数据集的重要特征。对于短期利率，我们发现美国国债于2017年3月31日从《华尔街日报》（WSJ）获得了收益率，并将其作为我们8个到期日的逐步常数。该序列的到期顺序为{0.00728、0.00723、0.00716、0.00865、0.00939、0.01118、0.01203、0.01434}。对于SPX股息收益率，我们使用了一个常数  对于所有到期日，《华尔街日报》在同一日期公布了12个月期SPX收益率。这些不一定是CBOE使用的进位成本参数，后者不可用。这种差异不太可能以任何重要的方式改变参数拟合或我们的结论。但如果读者对这一小点感到担忧，那么就把IV和携带成本的组合作为一个“可能的”市场数据集（与2017年3月31日的实际数据基本一致），我们可以将各种模型与之相匹配。期权链B。第二作者刘易斯（Lewis）收集了当时（2010年2月1日）的收盘期权报价，只使用出价为正的期权。IV根据投标askmidpoint期权价格计算。

根据链a，华尔街日报发现了利率和股息收益率。附录D–随机最优p模型的校准Mechkov提出了赫斯顿模型的随机版本【16】。其基本思想是，不采用（潜在）方差过程的初始值作为一个已知的固定值，我们假定它是由某种分布给出的。这是一个简单而有吸引力的想法，可以方便地扩展到当前的框架：PDE解决方案自动为可能的初始方差值（对应于v方向的网格）的整个范围提供选项值。找到资产现货的“随机”期权价格, 平均整个解决方案使用假定分布的网格线。如【16】所述，可以合理地假设后者应与过程平衡分布的类型相同。对于GARCH扩散模型，这将是反伽马分布。我们的简短测试表明，即使是赫斯顿模型的随机化，这种选择也会产生最佳结果，因此我们将在这里使用它来随机化一般pmodel（32）。我们制作了分布参数（形状和比例), 以及功率pof模型部分的标定。现在要安装的参数总数为7个。如图7所示，拟合的总体质量() 比GARCH扩散要好得多() 或者赫斯顿模型(), 尤其是最短的到期时间（见图3）。如第节所述。4.5，赫斯顿模型(拟合意味着不太可能的动态。一般模型的最佳功率校准为,略接近GARCH扩散模型。

与后者相反，我们在这里看到，第一次（3W）到期时，由于随机化（而不是 到). 我们还注意到，既然模型不受其无法解释短期微笑的约束（并因此受到压力），那么拟合的波动率参数波动率下降到可以说更现实的水平(. 这远低于GARCH扩散的校准值 （表1），即使考虑了 到.校准的相关系数存在潜在问题(). 其他类似的测试也表明，随机化过程往往会导致优化器产生非常极端的相关值。为什么？从[17]中可以看出，由于随机化，小T渐近微笑“爆炸”是对称的。平方根方差过程的平衡（平稳）分布是伽马分布，但至少对于我们的数据集，我们发现它实际上比逆伽马分布表现得更差，因为它是赫斯顿模型的随机化（初始化）分布。该模型在隐含动力学方面更接近于GARCH扩散模型。例如，有人发现，赫斯顿模型在这里的拟合意味着长期（风险中性）波动率低于1%的概率为41%，这是不太可能的。对于GARCH扩散和  这个概率实际上为零。所有三种模型的平均长期波动率约为20%。关于 哪里 是原木的钱。优化器可能试图通过推动来补偿“不必要的”对称新趋势 朝向-1。不包括 从校准并将其固定到更合理的值() 与.

这表明，大大改进的拟合并不强烈依赖于这样的极限 价值观然而，这种行为（以及需要动力学原理）是随机化的问题。图7：。链A的一般幂律模型（32）的校准，随机化具有反Gammadistribution。校准模型参数为,  ,  初始分布形状和比例参数（见附录B） 和模型电源. = 0.79%.00.10.20.30.40.51700 1900 2100 2300 2500 2700IVKT=21天市场化DP=0.8模型00.10.20.30.40.51400 1600 1800 2000 2200 2400 2600IVKT=49天市场化DP=0.8模型00.10.20.30.40.50.61000 1200 1800 2000 2200 2600 2800IVKT=77天市场化p=0.8模型00.10.20.30.40.50.6700 1200 1700 2700IVKT=168天市场化DP=0..8型号00.10.20.30.40.50.65001000 1500 2000 2500 3000IVKT=259天营销DP=0.8模型00.10.20.30.40.50.6400 900 1400 1900 2400 2900IVKT=441天营销DP=0.8模型00.10.20.30.40.5400 900 1400 1900 2400 2900 3400IVKT=630天营销DP=0.8模型00.10.20.40.5400 900 1900 2400 2900 3400IVKT=994天营销DP=0.8模型