用偏微分方程方法对GARCH扩散模型的第一选项校正

当起始向量离最优值不太远时，该解算器的收敛速度通常会快2.5到5倍。尽管两者都是局部优化器，但我们相信它们可以用来找到真正的（全局）最小值。使用许多不同的起点进行的广泛测试表明，两者都收敛到相同的向量。使用Mathematica的NMimimize全局优化例程，我们在测试的每种情况下都进一步验证了该解决方案。NMinimize还作为PDE引擎的折磨测试，探索参数空间的所有角落。尽管“困难”的参数集（以及分辨率不足）通常会触发重新定价机制，但所有方案都能产生有效的价格。即使如此，在实践中，总优化时间也不会受到显著影响。用于测试的允许参数范围为：,  ,  ,  ,, 涵盖了大多数市场情景。4.2 PDE引擎测试-原则为了测试时间推进方案的收敛行为，我们将空间分辨率固定为   并使用BDF3模式计算（时间收敛的）基准价格. 我们还应用了空间Richardson外推。这样一来，空间离散化误差很低，但与时间误差相比，误差不可忽略。尽管如此，我们发现这两个错误只是弱相关的，因此可以正确评估方案的比较性能。价格是通过方法I下的目标函数评估获得的，这意味着链中的每个选项都是单独定价的，并且是根据Sec中描述的决议覆盖/重新定价规则进行定价的。3.

各种  根据与基准价格的差异计算，RMSE用作每个方案总体绩效的指标。图1显示了HV1、HV2、MCS和BDF3方案的结果，以及带有Rannacher时间步进的HV1方案（以下简称HV1D）。左边的点对应于实际 （和CPU时间），而右侧的则包括在内，以更好地说明渐近行为。我们绘制了相对（相对于绝对）定价误差，因为这些误差与隐含波动率的误差以及校准模型参数的误差更密切相关。HV1、HV2和MCS方案在对数尺度上显示RMSE和CPU时间之间的线性关系。这反映（并证实）了它们的理论二阶收敛性，以及它们的执行时间与NT成正比的事实。隐式Euler阻尼步骤（需要对整个系统矩阵进行昂贵的因式分解）引入了前期成本，从而降低了HV1D方案的效率。ChainA的HV2曲线左侧不规则的前两个点就是重新定价机制的一个例子：这里的方案精度太低，导致链中的一些选项无法通过“负值测试”（然后使用不同的配置重新评估）。最后，对于BDF3方案，我们有一个前期成本，就像HV1D一样，是由于初始矩阵分解，导致实际应用的效率显著降低.

总的来说 这种效应被稀释，该格式被视为证实了其理论三阶收敛性。（复合）RE解决方案结合了  以及(  ) 网格。图1中误差曲线的最右侧点对应于 对于ADI方案和 对于BDF3。图1：。时间推进格式的计算效率。链A（246个选项，左）和链B（68个选项，右）定价的RMS相对时间误差与CPU时间。表1中的模型参数。总体而言，HV1、HV1D和MCS方案提供了相当的性能。基于目前和更多类似的测试，HV1方案很可能是最佳选择。在典型使用情况下，任何杂散振荡似乎都不会显著影响其校准性能。添加阻尼的总体成本较低，而HV1D方案实际上为ChainB产生了较低的（相对）误差。MCS方案仍然是所考虑的ADI方案中最健壮的方案，通常与HV1/HV1D一样精确，但它在每个时间步上的计算成本稍高。HV2scheme是性能最差的，我们在此不再考虑它。最后，BDF3方案的表现好于预期，在链A的相对误差低于0.02%的情况下，BDF3方案的表现开始优于ADI方案。有趣的是，注意到链B的所有时间离散化误差都大约小一个数量级，这使得BDF3方案在这种情况下的竞争力降低。总的来说，我们（毫不奇怪）发现它无法与最佳ADI方案的效率相匹配，以实现实际准确性目标。4.3 PDE发动机测试-校准（方法一）我们现在根据最终结果，即校准模型的参数，测试PDE发动机的性能。

表1给出了基准值，使用BDF3方案和      使用空间RE。表1：。基准校准模型参数选项链A（2017年3月31日）0.0109350.0391395.39056.8997-0.74579选项链B（2010年2月1日）0.0448160.0885293.66955.0333-0.79206图1表明，对于链A，HV1方案比MCS方案更有效，但对于链B，两种方案的性能非常相似。这转化为校准模型参数。表2显示，对于任何与MCS方案相比，校准所需的CPU时间也更低。我们注意到，在这种情况下，BDF3方案 与的精度大致相同。对于链A和链B，与无阻尼HV1相比，绝对误差（未显示）略低。这可能确实表明HV1方案存在轻微振荡（导致精度降低），HV1D方案的附加阻尼成功抑制了该振荡。我们发现HV1D方案的Euler阻尼（Rannacher时间步进）程序可以减少但不能消除虚假振荡，而对于相同的情况，MCS方案是无振荡的（即使没有阻尼）。相比之下，我们没有看到任何相反的情况。10-710-610-510-410-310-210-10.5 5 50RMSESECSHV1DV2MCSBDF310-810-710-610-510-410-310-20.05 0.5 5RMSESECSHV1DV2MCSBDF3HV1方案 也需要同样的时间。表3证实了两种ADI方案对链B参数的精度相似。后者对所有人来说也更加收敛与表2中的链A参数相比，在图1的右图中反映了较低的总体误差。如第。

4.2，我们使用的固定空间分辨率为   使用（空间）RE并使用BDF3方案获得时间收敛的校准模型参数.表2：。根据HV1、MCS和BDF3方案的时间分辨率，校准链A（246个选项）的模型参数收敛。精确（时间收敛）参数集为    .HV1MCSBDF3NT0.0108720.0109200.0109330.0109360.0108640.0109120.0109310.0109360.0109370.0109370.0393220.0391780.0391420.0391340.0393020.0392070.0391500.0391360.0391280.0391315.35185.38215.38915.39085.36355.37645.38765.39045.39205.39156.94806.91306.90396.90176.94976.92236.90616.90236.89966.9009-0.73655-0.74338-0.74511-0.74554-0.73753-0.74197-0.74476-0.74545-0.74586-0.74570CPU（mm:ss）01:5203:2006:2812:4303:0804:2208:2016:0212:1718:20表3。根据HV1、MCS和BDF3方案的时间分辨率，校准链B（68个选项）的模型参数收敛。

精确（时间收敛）参数集为    .HV1MCSBDF3NT0.0448000.0448120.0448150.0448150.0448050.0448130.0448150.0448150.0448140.0448150.0884820.0884800.0884790.0884780.0885080.0884870.0884810.0884790.0884800.0884793.67813.67383.67293.67273.67453.67293.67263.67263.67313.67275.04035.03465.03335.03305.03945.03445.03325.03295.03365.0330-0.79120-0.79205-0.79226-0.79232-0.79121-0.79204-0.79226-0.79231-0.79227-0.79233CPU（mm:ss）00:2000:4001:1602:2700:2600:5201:3903:1001:5602:42A仔细检查两个ADI方案获得的参数序列，并递增（加倍）, 显示非常接近二阶收敛 这表明时间离散化的理论顺序转化为计算的“函数”，即模型参数向量。这表明可能对拟合参数使用（时间）Richardsonextrapolation。表4显示了这种方法的有效性，其中参数向量是使用略有不同的两次连续标定的合成（外推）结果获得的. 第一次校准的矢量可以用作第二次校准的起点，从而缩短了后一次校准的时间。比较例如 表2中的校准（复合）在表4中，对于链A的校准，可以看到使用后者获得的参数明显更加收敛，而CPU时间也较低。与RE一样，应注意不要使用太低的分辨率（在这种情况下). 为了保证良好的再性能，建议使用 和空间REO对校准参数的影响如表5和表6所示。

这里我们使用BDF3方案 因此，时间离散化误差可以忽略不计。基准参数来自表1。尽管分辨率较低，但使用RE获得的参数并不遥远，除非另有说明，否则当前工作中列出的所有校准CPU时间都是使用Excel的Solverstarting从平均值向量获得的.此外，在以下情况下，ADI方案可能不会始终充分阻尼振荡： 太低，可能导致不稳定的收敛，从而导致重新结果。这主要是HV1计划的一个问题。适用于PDE解决方案（选项价格），如第。2.4.3.来自基准值。对于链A，它们实际上收敛到4位数（错误在第四位数的莫斯顿点处），而对于链B，它们的收敛性稍差。在这两种情况下，在不使用RE的情况下获得的参数的准确性明显较低。表4：。使用ADI格式和时间Richardson外推法对给定参数进行模型参数收敛。   利用空间理查森外推。精确（时间收敛）参数集为对于链A和    对于链条B.链条A（246个选项）链条B（68个选项）HV1MCSHV1MCSNT4060801006080103036608303660,800.0109370.0109370.0109380.0109370.0448160.0448160.0448160.0448160.0391300.0391310.0391310.0391310.0884790.0884780.0884810.0884795.39185.39145.39105.39143.67243.67263.67233.67256.90086.90096.90056.90095.03275.03285.03285.0328-0.74571-0.74569-0.74567-0.74568-0.79233-0.79233-0.79231-0.79233CPU（mm:ss）05:0709:0707:0711:2000:5201:0801:0001:20表5。

空间Richardson外推对链A模型参数收敛的影响。空间分辨率（NS×NV）=60×300.0109140.0392325.28056.8705-0.74333（NS×NV）=60×30 w RE0.0109370.0391315.39156.9009-0.74570基准0.0109350.0391395.39056.8997-0.74579表6。空间Richardson外推对链B模型参数收敛的影响。空间分辨率（NS×NV）=60×300.0448110.0886633.60645.0181-0.79212（NS×NV）=60×30 w RE0.0448150.0884793.67275.0330-0.79233Benchmark0.0448160.0885293.66955.0333-0.792064.4使用MAP属性进行更快的校准（方法II）。到目前为止，我们已经提供了校准测试，其中链中的每个选项都单独定价。这些试验证明了PDE发动机的效率；使用这种方法的校准已经停止。我们现在测试目标函数评估的方法II，即使用MAPproperty。根据表4的成功组合，我们选择HV1方案，分辨率为    在拟合参数上使用空间RE和时间RE（结合两次连续标定的结果），NT=（30,36）。正如预期的那样，表7证实了与方法I相比，速度的提高是显著的，尤其是对于最大的链A。参数精度至少是一样好的。很明显，这种方法在实践中效果很好，有效地将校准时间与包含的选项总数解耦。对于我们的任何一个数据集，需要不到一分钟的CPU时间才能达到最大值，而这种标称分辨率是由方法I中的大多数PDE解算器使用的，在方法II的情况下，所有（7或8）解算器确实使用更高的分辨率，如第节所述。

3.1.我们注意到，该代码是在较旧的CPU（4核Intel i7-9202009）上开发的，而不是用于此处报告计时的新10核i97900X CPU。开发CPU上的MAP性能增益几乎是较新CPU的两倍（6倍），最大校准时间仍在2分钟左右。获得的参数的相对（数值）误差为0.05%。我们强调，明智的S-gridconstruction（低到中等的非均匀性）是在货币频谱上保持较低的解决方案误差剖面的关键，并使这种方法起作用。正如我们在第二节中已经提到的。4.1总体定价准确度较低不仅会导致参数不准确，而且（可能更重要的是）会导致优化器收敛速度较慢。表7：。比较定价方法I（每个选项一个PDE解决方案）和方法II（每个到期一个PDE解决方案）。括号中显示了相对误差（与表1的基准参数相比）。A链（246个选项）B链（68个选项）进近IApproach II进近IApproach II0.010937(0.01%)0.010940(0.05%)0.044816(0.00%)0.044818(0.01%)0.039128(0.03%)0.039135(0.01%)0.088479(0.06%)0.088505(0.03%)5.3923(0.03%)5.3906(0.00%)3.6724(0.08%)3.6712(0.05%)6.9010(0.02%)6.8988(0.01%)5.0327(0.01%)5.0323(0.02%)-0.74569（0.01%）-0.74581（0.00%）-0.79233（0.03%）-0.79209（0.00%）CPU（mm:ss）00:03:0000:00:5500:00:5200:00:404.5更多校准结果和与赫斯顿模型的比较我们现在提供详细的校准结果，证明GARCH扩散模型能够适应期权市场，并将其与流行的赫斯顿模型进行比较。使用现有PDE引擎执行赫斯顿校准，然后使用著名的傅立叶积分表示法进行定价，通过独立校准确认产生的参数向量。

图2和图3分别说明了链A和链B中每个期权到期区间的市场适合度。首先，我们可以说，该模型确实能够在短时间内捕捉微笑行为，并实现整体上的体面匹配。（所谓“微笑行为”，我们的意思是IV曲线有一个明显的最小值）。这可以在图2中的前两个图中看到，但在图3中看不到（可以看到赫斯顿模型在这两种情况下都捕捉到了微笑）。原因是，链B中前两次到期的触发点K*（GARCH扩散模型IV曲线出现的地方）进一步位于图中最后一个市场点的右侧（大约K=1225）。总的来说，两次样本校准似乎都表明赫斯顿模型更“灵活”，能够更好地拟合总体数据。另一方面，GARCH扩散模型的拟合看起来更“僵化”。这有点令人惊讶，与Christoffersen等人的研究结果形成对比。虽然我们的双链数据集与他们的数据集相比很小，但我们怀疑调查结果的对比是由于我们的货币覆盖率较低，因为[1]中没有使用下行看跌期权。赫斯顿模式的明显胜利带来了已知的问题。获得的Feller比率非常小， , （0.12和0.29）远低于1。请注意，根据S.Heston 1993年的模型【14】，在P（物理）和Q（风险中性）模型演变下，R是相同的。根据我们的经验，赫斯顿P模型估计值（根据时间序列，使用最大似然）通常具有有一些要抱怨的警告: 对于任何一种模型，P模型参数估计都不是很容易获得的，因为潜在波动率必须是代理的或联合估计的。