学习型实物期权中的技术不确定性

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英文标题：
《Technical Uncertainty in Real Options with Learning》
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作者：
Ali Al-Aradi, Alvaro Cartea, Sebastian Jaimungal
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce a new approach to incorporate uncertainty into the decision to invest in a commodity reserve. The investment is an irreversible one-off capital expenditure, after which the investor receives a stream of cashflow from extracting the commodity and selling it on the spot market. The investor is exposed to price uncertainty and uncertainty in the amount of available resources in the reserves (i.e. technical uncertainty). She does, however, learn about the reserve levels through time, which is a key determinant in the decision to invest. To model the reserve level uncertainty and how she learns about the estimates of the commodity in the reserve, we adopt a continuous-time Markov chain model to value the option to invest in the reserve and investigate the value that learning has prior to investment.
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中文摘要：
我们引入了一种新方法，将不确定性纳入投资商品储备的决策中。投资是一种不可逆转的一次性资本支出，之后投资者从提取商品并在现货市场出售中获得现金流。投资者面临价格不确定性和储量中可用资源量的不确定性（即技术不确定性）。然而，她确实通过时间了解了外汇储备水平，这是投资决策的关键决定因素。为了对储备水平的不确定性以及她如何了解储备中商品的估计值进行建模，我们采用连续时间马尔可夫链模型对投资储备的期权进行估值，并调查投资前学习的价值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Technical_Uncertainty_in_Real_Options_with_Learning.pdf (837.89 KB)

2022-6-9 18:58:33 上传

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关键词：不确定性 实物期权 确定性 不确定 学习型

《能源市场杂志》，ForthcomingAli Al-Aradia，\'Alvaro Carteab，Sebastian JaimungalcaDepartment of Statistical Sciences，University of Toronto，Toronto，CanadabMathematic Institute，University of Oxford，Oxford，UKOxford Man Institute of Quantitative Finance，Oxford，UKcDepartment of Statistical Sciences，University of Toronto，加拿大多伦多Abstractwe引入了一种新方法，将不确定性纳入到对Acomodity reserve的投资决策中。该投资是一种不可逆转的一次性资本支出，之后投资者从提取商品并在现货市场出售中获得一系列现金流。投资者面临价格不确定性和储量中可用资源量的不确定性（即技术不确定性）。然而，她确实通过时间了解到了储备水平，这是投资决策的关键决定因素。为了建模储备水平的不确定性以及她如何了解储备中商品的估计，我们采用连续时间马尔可夫链模型对投资储备的期权进行估值，并调查投资前学习的价值。关键词：实物期权；不确定性投资；技术不确定性；不可逆性1。引言做出投资决策的最佳市场条件是什么，这是学术文献中广泛研究的问题，也是不确定条件下项目评估和执行的核心关键问题。一些投资项目有权推迟决策，直到市场条件达到最佳状态。这个选项很有价值，因为决策是在决策产生的潜在收益最大化时做出的。

McDonald和Siegel（1986）的经典著作是第一部将投资问题正式化的著作。我们感谢两位匿名推荐人的宝贵意见。电子邮件地址：ali。al。aradi@utoronto.ca（阿里·阿拉迪），阿尔瓦罗。Cartea@maths.ox.ac.uk（\'Alvaro Cartea），塞巴斯蒂安。jaimungal@utoronto.ca（SebastianJaimungal）作为投资项目的实物期权。在他们的工作中，期权的价值是通过比较当前投资价值与未来投资价值的差异来计算的。具体而言，实物期权isOt的值=supτ∈TE公司e-ρ(τ -t） （Vτ- Iτ）+, （1） 式中，T是一组可容许的F-停止（行使）时间，ρ是风险调整后的贴现率，vt和it分别是项目价值和（沉没）成本。传统上，项目价值和成本采用几何布朗运动（GBM）建模。该问题的解表明，最优投资策略是当Vt/I的比率达到临界边界B时进行投资（最优报废/剥离问题类似，Vt和Itreversed的作用相同）。最近，几位作者利用均值回复项目价值和成本研究了这一问题（见Metcalf和Hasset（1995）、Sarkar（2003）、Jaimungal等人（2013））。在另一篇经典论文中，Brennan和Schwartz（1985）专注于胺的管理（控制产量、开/关矿山、废弃等），而不是最佳时机问题（另见Dixit（1989））。管理决策由输出价格调整，输出价格建模为GBM，而成本是已知的。这些经典著作没有考虑与储量水平相关的不确定性。为了解释这种“技术不确定性”，Pindyck（1980）开发了一个模型，其中需求和储备水平随着方差的增加而不断变化。

此外，最优策略受到勘探的影响，并以两种不同的方式作为政策（即控制）变量引入。第一种方法允许探索效应影响“知识”水平，从而减少储量波动的差异。第二种假设，储量的发现速度取决于：过去已经发现了多少，当前的影响量，以及外部噪音。针对技术不确定性投资时机问题的最新方法包括Armstrong等人（2004年）使用贝叶斯更新，Elliott等人（2009年）使用马尔可夫链建模项目成本，以及inSadowsky（2005年）使用比例建模学习。此外，Cort\'azar et al.（2001）描述了评估几个阶段勘探的综合方法，解决了时间问题，并提供了投资管理（关闭、打开等）决策规则——另见Brennan和Schwartz（1985）。其他将实物期权技术纳入商品和能源灵活性评估和投资决策的工作包括Himpler和Madlener（2014），他们研究了风电场重新供电的最佳时机；Taschini和Urech（2010），他们研究了在不同情景和燃料激励下切换燃料的选择；Fleten et al.（2011）研究了在两个地点之间选择电力互连器容量的选项，Cartea和Gonz\'alez Pedraz（2012）将电力互连器视为两个地点价格差异的实物期权流。与此同时，Cartea和Jaimungal（2017）研究了模型不确定性对不可逆投资的影响。这项工作通过结合市场和储量的不确定性来补充文献，同时允许代理人了解储量的状态。

储量不确定性由马尔可夫链模型表示，该模型的转移率随着时间的推移而衰减，以模拟学习的概念。该模型是在石油勘探的背景下建立的，但是，它可以应用于其他商品投资问题，如贵金属或贱金属开采以及天然气田。我们通过开发一种傅里叶时空步进法来评估投资勘探的不可逆选择权，如Jackson等人（2008）、Jaimungal和Surkov（2011）以及Jaimungal和Surkov（2013）分别针对股票、商品和利率衍生品。关于商品和算法交易中的模糊规避和模型不确定性的其他工作，请参见Cartea et al.（2016）、Carteaet al.（2017）、Cartea et al.（2018），如果可以获得勘探成本和产量估计，则模型的校准相对简单。我们展示了如何使用该模型来评估勘探成本是否保证从发现储量和提取储量中获得潜在利益。具体而言，我们展示了如何计算延迟投资期权的价值，并讨论了代理人的最佳投资阈值。该阈值（也称为行使边界）取决于许多变量和因素，包括：代理人对储备量的估计、代理人了解储备量的速率、代理人提取商品的速率以及期权到期。我们表明，等待和学习选项的价值在开始时很高，随着选项到期的临近，逐渐降低，因为代理几乎没有剩余的学习时间。我们假设投资成本取决于储量。如果估计量较高（分别较低），则提取商品的沉没成本较高（分别较低）。

这会影响投资的最佳时间，以及确定沉没成本的现货价格水平。例如，我们表明，当交易量估计值较低，且投资期权远未到期时，代理人设置了一个较高的投资阈值，这是由于两个影响，使得延迟投资期权具有价值。首先，低交易量需要较高的大宗商品现货价格来证明投资的合理性。第二，距离到期还有很长一段时间，投资者非常重视等待和了解储量的估计量。另一方面，随着期权接近到期，这两种影响变得越来越弱。特别是，学习的价值很低，因为没有时间了解储量估计，所以投资决策仅仅基于考虑到商品的现货价格、商品提取率以及其不确定性，是否会收回成本。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提供了建模框架的详细信息，包括我们如何对基础项目中的技术不确定性和不确定性进行建模。此外，我们还为代理人通过勘探了解保护区环境提供了一种方法。接下来，第3节对傅立叶时空步进法进行分析，以评估不可逆学习投资中的早期锻炼特征。第4节展示了如何校准模型，以估算勘探成本和本次勘探的预期效益。第5节提供了一些数值实验来证明该方法的有效性，并分析了模型的定性行为及其含义。最后，我们为今后的工作提供了一些总结和想法。2.

模型假设在本节中，我们为推动实物期权价值探索和（不可逆转地）投资项目的两个不确定性来源提供了模型。此处描述的环境在一定程度上针对石油勘探进行了调整，但是，可以对其进行修改，以处理其他活动，包括采矿、天然气和页岩气以及其他自然勘探。我们设置的另一个扩展是考虑封存勘探和/或开采的选项（一旦开采开始），以及可能在勘探和投资中产生的其他管理灵活性。例如，见McDonald和Siegel（1985年）、Dixit和Pindyck（1994年）、Trigeorgis（1996年）、Tsekrekos（2010年）、Jaimungal和Lawryshyn（2015年）以及Kobari等人（2014年）。我们首先描述如何建模技术不确定性，然后描述如何建模项目价值不确定性。通常，我们假设一个过滤的概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中过滤{Ft}t≥0将在稍后阶段进行更详细的描述。我们还假设存在一个等价鞅测度，或风险中性测度，Q，下面的所有模型都是根据这个概率测度编写的。2.1. 技术不确定度t V=（Vt）t≥0表示估计储量（水平）过程，θ为真实储量。投资者不知道真实的储量θ，如果在时间t时有可用的信息，可以将其视为一个随机变量，但它将显示为t→ ∞. 为简单起见，我们假设可能的储量水平及其估计值采用一组有限的可能储量值。我们将估计储量水平建模为一个连续时间（非均匀）马尔可夫链，因为储量估计会随着勘探获得的新信息而更新。

此外，为了证明随着时间的推移获得更多信息，估计的准确性会提高，我们假设随着时间的推移，体积估计状态之间的转换率会降低。此外，我们假设limt→∞Vt=θ几乎可以肯定地反映出前面提到的特性，即真实的储备水平是通过我们需要假设的通道向投资者揭示的∞ 几乎可以肯定。时间的问题。更具体地说，估算储量vt由有限状态、连续时间、非齐次马尔可夫链Zt调节，取{1，…，m}的值viaVt=v（Zt），（2），其中常数v（1），···，v（m）∈ Rm+（3）是可能的保留卷。马尔可夫链Zt的生成矩阵用GT表示，并假设其形式为GT=htA，（4），其中htA是确定性的非负时间递减函数，因此htt→∞---→ 0andR∞hudu<∞, A是一个常数m×m矩阵，Pnj=1Aij=0，对于i 6=j，Aij>0。马尔可夫链的状态对应于储量水平的各种可能估计，从而捕获这些估计中的不确定性。函数HTCapture捕获代理如何了解储备中商品的数量。h的减小意味着转移率也在减小，因此估计体积的变化概率随着时间的推移而减小，因此估计变得更加准确。不可逆勘探投资的最佳政策，以及基于商品开采的项目后续价值，自然取决于观察到的储量估计——第4节详细讨论了HTA和A的形式，以及如何根据数据进行校准。2.2.

市场不确定性第二个不确定性来源于商品的现货价格，该价格由S=（St）t决定≥0，并被建模为Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程的指数：St=exp{θ+Xt}，（5a），其中OU过程X=（Xt）t≥0满足随机微分方程（SDE）dXt=-κXtdt+σdWt，（5b），其中W=（Wt）t≥0是一个标准的布朗运动（与Z无关），κ>0是平均回复率，θ是平均回复的（对数）水平，σ是的（对数）波动率。我们原则上可以通过写出Vt=E[θ| Gt]，其中G=（Gt）t来推导出这样一个模型≥0表示生成真实储量信息的过滤器。在一些特定的建模假设下，V可以转化为马尔可夫链表示。我们选择不深入研究这些细节，因为这有损于我们提议的方法的含蓄性，而是直接使用模型V。现货价格。此类商品现货价格模型在文献中得到了广泛应用，如Cartea和Figueroa（2005）、Weron（2007）、Cartea和Williams（2008）、Kiesel等人（2009）、Coulon等人（2013）。既然我们已经确定了储备商品存量及其市场价格的模型，那么我们需要一个最终要素：储备商品的市场价值。我们用过程P=（Pt）t来表示这个值≥0并演示如何分步计算。假设在时间t进行投资，然后提取商品 ≥ 0之后，提取继续，直到随机（停止）时间τ=t+ + .在这里 > 0表示完成提取过程所需的时间量。投资者不知道储备中有多少商品，因此耗尽时间（和提取持续时间）是一个随机停止时间。

我们还注意到，工程和物理限制阻止了储备中储存的商品总量的提取，相反，只有γθ是可提取的，0<γ<1。消耗的随机时间 与未知的总储量θ通过提取率相关。特别是，我们有：Zt++t型+g（u）du=γθ，（6），其中g（u）表示时间u的提取率。我们假设一旦开始提取，商品以g（u）=αe的速率提取-β（u-（t+)), u∈ [t+, t+ + ] , （7） 其中α≥ 0和β≥ 图1显示了指数提取率的样式化图片（7）。根据（7）中的特定提取率模型，消耗时间可以写为 = -β对数1.-βαγ θ, （8） 这是一个随机变量，因为θ只被称为t→ ∞.开采开始时，储量的价值由许多因素决定，包括：商品价格、与储量不确定性相关的马尔可夫链状态以及储量耗尽的随机时间。