广义信息比

在实际应用中，基于比率的度量具有杠杆不变性的额外好处，这是基于阿尔法的度量中不存在的受杠杆偏差影响的属性（Modigliani和Pogue，1974）。协方差矩阵。和*假设一个没有剩余信息的同构结构。本文的主要目的是评估模型错误规格不同程度下的三个性能指标与真实模型下的性能指标。这是通过测量从错误指定的模型生成的主动回报分布与从真实模型生成的主动回报分布之间的距离来实现的。距离度量理论上由公式（7）导出。从最短距离或将等式（11）中的P*质量传输到等式（14）中的Q*的最小成本，或P*和Q*之间的最大相关性来看，该度量是最优的。请注意，P*和Q*都具有相同矩阵的相同方差，因此公式（7）给出的距离度量仅由GIRpin公式（13.1）和Girkin公式（16.1）之间差值的欧氏2-范数确定。因为2-范数是向量中平方元素之和的平方根，所以距离度量基本上是GIRpand和GIRq之间的和平方差的平方根。IRpand IRq之间的距离，以及NP*和Q*之间的距离只是GIRpand GIRq之间距离的两个特例。因此，三个性能度量的距离度量表示如下：||- ||=||Σ-Φ||                 (17.1)||- ||=∑(,-,)(17.2)||*- *||=∑(,-,)（17.3）如此定义的距离量度测量了特定模型下相对于真实模型下调整后α的横截面离散度。

错误指定模型（模型p）和真实模型（模型q）之间距离最短的性能度量被视为最可靠的度量。这意味着，当选择一个较差的模型进行性能评估时，离散度最小（相对于其真实值）的度量对于模型规格错误最不敏感或最稳健。考虑到和的理论联系 如第1.1节所述，下面给出了比较三种绩效指标（GIR、IR和*）的经验预测。  假设1：和的理论联系 暗示||- ||<||- ||<||*- *||. 具体而言，a）如果残差方差和残差协方差都包含测量技能的有用信息，则GIR应产生最短距离；b） 如果只有残差中的信息有用（即不相关残差但异方差残差），则IR应产生最短距离；c） 如果残差信息中没有有用的信息（即不相关残差和同余方差），则*应产生最短距离。  假设2：在假设1下，省略因子的解释力越强，与其他两个度量相比，使用相应度量的收益越大。假设1形成了比较三个绩效指标的经验预测。1、从理论环节中可以看出。如果残差协方差矩阵不包含太多有用的信息，或者如果由于采样误差导致的噪声超过了信息内容，则为1。b或1。c应遵守。假设2规定了模型错误说明的差异程度对性能评估的影响。

在特殊（但不现实）情况下，缺失的公因数F解释了所有异常回报，即。， = 在公式（2.1）中，理论联系在估计异常回报方面显示出其全部优点。使用稳健指标的潜在收益在多大程度上取决于下面的经验分类。2、一个示例在给出大规模模拟结果之前，我们检查了前面所示的五个动量组合。此示例已样式化，并不旨在表示真实的样式效果。然而，它允许我们查看回归系数，即55个残差协方差矩阵和5个5用于构建GIR、IR和*性能度量的缩放矩阵。特别是，检验这三个指标如何在错误指定的模型和truemodel下产生差异结果，以及为什么GIR在使用错误指定的模型的情况下仍能产生稳健的排名结果，这是一个有益的信息。在下一节中，大部分模拟结果和说明性结果将延续到大规模模拟结果中。假设其中一个评估了五个动量投资组合的相对表现。他没有意识到这些投资组合是通过对之前的回报进行排序而形成的，他使用Fama-French三因素模型（FF3）作为基准模型。

然而，真正的模型应该是Carhart（1997）的四因素模型（Carhart4），在FF3中加入动量因子（UMD）。[在此插入表1]为了检查省略因子（本例中为UMD）的影响，我们遵循Fama和French（2015）的方法，对1963:07–2016:12期间的三个因子进行UMD的跨度回归，并获得以下结果：UMDt=0.89–0.19MKTt+0.01 SMBt–0.35HMLt+t、 R=0.07（5.39）（-4.79）（0.27）（-5.98），然后我们将正交UMD（UMDo）定义为上述回归的截距和残差之和。UMDo的月平均值为0.89%，月标准差为4.07%。因此，Carhart4是FF3加上UMDo。表1的面板A报告了左侧FF3和右侧forCarhart4的回归系数和t统计量。如果将FF3用作被动基准，这五个投资组合的异常回报率将非常显著，从每月-0.74%（t=-5.53）到0.47%（t=6.35）不等。如果使用truemodel评估绩效，每月的异常回报率范围为-0.07%（t=-1.37）到0.14%（t=3.86）。这些结果证实了早期的研究（如Grinblatt和Titman，1994），即基准错误规范可以对基于alpha的绩效评估产生显著影响。在FF3和Carhart4下，MKT、SMB和HML上的系数相同，因为UMDo与这三个因子正交。因此，减少alphas和改善Rs的额外解释力完全归因于省略的正交因子UMDo。表1的面板B显示了残余协方差矩阵 FF3以下和 在Carhart4下。如式（4）所示，以及 与∑相关=(-)(- )/+ Φ，其中a是面板a中显示的截距，SF=F/F=0.89%/4.07%=0.218。

对- 链接很容易看到。α差的最大幅度（–a=-0.74%+0.07%=-0.67%，相对于其真实值）伴随着最大的剩余方差=10.86bp；α差的第二大幅度（–a=0.47%–0.12%=0.35%）伴随着第二高的期望方差=3.37bp；α差的第三大幅度（–a=-0.16%–0.14%=-0.30%）伴随着第三大剩余方差=2.68bp。这种系统关系意味着，对于给定的资产i，通过划分其标准偏差i，IR应产生比*更分散的（相对于真实值）性能度量，而不是由常数定标器划分的*性能度量。直观地说，较大幅度的Alpha比较小幅度的Alpha缩小得更大。现在检查中（-a）的叉积和非对角元素之间的关系. 我们发现，前三个残差协方差=-4.27bp、=4.03bp和=-2.18bp，分别与α差的三个最大叉积（–a）（–a）=-0.24bp、（–a）（–a）=0.20bp和（–a）（–a）=-0.11bp，符号和顺序相同。下文解释了残余协方差中嵌入的信息。使用错误指定的模型FF3往往会产生极端表现优异的投资组合（头号赢家）和极端表现不佳的投资组合（头号输家），这意味着这两位经理拥有负相关的技能（<0）。考虑到更大的幅度，两个管理者（=）的协方差也必须是负的，并且与字母的乘积成比例。简言之，这些结果从经验上支持了异常收益率和剩余协方差矩阵之间的潜在联系。

因此，使用错误指定模型的残差协方差矩阵中嵌入的信息应该可以提高相对于真实模型的技能估计。下面通过比较GIR、IR和*指标来评估五个动量投资组合的绩效，可以证明这一点。面板B还显示了缩放矩阵，-1/2低于FF3和-1/2位于Carhart4下方。可以验证这两个矩阵是否将相应的残余协方差矩阵映射到单位矩阵，即∑/ΣΣ/=和Φ/ΦΦ/=.  也就是说，-1/2和-1/2关联剩余收益并标准化剩余方差。通过这样做，信息嵌入到 和 转换为字母A，通过缩放矩阵进行调整，即：。，=Σ/ 和=Φ/. 如果剩余信息（由于省略了UMD因子）确实对测量技能有用，则调整alphas∑/ 应接近其真实值Φ/, 使GIR成为更稳健的绩效衡量指标。例如，让我们检查FF3下底部输家投资组合的GIR，用GIR3,1=0.44表示(-0.74)  +  (-0.26)(-0.16)  +0.040.00  +  0.130.17  +  0.130.47  =  -0.20.  如图所示，嵌入在底部输家与其他投资组合的协方差中的信息被转换为第一行标度矩阵，在真实模型下，将其极值负性α调整为更接近其真实值GIR=-0.09。面板C的前三行显示了FF3和Carhart4下五个投资组合的*、IR和GIR*通过横截面平均标准偏差（即 和) 将标准化Alpha与IR和GIR的规模相同，以便三个性能指标在规模上具有可比性。

IR的计算方法是将每项资产的α与其标准偏差之比（即 和). 我们发现*和IR在FF3下呈单调递增模式，IR的扩散率低于*。通过横截面合并异方差风险信息，IR产生比归一化α*更稳定的性能度量。更重要的是，我们观察到，GIR中*和IR的系统模式消失，这是一种模型规格错误的信号。通过在, FF3（GIR）下的GIR产生与Carhart4（GIR）下相同的横截面图案。更详细地说，如果五个投资组合根据其GIR进行排名，可以验证基于GIR的排名与基于onGIR的排名相同。这意味着，尽管使用了错误指定的绩效评估模型，但GIRmeasure会产生相同的绩效排名，就像使用了真实的模型一样。为了正式衡量模型错误指定对绩效评估的影响，等式（17）中的距离度量显示在面板C的底部三行。左面板显示了每个投资组合的FF3和Carhart4之间三个绩效度量的差异，右边的面板显示了计算为平方差之和的平方根的距离度量。distancemetric测量各测量值相对于真实值的横截面离散度。如果规范化alpha是性能度量，则错误指定的模型FF3和真实模型Carhart4之间的最短距离为0.45。如果使用IR测量性能，则距离降低至0.35，如果使用GIR测量，则距离急剧降低至0.13，与假设1一致。一

这表明，当使用错误指定的模型来评估主动投资组合的绩效时，GIR是最可靠的绩效指标，与其他两个相互竞争的指标相比，GIR更接近真实价值。总之，示例说明了GIR如何在错误指定的模型下利用剩余协方差信息来衡量技能，并且风格化的结果支持GIR作为一种稳健的性能度量。此外，当使用真实模型Carhart4作为基准时，即剩余信息不再有用，可以验证*产生的横截面分散度最低（通过取Carhart4下面板C前三行的平方和平方的平方根）。也就是说，GIR和IRR在真实模型下失去了他们的信息内容，所以假设1。观察到c。3、模拟为了比较*、IR和GIR的相对性能，我们采用了一种真实模型已知的模拟方法。将在不同程度的模型规格错误下的三个性能指标与真实模型下的性能指标进行比较。我们采用Kothari和Warner（2001）的模拟设计，他们使用随机分层的投资组合来模拟基金风格，但使用真实数据来模拟基金回报。这确保了残差协方差矩阵是由真实的无法解释的返回值确定的，而不是由任何人为施加的结构确定的。3.1模拟设计Fama French characteristics排序的投资组合作为模拟的基础资产，原因如下。首先，这些投资组合代表了一系列基于风格的主动管理基金（Sharpe，19921994），包括在主动资产管理中广泛应用的规模型、增长型、价值型、动量型、盈利型和投资型基金。

尽管这些投资组合是按照公司特征进行机械排序的，但对于使用错误基准来衡量其表现的计量经济学家来说，它们似乎很活跃。在我们的模拟中，这些投资组合的活跃性可以被认为是管理者采用基准游戏策略（Goetzmann、Ingersoll、Spiegel和Welch，2007；Sensoy，2009）。例如，如果管理人使用净股票发行将股票挑选到自我指定为增长或价值风格的基金中，那么使用FF3或Carhart4作为基准模型可能会发现大量的Alpha。因此，Fama French投资组合范围广泛，创造了巨大的异常回报利差，可以代表表现优异和表现不佳的管理者的技能。其次，构建这些投资组合是为了捕捉知名资产定价模型（因素）的失败，包括CAPM（MKT）、Fama-French三因素模型FF3（MKT SMB HML）、Carhart（1997）四因素模型Carhart4（MKT SMB HML UMD）。此外，Fama-French五因素模型FF5（MKT SMB HMLRMW CMA）可以解释各种异常。然而，FF5未能解释动量（Fama and French，2016；侯、薛和张，2016）。因此，四个基准模型（CAPM、FF3、Carhart4和FF5）在评估基于样式的Portfolios的性能时被错误指定的程度越来越小。第三，六因素模型，即FF5加上被称为FF6的动量因子（MKT SMB HMLRMW CMA UMD），已知能够捕捉各种投资组合的横截面平均回报（Fama和French，2016、2017）；因此，FF6是Style绩效评估的真实模型。MacKinlay和Pastor（2000）以及Cohen、Covar和Pastor（2005）使用的替代模拟设计充分规定了基金收益的潜在收益生成过程。

然而，这种设计需要在剩余协方差矩阵上施加人工结构。我们还通过对因子风险敞口的行距进行类似的模拟程序，以生成基金收益的系统部分；对于剩余收益，我们为随机选择的子组施加了一个相关结构，使其具有不同程度的相关性。结果（未构建）基本上支持使用Fama French real投资组合表列的主要结论，该投资组合提供了更直接的证据。诚然，使用基准博弈来激励主动策略是一种程式化的做法，例如，没有任何基金可以在长达30年的评估期内与基准博弈。然而，模拟的目的不是模拟真实的主动策略，而是检验遗漏因素对基金绩效的影响。这种设计还确保在相同的公平竞争环境中比较三种性能指标。基于投资基金。即使在真正的FF6模型下，Fama和French（2015、2016）也表明，投资组合的数量仍然无法解释；例如，大量投资的无利可图的小公司的投资组合表现出显著的负阿尔法。在我们的模拟中，这些投资组合模仿了真正表现优异或表现不佳的基金。风格型投资基金涵盖范围广泛的资产，包括四组双变量分类投资组合（25个B/M规模投资组合、25个OP规模投资组合、25个INV规模投资组合和25个MOM规模投资组合）、三组三向分类投资组合（32个B/M规模投资组合、32个B/MINV规模投资组合和32个OP-INV规模投资组合）。