连续时间资本资产的博弈定价

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英文标题：
《Game-Theoretic Capital Asset Pricing in Continuous Time》
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作者：
Vladimir Vovk and Glenn Shafer
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We derive formulas for the performance of capital assets in continuous time from an efficient market hypothesis, with no stochastic assumptions and no assumptions about the beliefs or preferences of investors. Our efficient market hypothesis says that a speculator with limited means cannot beat a particular index by a substantial factor. Our results include a formula that resembles the classical CAPM formula for the expected simple return of a security or portfolio.   This version of the article was essentially written in December 2001 but remains a working paper.
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中文摘要：
我们从有效市场假设出发，在没有随机假设和关于投资者信念或偏好的假设的情况下，推导出连续时间内资本资产绩效的公式。我们的有效市场假说认为，一个手段有限的投机者无法以实质性因素击败某一特定指数。我们的结果包括一个类似于经典CAPM公式的公式，用于计算证券或投资组合的预期简单回报。这篇文章的这一版本基本上是在2001年12月编写的，但仍然是一份工作文件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：连续时间 Quantitative Assumptions QUANTITATIV performance

博弈论资本资产定价连续时间Vladimir Vovk和Glenn Shafer博弈论概率与金融项目工作文件#2First发布于2001年12月30日。最后修订日期：2022年3月8日。项目网站：http://www.probabilityand融资。ComAbstracts我们从有效的市场假设中推导出连续时间内资本资产绩效的公式，没有随机假设，也没有关于投资者信念或偏好的假设。我们的有效市场假说认为，手段有限的投机者无法通过实质性因素击败特定指数。我们的结果包括一个类似于经典CAPM公式的公式，用于计算证券或投资组合的预期简单回报。这篇文章的这一版本基本上是在2001年12月编写的，但仍然是一份工作文件。内容1定义11.1基本资本资产定价博弈。11.2力矩符号。31.3协议。41.4 EMH对m的预测。42结果52.1资本资产定价模型。52.2理论性能缺陷。53证明6参考文献9在本文中，我们使用有效市场假设来推导资本资产在连续时间内的表现公式。我们的有效市场假说认为，手段有限的投机者无法以实质性因素击败特定市场指数m。

根据这一假设，我们得出了关于证券或投资组合s的平均回报的两个结果：os的平均简单回报将低于m的平均简单回报，其数量等于m的简单回报方差与m和s的简单回报协方差之间的差值。（见命题1中的公式。）这与经典的capitalasset定价模型一致，但经典模型与概率分布的理论中心矩相关，而我们的结果是关于非中心矩s的平均对数回报率将低于m的平均对数回报率，其数量等于简单回报率之间差异的一半。（见命题2中的公式。）这些结果仅来自有效市场假设，没有随机假设，也没有关于投资者信念或偏好的假设。我们的结果适用于连续时间，并使用非标准分析。在我们的文章[3]中，他们平行于离散时间的结果（有明确的误差界）。这篇文章详细介绍了动机和可能的应用。关于连续时间的替代治疗（更传统，不使用非标准分析），请参见[4]和[5]。1定义我们的结果取决于游戏的明确表述。在这里，我们从非正式地描述游戏开始。然后，在引入s和m返回时刻的符号后，我们正式陈述了游戏的协议，并解释了如何使用它来正式确定有效市场假说的含义。1.1基本资本资产定价博弈资本资产定价博弈有两个主要参与者，投机者和市场，他们交替博弈。

在每一轮中，投机者决定在市场上持有多少证券（可能是空头），然后市场通过决定证券价格的变化来决定投机者的收益。与市场结盟的是第三方投资者，他每天都在投资。这个游戏是一个完美的信息游戏：每个玩家都能看到其他人的动作。我们假设市场上有K+1证券，游戏中有N轮（交易期）。我们从0到K对证券进行编号，从1到N对其进行取整，并为取整N中的证券K的简单回报写xk。为简单起见，我们假设-1<xkn<∞ 对于所有k和n；证券价格永远不会变为零。我们为向量（xn，…，xKn）写xn，它位于(-1.∞)K+1。市场决定回报；这是他第n轮的动作。我们假设指数为0的第一种证券是我们的市场指数m。如果m是由其他证券组成的投资组合，那么Xn是Xn，…，的平均值，xKn，但我们不坚持这一点。我们在第n轮结束时为资本写Mn，这是因为在游戏开始时以m为单位投资一个货币单位：Mn：=nYi=1（1+xi）。因此，MN是该投资产生的最终资本。投资者从等于一个货币单位的资本开始，允许在每轮K+1证券中分配其流动资本。如果我们在第n轮结束时为他的资本写GN，则GN：=nYi=1KXk=0gki（1+xki），其中gkis是他在第i轮持有的证券k中资本的分数。gkim之和必须为1除以k，但对于特定k，gkima可能为负值（在这种情况下，投资者卖空k）。投资者的最终资本为GN。我们将所有可能序列的集合（g，x，…，gN，xN）称为游戏的样本空间，并通过Ohm:Ohm :=RK+1×(-1.∞)K+1N、 我们称之为Ohm 一个事件。

任何关于投资者回报的声明都决定了一个事件，投资者回报与市场回报的任何比较也是如此。投机者也可以从一个货币单位开始，允许他在每一轮的所有K+1证券中重新分配流动资本。我们在第n轮结束时为他的资本写Hn：Hn：=nYi=1KXk=0hki（1+xki），其中HKI是他在第i轮持有的证券k中的资本份额。投机者的行为不会记录在样本空间中；他们不定义事件。我们的结果使用非标准分析。我们假设游戏的圈数N非常大。游戏在时间0开始。每一轮需要一个非常小的时间dt，游戏在时间T结束，时间T是一个非常大的正实数：T=Ndt。【2】，§11.5中提供了对非标准分析的简要总结，对我们的目的很有用；更多详细信息请参见[1]。1.2动量表示法第n轮投资者的简单回报率用sn表示，第n轮市场指数m的简单回报率用MN表示：sn：=Gn- Gn公司-1Gn-1=Xkgknxkn，mn：=xn。对于每个游戏，我们定义以下非标准数字：us=NNXn=1sntd=TNXn=1sn（这是投资者资本的平均增长率），σs=NNXn=1sntd=TNXn=1sn（σ是投资者资本的经验波动率），um=NNXn=1mndt=TNXn=1mn，σm=NNXn=1mndt=TNXn=1mn（指数的类似数量）。我们还设置σsm=NNXn=1snmdt=TNXn=1snmn，σs-m=NNXn=1（sn- mn）dt=TNXn=1（sn- mn）和λs=NNXn=1ln（1+sn）dt=TNXn=1ln（1+sn），λm=NNXn=1ln（1+mn）dt=TNXn=1ln（1+mn）（最后两个是平均对数增长率）。

请注意，exp（λsT）是投资者资本的总相对增加额，exp（λmT）是指数值的总相对增加额；因此，λ和λ是衡量投资者和指数表现的直接指标。作为一个简单的例子，考虑这样一种情况，即投资者总是持有一股证券，其价格STI是由市场使用随机微分方程DST=udt+σdWt生成的，其中WT是布朗运动。在这种情况下，us几乎肯定接近u，σs几乎肯定接近σ。1.3协议我们现在可以精确地说明涉及投资者、市场和投机者的游戏协议：基本资本资产定价协议（基本资本定价协议）参与者：投资者、市场、投机者参数：自然数K（市场中非指数证券的数量）在有限自然数N（轮数或交易周期）中的协议：G：=1。H： =1。M： =1。对于n=1，2，N： 投资者选择gn∈ RK+1，即Pkk=0gkn=1。投机者选择hn∈ RK+1，即PKK=0hkn=1。市场选择xn∈ (-1.∞)K+1。Gn：=Gn-1PKk=0gkn（1+xkn）。Hn：=Hn-1PKk=0hkn（1+xkn）。Mn：=Mn-1（1+xn）。限制：要求市场和投资者将σ和σ定义为最小值，并将maxn | sn |和maxn | mn |定义为最小值。maxn | sn |和maxn | mn |处于极小值的条件是一个连续性条件，但由于T是有限的，因此有一个轻微的复杂性：如果T与1/dt相比非常大，那么最大的增量可能变得不可忽略。然而，这将是一种极端情况：例如，对于通常的扩散过程，条件≤（dt）-1/2足以使最大增量可以忽略不计。1.4 EMH对mWe的预测现在采用了有效的市场假设：相对于m指数，市场不会允许投机者变得非常富有。

直觉上，这有时意味着某个事件将发生。为了将这种直觉形式化，让我们假设，如果投机者在基本CAP协议中有策略S，则m的有效市场假设预测A在α>0的水平，以确保以下各项：≥ 0对于n=1，N和（1）HN之一≥αMNor（2）（g，x，…，gN，xN）∈ A、 （可以很方便地说，这样的策略证明了有效市场假说预测的是α级。）为简洁起见，我们将“有效市场假说m”缩写为“有效市场假说m”。读者可能已经注意到，“m的有效市场假说”不是我们的数学概念；我们没有给它一个准确的定义。然而，我们对“m的有效市场假说预测α>0水平的a”这一短语提供了精确的定义。我们相信投机者不会以α击败市场，这一点对于较小的α更为重要。因此，随着α的降低，α水平的预测变得更加重要。当EMH形式预测α>0时，最重要的预测出现在极限。在这种情况下，我们简单地说，EMHfor m预测A.2结果§3.2.1资本资产定价模型命题1将提供本节命题的证明。对于任何 > 0，m的EMH预测us- um+σm- σsm< （1+σs-m） 。如果先验地知道σs-对于某些正常数C，m<C，然后对于每个 > 0，m的EMH预测us- um+σm- σsm< .这类似于已建立理论的资本资产定价模型（CAPM）。值得注意的是，我们得到的结果没有该理论的有力假设。我们对投资者的信念或偏好不作任何假设，也不认为市场随机选择其价格。2.2理论性能缺陷下一个命题称为σs-m/2“理论绩效系数”。提案2。

对于任何 > 0，m的EMH预测λs- λm+σs-m级< （1+σs-m） 。如果先验地知道σs-对于某些正常数C，则对于 > 0 m的EMH预测λs- λm+σs-m级< .这一结果表明，差异向量的方差分析（s- m、 ，序号- mN）可以深入了解投资组合的绩效。3命题1的证明。当x>-1，我们可以用余数展开泰勒级数中的ln（1+x）：ln（1+x）=x-x+x（1+θx），（1）其中θ取决于x，满足0≤ θ ≤ 1、自γ（x）起≤x（1+θx）≤ Γ（x），其中函数γ和Γ由γ（x）定义：=x1+x, Γ（x）：=x，我们可以看到（1）意味着ln（1+x）≤ x个-x+Γ（x）和ln（1+x）≥ x个-x+γ（x）。注意，函数Γ和γ是单调递增的。在某些情况下，我们将使用恒等式σs-m=σs+σm- σsm。现在，我们准备开始证明这一主张。首先，我们将其分为两部分：我们将分别证明m的EMH预测us- um+σm- σsm<（1+σs-m） （2）m的EMH预测us- um+σm- σsm>-（1+σs-m） 。（3） 事实上，如果投机者有一个策略可以证明m的有效市场假说预测（2）处于α/2水平，而有一个策略可以证明m的有效市场假说预测（3）处于α/2水平，这些策略的组合（即，将其资金平均分为两个账户，并让第一个账户根据第一个策略进行管理，第二个账户根据第二个策略进行管理）证明，m的EMH预测（2）和（3）在α级的结合。（该论点本质上是不等式（A）的隐含应用∩ （B）≥ P（A）+P（B）- 1根据第186页第8.10.3号提案中的[2]。）首先我们证明（2）。在不丧失一般性的情况下，假设0< < 1.

对于任何α>0，投机者都有一个微不足道的策略，证明m predictsNYn的EMH=1（1+sn+（1- )mn）<αNYn=1（1+mn）（4）在α级：在每一轮中，他投资 其在s（投资者投资组合）和1中的资本-  但我们可以重写（4）asNXn=1ln（1+sn+（1- )mn）- ln（1+mn）< lnα。这意味着nxn=1sn+（1- )明尼苏达州-序号-(1 - )明尼苏达州- (1 - )snmn+γ(sn+（1- )mn）- 锰+锰- Γ（mn）< lnαorNXn=1序号- 锰+锰- snmn公司-锡+锰- 2snmn+ γ（sn∧ mn）- Γ（mn）< lnα或us- um+σm- σsm-σs+σm- 2σsm<TNXn=1 |γ（sn）|+TNXn=1 |γ（mn）|+TNXn=1Γ（mn）+Tlnα或us- um+σm- σsm<σs-m+3σsmaxn | sn | 1+sn |+3σmmaxn | mn | 1+mn |+3σmmaxn | mn |+Tlnα。这就完成了（2）的证明，因为maxn | sn |和maxn | mn |是有限的，而T是有限的。现在我们证明（3）。在不丧失一般性的情况下，假设 < 1/3. 考虑一下需要投资的投机者的错误策略- 在s和investing1+ 每一轮都以m为单位。使用不等式mn≥ -1/2和SN≤ 1（记住maxn | mn |和maxn | sn |是极小值），我们可以看到此策略在第n轮的回报是-锡+（1+)明尼苏达州≥ - + (1 + )-> -1因此，投机者不会面临破产风险。它证明了EMHfor m predictsNYn=1（1- 锡+（1+)mn）<αNYn=1（1+mn）（5），并且（5）可以通过 替换为-) 如下所示：NXn=1ln（1- 锡+（1+)mn）- ln（1+mn）< lnα；NXn=1-锡+（1+)明尼苏达州-序号-(1 + )锰+(1 + )snmnγ(-锡+（1+)mn）- 锰+锰- Γ（mn）< lnα；NXn=1-序号- 锰+锰- snmn公司-锡+锰- 2snmn+γ（mn∧ （200万- 序号））- Γ（mn）< lnα；-us- um+σm- σsm-σs-m<TNXn=1 |γ（mn）|+TNXn=1 |γ（2mn- sn）|+TNXn=1Γ（mn）+Tlnα；us- um+σm- σsm>-σs-m级-3.σmmaxn | mn | 1+mn|-3.σ2m-smaxn | 2mn- 序号| | 1+2mn- 序号|-3.σmmaxn | mn|-Tlnα（我们使用了明显的符号σ2m-s） 。这证明了（3）。命题2的证明。

我们可以从上面将不等式的左侧约束在Proposition 2中，如下所示：λs- λm+σs-m级≤us-σs+TNXn=1Γ（sn）！-um-σm+TNXn=1γ（mn）+σs+σm- σsm≤ us- um+σm- σsm+TNXn=1Γ（sn）+TNXn=1 |γ（mn）|；结合命题1，我们可以看到m的EMH预测λs- λm+σs-m<（1+σs-m） ，对于任何 > 同样地，我们可以从下面的λs来限制命题2中不等式的左侧- λm+σs-m级≥us-σs+TNXn=1γ（sn）！-um-σm+TNXn=1Γ（mn）+σs+σm- σsm≥ us- um+σm- σsm-TNXn=1 |γ（sn）|-TNXn=1Γ（mn）；结合命题1，我们可以看到m的EMH预测λs- λm+σs-m>-（1+σs-m） ，对于任何 > 0。这就完成了证明。参考文献【1】罗伯特·戈德布拉特。超现实讲座：非标准分析导论。斯普林格，纽约，1998年。[2] 格伦·沙弗和弗拉基米尔·沃夫。概率与金融：这只是一个玩笑！威利，纽约，2001年。[3] 弗拉基米尔·沃夫和格伦·沙弗。博弈论资本资产定价模型。博弈论概率与金融项目，http://probabilityandfinance.com，工作文件1，2001年11月。期刊版本：国际近似推理杂志，49:175–1972008。[4] 弗拉基米尔·沃夫和格伦·沙弗。股票溢价和资本资产定价模型的无概率连续时间解释。博弈论概率与金融项目，http://probabilityandfinance.com，工作文件442016年7月（2016年6月首次发布）。[5] 弗拉基米尔·沃夫和格伦·沙弗。连续鞅的无概率理论基础。博弈论概率与金融项目，http://probabilityandfinance.com，工作文件452017年3月（2016年7月发布）。