保险损失的极值依赖和空间风险度量

如Huserand Davidson（2014年，第2.3节）所述，除了是点方向最大值的非常自然的模型外，最大稳定场还为个别观测的极端值提供了适当的模型。我们有时会假设Z有标准的Fréchet边距；具有此类边缘的最大稳定油田被认为是简单的，并将在上标中用“（s）”表示。RDN上任何简单的最大稳定随机场Z都可以写成（例如，de Haan，1984）asnZ（s）（x）ox∈Rdd公司=(∞_i=1{UiYi（x）}）x∈Rd，（2）其中（Ui）i≥1是（0，∞) 带强度函数u-2ν（du）和theYi，i≥ 1，是随机场{Y（x）}x的独立复制∈Rd这样，对于所有x∈ Rd，E[Y（x）]=1。场Y不是唯一的，被称为Z（s）的光谱随机场。相反，任何形式（2）的随机场都是一个简单的最大稳定场。现在，让（Ui，Ci）i≥1泊松点过程的点位于（0，∞) x Rdwith intensity function u-2ν（du）×ν（dc）。独立，让fi，i≥ 1，在满足RDE的条件下，是一些非负随机函数f的独立复制RRdf（x）ν（dx）= 1、然后，混合运动极大值（M3）随机场{Z（s）（x）}x∈研发部=(∞_i=1{Uifi（x- Ci）}）x∈Rd（3）是一个平稳且简单的最大稳定场。方程式（2）和（3）在实践中很有用，因为它们能够建立最大稳定油田的参数模型，其中一些简要介绍如下。设{ε（x）}x∈Rdbe是具有任何相关函数的平稳标准高斯随机场。设{W（x）}x∈Rdbe是一个中心高斯随机场，具有平稳增量和变异函数γW，{Y（x）}x∈Rdbe由Y（x）=exp（W（x）定义- Var（W（x））/2，其中Var表示方差。

因此，在本文中，平稳性指的是严格平稳性。（2）用Y定义的Z（s）场称为与变差函数γW相关的Brown-Resnick随机场（Brown和Resnick，1977；Kabluchko等人，2009）。它是平稳的，其分布仅取决于变异函数（Kabluchko et al.，2009，定理2和命题11）。W（x）=σε（x），σ>0的特殊情况会导致所谓的几何高斯随机场（如Davison et al.，2012）。现在，如果Z（s）如（3）所示，f是平均值为0且协方差矩阵为正的d变量高斯随机向量的密度，则称为协方差矩阵为∑的史密斯随机场（Smith，1990）。Schlather模型（Schlather，2002）来自takingY（x）=√2πε（x）in（2）。最后，当采用（3）f（y）=hbI{kyk<Rb}，y时，出现了管模型（Ancona Navarrete and Tawn（2002）和Koch（2017）的初步版本∈ R、 其中Rb>0且hb=1/（πRb）。Brown-Resnick油田常用的变异函数为γW（x）=（kxk/κ）ψ，x∈ Rd，（4）其中κ>0和ψ∈ （0，2）分别是范围和平滑度参数。（4）的等效参数化为γW（x）=mkxkψ，其中m>0，ψ∈ （0，2）。如果对于所有x∈ Rd，γW（x）仅依赖于kxk，其中k.k表示欧氏范数。在这种情况下，我们将单变量函数γW，u:[0，∞) → [0, ∞) 这样，对于所有x∈ Rd，γW（x）=γW，u（kxk）。在下文中，我们将主要关注Brown–Resnick random油田，其中包括Smith random油田。事实上，具有协方差矩阵的Smith场∑对应于与变差函数γW（x）=x∑相关的Brown-Resnick场-1x，x∈ Rd，（5）其中指定换位；例如，参见Huser和Davidson（2013）。

（5）中的变异函数也可以写成kxk∑，其中k·k∑是与矩阵∑诱导的内积相关的范数-1、二元极值系数函数Θ（如Schlather和Tawn，2003），这是一个众所周知的最大稳定域空间相关性的度量，满足所有u>0，PZ（s）（x）≤ u、 Z（s）（x）≤ u=经验值(-Θ（x，x）/u），x，x∈ Rd，其中{Z（s）（x）}x∈Rdis simple最大稳定。在实际应用中，最大稳定场并不简单，而是具有位置、规模和形状参数η的GEV单变量边际分布∈ R、 τ>0和ξ∈ R、 如果{Z（x）}x∈Ris是具有此类GEV参数的最大稳定场，我们可以写Ez（x）=(η - τ/ξ）+τZ（s）（x）ξ/ξ，ξ6=0，η+τlog（Z（s）（x）），ξ=0，（6）其中{Z（s）（x）}x∈Rdis simple最大稳定。最后，请注意，其他作者在极值框架内考虑了与（1）类似的数量，但没有成本场，也没有将其作为开发空间风险度量概念的工具。例如，Coles and Tawn（1996）使用最大稳定场的归一化空间积分对所谓的面雨量进行建模，Ferreira et al.（2012）研究了最大稳定场最大吸引域中连续随机场紧凑区域上积分的尾部特性，Dombry和Ribatet（2015）建议使用场地的空间积分来确定帕累托场地的阈值超标。3 Brown-Resnick场幂的相关性和对Windextremes的应用3.1理论文献中介绍了最大稳定随机场的几种依赖性度量：极端系数（例如Schlather和Tawn，2003），F-madogram（Cooley et al.，2006）和λmadogram（Naveau et al.，2009），以及许多其他。在这里，我们提出了一种新的空间相关性度量，即最大稳定场和非最大稳定场本身的幂的相关性。

更准确地说，让{Z（x）}x∈Rbe具有GEV参数η的最大稳定随机场∈ R、 τ>0，ξ6=0，和β∈ N*使得βξ<1/2，我们关注于β，η，τ，ξ（x，x）=CorrZ（x）β，Z（x）β, x、 x个∈ R、 （7）考虑该数量的主要动机在于，它可以被视为风造成损害的空间依赖性的度量（见第2.2节），因此对于精算实践来说是富有成效的。这也可能有助于从理论上理解最大稳定场，并有助于研究第4.1节中与方差相关的空间风险度量。尽管存在缺点，但相关性通常只用于金融/保险行业，这使得其研究从实践角度来看很有用。此外，当我们考虑已经模拟极端事件的随机变量之间的相关性时，关于它不能正确捕捉极端依赖性的批评在某种程度上是无关紧要的。本节的目的是研究Brown-Resnick随机油田的Dβ、η、τ、ξ。由于损伤功率β的可能值范围很广，其对β的敏感性也将被考虑在内。Brown–Resnick油田是当前可用的最大稳定模型中最合适（如果不是最合适的）的模型之一，至少对于环境数据而言是如此（例如，Davison et al.，2012，第7.4节，以降雨为例）。值得注意的是，它允许现实的实现，以及当距离变细时的独立性。从（6）中，我们知道，任何具有一般GEV利润的最大稳定油田都可以表示为简单最大稳定油田的函数。因此，我们首先考虑简单的最大稳定场，因为它们更容易处理。下面的引理是直接引理，因此省略了证明。引理1。Letβ∈ R和Z（s）是遵循标准Fréchet分布的随机变量。

那么（Z（s））β有一个有限的一阶矩当且仅当（i ff）β<1和一个有限的二阶矩i ffβ<1/2。此外，E[（Z（s））β]=Γ（1- β） ，其中Γ表示伽马函数。对于β，β<1/2，我们引入了由g（s）β，β（h）定义的函数g（s）β，β=Γ(1 - β- β） ，如果h=0，Z∞θβhC（θ，h）C（θ，h）β+β-2Γ(2 - β- β） +C（θ，h）C（θ，h）β+β-1Γ(1 - β- β） iν（dθ），如果h>0，（8），其中，对于θ，h>0，C（θ，h）=Φh+对数（θ）h+θΦh类-对数（θ）h,C（θ，h）=Φh+对数（θ）h+hφh+对数（θ）h-hθφh类-对数（θ）h×θΦh类-对数（θ）h+hθφh类-对数（θ）h-hθφh+对数（θ）h,C（θ，h）=hθh类-对数（θ）hφh+对数（θ）h+hθh+对数（θ）hφh类-对数（θ）h,Φ和φ分别表示标准高斯分布和密度函数。我们用Cov表示协方差。下面的结果将有助于我们推导Dβ，η，τ，ξ的表达式。定理1。设{Z（s）（x）}x∈Rbe与变异函数γW相关的简单布朗-雷斯尼克随机场。然后，对于所有x，x∈ Randβ，β<1/2，我们有COVZ（s）（x）β，Z（s）（x）β= g（s）β，βpγW（x- x）- Γ(1 - β)Γ(1 - β). （9） 证明。设β，β<1/2和x∈ R、 首先，我们展示了x=x=x的情况下的结果。因为Z是简单的最大稳定的，所以它遵循引理1 thatCovZ（s）（x）β，Z（s）（x）β= Γ(1 - β- β) - Γ(1 - β)Γ(1 - β） =g（s）β，β（0）- Γ(1 - β)Γ(1 - β） ，其生成（9）为γW（0）=0。现在，我们证明了在x，xare是R的不同向量的情况下的结果。我们有ehz（s）（x）βZ（s）（x）βi=Z∞Z∞zβzβl（z，z）ν（dz）ν（dz），其中l表示布朗-雷斯尼克油田z（s）（x和x处）的双变量密度。为了利用多元极值分布的半径/角度分解，我们将变量zz公司=uθu=ψ（u，θ）ψ（u，θ）= ψ（u，θ）。相应的雅可比矩阵为writenjψ（u，θ）=1 0θu,它的行列式是det（Jψ（u，θ））=u。

因此，引入ga（z，z）=zβzβl（z，z），z，z>0，我们得到了ehz（s）（x）βz（s）（x）βi=z∞Z∞a（z，z）ν（dz）ν（dz）=z zψ-1((0,∞))a（ψ（u，θ））det（Jψ（u，θ））ν（du）ν（dθ）=Z∞Z∞uβθβuβl（u，θu）uν（du）ν（dθ）=Z∞Z∞uβ+β+1θβl（u，θu）ν（du）ν（dθ）。（10） 设hS=p（x- x） ∑-1（x- x） =kx- xk∑。Padoan等人（2010）中的方程式（4）给出了Smith随机场（x和x处）的双变量密度满足，对于z，z>0，lS（z，z）=exp-Φ（w）z-Φ（v）z×Φ（w）z+φ（w）hz-φ（v）hzz×Φ（v）z+φ（v）hz-φ（w）hzz+vφ（w）hzz+wφ（v）hzz, （11） 其中W=hS+对数（z/z）hS和v=hS-对数（z/z）hS。已知二元分布函数（在x，x∈ R） 替换kx时，与变差函数γ相关的Brown–Resnick随机场与具有协方差矩阵∑的Smith随机场相同- xk∑带pγW（x- x） ；比较Huser和Davidson（2013）中的方程式（1）和Padoan等人（2010）中的方程式（3）。因此，与（11）右侧给出的变异函数γWis相关的棕色-雷斯尼克油田的双变量密度（x和x处）用h=pγW（x）替换为hs- x） 。因此，对于任何z，θ>0，l（z，θz）=exp-zΦh+对数（θ）h+θΦh类-对数（θ）h×zΦh+对数（θ）h+hφh+对数（θ）h-hθφh类-对数（θ）h×θΦh类-对数（θ）h+hθφh类-对数（θ）h-hθφh+对数（θ）h+zhθh类-对数（θ）hφh+对数（θ）h+hθh+对数（θ）hφh类-对数（θ）h= 经验值-C（θ，h）zC（θ，h）z+C（θ，h）z. （12） 我们用fsf表示形状和比例参数为1且sf>0的Fréchet分布，即如果X~ Fsf，P（X≤ x） =经验值(-平方英尺/平方英尺），x>0。

使用（10）和（12）以及X的密度~ Fsfis writenlf（x）=sf/xexp(-sf/x），我们得到了hz（s）（x）βZ（s）（x）βi=Z∞θβZ∞uβ+β+1exp-C（θ，h）uC（θ，h）u+C（θ，h）uν（du）ν（dθ）=Z∞C（θ，h）θβZ∞uβ+β-3exp公司-C（θ，h）uν（du）ν（dθ）+Z∞C（θ，h）θβZ∞uβ+β-2经验-C（θ，h）uν（du）ν（dθ）=Z∞C（θ，h）θβZ∞uβ+β-1出口-C（θ，h）uν（du）ν（dθ）+Z∞C（θ，h）θβZ∞uβ+βuexp-C（θ，h）uν（du）ν（dθ）=Z∞C（θ，h）C（θ，h）θβμβ+β-1.FC（θ，h）ν（dθ）+Z∞C（θ，h）C（θ，h）θβμβ+βFC（θ，h）ν（dθ），（13），其中uk（F）表示以F为分布的随机变量的第k阶矩。立即可以看到uk（Fsf）=skfΓ（1- k） ，与（13）结合，得出结果。我们现在的目标是研究我们的空间相关性度量Dβ，η，τ，ξ。我们从定理1得到的下一个结果是朝着这个方向迈出的重要一步。定理2。设x，x∈ 兰德{Z（x）}x∈Rbe a Brown–Resnick油田，GEV参数ηi∈ R、 τi>0，ξi6=0，在xi，i=1，2。此外，让βi∈ N*使得βiξi<1/2，i=1，2。那么，我们有COVZ（x）β，Z（x）β=βXk=0βXk=0Bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξg（s）（β-k） ξ，（β-k） ξpγW（x- x）-βXk=0βXk=0Bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξ（1- [β- k] ξ）Γ（1）- [β- k] ξ），其中bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξ=βkη-τξkτξβ-kβkη-τξkτξβ-k、 证明。利用（6）和二项式定理，我们得到了COVZ（x）β，Z（x）β=βXk=0βXk=0βkη-τξkτξβ-kβkη-τξkτξβ-k×CovZ（s）（x）（β-k） ξ，Z（s）（x）（β-k） ξ,直接得到定理1的结果。下面是定理2的直接结果。推论1。在与定理2相同的假设下，但η=η=η，τ=τ=τ，ξ=ξ=ξ，β=β=β，我们得到了Z（x）β，Z（x）β= gβ，η，τ，ξpγW（x- x）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξΓ（1-[β-k] ξ）Γ（1）-[β-k] ξ）（14）和VarZ（0）β=βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ{Γ（1- ξ[2β - k- k] （）- Γ(1 - [β -k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）}，（15）其中bk，k，β，η，τ，ξ=βkβkη -τξk+kτξ2β-（k+k）和gβ，η，τ，ξ（h）=βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξg（s）（β-k） ξ，（β-k） ξ（h）。

（16） 我们的依赖度量Dβ，η，τ，ξ由（14）和（15）的右侧的比率给出。为了得出关于Dβ、η、τ、ξ的有用结论，我们研究了（16）中定义的函数gβ、η、τ、ξ的行为。为此，我们首先需要以下结果。提案1。对于随机向量X=（X，X），其分布函数表示为FX，X。LetX=（X，X）和Y=（Y，Y）是具有相同边距的随机向量。然后，对于所有z，z>0，我们有fx，X（z，z）<FY，Y（z，z==> Cov（f（X），f（X））<Cov（f（Y），f（Y）），对于所有严格递增函数f：（0，∞) → R和f：（0，∞) → R、 假设存在协方差。证据该证明的部分灵感来自Dhaene和Goovaerts（1996）中定理1的证明。Letf：（0，∞) → R和f：（0，∞) → R是严格递增函数。假设，对于所有z，z>0，FX，X（z，z）<FY，Y（z，z）。（17） 我们有p（f（X）≤ z、 f（X）≤ z） =P十、≤ f-1（z），X≤ f-1（z）因此，对于所有z，z>0，f-1（z），f-1（z）>0，从（17）可以看出，对于所有z，z>0，P（f（X）≤ z、 f（X）≤ z） <P（f（Y）≤ z、 f（Y）≤ z） 。（18） 由于X和Y具有相同的分布，并且X和Y也是如此，我们推导出f（X）d=f（Y）和f（X）d=f（Y）。（19） 对于随机变量X，我们用FXits分布函数表示。利用（18），（19）和引理1 inDhaene和Goovaerts（1996），我们得到了COV（f（X），f（X））=Z∞Z∞Ff（X），f（X）（u，v）- Ff（X）（u）Ff（X）（v））ν（duν（dv）<Z∞Z∞Ff（Y），f（Y）（u，v）- Ff（Y）（u）Ff（Y）（v））ν（duν（dv）=Cov（f（Y），f（Y））。此后，我们可以显示以下将在下面使用的技术结果。提案2。对于所有η∈ R、 τ>0，ξ6=0和β∈ N*因此，βξ<1/2，（16）中定义的函数gβ，η，τ，ξ严格递减。证据设{Z（s）（x）}x∈Rbe协方差矩阵为∑的简单Smith随机场，这是一个与变差函数γW（x）=kxk∑相关的Brown-Resnick随机场。设x，y∈ R

Smith（1990）中的方程式（3.1）给出，对于所有z，z>0，P（z（s）（x）≤ z、 z（s）（y）≤ z） =经验值-zΦh+hlogzz公司-zΦh+hlogzz公司,其中h=ky- xk∑。我们立即获得P（Z（s）（x）≤ z、 z（s）（y）≤ z）h=经验值-zΦh+hlogzz公司-zΦh+hlogzz公司T、 （20）其中=-z-对数（z/z）hφh+对数（z/z）h-z+对数（z/z）hφh类-对数（z/z）h.对于所有z，z>0，我们引入y=z/z，这是正的。我们有t=z-zz公司-对数（z/z）hφh+对数（z/z）h-+对数（z/z）hφh类-对数（z/z）h=z-y-对数（y）hφh+对数（y）h-+对数（y）hφh类-对数（y）h=√2πzexp-h类-对数（y）2h-y-对数（y）hy-1/2-+对数（y）hy1/2= -y1/2√2πzexp-h类-对数（y）2h,这是负面的。因此，（20）给出，对于所有x，y∈ 随机z，z>0，P（Z（s）（x）≤ z、 z（s）（y）≤ z）/h<0。（21）让我们考虑h>h>0和x，x，x，x∈ Rsuch thath=kx- xk∑和h=kx- xk∑。（22）从（21）可以看出，对于所有z，z>0，FZ（s）（x），z（s）（x）（z，z）<FZ（s）（x），z（s）（x）（z，z）。由于Z（s）是简单最大稳定的，我们有FZ（s）（x）=FZ（s）（x）和FZ（s）（x）=FZ（s）（x）。现在，当τ>0时，对于ξ6=0，函数f：（0，∞) → Rz 7→(η - τ/ξ）+τzξ/ξβ严格增加。因此，lettingZ（x）=η -τξ+τξZ（s）（x）ξ，x∈ R、 提案1 yieldsCovZ（x）β，Z（x）β< Cov公司Z（x）β，Z（x）β. （23）此外，我们从（14）中知道，对于所有x，y∈ RSatizing ky公司-xk∑=h，CovZ（x）β，Z（y）β= gβ，η，τ，ξ（h）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）。（24）最后，（22）、（23）和（24）的组合给出了gβ，η，τ，ξ（h）<gβ，η，τ，ξ（h），显示了结果。以下两个命题特别给出了函数gβ，η，τ，ξ在0和at附近的行为∞.提案3。对于所有η∈ R、 τ>0，ξ6=0和β∈ N*使得βξ<1/2，（16）中定义的函数gβ，η，τ，ξ满足极限→0gβ，η，τ，ξ（h）=βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- ξ[2β - k- k] ）（25），并且在[0，∞).证据设{Z（x）}x∈Rbe协方差矩阵∑=I的史密斯随机场，其中ii是维度2中的恒等矩阵，GEV参数η、τ和ξ。

通过Z的平稳性，场Zβ是静止的。此外，当βξ<1/2时，我们从引理1知道Zβ有一个有限的二阶矩。因此，Zβ是二阶平稳的。此外，由于Smith随机场是样本连续的，因此立即证明Zβ是样本连续的，因此，使用与命题1 inKoch等人（2019）中证明相同的参数，它在二次平均值中是连续的。因此，场Zβ的协方差函数在原点处是连续的。这意味着，使用（14），thatlimx→0千伏Z（0）β，Z（x）β= 林克斯→0gβ，η，τ，ξ（kxk）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）= 风险值Z（0）β,再加上（15），得到（25）。这很容易让limh→0gβ，η，τ，ξ（h）=gβ，η，τ，ξ（0），这意味着gβ，η，τ，ξ在h=0时是连续的。gβ、η、τ、ξ在任何h>0时的连续性来自于这样一个事实，即二阶平稳场的协方差函数只能在原点处不连续。提案4。对于所有η∈ R、 τ>0，ξ6=0和β∈ N*使得βξ<1/2，（16）中定义的函数gβ，η，τ，ξ满足极限→∞gβ，η，τ，ξ（h）=βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）。（26）证明。设{Z（x）}x∈Rbe协方差矩阵∑=I，GEV参数η、τ和ξ的史密斯随机场。如定理6的证明所示，Zβ满足中心极限定理（见第4.2节）。这意味着（见第4.2节）ZRCov公司Z（0）β，Z（x）βν（dx）<∞,使用（14），thatZRgβ，η，τ，ξ（kxk）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）ν（dx）<∞.由于gβ，η，τ，ξ是严格递减的，这必然意味着limH→∞gβ，η，τ，ξ（h）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）= 0，即（26）。在本节中，我们假设ξ6=0，但如下一个命题所示，通过让ξ在上述表达式中趋向于0，可以很容易地恢复ξ=0的情况。提案5。