广义信息比

此外，继Fama和French（2016年）之后，基金领域还加入了15套单变量排序的十分位数投资组合，涵盖了一系列领域，其中大多数都不是被动基准的目标。这15个十分位投资组合分为四组：1）FF因子组，包含40个基于市值（规模）、账面市值（B/M）、盈利能力（OP）和投资（INV）形成的十分位投资组合；2） 估值组，包含30个按市盈率（E/P）、现金流量市盈率（CF/P）和股息收益率（D/P）计算的十分之一投资组合；3） 先前收益组包含30个基于动量（MOM）、短期反转（STR）和长期反转（LTR）形成的十分之一投资组合；4）其他异常组，包含50个十进制投资组合，形成于应计项目（AC）、净股票发行（NI）、市场贝塔（beta）、方差（VAR）和剩余方差（RVA）。总之，基金领域包含4*25个双重分类投资组合，3*32个三重分类投资组合，再加上150个十分位投资组合，共计346个代表各种风格导向投资策略的投资组合。我们试图解释346只主动基金中随机选择的子集的超额回报。我们的模拟程序将Kothari和Warner（2001）的设计扩展到了给定月份的多端口组合池。具体而言，对于每个月的t，我们从346个Fama French投资组合中随机选择n=10、25、50、100、200个基金，不进行替换。对于不知道产生回报的真正因素的计量经济学家来说，每个投资组合都代表着一个基于风格的主动基金，被选择的可能性相等。一旦选定，基金池将持有36、60、120、240、360个月，以便在期末进行绩效评估。

评估期的长度模拟了可用基金历史的不同样本大小。用n和L表示基金数量和评估期长度的交集。例如，n=25和L=120表示的n必须严格小于L，以便残差协方差矩阵是可逆的。即使当n较小但接近L时，剩余协方差矩阵的估计也有很大的抽样误差，其逆矩阵很差。从1963:07开始，每个月t，从346个FamaFrench投资组合中随机选择25只基金，并持有120个月，直到1973:06对基金池进行评估和排名。在下个月1963:08，将随机创建一个由25只基金组成的新基金池，并将其持有120个月，直到1973:07进行评估。该滚动窗口每月重复一次，直到t=2007:01，25只基金持有120个月，直到2016:12，即样本期结束。因此，该模拟程序创建了522个随机分层活跃基金的重叠样本，在每个评估期结束时对这些基金的绩效进行评估和排名。被动基准数据包括六个因素的月度回报（MKT SMB HML RMWCMA UMD）。全样本时间为1963:07至2016:12，共642个月观测值。我们考虑了不同长度的子样本来模拟基金收益的可用历史。有关基本资产和被动基准的所有数据都来自French教授的数据库。对于横截面中的每个基金i，其绩效通过上述五个模型（四个错误指定加上真实模型）括号中所示的各种因素进行评估。

例如，如果使用真实模型FF6测量技能，则执行以下时间序列回归：Rit-Rft=αi+biMKTt+siSMBt+hiHMLt+riRMWt+ciCMAt+uiUMDt+它，（18）其中，风险投资指数是指在给定的一组随机选择的基金中，投资组合i的t月回报率，t表示评估期的每个月。a和 使用真实模型从时间回归中生成，和 分别由CAPM、FF3、Carhart4和FF5的时间序列回归产生。截距向量（和a）和残差协方差矩阵( 和) 在滚动窗口的基础上，从重叠样本的各个模型中获得。为每个样本计算三个性能度量（*、IR、GIR）。收集并比较了三个度量值的重叠时间序列，以获得第1.3.2节中描述的各种统计数据和距离度量值，月度绩效估计值为真实残差协方差矩阵的倒数（Bai和Shi，2011）。我们首先给出这些情况的模拟结果，然后在第3.4节中提出解决方案。表2-6中报告的模拟结果可以用10个

在第一个视图中，我们确定了L的性能度量。在第二个视图中，我们确定了L的性能度量。不同模型规范下的比较结果显示在两个视图下。3.2.1基线结果（n=25，L=120）[在此插入表2]我们使用n=25个基金和L=120个月作为基线设置，以解释模拟结果的详细信息。由于nand L不同，基线结果可作为其他结果解释的比较参考。表2的面板A.3（以粗体显示）报告了CAPM、FF3、Carhart4和FF5下的基线结果，这些结果被设计为相对于truemodel FF6的错误指定程度逐渐减小。前四列中的值是公式（17）中定义的距离度量522次重叠观测的时间序列平均值，用于测量错误指定模型和真实模型之间每个性能度量的平均横截面离散度（即和平方差的平方根）。这些距离值的单位是每单位剩余风险的异常回报，可以解释为将等式（11）中的P*质量移动到等式（14）中的Q*的最小成本。例如，*CAPM=0.76意味着，如果在CAPM下使用归一化alpha作为绩效度量，则将25种风格的基础投资基金的P*~ N（*，I）质量移动到Q*~ N（a*，I）的平均最小成本为每单位同质剩余风险0.76。IRCAPM=0.69表明IR是一种更好的性能指标，可将运输成本降低0.07。此外，GIR是最好的绩效衡量标准，可以最大程度地降低成本。与IRCAPM=0.69相比，GIRCAPM=0.49进一步降低了0.20的成本。

三个性能指标的统计显著性通过均值差t检验进行，并在最后四列中报告相应的t统计量。例如，在CAPM下，t(* IR）=5.56，t（IR GIR）=19.72，t(* GIR）=23.68表明各自的平均差异都非常显著，使用GIR衡量绩效会产生最显著的改善。通过检查从CAPM到FF5的各个模型的性能度量，我们发现所有三个度量都存在单调递减模式。例如，运输成本从GIRCAPM=0.49减少到GIRFF5=0.19，减少了0.30。在我们的对照实验中，这仅仅是从CAPM到FF5的模型规格错误程度减少的证据；直观地说，FF5比其他三种模型更接近真实模型，这可以通过其与真实模型的最小距离来验证。这一发现表明，更好的指定模型确实有助于获得更精确的性能评估。更重要的是，在所有模型中，三个绩效衡量指标的模式是一致的：GIR是最好的衡量指标，IR排名第二，而*根据距离度量，排名最后，支持假设1。a、 如前所述，这是因为GIR充分利用剩余协方差信息，IR使用部分信息，而*不使用任何信息。此外，我们发现了与假设2一致的有力证据：模型的错误描述越多，使用GIR作为绩效衡量指标的效益越大。通过比较CAPM（最大错误指定模型）和FF5（最小错误指定模型）的平均差t统计量的显著性，可以证明这一点。

在CAPM下，IR系列和GIR系列之间的平均差异的t统计量，t（IR GIR）为19.72，*系列和GIR系列之间的平均差t(* GIR）为23.68。两个值都大大高于T（IR GIR）=7.20和t(* 在FF5下，GIR）=11.77，表明当模型严重错误时，使用GIR来衡量绩效的收益更大。在不同模型下交叉比较绩效指标，使用距离等效指标来解释替代效应，在经济上也有意义。这个概念受到Grinblattand Titman（1994）的启发，他将基准的选择与绩效评估模型的选择进行了比较，发现基准的选择要重要得多。为了说明替代效应，我们在面板A.3中显示，GIRCAPM=0.49大约相当于IRFF3=0.50的距离，这表明在CAPM下使用GIR与在FF3下使用IR产生相同的距离（到真实模型）。这意味着，性能度量的选择可以替代模型选择的影响，即在规定较差的模型下使用稳健的性能度量会产生与在规定较好的模型下使用较差的性能度量相同的横截面色散（相对于真实模型）。面板a.3中还有其他几个距离等效结果的实例。GIRFF3=0.40表示距离等于*FF4=0.41，GIRFF4=0.31表示距离等于*FF5=0.31。这些结果进一步证明了鲁棒性能度量对指定较差的模型的替代效应。3.2.2不同评估期长度对n=25的影响，以L=120（面板A.3）为比较基准，面板A.1、A.2、A.4和A.5分别显示了L=36、60、240和360个月的结果。

通过跨面板检查，我们发现，从面板A.1（L=36）到面板A.5（L=360），所有距离值都呈单调递减，但递减率较小。以FF5为例，女孩=36=1.07，女孩=60=0.29，女孩=120=0.19，女孩=240=0.18，女孩=360=0.17。这种模式是随着基金收益率样本量的增长，估计残差协方差矩阵的精度提高的结果。特别是，当基金数量n=25接近样本量L=36时，估计残差协方差矩阵变得非常不精确，超出了所有模型的GIR值，如面板A.1中的负t统计所示（解决方案参考第3.4节）。对于这种情况（n=25 L=36），我们还发现，对于所有模型，IR产生的距离值都比*低。这些结果与假设1一致。残差方差中的信息主要由估计误差控制，但残差方差中仍然包含有价值的测量技能信息。然而，样本量的增加有效地解决了估计问题。当n固定在25时，样本量L越大，使用GIR度量的好处就越显著。这些好处可以通过替代效应的距离等效度量直观地进行评估。例如，对于面板A.5中的n=25和L=360，GIRCAPM=0.39接近于距离等于*FF4=0.36，GIRFF3=0.32是距离等于*FF5=0.31，这表明替代效应比面板A.1到A.4中较小的样本量更强。

与其他面板相比，更显著的均值差异t统计也证实了更强的替代效应。参考上述n=25的基线结果，下面我们分别讨论表2的B、C、D和E组中n=10、50、100和200的结果，评估期L从36个月增加到360个月。对于所有小组，我们观察到与基线结果一致的模式：与使用α*和IR来衡量绩效相比，使用GIR通常有显著的收益，证实了假设1。a、 下面，我们首先研究随着样本量L的增大，估计残差协方差矩阵的精度提高的影响。我们发现，在每个面板中，随着评估周期的增加，所有四个模型中所有三个性能度量的距离值都单调减少；模型越不准确，距离值的减小越显著。例如，在B组（n=10），当L=36个月时，GIRCAPM=0.71；当L=360个月时，GIRCAPM=0.31，减少0.40；相比之下，当L=36个月时，GIRF5=0.25，当L=360个月时，GIRF5=0.12，减少0.13。这些结果与假设2是一致的。接下来，我们将研究基金数量对绩效衡量的影响。一般的发现是，随着基金数量的增加，使用GIR的收益会越来越大。我们可以使用距离等价度量来评估替代效应。对于n=200和L=360，最显著的替代效应如图E.2所示，即GIRCAPM=0.49小于IRFF5=0.67和α*FF5=0.94。这表明，在最大错误指定模型（CAPM）下使用GIR比在最小错误指定模型（FF5）下使用其他两种度量方法表现更好。

相比之下，当基金数量较少时，即小组B.5中的n=10和L=360，选择GIR而不是α*和IR的好处仍然非常显著，如平均差t统计所示；然而，效益并没有n大时那么大。最后，在基金数量n接近估值期长度L的情况下，即n=25 L=36，n=50 L=60，n=100 L=120，我们发现，GIR产生的距离度量值变成了无意义的值。这是由于估计问题造成的，即估计的残差协方差中的噪声量超过了信息内容。我们进一步研究了这个问题，并在第3.4节中提出了一个简单的解决方案。然而，在所有这些情况下，剩余方差仍然包含有用的信息，使得IR的距离小于*，即t(* IR）总是非常积极。这些病例的结果支持假设1。b、 图1绘制了由*、IR和GIR生成的距离度量的时间序列模式，对于n=200和L=360的情况，每个模型作为单独的图。这四个图让我们可以直观地看到，每个月，我们的模拟生成的三个性能度量之间的最大距离差异。在每个曲线图中，我们发现*和IR序列彼此之间的变化非常密切，并且随着时间的推移，这两个序列都表现出相当大的不稳定性。相比之下，GIR系列远远低于*和IRseries，并且随着时间的推移非常稳定。时间序列图，加上表2 Panel E中的汇总统计数据，为使用GIR作为稳健绩效衡量指标的最大潜在收益提供了有力的证据。[在此处插入图1]3.2.3不同数量的FundsAbove子节的影响侧重于不同L对每个n的绩效衡量的影响。

本小节通过固定L并检查不同n对性能度量的影响来改变观点。为此，我们首先提出了一个稍微修改的距离度量。请注意，表1和表2中的距离度量涉及运输整个横截面的分布（即总距离或TD），因此距离值随着资金数量的增加而增大。例如，对于表2每个面板中的L=360，对于n=10，GIRFF5=0.12，对于n=25，GIRFF5=0.17，对于n=50，GIRFF5=0.20，对于n=100和200，GIRFF5=0.22。我们注意到，随着n的增大，距离值的增加速率逐渐减小。为了评估不同数量基金的绩效指标，我们将平均距离（AD）定义为均方差的平方根，即用公式（17）中的距离度量除以n的平方根。该AD度量标准化了基金数量，以便不同n的基金池可以与每个基金的平均距离进行比较。还要注意的是，AD的平均差t统计数据与表2中TD的平均差t统计数据没有变化。[在此插入表3]表3显示了不同数量基金之间的平均距离值，方法是固定面板A中的L=36，面板B中的L=60，面板C中的L=120，面板D中的L=240，面板E中的L=360。我们发现*和IR的平均距离值通常保持不变，或者随着N的增长呈现出轻微的增长模式。以面板C中的L=120为例，*CAPM=0.15表示n=10和25，0.16表示n=50和100；对于n=10、25、50和100，IRCAPM=0.14*其他型号的IR显示出类似的模式。相反，随着n的增加，GIR明显呈现出下降的模式，除了少数情况下n接近L（解释见第3.4节）。