广义信息比

第一节介绍了alphas和剩余协方差矩阵的理论联系，以及最优传输理论的经典结果，在此基础上推导了GIR和度量比较的距离度量。第2节提供了一个发展直觉的示例。第3节介绍了数据和仿真设计，并显示了所有仿真结果。第4节总结了本文的未来研究，并为正确使用GIR提供了指导。1、理论基础1.1阿尔法与残差协方差矩阵之间的联系本节的论述基于MacKinlay和Pastor（2000）。假设计量经济学家使用由k个被动基准组成的多因素资产定价模型评估n个主动管理投资组合的绩效。计量经济学家可以获得L个时期的投资组合超额回报（超过无风险利率）和基准回报。投资组合绩效通过以下多元时间序列回归进行评估：=+ + (1.1)[]=0, []=Σ, (,)=0（1.2），其中Rt表示t期间n个投资组合集合的超额回报向量；是相对于k基准B的异常回报的n向量；Bis的n基准风险敞口k矩阵；Bt是t期基准收益的k向量；是基准未解释的剩余收益的n向量，∑是nn残差协方差矩阵。在主动管理投资组合的绩效评估中，异常回报向量的每个元素都反映了特定基金的管理技能。然而，被动基准集可能无法有效地捕获基金回报的所有常见变化（Roll，1978）。

此外，由于基金之间的共同战略、管理者之间的共同人才、子集团之间的私人信息等原因，可能存在缺失因素，在剩余资产中留下未观察到的共同点。因此，式（1）被称为错误指定的模型。说明模型规格错误的影响，并建立与之间的理论联系,  考虑在公式（1）中添加一个不可观测的正交因子F，以便= ++ + (2.1)[]=0, []=Φ, [,]=0, [,]=0, [,]=0     (2.2)[]=, ()=（2.3）其中，a是相对于k基准B和省略因子F的异常回报的n向量，以及是基金对忽略因子F的风险敞口的n向量，其在t时的回报率为Ft。公式（2.1）中没有改变，因为FTI与Bt正交。公式（2）被称为具有明确规定因子（B和F）的真实模型，以定义真实αa和真实残余协方差矩阵Φ。通过比较等式，可以看出异常收益率与残差协方差矩阵之间的联系。（1.1）和（2.1），屈服=+ (3)Σ=′+ Φ=(-)(- )/+ Φ（4）其中≡/表示省略因子F的夏普比率。等式（3）表明，不可观测因子F提供了异常回报的增量解释力，即.  如果F解释所有异常返回，则等式（2.1）中的截距消失( = 0），则F成为MacKinlay（1995）和MacKinlay and Pastor（2000）中的最优正交组合。本文考虑了一种更为普遍和现实的情况，即缺失的公因子F不能完全解释所有的异常收益，因此  0.Eq.（4）通过省略因子F解释的异常收益部分，建立了异常收益和剩余协方差之间的理论联系。

因此，等式（1.1）中的异常回报向量嵌入到残差协方差矩阵中，并且可以在GIR的构造中明确利用这种联系。在错误指定模型下的绩效评估中，等式（4）表示，残差协方差矩阵∑包含关于异常回报系统部分的信息，这部分异常回报可归因于一些遗漏的公共因素。MacKinlay（1995）提供了资产定价链接的经济学直觉。异常回报必须伴随着剩余方差矩阵中的公共成分，以防止α非零但剩余方差接近零的活跃投资组合实现套利机会。Pastor和Stambaugh（2000年，2002年）将此链接纳入其先前的模型参数规范中。对于共同基金的研究，Berk和Green（2004）的理论模型提供了进一步的经济合理性。经理能力必须与不确定性矩阵正相关; 否则，不需要学习就可以了解基金技能，从而导致爆发式的资金流消除异常回报。理论上- 公式（4）中的链接暗示了以下经验观察：错误指定模型下的大幅度和交叉积应与, 相对于其真实值a和 在真实模型下。在共同基金的绩效评估中，这导致了对基准误差或管理者协变量引起的相关残差的实证检验。为了举例说明，假设两位分享私人信息的熟练经理i和j产生了大量的alphasiandjunder，这是一个错误指定的模型，忽略了这个共同因素。式（4）表明，相对于其真实值，largeiandjare与largeiandj相关。

管理者协变量表示正相关系数j>0。因此，协方差项ij=iij也应变大，并与两个字母的乘积成比例。当嵌入在correlatedresiduals中的信息被转换为调整后的Alpha（GIR）时，较大的Alpha及其叉积将被较大的剩余协方差和协方差值相应地缩放。从本质上讲，比例标度倾向于减少剩余收益中的共性影响，使调整后的Alpha更接近其真实值。我们是否以及在多大程度上可以从使用GIR中获益，还需要进行实证检验。在Berk和Green模型的公式（30）中，缺乏联系意味着   对于rt大于0的年轻基金（t较小），导致基金规模QT激增。经验工作需要对公式（4）中Φ的结构进行假设。MacKinlay和Pastor（2000）强制 与单位矩阵成比例，即Φ=. 单位矩阵在建立-  他们论文中的链接。他们通过限制Φ使用最大似然法= 在公式（4）（在他们的论文中，a=0）中,和作为待估计的自由参数。它们的最大似然估计没有封闭形式的解，因此必须采用数值过程。此外，他们指出因为自由参数导致估计不稳定（第902页）；相反，他们根据一些仔细指定的.本文采用了不同的估算方法。而不是通过施加- 以与单位矩阵成比例的link和Φ作为最大似然约束，基于最优传输映射将卵巢信息转换为调整后的alpha。

具体而言，我们分别绘制了由等式生成的主动收益的横截面分布图。（1） 和（2）具有单位协方差矩阵的目标分布。这是经典的最优运输问题，其解决方案被称为由唯一的最优映射矩阵T给出的最优运输计划，该矩阵具有简单的形式，即在活动收益高斯分布的标准假设下，剩余协方差矩阵的平方反根(=Σ/). 因此，映射分布的平均值按T（即∑）缩放/ 对于错误指定的模型和Φ/ 对于真实模型），它本质上将残余协方差信息转换为调整后的Alpha。下面，我们将介绍最优运输理论以及基于距离的指标，在此基础上正式推导GIR。1.2基于距离的度量和最优交通映射距离度量基于植根于数学的最优交通理论（Villani，2003，2009），在经济学（Galichon，2016）和计量经济学（Galichon，2017）中有着丰富的应用。经典问题（Monge，1781）是找到将一个概率分布的质量移动到另一个概率分布的最短距离或最小成本。继Villani（2009，定义6.1）之后，我们给出了两个概率分布之间的Wasserstein距离的以下定义。定义：设（S，d）为波兰度量空间。假设两个概率测度Pand Qon S是连续的，并且具有有限的z阶矩[1, ). Wasserstein距离定义的Pand-Qi之间的Wasserstein距离在最佳运输文献中也称为Monge-Kantorovich距离（Villani 2009，第7章）。

参见Villani（2009年，第6章），了解该术语的时间顺序。(,)=∫(,)(,)=inf公司{[(,)],    ()=  ()=}           （5） 下确界覆盖（P，Q）中的所有（x，y），这是随机变量x上的联合概率测度集 Y与边缘Pon X和Qon Y。具体而言，我们对本文中的z=2感兴趣，并将二次Wasserstein距离定义为：(,)=inf公司(|| -||)/（6） 下确界覆盖（P，Q）中的所有运输计划（x，y），Pon x和Qon y的边际分布。给定WD的定义，最优运输文献证明了以下理论结果。1） 将分配质量P移动到Q的最优运输问题存在唯一的解决方案。一对一映射称为最优运输计划y=T（x），其中x ~ P通过T（x）映射到y ~ Q。2） 在最优运输方案下，随机向量X~P和Y~Q之间的相关性最大。以上是最优运输理论中的标准结果（Villani，2003，2009）。Wd将经济解释为将分布质量P传输到Q的最小预期成本。总的来说，对于一般分布，Wd或T（x）不存在封闭式公式。

幸运的是，当NP和Q是高斯分布时，可以导出WD和T（x）的闭合形式公式，关键结果总结在以下定理中。高斯分布的最优传输定理1）设P和Q是RN上的两个高斯测度，具有有限的二阶矩，使得~(,Σ) 和~(,Σ),  哪里和是两个n1平均值向量，∑和∑是两个nn个对称正定协方差矩阵。P和Q之间的二次Wasserstein距离（WD）由下式给出=||- ||+ ||Σ- Σ||                （7.1）参见Villani（2003，定理2.12），以证明1）中解的存在性和唯一性，并将2）中的maximumcorrelation属性作为推论。另见Galichon（2016、2017）在经济学和计量经济学中的应用。和| |∑- Σ||=(Σ+ Σ- 2.Σ/ΣΣ//)             （7.2）其中||- || 是平均差分向量的欧几里德2-范数||Σ- Σ|| 表示两个协方差矩阵之间的距离；Tr公司() 是矩阵的迹算子；Σ/是方差矩阵∑的平方根使∑=Σ/Σ/. 对于对称正定协方差矩阵∑,its（nn） 平方根矩阵∑/是唯一的、对称的和正定的。2） 存在唯一映射随机变量的最优运输计划~ 到()~ 通过=（8） 其中nn对称正定最优映射矩阵由下式给出：=Σ/Σ/ΣΣ//Σ/（9） 3）最优运输计划具有以下特性：a）Σ=Σ（10） b）将P质量移动到Q的距离最短或预期成本最小；andc）P和Q之间的相关性最大。附录概述了带有技术细节的证明。

基于上述经典结果，下面导出了用于度量比较的GIR和adistance度量。1.3广义信息比（GIR）和经验假设由错误指定的模型公式（1）产生的积极回报定义为,≡- =+ ,其条件分布假定为随时间变化的多元正态、连续不相关和齐次分布，即。，,|,~(,∑），其中,=[,] 是指定错误模型的条件变量集。下标“p”表示错误指定的模型为模型p。如等式所示，对高斯分布应用最佳传输映射。（8） 到（10），设P为,|,~(,∑），并将其目标分布P*定义为,*|,~([,*],), 式中，Inde表示对称正定∑/使用Schur算法计算（Deadman、Higham和Ralha，2013）。Python库scipy。利纳尔。sqrtm（）实现此算法。对于资产i，其主动回报率ri，t可以被认为是基准中性基金t期的回报率，方法是在资产ri，t上取一个单位的多头头寸，在K个可交易基准上取一个单位的空头头寸。本文采用主动收益和剩余收益交替使用的方法。nn单位矩阵。现在考虑从P到P*（T:P）的映射 P*）通过最佳运输计划,*=(,)=,因此,*|,~,,Σ=(,)               （11） 当目标协方差为中的单位矩阵时，式（9）的最佳映射矩阵简化为=Σ(Σ/Σ/)/Σ=Σ（12） 它成为错误指定模型的剩余协方差矩阵的平方根反比。Asseen，缩放矩阵-1/2de将剩余收益关联起来，并将剩余方差标准化为单位，以生成单位剩余协方差矩阵。

因此，公式（11）中映射分布的平均值给出了错误指定模型的n矢量GIR定义：=Σ                       （13.1）也就是说，GIRpis alphas由指定模型的残余协方差矩阵的平方根反比。GIRPLINK通过中的方差和协方差信息,  所以Girpis被解释为单位协方差风险下的异常收益剩余收益。当残差协方差矩阵 假设为对角矩阵Dp，即。，=                       （13.2）对于给定资产i，,=/,, 式中，p，iis为其对角线元素的平方根. iPlinks仅通过方差元素，但忽略嵌入在中非对角分量中的协方差信息,  因此，IRPI被解释为剩余收益异方差风险单位的异常收益。最后，如果我们进一步假设dp的所有对角线元素都是相同的，那么irpreduced会将alphasnormalized转换为unity risk，即。，*=/,（13.3）其中p，eis是一个定标器，设置为等于, 即。，,=∑,/.因此，p*被解释为单位剩余收益同质风险的异常收益。p*不使用残差协方差矩阵中包含的任何信息，它生成与alpha相同的性能排名，通过设置,=1、p*具有相同的比例尺和GIRPF，用于比较。类似地，由真模型等式（2）产生的主动回报定义为,≡- - =+,  其条件分布为随时间变化的多元正态、序列不相关和同方差分布，即。，,|,~(,Φ），其中,=[,,] 是truemodel的条件变量集。下标“q”表示真实模型为模型q。

设Q为,|,~(,Φ）并将其目标分布Q*定义为,*|,~([,*],).  考虑从Q到Q*（T:Q）的映射  Q*）通过最佳运输计划,*=(,)=,因此,*|,~,,Φ=(,)              （14） 式中，式（9）的最佳映射矩阵简化为=Φ(Φ/Φ/)/Φ=Φ（15） 它成为真实模型的残余协方差矩阵的平方根反比。因此，我们可以将真实模型的GIRq、IRq和Q*定义为：=Φ                       (16.1)=                       (16.2)*=/,（16.3）式中，Dqis是n向量对角矩阵，其值取自.q、 eisa定标器集等于, 即。，,=∑,/.总之，我们推导了公式（13.1）中错误指定模型和公式（16.1）中真实模型的GIR，嵌套IR和*作为特殊情况，取决于协方差矩阵中使用的信息量。换言之，这三个指标是在不同信息结构下假设的单位剩余风险的异常收益。GIR充分利用了协方差信息。IR假设一个仅使用残差对角线元素信息的等差残差结构IR、IR和*都是基于比率的度量，可以调整模型功率。通过将每个基于比率的度量乘以相同的比例因子（残差的平均标准误差），可以轻松获得基于Alpha的度量。通过这样做，基于阿尔法的度量在同一个模型下具有可比性，但由于不平等的力量（即不同的模型产生不同的结果），因此无法跨模型进行比较。因此，我们使用基于比率的GIR、IR和*进行比较。