用中心函数推导Black-Scholes期权定价模型

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英文标题：
《A derivation of the Black-Scholes option pricing model using a central
  limit theorem argument》
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作者：
Rajeshwari Majumdar, Phanuel Mariano, Lowen Peng and Anthony Sisti
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The Black-Scholes model (sometimes known as the Black-Scholes-Merton model) gives a theoretical estimate for the price of European options. The price evolution under this model is described by the Black-Scholes formula, one of the most well-known formulas in mathematical finance. For their discovery, Merton and Scholes have been awarded the 1997 Nobel prize in Economics. The standard method of deriving the Black-Scholes European call option pricing formula involves stochastic differential equations. This approach is out of reach for most students learning the model for the first time. We provide an alternate derivation using the Lindeberg-Feller central limit theorem under suitable assumptions. Our approach is elementary and can be understood by undergraduates taking a standard undergraduate course in probability.
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中文摘要：
Black-Scholes模型（有时称为Black-Scholes-Merton模型）给出了欧式期权价格的理论估计。该模型下的价格演变由Black-Scholes公式描述，Black-Scholes公式是金融数学中最著名的公式之一。由于他们的发现，默顿和斯科尔斯获得了1997年诺贝尔经济学奖。推导Black-Scholes欧式看涨期权定价公式的标准方法涉及随机微分方程。这种方法对于大多数第一次学习该模型的学生来说是遥不可及的。在适当的假设下，我们使用Lindeberg-Feller中心极限定理提供了另一种推导方法。我们的方法是基本的，在概率方面修读标准本科课程的本科生可以理解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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关键词：SCHOLES choles 期权定价模型 Black Holes

BLACK-SCHOLES期权定价模型的推导，使用中心极限定理论证Rajeshwari MAJUMDAR§+，PHANUEL MARIANO§，LOWEN PENG§, 和ANTHONY SISTI§摘要Black-Scholes模型（有时称为Black-Scholes-Merton模型）给出了欧式期权价格的理论估计。该模型下的价格演变由Black-Scholes公式描述，该公式是数学金融领域最著名的公式之一。由于他们的发现，默顿和斯科尔斯获得了1997年诺贝尔经济学奖。推导Black-Scholes欧洲看涨期权定价公式的标准方法涉及随机微分方程。这种方法对于大多数第一次学习该模型的学生来说是遥不可及的。在适当的假设下，我们使用Lindeberg-Feller中心极限定理提供了另一种竞争。我们的方法是基本的，在概率方面修读标准本科课程的本科生可以理解。内容1、导言12。欧洲Ca ll选项33的定价。价格的对数正态性4参考文献61。简介Black-Scholes模型是由Fischer Black和Myron Scholes在其1973年题为“期权定价和利率负债”的论文中提出的。他们利用随机微积分和偏微分方程中的技术，推导出了一个“欧式”期权的价值公式，即股票价格[2]。1973年晚些时候，罗伯特·C·默顿（RobertC.Merton）在其题为“理性期权定价理论”（Theory of RationalOption Pricing）的论文中扩展了布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型背后的数学思想。自推出以来，该公式已被期权交易广泛用于近似价格，并产生了各种新的衍生品定价模型。Black-Scholes模型的现代推导可在[5]中找到。

Ross给出的推导使用了100页的篇幅来推导Black-Scholes，需要讨论几何布朗运动。在这篇文章中，我们考虑了一种利用中心极限定理推导Black-Scholes欧式看涨期权定价公式的替代方法。我们的方法将是简明的、初级的，任何参加概率专业标准本科课程的人都能理解。中心极限定理在现代概率论的发展中发挥了关键作用，拉普拉斯、泊松、柯西、林德伯格和列维等数学家在十九世纪和二十世纪为概率论的发展做出了贡献。如【4】所述，中心极限定理的基本形式如下：大量独立且分布相同的随机变量的总和，具有有限的均值和方差，近似于正态随机变量的分布。数学上，让X，X，是一个随机变量序列，Sn=Pnk=1Xk。然后，在各种不同的条件下，适当居中和归一化SUMSN的分布函数收敛到标准正态分布函数a s n→ ∞. 在第3节中，我们使用中心极限定理的LindebergFeller变量（如[7]所述），在适当的假设下建立资产价格的对数正态性：1991年数学学科分类。初级91B28；次级91G20 60G99 60F05。关键词和短语。布莱克斯科尔斯；数学金融；期权定价；中心极限定理。§研究部分得到了NSF拨款D MS-1262929的支持。定理1.1（林德伯格·费勒）。假设对于每个n和i=1。n、 Xniare独立，havemean 0。设Sn=Pni=1Xni。假设Pni=1E【Xni】→ 0的σ<σ<∞.

然后，以下两个条件是等价的：（a）sn弱收敛到均值为0且方差为σ的正态随机变量，三角形array{Xni}满足以下条件：→0最大值Xni公司= 0。（b）（林德伯格条件）对于所有>0，nXi=1EXni|Xni |>→ 我们在本文中的工作受到了[6]第17章和第18章的启发。我们使用一种基本方法对文本中讨论的结果进行了严格的数学处理，这一方法对修过本科概率课程的学生来说是可行的。本节其余部分介绍了布莱克-斯科尔斯模型的基本财务概念。金融工具是任何可以在市场上交易的资产组合。考虑以下类型的仪器：如果发生事件B，仪器持有人收到一美元，如果未发生事件B，仪器持有人什么也收不到。此类工具的价值取决于事件发生的概率。这种可能性通过一种定价方法（用Q表示）进行评估。定价方法可以作为一种确定人们为了拥有金融工具而愿意支付的基础资产金额的方法。例如，如果一项金融工具涉及一美元的兑换，假设发生了事件B，并且事件B发生的概率为Q（B），那么个人将冒着Q（B）美元的风险持有该工具。货币工具价格的计量单位称为计价单位。在上一个示例中，美元将起到计算数字的作用，而定价指标将与美元相对应。数字有时间戳，所以它们的值对应于一个设定的日期。考虑数字，例如今天一个单位的现金，或者将来一个时间t一个单位的现金；该单位现金的价值可能会从今天到现在有所不同。

因此，我们规定，定价措施与时间t的计价单位现金有关。看涨期权（分别为看跌期权）是一种合同，赋予期权持有人在[0，t]（对于美国期权）或时间t（对于欧洲期权）期间以称为执行价的特定价格K购买（分别为出售）资产的权利，其中t是该权利的到期时间（通常称为到期时间）。在下文中，我们对欧洲看涨期权进行了定价，该看涨期权使持有人有权在到期t时购买一个单位的标的资产，用于行使K。欧洲看涨期权价格的Black-Scholes公式是在假设期权（或标的工具）交易不存在套利机会的情况下推导出来的，即，人们不能期望通过购买（或出售）期权（或基础工具）来产生ris k自由收益。我们表示期权定价为时间0的时间，标的工具估值为X的时间。回想一下，期权在时间t到期，期权的执行价格为K。假设无风险利率为r。如果期权定价为C，则在连续复利下，其在时间t的未来价值是确定的，X表示标的工具在时间t的价格，期权的收益为最大（Xt- K、 0）。期权交易的无套利机会需要方程式（1.1）C=e-rtE（最大值（Xt- K、 0）），以保持；同样，基础工具交易的无套利机会要求方程式（1.2）E（Xt）=Xert成立。

Black-Scholes欧式期权定价模型下欧式看涨期权的定价公式为（1.3）C=XN（d+）- Ke公司-rtN（d-),式中，N是标准正常CDF，即N（x）=√2πZx-∞e-y/2dy，d±=σ√tlogertX/K±σ√t、 σ是标的资产到期收益率的波动率。示例1.1。考虑在以下条件下，现值为50欧元、执行价为52欧元的股票的欧洲看涨期权定价：r=4%（每年），t=1（年），σ=0.15。为了计算该期权的价格，我们使用方程式（1.3）。We FIRST FIND+=日志e0.04（1）50/520.15+(0.15) = 0 .0802和D-=日志e0.04（1）50/520.15-(0.15) = - 0.0698;然后我们得到C=50N（0.0802）- 52e-（0.04）（1）N(-0.0698)= 50(.532) -52(0.96)(0.472)= 3.04.因此，根据Black-Scholes模型，该看涨期权的价格为3.04欧元。在第2节中，我们假设基础资产价格的对数正态性，推导了看涨期权定价公式。在第3节中，我们在适当的假设下证明了对数正态性。2、欧洲看涨期权定价推导（1.3）中的看涨期权定价公式，我们首先展示了以下关于正态随机变量的事实。引理2.1。对于平均值为uY、标准偏差为σY且M>0的任何正态随机变量Y，wehaveE最大值eY公司- M、 0个= EeY公司氮（h+）- MN（h-) ,其中H±=日志EeY公司.M±σY.σY.证明。对于正态随机变量Y，EeY公司= euY+σY。因此，h+=uY+σY- 对数MσYh-=uY- 记录MσY。现在注意e最大值eY公司- M、 0个=Z∞对数MeyφuY，σY（Y）dy- M P（Y>log M），其中φuY，σY是Y的密度。完成方形-（y）- uY）2σY=uY+σY-y-uY+σY2σy使用等式1获得- N（x）=N(- x） ，Z∞对数MeyφuY，σY（Y）dy=euY+σYN（h+）。SinceP（Y>log M）=N（h-) ,平等随之而来。回想一下，在无套利的假设下，欧洲看涨期权的价格必须等于期权的预期收益。

期望值是根据与time-t现金计分法相对应的预测指标Qt计算的。提案2.2。假设没有套利机会，且无风险利率为r。考虑到期日为t且期限为K的工具上的欧洲看涨期权。设Xt为基础工具的时间t价格，其中Xt=Xeyt和Qt诱导的Ytis N分布（uYt，σYt）。然后，看涨期权的贴现（即时间-0）价格C由（2.1）C=XN（d+）给出- Ke公司-rtN（d-),其中d±=σYtlogertX/K±σYt。证据根据Xt的定义，最大值（Xt- K、 0）=XmaxeYt公司-KX，.引理2.1，E最大值eYt公司-KX，= EeYt公司氮（h+）-KXN（h-)带H±=日志EeYt公司XK公司±σYt.σYt=d±，其中第二个等式来自方程式（1.2）。根据方程式（1.1）进行证明。3、价格的对数正态性在上一节中，我们推导了Black-Scholes公式，前提是我们的价格服从对数正态分布。在这一节中，我们使用Lindeberg-Feller中心极限定理在以下假设下证明这个前提。根据定价指标Q计算费用，与时间-0现金计价相对应。假设1。对于每个t，随机变量Yt=对数x为有限方差。假设2。该过程是平稳的和独立的增量。也就是说，差异Yt-i对不相交区间[s，t]是独立的；对于等长的间隔，它们是i.i.d.假设3。每>0，nEh年初至今/月- Y;年初至今/月- Y> i→ 0作为n→ ∞.定理3.1。在假设1、2和3下，对于每t>0，Ytis一个关于定价度量q的正态随机变量，对于某些常数σ，方差σt为σ≥ 0和所有t≥ 0.除了林德伯格-费勒中心极限定理（定理1.1），定理3.1的证明还利用了以下引理。引理3.2。

假设f：[0，∞) → [0, ∞) 满意度f（x+y）=f（x）+f（y）。对于所有x，存在一个常数C，例如f（x）=Cx≥ 0.证明。我们首先观察到f（0）=f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），这意味着f（0）=0。我们可以通过归纳法证明（3.1）f（m）=mf（1）对于所有m≥ 设p和q（>1）为无公因子的正整数。再次感应，（3.2）fmpq公司= mf公司pq对于所有m≥ 使用方程式（3.1）和方程式（3.2），pf（1）=f（p）=fqpq= qf公司pq;因此，对于p/q形式的每个正有理数r，（3.3）f（r）=fpq=pqf（1）=rf（1）。因此，我们已经证明，对于0, ∞,（3.4）f（x）=Cx，其中C=f（1）。注意，如果x≤ y、 thenf（y）=f（x+y- x） =f（x）+f（y- x）≥ f（x），表明f是非递减的。我们声称方程（3.4）是一个正无理数d。让nbe是一个正整数，这样对于所有n≥ n、 n<d.每n≥ n、 选择rn∈d-n、 d和序号∈d、 d+n是任意有理数。然后，通过方程（3.4）和观察到的f的单调性，rnf（1）=f（rn）≤ f（d）≤ f（sn）=snf（1）。自rn起→ d和sn→ d、 根据挤压定理，我们得到f（d）根据需要收敛到df（1）。我们现在准备证明定理3.1。证据

我们首先表明（3.5）Var【Yt】=σt。为此，请注意（3.6）Yt+s- Y=Yt+s- Yt+Yt- Y根据假设2，独立增量后跟平稳y增量，Var[Yt+s- Y] =Var[年+月]- Yt]+Var[Yt- Y] =变量[Ys- Y] +Var[年初至今- Y] 。（3.7）f（u）=Var[Yu- Y] ，方程式（3.7）减少到（3.8）f（t+s）=f（t）+f（s）。由于f是非负的，根据引理3.2，f（t）=tf（1），其中f（1）=Var[Y- Y] =σ，从而建立方程（3.5）。现在，为了证明定理的断言，我们证明了Yt- Y、 其中，Yi是一个确定性量，正态分布，方差σt使用Lindeberg-Feller定理。（3.9）Xni=Yti/n- Yt（i-1） /n，我们通过遥视取消获得，（3.10）Yt- Y=nXi=1Xni，其中为了便于标注，抑制了Xnion t的依赖性。从那时起- Y- E[年初至今- Y] =nXi=1Yti/编号- Yt（i-1） /不适用-EYti/编号- EYt（i-1） /不适用,在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Yt- Yand Xni=Yti/n- Yt（i-1） /n平均值为零。根据假设2中的静态增量，xNI与Yt/n具有相同的分布- Y、 因此，通过方程式（3.5），（3.11）EXni公司= σtn，意味着Pni=1EXni公司= σt。因此，一旦满足Lindeberg条件，我们就可以应用Lindeberg-Feller中心极限定理。让>0。根据上述平稳增量假设的顺序，nXi=1EXni|Xni |>= 内赫年初至今/月- Y;年初至今/月- Y> i，林德伯格条件源自假设3。下面是几句话。备注3.3。虽然假设1和2反映了资产评估价格过程的合理属性，但很难解释假设3。似乎这个假设的唯一意义在于它对林德伯格条件的有效性。

然而，请注意，方程式（3.9）中定义的数组通过方程式（3.11）满足Lindeberg-Feller定理中第一个条件的第二部分，从而得出所需渐近正态性所需的假设3。备注3.4。我们注意到，原则上需要Lindeberg条件来避免随机过程Yt中的跳跃。如果没有这个条件，可以将泊松过程作为一个极限（或者更一般地说是一个L'evyprocess），但这超出了本文的范围。参见示例【1，定理28.5】。确认信息。作者非常感谢与M.Gordina、O.Mostovyi、H.Panzo、A.Sengupta和A.Teplyaev进行的许多有益且激励人心的对话。参考文献[1]Patrick Billingsley。概率和度量。概率与数理统计：概率与数理统计。约翰·威利父子公司，纽约，第二版，1986年。[2] Fischer Black和Myron Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81（3）：637–6541973年。[3] 罗伯特·C·默顿。理性期权定价理论。贝尔J.经济学。和管理科学。，4:141–183, 1973.[4] 瓦伦丁·彼得罗夫。概率论极限定理，牛津概率研究第4卷。克拉伦登出版社，牛津大学出版社，纽约，1995年。《独立随机变量序列》，牛津科学出版社。[5] 谢尔顿·M·罗斯。数学金融入门。剑桥大学出版社，剑桥，第三版，2011年。[6] A.森古普塔。衍生产品定价。麦格劳·希尔，2005年。[7] S.R.S.瓦拉丹。概率论。库兰特讲座。