不同融资成本、违约和

此外，为了强调默认时间不是模d，我们用F=（Ft）t表示过滤∈[0，T]。根据定义3.5和备注3.1，通过融资交易策略^1复制担保合同（a，C）意味着VT（Д，AC）=VpT（Д，AC）- CT=0。定义3.6。对于担保合约（A，C），交易员的除息价格π（AC）为g，对于所有∈ [0，T]，πT（A，C）=Vt（Д，AC）=Vpt（Д，AC）- Ctwhere^1是一种自我融资的交易策略，复制（a，C）。假设合约（a，C）可以复制，其初始交易者价格p=π（a，C）。在下一个结果中，我们得到了∈ [0，T]，Vpt（ν，AC）=Ft+mXi=d+1hit，因为我们在方程（3.1）中设置了κ=κ=0。对于具体性，我们假设At=1{t=t}X表示所有t∈ [0，T]。引理3.1。假设债券D不敢交易，且At=1{t=t}X，其中X是一个平方可积FT可测随机变量。然后，自我融资条件（3.6）产生交易者财富过程的以下动态V（Д，AC）dVt（Д，AC）=ftVt（Д，AC）-mXi=d+1命中dt+dXi=1ξit（dSit- hitSitdt）+mXi=d+1ξitdSit+dbCt（3.12），其中过程bc由bct=Zt（clu）给出- fu）C-udu-Zt（cbu- fu）C+udu=Zt（fu- (R)cu）Cudu。（3.13）证明。等式（3.12）来自（3.4）、（3.6）和等式V（Д，AC）=Vp（Д，AC）- C从（3.12）中，很容易得出交易员价格过程πt（X，C）=yt和对冲比率ξt=Zt的以下线性BSDE，对于每个t∈ [0，T），dYt=ftYt公司-dXi=1hitZitSit-mXi=d+1英尺- (R)ct）ctdt+mXi=1ZitdSit（3.14），终端条件YT=-十、 观察c组分ψf，ψ。

，ψdof自我融资交易策略Д，其复制（a，C），也可根据回购条件ξitSit=-ψitBitand方程（3.1）。在温和的技术假设下，已知线性BSDE（3.14）的唯一解存在于一个适当的随机过程空间中，并且它由一个明确的公式给出，当然，前提是Siare的动力学是有效的。对于insta nc e，如果风险资产的价格S，S，Smaregoverned bydSit=Situitdt+σitdWt其中，W=（W，W，…，Wm）是相对于其自然滤波F的m维布朗运动（可能具有相关分量），然后（3.14）成为经典的线性BSDE（例如，见El Ka roui等人【27】或El Karoui和Quenez【28】）=ftYt+dXi=1（uit- hit）ZitSit+mXi=d+1（uit- ft）ZitSit+（ft- (R)ct）ctdt+mXi=1ZitσitdWt（3.15）融资成本、违约和抵押17下的估值，因此已知在温和的技术假设下存在解决方案Y的明确表达式。在第3.2.2节中，我们将根据概率度量e表示为Qf，h，fπt（X，C）=BftEQf，h，f的条件期望，推导出除息pric eπ（X，C）的以下概率表示- （BfT）-1X+ZTt（(R)cu- fu）Cu（Bfu）-1件英尺. （3.16）由于Y=π（X，C）是（3.15）的解，因此也可以通过应用Girsanov定理和产生线性BSDE的明确解的著名公式来获得所要求的表示（3.16）。然而，我们的一般方法将不依赖于BSDE的显式解，而是依赖于第3.2.1节中开发的抽象鞅参数。为了说明（3.16）的财务后果，我们假设，例如，X≤ 0因此，很自然地假设抵押品将始终由交易者抵押，并且thusCt=-C-t型≤ 每t为0∈ [0，T]。

那么πt（X，C）=BftEQf，h，f- （BfT）-1台-ZTt（clu- fu）C-u（Bfu）-1件英尺因此πt（X，C）≥ πt（X，0）假设clt- 英尺≤ 每t为0∈ [0，T]其中πT（X，0）是未抵押版本合同的交易方除息价格。这一结论与交易者借入现金金额C是不利的这一事实是一致的-≥ 0，并以较低的利率cl向交易对手“借贷”该金额，以换取报酬≤ f、 为了具体起见，让我们检查资产集S=S上的看涨期权的估值。如果交易员卖出看涨期权，那么X=-（ST- K） +因此BSDE（3.14）readsYT的终端条件=-X=（ST- K） +。当然，这与作者复制通话付费的通常概念是一致的。如果交易员在时间0买入看涨期权，则终端条件变为YT=-X=-（ST- K） +=-X自其各自等式的最终付款X=（ST- K） +因此，为了对冲风险敞口，他需要复制收益-（ST- K） +。注意，抵押品Ct=-（Ct）-将在时间t由编写看涨期权的交易员进行抵押，但如果他购买看涨期权，则会收到对方，这意味着在后一种情况下，Ct=（Ct）+。因此，如果cl6=Cb，即使我们假设Ct=-Ctfor所有t∈ [0，T]（胶原化的自然对称性），我们得到了不等式πT（X，C）6=-πt(-十、-C） =-πt（X，C）。相反，等式πt（X，C）=-πt(-十、-C） =-当cl=cb=C时，即使C 6=f，πt（X，C）也是有效的。这说明了一般性质，即在线性设置中，只要cl=cb=c，并且在抵押品对称的情况下，买卖交易的价格是相等的。

形式上，如果cl=cb=c，那么πt（A，c）=-πt(-A.-C） 对于allt∈ [0，T]对于过程A和C.3.2.1的任意规范，辅助引理导出概率表示的一般版本（3.16），我们首先引入以下符号Bζjt：=expZtζ聚都, Bγit：=经验值Ztγiudu, Bνit：=经验值Ztνiudu其中ζj，γi和νi是任意G-适应可积过程。然后过程Dj（t，t）=（Bζjt）-1Dj（t，t），j=1，2满足Dj（t，t）=（Bζjt）-1（dDj（t，t）- ζjtDj（t，t）dt）。18 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski然后，对于根据回购协议交易的风险资产，我们可以定义过程‘Si=（Bγi）-1Si，i=1，2，d、 这样我们就可以写‘Sit=（Bγit）-1（dSit- γitSitdt），i=1，2，d、 同样，对于直接在市场上交易的风险资产，我们可以定义“Si=（Bνi）”-1Si，i=d+1，d+2，m、 所以我们得到d'Sit=（Bνit）-1（dSit- νitSitdt），i=d+1，d+2，m、 定义3.7。设（ζ，γ，ν）=（ζ，ζ，γ，γ，…，γd，νd+1，νd+2，…，νm）是一个（m+2）维、G适应的可积过程。然后我们用Qζ，γ，ν表示(Ohm, GT）使过程“Dj（t，t），j=1，2和”Si，i=1，2，m是Qζ，γ，ν–局部鞅。概率测度Qζ、γ、ν的存在在先验中并不明显，但在现有文献中遇到的大多数市场模型中都可以建立概率测度Qζ、γ、ν。出于一般性考虑，我们将自此假设这样一个概率度量是定义良好的。然后，从定义3.7可以看出，过程dj（t，t）-ZtζjuDj（u，T）du，Sit-ZtγiuSiudu，Sit-ZtνiuSiuduare（Qζ，γ，ν，G）–本地martinga les。换言之，Qζ，γ，ν是价格dj（t，t）的局部鞅测度，由Bζj贴现，价格与过程Bγifor i=1，2，d和价格与过程BνIf=d+1，d+2。

，m。对于一个随机G适应的可积过程η，我们通过设置∈ [0，T]，BηT：=expZtηudu.以下引理支持了支持婴儿主义的方法，即根据资金成本对合同进行估价。引理3.2。假设Vpt（Д，eAC）是自融资交易策略的价值过程，在定义3.2的意义上，因此（3.6）适用于∈ [0，T]，AC=eAC。设η为任意适应的可积过程，过程Vη（Д，eAC）由Vηt（Д，eAC）给出：=Vpt（Д，eAC）+BηtZtαuFu（Bηu）-1du+Xj=1BηtZtδjuDju（Bηu）-1du（3.17）+dXi=1BηtZtβiuHiu（Bηu）-1du+dXi=d+1BηtZtθiuHiu（Bηu）-1件- BηtZ（0，t）（Bηu）-1每个。如果每t保持以下等式∈ [0，T]αT=ηT- ft，δjt=ηt- ζjt，βit=ηt- γit，θit=ηt- νit，（3.18）然后过程Vη（ν，eAC）：=（Bη）-1Vη（ν，eAC）是（Qζ，γ，ν，G）-局部鞅。证据让我们表示Vη=Vη（Д，eAC）和Vp=Vp（Д，eAC）。从方程（3.17）中，我们得到了dVηt=dVT+αtFtdt+Xj=1δjtdjdtt+dXi=1βitHitdt+（Vηt- Vpt）ηtdt- 死亡。融资成本、违约和抵押下的估价19由于Vpt=Ft+Pj=1Djt+Pmi=d+1Hit，我们获得了dVηt- ηtVηtdt=ftFtdt+Xj=1κjtdDj（t，t）+dXi=1ξit（dSit- hitSitdt）+mXi=d+1ξitdSit+αtFtdt+Xj=1δjtdjttdt+dXi=1βitHitdt+mXi=d+1θitHitdt- ηtVptdt=（αt+ft- ηt）Ftdt+Xj=1（δjt+ζjt- ηt）Djtdt+Xj=1κjt（dDj（t，t）- ζjtDj（t，t）dt）+dXi=1（βit+γit- ηt）Hitdt+dXi=1ξit（dSit- γitSitdt）+mXi=d+1（θit+νit- ηt）Hitdt+mXi=d+1ξit（dSit- νitSitdt）。自d？Vηt=（Bηt）-1（dVηt- ηtVηtdt），现在很清楚，如果过程sα、δ、β和θ满足（3.18），那么过程Vη=（Bη）-1Vη是a（Qζ，γ，ν，G）-局部鞅。3.2.2线性概率估值公式我们能够证明本节中的主要结果，该结果给出了基因ral概率估值公式。我们强调，过程η、ζ、ζ、γifor i=1、2、。

，d和νifor i=d+1，d+2，m分别与价值过程和除息价格的概率表示（3.20）和（3.21）的推导无关。让我们表示，对于所有t∈ [0，T]，eAt=1{T<τ}At+1{T≥τ}Aτ-,eCt=1{t<τ}Ct+1{t≥τ}Cτ-. （3.19）还记得，保证金账户的有效抵押品应计利率c由（3.5）给出。定理3.1。假设可违约抵押合同（A、C、R、τ）可以通过交易策略^1复制。如果相关过程Vη（Д，eAC）=（Bη）-1Vη（ν，eAC），其中Vη（ν，eAC）由（3.17）给出，是真（Qζ，γ，ν，G）-鞅，那么值过程Vpt（ν，AC，R）等于，对于每个t∈ [0，T]，Vpt（ν，AC，R）=BηtEQζ，γ，ν-Z（t，bτ）（bηu）-1deACu+CT（BηT）-1{τ>T}- Rτ（Bητ）-1{τ ≤T}燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νZbτt（ηu- fu）fu（Bηu）-1du+Xj=1Zbτt（ηu- ζju）Dju（Bηu）-1件燃气轮机（3.20）+BηtEQζ，γ，νdXi=1Zbτt（hiu- γiu）Hiu（Bηu）-1du+mXi=d+1Zbτt（ηu- νiu）Hiu（Bηu）-1件燃气轮机.此外，20 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski给出了可违约抵押合同（A、C、R、τ）的除息价格，在事件{t<τ}上，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=BηtEQζ，γ，ν-Z（t，bτ）（bηu）-1水- （Rτ+Cτ-)（Bητ）-1{τ ≤T}燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νZbτt（ηu- fu）fu（Bηu）-1du+Xj=1Zbτt（ηu- ζju）Dju（Bηu）-1件燃气轮机（3.21）+BηtEQζ，γ，νdXi=1Zbτt（hiu- γiu）Hiu（Bηu）-1du+mXi=d+1Zbτt（ηu- νiu）Hiu（Bηu）-1件燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νZbτt（(R)cu- ηu）Cu（Bηu）-1件燃气轮机.证据设Д为复制合同的交易策略（a、C、R、τ）。从定义3.5来看，这意味着Vpbτ（Д，eAC）=CT{τ>T}- Rτ{τ≤T}。（3.22）因此，方程式（3.20）是Vη（ν，AC）鞅性质的直接结果，即bτ是G-停止时间，等式（3.22）。

有待证明的是，（3.21）可以从（3.20）和除息价格的定义中推断出来。在事件{t<τ}上，我们得到πt（A，C，R，τ）=Vt（Д，AC，R）=Vpt（Д，eAC）- Ct（见（3.11））。注意（3.7）给出了deACt=deAt+deCt- ？ctCtdt。分部积分公式在{τ>T}事件上产生Z（T，bτ）（bηu）-1deCu=Z（t，t）（Bηu）-1dCu=CT（BηT）-1.- Ct（Bηt）-1.-ZTtCud（Bηu）-1=CT（BηT）-1.- Ct（Bηt）-1+ZTtηu（Bηu）-1关于事件{τ≤ T}，我们得到z（T，bτ）（bηu）-1deCu=Z（t，τ）（Bηu）-1deCu=Cτ-（Bητ）-1.- Ct（Bηt）-1.-ZτtCud（Bηu）-1=Cτ-（Bητ）-1.- Ct（Bηt）-1+Zτtηu（Bηu）-1 CUDU。现在很容易检查（3.21）是否是（3.2 0）的直接结果。现在我们将考虑定理3.1的一些应用。第一个推论给出了第3.2.1节的质量延伸（3.16）。可以说，这是可违约抵押合同（a、C、R、τ）除息价格最自然的概率表示。应该注意的是，它为估价问题提供了一个封闭形式的解决方案，并且可以为几个感兴趣的案例显式计算右侧。推论3.1。如果η=f，ζj=f，γi=hi，对于i=1，2，对于i=d+1，d+2，…，d和νi=f，m、 然后（3.20）得出包含融资、违约和流动性成本的估值公式πt（A，C，R，τ）=BftEQf，h，f-Z（t，t）（Bfu）-1水- （Rτ+Cτ-)（Bfτ）-1{τ ≤T}燃气轮机（3.23）+BftEQf、h、fZbτt（(R)cu- fu）Cu（Bfu）-1件燃气轮机.推论3.1适用于计算（A，C，R，τ）的交易者价格。相比之下，它不会立即分解价格πt（A、C、R、τ）及其“净”价格和各种估值调整，这些都具有实际意义，因此在现有金融文献中进行了广泛研究。

因此，我们将在下一节中介绍定理3.1的另一个应用，其中将明确显示估值调整，如asCVA、DVA、FVA、LVA等。融资成本、违约和抵押下的估值213.3具有融资、违约和流动性成本的风险中性估值下一个目标是展示如何从定理3.1中获得具有调整现金流的风险中性估值公式，该公式首次通过Pallavicini etal中的不同方法得出。[34]和Brigo等人[12]。设r是一个G适应的可积过程，设Br代表关联的无风险现金账户Brt：=expZtrudu公司.我们要强调的是，我们不认为交易员可以使用无风险现金账户，并且他可以将无风险利率过程r视为纯粹的工具变量。备注3.2。虽然我们的推导没有要求这一点，但我们可以向风险管理者提供无风险利率的财务解释，即非违约实体之间的短期借贷利率。在实践中，我们可以使用一些市场代理。在欧洲金融市场，OIS（隔夜指数e d掉期）利率可被视为无风险利率的代理，因为交易对手ris k有限，而LIBOR是指违约实体之间的现金借贷利率。因此，LIBOR-OIS利差通常被解释为基于LIBOR的银行总体信贷风险的指标。在美国，相应的利差是指伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）欧洲美元利率和美联储（Federal Reserve）的联邦储备基金利率。Upo n在（3.21）中设置η=ζj=γi=νi=r，我们得到了表示（3.24），这是带有调整现金流的风险中性估值的一个版本。为了简化符号，我们将Qr=Qr，r，r写入。此外，我们还将Fit=ψitBit=-Hit推论3.2。

在{t<τ}事件中，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=BrtEQr-Z（t，bτ）（Bru）-1水- （Rτ+Cτ-)（Brτ）-1{τ ≤T}燃气轮机+ BrtEQr公司Zbτt（ru- fu）fu（布鲁）-1du+dXi=1Zbτt（ru- hiu）Fiu（Bru）-1件燃气轮机（3.24）+BrtEQrZbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.注意，通过应用定义3.7，过程“Dj（t，t）=（Brt）-1Dj（t，t），j=1，2和'Si=（Brt）-1Si，i=1，2，m或等效的过程ssesDj（t，t）-ZtruDj（u，T）du，Sit-ZtruSiudu，are（Qr，G）–局部鞅，因此概率测度Qr可以解释为经典风险中性概率。让我们考虑公式（3.24）的一些特殊情况。假设银行的国库券利率f、利率hi和抵押品应计比率均等于无风险利率r。然后，联合滚动3.2得出了以下风险中性估值公式的变量，用于担保违约合同πt（a，C，r，τ）=BrtEQr-Z（t，bτ）（Bru）-1水- （Rτ+Cτ-)（Brτ）-1{τ ≤T}燃气轮机.

（3.25）此外，如果等式Rτ=-Cτ-持有，意味着抵押品仅在第一次违约时返还给质押方，在时间τ时，22 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowskievent{τ{发生额外付款≤ T}，则（3.25）进一步减小为πT（A，C，R，τ）=BrtEQr-Z（t，bτ）（Bru）-1水燃气轮机（3.26）=BrtEQr- 1{τ>T}Z（T，T）（Bru）-1道- 1{τ ≤T}Z（T，τ）（Bru）-1道燃气轮机.显然，这种针对可违约抵押合同的风险中性估值公式的基本版本取决于几个假设，这些假设在当前全球流行的市场环境中并不令人满意。3.3.1 CSA结算价值和首次违约时的支付让我们检查交易对手信用风险对可违约抵押合同价格的影响。为此，我们需要指定合同的收尾估价程序s Q（A、C、R、τ）。让我们强调，工艺Q的任何规范也应包括承诺付款- Aτ-在第一次违约时。例如，可以设置（见（3.23））Qt=BftEQf，h，f-Z[t，t]（Bfu）-1道燃气轮机,这意味着交易员的独特融资成本将影响CSA估值。CSA收尾价值的一种更为传统的形式（尽管一些研究人员对此表示反对，但对从业者来说可能更具吸引力）取决于这样一个假设，即所有资产的融资都可以按风险费率进行，因此我们遵循这一市场惯例。更具体地说，对于i=1，2，…，我们使用t f=hi=r，d和τ>T in（3.24），以获得等式（3.27）。这意味着收尾估价Q由合同的“干净”价格给出，即以无风险利率融资的非违约无抵押合同A的价格。定义3.8。