不同融资成本、违约和

我们将经常使用s horthand符号Ert[·]表示条件期望EQr（·| Gt）。最后，对于任何实数x，我们写x=x+- x个-其中x+：=x∨ 0和x-:= (-x）∨ 0、融资成本、违约和抵押下的估值52.1承诺现金流的估值流程A代表合同的所有承诺现金流，让∏（t，s，A）代表t和s>t之间合同的所有支付，在t时使用无风险利率r∏（t，s，A）：=Z（t，s）Dr（t，u），其中Dr（t，s）：=Brt（Brs）-1=e-Rstrudu。对于无抵押违约合同（A，τ），我们的风险中性估值是指等式πrt（A，τ）：=EQr∏（t，bτ，eA）| Gt= Ert公司π（t，bτ，eA）（2.2）其中我们设置：=1{t<τ}At+1{t≥τ}Aτ-因此，EA给出了A的现金流，该现金流在第一次违约之前或到期日T（如果第一次违约发生在T之后）停止。请注意，πrt（A，τ）只是在违约零收益假设下，即在零收尾支付的情况下，传统的风险中性价格，没有抵押和差别融资成本。Henceit不应与风险中性价格πrt（A）：=合同“同等”无违约版本的Ert[π（t，t，A）]相混淆。2.2抵押成本对pric e的第二个贡献是由于抵押程序的影响，在从业者中也被称为“抵押”。根据合同信用支持附件（CSA）的规定，让Ct表示时间t时抵押品账户的级别，让γ（t，s，C）表示时间t和s之间的总抵押品保证金成本。按照惯例，Ct>0表示交易对手已将共同保证金全部过账给交易人，交易者必须支付相关金额的即时利息。

如果Ct<0，则交易员向交易对手提供抵押品，并按利息clt支付报酬。因此，保证金程序产生的贴现净现金流由γ（t，s，C）=ZstDr（t，u）Cu（ru）给出- 其中有效抵押品应计利率c由“ct”给出：=cbt{ct>0}+clt{ct<0}。请注意，如果共同利率Cb和clare均等于无风险利率r，则现金流γ（t、s、C）消失。通过将保证金成本加在be（2.2）给出的价格πrt（A，τ）上，我们得到了可抵押违约合同（A，C，τ）πrt（A，C，τ）的风险中性价格：=Ertπ（t，bτ，eA）+γ（t，bτ，C）= πrt（A，τ）+LVAt（2.3），其中LVAt：=Ert[γ（t，bτ，C）]称为抵押品流动性估值调整。2.3平仓现金流作为第三种贡献，我们考虑在第一次违约时交易人的现金流。交易对手风险合同的关键财务因素之一是cr编辑支持附件（CSA）结算支付效应，如果至少一方在合同到期前或到期时违约，就会发生这种效应。确定事件{τ}的CSA结算支付θτ≤ T}，我们首先定义随机变量Υ=Qτ- Cτ-其中Q是合同的CSA收尾估价过程，包括增量Aτ=Aτ- Aτ-表示τ和Cτ的承诺子弹红利（可能为空）-是第一次违约时抵押品流程C的价值。请注意，由于保证金a c计数在第一次违约时未更新，因此其形式为ECT=1{t<τ}Ct+1{t≥τ}Cτ-所以eCτ=eCτ-.6 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski在财务解释中，Υ+是交易对手在时间τ欠交易员的金额，而Υ-是交易者在时间τ欠对方的金额。

它说明了合同的法律价值Qτ，加上子弹红利在时间τ接收/支付的τ，减去共同金额Cτ-因为它已经由任一交易者持有（如果Cτ-> 0）或交易对手（如果Cτ-< 0). 我们请读者参阅Cr'epey等人【23】中的第3.1.3节，了解有关Υ的财务解释的更多详情。以下定义从交易员的角度描述了结算支付。随机变量Rian和RC取[0，1]中的值，分别代表交易对手和交易对手的回收率。实际上，结算现金流θτ（Q，C）可通过以下ISDA文件计算。按照惯例，我们定义现金流量θτ（Q，C），包括结算净额结算规则使用的抵押账户的违约前值，以减少信贷支持附件规定的结算估值过程Q所代表的风险。在这里，我们假设抵押品账户可以被抵押，有关抵押品化如何影响收尾规格的讨论，请参见【11】。定义2.1。CSA结算支付fθτ（Q，C）：=Rτ+Cτ-关于事件{τ≤ T}其中，恢复付款Rτ由以下表达式Rτ给出：=1{τC<τI}（RCΥ+- Υ-) + 1{τI<τC}（Υ+- RIΥ-) + 1{τI=τC}（RCΥ）+- RIΥ-). （2.4）让我们评论一下收尾付款的形式θτ（Q，C）。术语Cτ-反映出抵押物金额的法定所有权仅在第一次违约时生效。

（2.4）中右侧的三个术语对应于CSA惯例，即从交易的角度来看，原则上，第一次违约时的净名义现金流应与合同的收尾估值Qτ一致。为了识别由交易对手信用风险引起的各种估值调整，可以方便地表示违约净收益，如下所示θτ（Q，C）=Qτ+1{τI<τC}LIΥ-- 1{τC<τI}LCΥ++1{τI=τC}（LIΥ-- LCΥ+，其中LC=1-RC（分别，LI=1-RI）是交易对手（分别是交易员）违约系数下的损失。显然，违约系数等于1（分别为零）的损失对应于零（分别为完全）恢复系数的情况。当LC=LI=0时，我们得到θτ（Q，C）=Qτ，因此我们在这里处理的确实是合同CSA收尾价值的完全恢复。然而，由于抵押品的存在，在违约总损失的情况下，即当LC=LI=0时，CSA对银行的平仓付款等于θτ（Q，C）=1{τC<τI}Qτ{Qτ<Cτ-}+ Cτ-{Qτ≥Cτ-}+ 1{τI<τC}Qτ{Qτ≥Cτ-}+ Cτ-{Qτ<Cτ-}+ 1{τC=τI}Cτ-因此，在某些情况下，交易者或交易对手的CSA结清价值可能仍会完全恢复。为简单起见，我们将从此假设，在Qr下，e出口{τC=τI}可以忽略不计，因此θτ（Q，C）=Qτ+1{τ=τI}LIΥ-- 1{τ=τC}LCΥ+（2.5）或等效的θτ（Q，C）：=Qτ+1{τ=τI}∏DVA- 1{τ=τC}∏CVA（2.6），其中我们表示∏DVA=LI（Qτ- Cτ-)-= 李Υ-和∏CVA=LC（Qτ- Cτ-)+= LCΥ+。在考虑违约现金流后，我们得到了可违约抵押合同的风险中性价格（A，C，R）πrt（A，C，R，τ）：=Ertπ（t，bτ，eA）+γ（t，bτ，C）+θ（t，τ，Q，C）（2.7）融资成本、违约和担保下的估值，其中θ（t，τ，Q，C）：=1{τ≤T}Dr（T，τ）θτ（Q，C）。

按照惯例，我们定义借方估值调整DVAtDVAt=Ert{τ=τI≤T}Dr（T，τ）LI（Qτ- Cτ-)-信用估值调整CVAtbyCVAt=Ert{τ=τC≤T}Dr（T，τ）LC（Qτ- Cτ-)+.然后，可回收RCA的可抵押违约合同（A、C、r、τ）的风险中性价格可以表示为πrt（A、C、r、τ）=πrt（A、τ）+LVAt+Ert{τ ≤T}Qτ+ DVAt公司- CVAt。（2.8）为了进一步进行，我们需要指定收尾估价过程Q。例如，在无风险收尾下，我们有Qτ：=Erτ[π（τ，T）]，而如果假设替换收尾，则当πrt（A，C，r，τ）的值由（2.7）给出时，我们设置Qτ：=πrτ（A，C，r，τ）。请注意，在后一种情况下，我们获得了合同风险的非线性递推方程——净价格（更多详情请参见Brigoand Morini【17】或Durand and Rutkowski【26）】。2.4融资成本和B ene在这一步骤中，我们重点关注对冲策略的融资成本，并通过采用Pallavicini等人提出的程序来增加相关现金流量。让Ft成为交易复制的现金账户，让Ht代表交易员在风险资产s中的头寸价值。我们按照回购交易惯例工作，这意味着风险资产s使用现金账户FSt和等式FSt=-Htholds每t∈ [0，T]。通过将现金账户解释为此类资产的抵押品账户，可以以相同的方式处理抵押风险资产的情况。我们用φf，h（t，s）=φf（t，s）+φh（t，s）表示t和s之间的贴现增量融资成本。

如果我们取消了交易者不能以无风险利率借入现金的默认假设，我们将获得以下现金流，即现金账户的成本/结转收益φf（t，s）：=ZstDr（t，u）Fu（(R)Fu- ru）duand，回购交易的结转成本/收益Дh（t，s）：=ZstDr（t，u）FSu（(R)hu- ru）du其中有效融资利率'f等于'ft：=flt{ft≥0}+fbt{Ft<0}，有效回购利率'h由'ht：=hlt{FSt'给出≥0}+hbt{FSt<0}。如果我们明确地将现金的借贷与国库区分开来，那么我们就得到了Дf（t，s）=ZstDr（t，u）F+u（流感- ru）- F-u（fbu- ru）du=Дfl（t，s）- ^1fb（t，s）。如果交易者以无风险利率借贷，使得'f=r，则'f（t，s）消失。类似的分析适用于项Дh（t，s），因此我们得到以下分解Дh（t，s）=ZstDr（t，u）（FSu）+（hlu- ru）- （FSu）-（hbu- ru）du=Дhl（t，s）- ^1hb（t，s）。担保违约合同（A、C、R）的风险中性价格，包括融资成本，由πR、f、ht（A、C、R、τ）给出：=Ertπ（t，bτ，eA）+γ（t，bτ，C）+θ（t，τ，Q，C）+Дf，h（t，bτ）= πrt（A，τ）+LVAt+Ert{τ ≤T}Qτ+ DVAt公司- CVAt+FVAt（2.9）8 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski，其中术语FVAt：=Ert[Дf，h（t，bτ）]表示资金估值调整。当fb≥佛罗里达州≥ r和hb≥ hl公司≥ r、 融资收益调整等于toFBAft=Ert^1fl（t，s）, FBAht=Ert[Иhl（t，s）]，资金成本调整由FCAFT=Ert给出^1fb（t，s）, FCAht=Ert[Дhb（t，s）]。显然，我们有FVAt=FBAft+FBAht-（FC Aft+FCAht）。本行资产负债表的融资政策由对冲账户结转的成本（fb）和收益（fl）的融资利率决定，这两者都取决于本行的融资政策。2.5不变性为了简洁起见，我们有时会写出πr，f，ht，而不是πr，f，ht（A，C，r，τ），由（2.9）给出。

令人困惑的是，价格πr，f，Ht通过发现因子Dr（t，s）和Qr下风险资产的无风险利率动力学（2.1）的存在，表现出对不可测无风险利率r的显著依赖性。正如Pallavicini等人[34]所述，我们将通过推导无风险利率不会出现在所有价格中的等价重新表示来证明这种依赖性是虚幻的。这意味着合同价格事实上与无风险利率rt的规格有关。在命题2.1中，我们将证明不变性属性在本节研究的设置范围内有效。在第3节中，我们将使用不同的论点证明，这一关键特征在一般半鞅框架中也是有效的。回想一下，过滤F是由布朗运动Wr生成的。为了第2.5节的目的，我们假设默认时间τCandτiar是F条件独立的，并且分别具有F危险率λCandλI。然后是所谓的F和G之间的浸入性在Qr下。此外，如果过程A是F适应的，那么通过信用风险计算，我们可以获得以下等式，即对于每个t∈ [0，T]，πr，f，ht=ErZTtDr+λ（t，u）（ru）- \'cu）cu+（\'fu- ru）Fu+（(R)hu- ru）FSu+λuθudu+dAu英尺式中，λt：=λCt+λ是第一次违约的haza rd比率，对于所有t≤ s、 Dr+λ（t，s）：=e-Rst（ru+λu）du=Br+λt（Br+λs）-让Qhbe作为(Ohm, GT）使过程的动力学在QharedSt=St下(R)htdt+σdWht其中，在Qh下是布朗运动（符号Q’hw应该更合适，但也太麻烦）。从吉尔-萨诺夫定理可知，dWht=dWrt- σ-1（(R)ht- rt）dt。Weset，尽管如此≤ s、 D'f+λ（t，s）：=e-Rst（\'fu+λu）du=B'f+λt（B'f+λs）-1、提案2.1。

假设πt=v（St，t），其中v∈ C2,1（R+×[0，T]，R）。那么等式πr，f，ht（A，C，r，τ）=πf，ht（A，C，r，τ）对于每个t∈ [0，T]式中πf，ht（A，C，R，τ）：=EhZTtD'f+λ（t，u）（(R)fu- \'cu）cu+λuθudu+dAu英尺（2.10）因此∈ [0，T]，πf，ht（A，C，R，τ）=Ehtπ′f（t，bτ，eA）+γ′f（t，bτ，C）+θ′f（t，τ，Q，C）（2.11）融资成本、违约和抵押9下的估值，其中条件期望Eht[·]：=EQh[·| Gt]在Qhand下计算，其中我们表示∏f（t，bτ，eA）：=Z（t，bτ）D'f（t，u）deAu，γ'f（t，bτ，C）：=ZbτtD'f（t，u）Cu（'fu- \'cu）du，θ\'f（t，τ，Q，C）：=1{τ≤T}D'f（T，τ）θτ（Q，C）。证据我们可以通过写出πt=πr，f，ht来进一步简化符号。让VPT作为复制投资组合在时间t的价值（有关资金不足成本下的自我融资条件和抵押下的复制概念的更多详细信息，请参见第3节）。那么我们有Vpt=Ftand-πt=Vpt- Ct=英尺- 其中减号表示我们在这里考虑交易者愿意为合同“支付”的价格。因此，对于每t∈ [0，T]，πT=ErZTtDr+λ（t，u）（(R)fu- ？cu）cu+（ru-\'fu）πu+（\'hu- ru）FSu+λuθudu+dAu英尺.观察过程eπt：=πt（Br+λt）-1统计πt=ErZT公司（(R)fu- (R)cu）eCu+（ru-\'fu）eπu+（\'hu- ru）eFSu+λueθudu+（Br+λu）-1道英尺-Zt公司（(R)fu- (R)cu）eCu+（ru-\'fu）eπu+（\'hu- ru）eFSu+λueθudu+（Br+λu）-1道式中：=Ct（Br+λt）-1和θt：=θt（Br+λt）-1.

在πt=v（St，t）的假设下，利用Ite^o公式，我们得到了Qrdeπt下=（(R)ct-英尺）eCt+（英尺）- rt）eπt+（rt-(R)ht）eFSt+λueθtdt公司- （Br+λt）-1dAt+（Br+λt）-1.vs（St，t）StσdWrt。再次使用It^o公式，我们推导出过程bπt：=（b'f+λt）-1πt=eπtBrt（B'ft）-1统计数据库πt：=（rt-英尺）bπt+快速公交（b英尺）-1deπtand thusdbπt=（(R)ct-英尺）bCt+（\'ht- rt）bFSt+λtbθtdt公司- （B'f+λt）-1dAt+（B'f+λt）-1.vs（St，t）Stσdwrt其中bct：=Ct（B'f+λt）-1和Bθt：=θt（B'f+λt）-这也意味着πt=ErZTtD'f+λ（t，u）（(R)fu- ？cu）cu+（ru-(R)hu）FSu+λuθudu+dAu英尺.为了从上述公式中消除FST，我们观察到套期保值比率满足率=Stvs（St，t）=-FSt。因此，由于dWht=dWrt- σ-1（(R)ht- rt）dt，我们看到过程bπt在Qhdbπt下=（(R)ct-\'ft）bCt+λtbθtdt公司- （B'f+λt）-1dAt+（B'f+λt）-1.vs（St，t）StσdWht。10 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和RutkowskiNote认为F和G之间的浸没性在Qh下仍保持不变。因此，我们得出结论，在事件{t<τ}上，每t∈ [0，T]πT=EhZTtD'f+λ（t，u）（(R)fu- \'cu）cu+λuθudu+dAu英尺=: πf，ht（A，C，R，τ）。最后，很容易看出等式（2.11）也是有效的。命题2.1将在第3节中推广到一般半鞅测度（见推论3.1）。然而，请注意，第2节和第3节中交易者价格的约定有很大不同。更具体地说，如果p代表合同的初始价格，那么交易者的运动组合的初始值等于-p+Cin第2节，而它等于p+Cin第3节。回想一下，EH是一个概率度量下的期望值，其中基础资产的回报率为h。

由于“h”取决于h（因此也取决于πf，h），定价度量取决于我们正在计算的价格的未来值，这意味着定价度量肯定取决于交易。2.6信贷和融资估值调整下一个引理给出了价格πf的正式表示，作为由估值调整补充的等价非违约合同的风险中性价格。让我们开始吧Aτ=Aτ- Aτ-.引理2.1。假设无风险收尾估值Qτ=Aτ+Erτ[π（τ，T，A）]=Aτ+πrτ（A），其中πrt（A）：=Ert[π（t，t，A）]是同等非违约版本合同的风险中性价格。然后πf，ht（A，C，R，τ）=πrt（A）+LVAt+DVAt- CVAt+FVAt。证据该断言是（2.3）、（2.6）和（2.9）的简单结果。回想一下πf，ht（A，C，R，τ）=Ertπ（t，bτ，eA）+γ（t，bτ，C）+θ（t，τ，Q，C）+Дf，h（t，bτ）.因此，在引理2.1的上下文中出现了以下问题：我们能解释条件期望Ert吗π（t，bτ，eA）+θ（t，τ，Q，C）asπrt（A）+DVAt- CVAtand，单独地，条件NalExpection Ert[γ（t，bτ，C）+Дf，h（t，bτ）]为LVAt+FVAt？不完全是这样，因为实际上我们在这里处理的是一个非线性方程，例如，其中的当前值φf，h（t，bτ）取决于f和h o f f的未来值FSsfor s≥ t、 因此，它取决于πf，ht的未来值。事实上，所有条款都是相互补充的，风险之间没有明确的区分。因此，我们将通过非线性BSDE分析第3部分的定价。2.7外部资金调整在第2.7节中，我们通过将外部贷款人/借款人也包括在内，扩展了银行的简单模型。我们用ψ表示银行与外部贷款人的现金流/b或交易服务权，包括外部实体或银行违约时的结算。