广义信息比

这是面板E中L=360的最佳示例，其中GIRCAPM=0.10表示n=10，0.08表示n=25，0.06表示n=50，0.05表示n=100，0.03表示n=200。其他模型和其他面板中的GIR通常表现出类似的模式，但面板D中的L=240除外，其中n=200的距离值似乎大于n=100的距离值（有关说明，请参见第3.4节）。这些结果证实了上一小节的研究结果，即当基金数量较大时，使用GIR作为绩效衡量指标更为有利。这种效益可以通过替代效应的距离等效度量进行评估。为了举例说明，请注意，在每个面板中，从CAPM到FF5的模型之间的平均距离急剧减小，即模型规格错误程度减小的结果。我们现在将评估期的长度固定为L=360，如图E所示。当n=10的基金数量很小时，GIRCAPM=0.10是相当于*FF3=0.11的距离。当n=50时，GIRCAPM=0.06是相当于*FF5=0.06的距离，这表明使用GIR作为性能度量可以替代指定错误的模型的影响。特别是，当基金数量较大时，与在最小错误指定模型（FF5）下使用IR相比，在最大错误指定模型（CAPM）下使用GIRCAPM比在最小错误指定模型（FF5）下使用IR更接近真实模型，即GIRCAPM=0.05和0.03，而在n=100和200时，IRFF5=0.05和0.05。这些结果只是提供了与表2不同的观点，以支持假设1。a和2.3.3在本节的绩效样本中，我们探讨了在三个绩效指标上排名的模拟基金在Alpha中的持续性。

模拟程序与上一节中描述的程序类似。具体而言，对于每个月的t，我们从346个Fama French投资组合中随机选择n=10、25、50、100、200个基金，不进行替换。然后，所选基金组的持有期限为L=36、60、120、240、360个月。在评估期结束时，我们分别按*、IR和GIR对基金进行排名，并根据每个绩效指标选择排名前五位和排名后五位的基金。然后，通过对顶级五分之一基金持有多头头寸，对底层五分之一基金持有空头头寸，形成一个多空组合，并在下一年（样本外）计算相等的加权组合回报，并根据今年的时间序列回归计算Alpha。接下来，我们滚动一个月，重复这个过程，直到样本结束。最后，我们计算了所有样本年内这些α的时间序列平均α（）、时间序列标准偏差（）和时间序列t统计量t（）。使用科塔里（Kothari）和沃纳（Warner）（2001）使用的Newey和West（1987）方法，时间延迟为5，对t统计量中的标准误差进行序列相关调整。[在此插入表4]表4根据CAPM、FF3、Carhart4和FF5下的*、IR和GIR排名，报告了n=10、25、50、100、200个基金数量和L=36、60、120、240、360个月评估期的样本外绩效结果。A（）、（）和t（）的值显示在每个面板的三行上。我们首先从所有面板第二行的（）值说明Alpha的时间序列稳定性。表4中最值得注意的发现是，根据GIR排序的长短组合在不同的模型、不同的评估期长度和不同的基金数量中一致产生最低的（）。

这表明使用GIR识别技术型基金具有显著的稳定性。此外，*、IR和GIR之间的α标准差差异与基金数量呈正相关。基金数量越多，按GIR排名的样本外Alpha越稳定。例如，在FF5下检查L=240，n=10，我们发现*、IR和GIRrankings产生的（）分别为0.93%、0.87%和0.84%，即彼此之间只有很小的差异。Asn增加到25、50、100和200，（）在所有三个排名下单调下降，因为长空投资组合变得越来越多样化，在顶部和底部五分位有更多的基金。更重要的是，随着n的增大，按GIR排序的（）的减少幅度远远大于按*排序的（）和IR。对于n=200，（）由*、IR和GIR排名产生，分别为0.38%、0.34%和0.15%，最后一个值小于前两个值的一半。这些结果表明，当大量基金汇集在一起进行评估时，基金绩效变得更加稳定。这是因为大型池最有效地利用了剩余协方差信息，并表明利用- 链接可以帮助识别表现波动性小得多的基金。接下来，我们检查表4面板第一行的平均αA（），重点是性能度量的基准稳定性。性能度量的基准稳定性是指其对被动基准变化的鲁棒性。这种稳定性的概念可以通过跨模型标准差a（）直观地接受，用std（）表示，它测量a（）在不同模型之间的分散度。

我们发现，除了一个或两个小的例外，GIR ranking生成的平均Alpha在模型中的分布最小。例如，在n=25和L=120的面板中，如果按*排序，std（）为0.137%，如果按IR排序，则为0.11%，如果按GIR排序，则为0.076%。随着基金数量的增加，基准稳定性更加明显。特别是，当n达到200时，GIR排名产生的std（）比*和Inranking产生的std（）小两到三倍。基准稳定性提供了样本外证据，表明GIR最不容易受到模型选择的影响。最后，在表4的每个面板中，第三行显示了样本外t统计量t（），计算得出的asA（）除以通过Newey和West方法调整序列相关性的标准误差。t（）衡量业绩指标识别重要基金技能的能力，给出了衡量异常回报的特定基准模型。在大多数面板中，我们发现使用GIR torank顶级五分位数和底层五分位数基金产生的t统计数据最高。同样，GIR相对于*和IR的绩效取决于评估池中包含的资金数量。当基金数量较大时，n=100或200，GIR在所有模型中始终产生最高的t统计数据。此外，我们发现，最高的t统计量主要归因于GIR产生的低α标准差。如前所述，当n=100或200时，GIR下的（）通常比*和IR下的（）低两到三倍。总结我们基于月收益率的绩效衡量模拟结果，我们发现GIR在样本距离度量和样本外组合收益率方面对所选基金的绩效产生了最稳定的衡量。

稳定性结果表明，GIR对由任何形式的管理者协变量引起的Benchmark误差或相关残差具有鲁棒性。当模型更不准确、被评估基金数量更大以及评估周期更长时，使用GIR的潜在收益更大。至于其他两个指标，我们发现在所有模拟结果中，IR始终优于*（即基于比率的归一化Alpha产生与基于回报的Alpha相同的性能等级，见脚注11）。即假设1。任何模拟结果都不支持c。总的来说，我们的月度结果强烈支持在衡量技能时充分利用剩余协方差信息。3.4每周绩效从前面的小节中，我们注意到，当评估期短时，即L=36个月时，使用GIR度量的结果不稳定。特别是，当基金数量接近基金可用历史记录时，即n=25 L=36，n=50 L=60，n=100 L=120，距离度量将变成无意义的值。这些都是模拟结果与假设1一致的情况。B代替1。a、 这些令人不快的结果是由于当n接近L时，剩余协方差矩阵的估计中存在大量抽样误差。Bai和Shi（2011）表明，即使样本估计（用S表示）是总体∑的无偏估计，其逆可以是∑的apoor估计量（也就是说，需要进行反向运算来计算GIR）。在推导GIR所需的正态消耗下，逆的期望值由下式给出[]=[Σ].在月度模拟中，[]=4.[Σ] 对于n=25，L=36；[]=7.5[Σ] 对于n=50，L=60；和[]=6.7[Σ] 对于n=100，L=120。

在这些情况下，估计误差压倒性地超过了残余协方差矩阵中嵌入的信息内容。经验法则是要求L的跳动量至少是n（L）的两倍 2n），因为当n=L/2+2时，[]=2.[Σ] （白和石，2011）。我们可以验证，当这个条件满足时，我们的模拟总是产生与假设1一致的预期结果。a、 在本小节中，我们旨在解决估计精度问题。解决方案在于找到残差协方差矩阵的更精确估计。幸运的是，我们从Merton（1980）那里了解到：1）从历史观察中可以比预期收益更精确地估计收益的方差；2） 在观测周期的固定长度内，通过选择更精细的观测间隔，可以提高方差估计的精度。这些理论结果促使我们将L=36个月的数据频率提高到每周回报率，因为最短的样本量会产生最大的估计误差。这也符合Busse（1999）的精神，他指出，分析每日资金回报可以发现管理人员的技能在月度回报中并不明显。然而，与他不同的是，higherIR的使用与阿尔法t统计量密切相关，例如，参见Goodwin（1998）。我们的模拟结果与Kosowski、Timmermann、Wermers和White（2006）的发现一致，即阿尔法t统计量排名比阿尔法识别熟练管理者更有效。为了估计时变波动率，我们的目的是解决估计高维协方差矩阵的问题。我们选择了175个Fama French投资组合，其每日收益来自法国数据库。

其中包括25个B/M规模投资组合、25个OP规模投资组合、25个INV规模投资组合、25个B/M规模投资组合、25个B/M规模投资组合、25个OP规模投资组合和25个MOM规模投资组合。对每日回报进行累计，以计算这175个投资组合以及用作被动基准的六个因素（MKTSMB HML RMW CMA UMD）的每周回报。对于n=10、25、50、75和100个基金数量，我们对L=156周（36个月）的月度数据执行相同的模拟程序。模拟从1963:07的第一周开始，每周滚动窗口，直到evaluationsample到达2016:12的最后一周。每周，从投资领域中随机选择n=10、25、50、75和100支基金，每组选定的基金将持有156周，使用*、IR和GIR衡量标准，在四种模型（CAPM、FF3、Carhart4、FF5）下进行绩效评估，这四种模型的错误指定程度逐渐减小。此模拟过程为所选集合中的每个基金生成2632个重叠的时间序列值*、IR和GIR，基于这些值，Q的距离度量为基础。（17） 在每个模型和真实模型FF6之间计算。表5显示了四种模型下每个度量的总距离（集合中所有基金）、平均距离（集合中每个基金）和平均差异t统计（测量之间）。每周结果揭示了L=36个月的月度结果中未发现的许多程式化事实。首先，遵循经验法则（L 2n），样本大小的长度（L=156周）最多可包含78只基金进行评估，而L=36个月的基金最大数量不应超过18只。因此，我们预计每周的结果会产生更强的替代效应。从PanelA（n=10）到D（n=75）的替代效应越来越强可以看出这一点。

例如，使用总距离（TD）度量，当n=25（面板B）时，GIRCAPM=0.33替换*FF3=0.32，GIRFF3=0.23表示IRCarhart4=0.24；当n=50（面板C）时，GIRCAPM=0.41替代IRFF3=0.40；当n=75（面板D）时，GIRCAPM=0.48替代*Carhart4=0.47。随着n的增大，均值差t统计量也支持较强的替代效应。然而，我们也观察到，与D组中的n=75相比，E组中n=100时，GIR的性能恶化。这反映了上述估计高维协方差矩阵的问题，因为n接近L。当L的经验法则 应用2n，我们发现在n=75时，在L=156周时，GIR的性能最好。这又增加了一条有利于特别法庭的证据 2n规则。第二，检查面板A到D的平均距离（AD）度量，我们发现*和IR产生的AD值有轻微增加的趋势；相反，GIR产生的AD值呈单调递减模式，即0.079（n=10）、0.066（n=25）、0.058（n=50）和0.056（n=75）。这些结果进一步证明，用于评估的资金越多，使用GIR的收益就越大（只要  2n）。最后，通过检验均值差t统计量，我们发现周证据与假设2一致。GIR对CAPM的增益最大，FF3次之，Carhart4次之，FF5最小，与模型规格错误程度的顺序相同。[在此插入表5]表6按照相同的月度程序，展示了顶级和底层五分之一基金的多空组合的样本外表现。持有多空组合的样本期为26周（6个月）。

我们发现压倒性的证据表明，在所有模型下的所有面板A-E中（FF5下n=10的一个小案例除外），基于Girmease的选定基金组合实现了最低的阿尔法标准偏差（）和最高的t统计t（）。此外，GIR产生的交叉模型标准偏差std（）最低，表明不同基准选择的稳定性水平最高。随着基金数量的增加，所有这些福利指标变得单调地更大。值得强调的是，这些强有力的结果只能在很长的评估期内使用月度数据获得，即L=240或360个月。因此，本节表明，增加返回采样频率可以非常有效地使用GIRmeasure。[在此插入表6]4结论积极的管理者应该奖励Alpha而不是Beta。根据其自身的定义，只有在控制了所有相关效应的情况下，alphas才能衡量技能。然而，绩效评估文献记录了由于无效基准（Roll，1978）、管理者协变量（Wermers，2011）和基准博弈（Sensoy，2009）而产生的大量相关残差来源，使得在错误指定的模型下进行基于alphas的技能测量。本文提出=Σ/ 根据Jones和Shanken（2005）的“Learningover funds”精神，作为一种稳健的绩效衡量指标，不需要确定相关残差的来源。使GIR对模型错误具有鲁棒性的机制在于其通过缩放矩阵∑进行α调整/,  它将剩余收益中的共同性去关联，并将剩余方差标准化为一个单位矩阵。

也就是说，GIR将嵌入残余协方差矩阵中的信息转换为针对残余风险进行调整的Alpha。因此，只要α的大小与残差协方差矩阵正相关，较大的α及其叉积（由较差的模型无法解释）将进行更大的调整，从而减轻相关影响。幸运的是- 根据MacKinaly（1995）的arbitrageargument和Berk和Green（2004）的绩效流关系，理论上必须存在联系。与理论隐含的假设相一致，我们证明了GIR比现有指标（IRA和ALPHA）有实质性的收益，这些指标不考虑剩余相关性中的信息。在缺乏明确规定的模型下，大量基金的潜在收益更大。在这种情况下，CAPM下的GIR甚至比Fama-French五因素模型下的IR更接近其真实值；而Girraked投资组合的样本外波动率不到IR或Alpha排名的一半或三分之一。GIR的稳健性意味着，基准的选择、管理者协变量的存在以及管理者与基准博弈的动机，尽管仍然很重要，但在衡量和排列活跃基金池时，影响要小得多。它有助于缓解主动管理从业者和投资者对模型错误的担忧。正确使用GIR可以补充现有的基于alphas的研究，这些研究专注于确定基金回报率常见变化的来源。例如，文献建议acareful选择基准模型（Wermers，2011）、主动同行基准（Hunter、Kandel、Kandel和Wermers，2011）和非基准资产（Pastor和Stambaugh，2002）等，以获取相关残差。