保险损失的极值依赖和空间风险度量

如第3节所述，选择与1不同的范围κ不会影响我们的结论。它只会修改x轴上的值：范围越大，空间差异越慢。02468100 10 20 30 40 50LambdaRiskFigure 2：实线（分别为虚线）描述了在β=1的情况下，R（λA，C）相对于λ的演化，其中A是半径（分别为边）R=1的圆盘（分别为正方形）。Brown–Resnick油田的变异函数为γW（x）=kxkψ，x∈ R红色、橙色、绿松石色和蓝色分别对应ψ=0.5、1、1.5和2。4.1.2 AXIOMS我们从初步结果开始。设B（R）和B（（0，∞)) 表示R和（0，∞),分别地引理3。设{Z（s）（x）}x∈Rbe是一个简单的最大稳定随机场。Letη∈ R、 τ>0，ξ∈ R和β∈ N*.由dβ、η、τ、ξ（z）定义的函数=((η - τ/ξ）+τzξ/ξβ、 ξ6=0，[η+τlog（z）]β，ξ=0，z>0，（33）可从（（0，∞), B（（0，∞))) 到（R，B）并严格递增。此外，如果βξ<1/2，则e[| Dβ，η，τ，ξ（Z（s）（0））| 2+δ]<∞ 对于任何δ，0<δ<1/（ξβ）- 2.证明。D是可测量的并且严格递增的事实是显而易见的。表示Z=[Dβ，η，τ，ξ（Z（s）（0））]1/β，对于δ>0，EDβ，η，τ，ξ（Z（s）（0））2+δ= EZβ2+δ= Eh | Z |β（2+δ）i是有限的（见命题5的证明），前提是β（2+δ）ξ<1，因为Z遵循参数η、τ和ξ的GEV。后一个不等式满足任何正δ，使得δ<1/（ξβ）- 我们将使用以下备注。备注1。很容易看出，Koch et al.（2019）中的定理3也适用，如果Z是一个简单的布朗-雷斯尼克场，变差函数γW（x）=mkxkψ∑（不仅仅是mkxkψ），其中m>0，ψ∈ （0，2）和∑是任意对称正定义矩阵；这意味着Koch（2019）中的定理8和推论4在这个更一般的设置中也是正确的。

在下文中，当我们参考Koch（2019）中的定理8和推论4时，我们指的是这个扩展版本。以下定理提供了字段Z的条件，使得R（·，C）满足（至少）第2.1节中的部分公理。定理5。设{Z（x）}x∈Rbe一个具有GEV参数η的平稳可测最大稳定随机场∈ R、 τ>0和ξ∈ R、 Letβ∈ N*使βξ<1/2。我们引入成本场{C（x）}x∈R={Z（x）β}x∈R、 然后，由C R（·，C）导出的空间风险度量满足平移下的空间不变性公理。特别是，对于管随机场以及可测量的Schlather和Brown-Resnick场（包括Smith场），这是正确的。2、设{Z（x）}x∈Rbe与各向同性变差函数γW相关的可测量Brown-Resnick随机场，γW，uis增加，且GEV参数η∈ R、 τ>0和ξ∈ R、 Letβ∈ N*使得βξ<1/2和{C（x）}x∈R={Z（x）β}x∈R、 当两个区域都是圆盘或正方形时，R（·，C）满足空间次可加性公理。公理满足严格不等式，如果γW，uis严格增加，就像各向同性史密斯场一样。3、设{Z（x）}x∈Rbe与变差函数γW（x）=mkxkψ∑，x相关的Brown-Resnick随机场∈ R、 其中m>0，ψ∈ （0，2）和∑是任何对称正定义矩阵。假设Z的GEV参数为η∈ R、 τ>0和ξ∈ R、 Letβ∈ N*使得βξ<1/2和{C（x）}x∈R={Z（x）β}x∈R、 然后R（·，C）满足序的渐近空间齐性公理-2，K（A，C）=0，K（A，C）=ν（A）ZRCovZ（0）β，Z（x）βν（dx），A∈ Ac，其中Cov（Z（0）β，Z（x）β），x∈ R、 由（14）给出。证据1、引理2，C∈ C、 此外，由于Z是平稳的，因此C也是如此。此外，正如前面（29）所述，诱导空间风险度量R（·，C）定义得很好。

最后，Varis是一个具有法律不变性的经典风险度量。因此，Koch（2019）中的定理5第1点给出了第一个结果。作为移动最大随机场的一个实例，管模型是固定的和可测量的。因此，上述特定领域满足假设，从而得出结论。2、首先，R（·，C）在点1平移下不变。此外，对于A是圆盘或正方形，我们在第4.1.1节中看到λ7→ 如果γW，uis增大（分别严格增大），R（λA，C）减小（分别严格减小）。因此，得出的结果与Koch（2017）中定理3第2点的结论相同。由（6）和（33）可知{C（x）}x∈R={Dβ，η，τ，ξ（Z（s）（x））}x∈R、 其中{Z（s）（x）}x∈Ris simplemax稳定。引理3给出Dβ、η、τ、ξ满足Koch（2019）推论4的假设。因此，结果直接来自科赫（2019）的推论4。在极端风速造成损坏的情况下，对于任何β，通常满足条件βξ<1/2∈ N*因为，大多数情况下，ξ<0。当ξ>0时，相应的值通常非常接近0，并且该条件适用于低至中等功率。因此，在具体应用中，项目5的结果通常是正确的。备注2。我们直觉地认为，定理5的第2点对于所有∈ Acor偶数A∈ A不仅适用于磁盘和方块。然而，根据定理3中R（λA，C）的表达式，很难用当前的论点来证明这一点，因为对于区域A中更复杂的几何形状，对于A上独立且均匀分布的两点之间的距离密度知之甚少（例如，Moltchanov，2012，第4.3.3节）。备注3。设{Z（x）}x∈Rhave GEV参数η∈ R、 τ>0和ξ∈ R、 此外，让β∈ N*使得βξ<1/2。

如果Z是与变差函数γw相关的样本连续棕色-红色区域，则定理5第3点的结果也是正确的，该变差函数γw满足较弱的条件zrh2- ΦpγW（x）/2iδ/（2+δ）ν（dx）<∞, （34）对于满足0<δ<1/（ξβ）的某些δ- 2.证明。字段Z是样本连续的，因此可以测量，通过引理2得出C∈ C、 根据Brown–Resnick油田的统计，对于所有x，y∈ R、 Cov（C（x），C（y））=Cov（C（0），C（x-y） ）。现在，从（6）和（33）得出{C（x）}x∈R={Dβ，η，τ，ξ（Z（s）（x））}x∈R、 其中{Z（s）（x）}x∈Ris是一个简单且连续的最大稳定油田。引理3给出了E|C（0）| 2+δ< ∞ Dβ、η、τ、ξ满足Koch et al.（2019）命题1中F的要求。后者的yieldsRRCov（C（0），C（x））ν（dx）>0。用Brown-Resnick油田的极值系数表示，（34）恰恰意味着RR[2-Θ（0，x）]δ/（2+δ）ν（dx）<∞. 最后，结果来自Koch（2019）的定理6。4.2中心极限定理和同态性我们首先回顾了Van Hove序列和随机场中心极限定理（CLT）的概念。对于V Rd和r>0，表示V+r={x∈ Rd：距离（x，V）≤ r} ，其中dist表示欧几里德距离。此外，我们表示为Rdisa层序（Vn）n中V.A Van Hove层序的边界∈满足rdvn的Nof有界可测子集↑ 道路，limn→∞ν（Vn）=∞, 安德林→∞ν((Vn）+r）/ν（Vn）=0，对于所有r>0。我们说一个随机场{C（x）}x∈Rd这样，对于allx∈ Rd，EC（x）< ∞, 满足CLT，ifZRd | Cov（C（0），C（x））|ν（dx）<∞,对于任何Van Hove序列（Vn）n∈Nin-Rd，pν（Vn）ZVn（C（x）- E[C（x）]）ν（dx）d→ N0，ZRdCov（C（0），C（x））ν（dx）, 作为n→ ∞,其中，N（u，σ）表示期望u的正态分布∈ R和方差σ>0。使用Koch等人关于平稳最大稳定随机场函数的CLT结果。

（2019）和Koch（2019）的结果，我们得到以下定理。定理6。设Z、β和C如定理5第3点所示。我们有∈ Ac，λ[LN（λA，C）- uβ，η，τ，ξ]d→ N0，ν（A）ZRCovZ（0）β，Z（x）βν（dx）, 对于λ→ ∞,式中，μβ，η，τ，ξ=βXk=0βkη -τξkτξβ-kΓ（1- [β - k] ξ），（35）和Cov的表达Z（0）β，Z（x）β由（14）给出。证据这样的Brown-Resnick随机场是样本连续的（Koch et al.，2019，定理3的证明），因此是可测量的，它通过引理2得出，C∈ C、 此外，C是平稳的，因此有一个常数期望。此外，通过引理3，Dβ、η、τ、ξ满足了Koch et al.（2019）关于引理3函数F的假设。因此，后一个定理得出C满足CLT。最后，（28）得到E[C（0）]=μβ，η，τ，ξ。结果来自Koch（2019）的定理2。如果λ足够大，该结果给出了归一化空间梯度损耗分布的近似值：LN（λA，C）≈ Nuβ，η，τ，ξ，λν（A）ZRCovZ（0）β，Z（x）βν（dx）,哪里≈ 表示“大致如下”。这种近似值在实践中很有用，例如对于保险公司。出于与第4.1.2节所述相同的原因，当关注极端风速造成的损坏时，这些结果通常是正确的。4.3与风险价值和预期短缺相关的空间风险度量对于具有分布函数FX的随机变量X，其风险价值在置信水平α∈ （0，1）iswrited VaRα（X）=inf{X∈ R:FX（x）≥ α}. 此外，提供了E[| X |]<∞, 其预期的α级信心不足∈ （0，1）定义为α（X）=1- αZαVaRu（X）ν（du）。α的经典值为0.95和0.99。在精算文献中，ES有时被称为尾部价值风险（例如，Denuit et al.，2005，定义2.4.1）。

在下文中，对于α∈ （0，1），qα和φ分别表示量子化水平α和标准高斯分布的密度。在本节中，我们重点讨论r3，α（·，C）=VaRα（LN（·，C）），以及R4，α（·，C）=ESα（LN（·，C）），其中α∈ （0，1）和C在（27）中给出。我们首先简要评论函数λ7→ R3，α（λA，C）和λ7→ R4，α（λA，C），对于A∈ A、 然后在字段Z上提供条件，使R3，α（·，C）和R4，α（·，C）满足（至少部分满足）第2.1.4.3.1节中的公理R3，α（λA，C）和R4，α（λA，C），λ>0推导LN（λA，C），A∈ A、 非常困难。可以使用Koch（2017年，第4.3.1节）中描述的相同类型的近似值，从而得出类似于Koch（2017）中图6的函数λ7的图表→ R3，α（λA，C），但这种方法在数值上相当耗时。出于同样的原因，很难获得LN（λa，C），a∈ A、 尽管如此，对于连续随机变量X，asESα（X）=E[X | X>VaRα（X）]（36），可以通过蒙特卡罗方法估计（36）的右侧来近似LN（λA，C）的ES；然而，这很耗时。4.3.2 AXIOSWE没有R3，α（λA，C）和R4，α（λA，C）的明确公式，但科赫（2019）的结果（与定理6相关）产生了它们的渐近行为（当λ→ ∞) 在某些情况下。相应的结果是下一个定理的一部分。定理7。设{Z（x）}x∈Rbe一个具有GEV参数η的平稳可测最大稳定随机场∈ R、 τ>0和ξ∈ R、 Letβ∈ N*和{C（x）}x∈R={Z（x）β}x∈r例如，C具有a.s.局部可积样本路径（这是可以满足的，例如，如果βξ<1）。那么，对于所有α∈ （0，1），R3，α（·，C）满足平移下的空间不变性公理。提供E[| C（0）|]<∞, R4，α（·，C）也是如此。

例如，如果βξ<1.2，这些结果适用于管随机场和可测量的Schlatherand Brown-Resnick场（包括Smith场）。设Z、β和C如定理5第3点所示。然后：（a）对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足序的渐近空间齐性公理-1，其中K（A，C）=μβ，η，τ，ξ和K（A，C）=qαpν（A）sZRCov（Z（0）β，Z（x）β）ν（dx），A∈ Ac.（b）对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足序的渐近空间齐性公理-1其中K（A，C）=uβ，η，τ，ξ和K（A，C）=φ（qα）pν（A）（1- α） sZRCov（Z（0）β，Z（x）β）ν（dx），A∈ Ac.uβ、η、τ、ξ和Cov的表达式Z（0）β，Z（x）β分别在（35）和（14）中给出。证据1、根据假设，场C属于C，根据Z的平稳性，场C是平稳的。当βξ<1时，Chas a.s.局部可积样本路径的事实直接来自引理2。现在，R3，α（·，C）已明确定义。此外，对于所有λ>0，我们有| LN（λA，C）|≤ν（λA）ZλA | C（x）|ν（dx）。因此，如果E[| C（0）|]<∞, C和Fubini定理的平稳性要求E[| LN（λA，C）|]<∞,这意味着R4，α（·，C）定义良好。最后，VaR和ES都是法律不变的经典风险度量。因此，Koch（2019）中的定理5第1点给出了第一个结果。定理5第1点证明的结束，以及βξ<1意味着E[| C（0）|]<∞ 证明所提及的特定领域满足所需的假设，并总结证据。这些参数与定理5第3点的证明中的参数相同。如上所述，这些结果通常适用于极端风速风险的情况。备注4。定理5第3点、定理6和定理7第2点的结果适用于更一般的Brown-Resnick场，更具体地满足Koch et al。

（2019）或等效地，Koch（2019）中的定理9。5结论如论文所述，文献表明幂律是适当的风损害函数，但适当的幂律在不同情况下变化很大，通常在2到12之间；尤其是保险合同免赔额的增加功能。因此，对极端电场功率的研究有助于评估极端风速造成的损失风险，并需要分析对功率值的敏感性。在本文中，我们深入研究了Brown–Resnick最大稳定随机场的功率相关结构，这是一种非常适合空间极值的模型。即使我们的主要关注点是破坏性风速的风险评估，所获得的结果可能对极端值社区有价值，无论风险的概念如何。然后，在成本领域恰好是最大稳定领域的幂的情况下，我们阐述了科赫（2017、2019）提出的空间风险度量的概念和相应的公理。利用前一部分，我们对与方差相关的空间风险度量以及此类成本场引起的空间风险度量进行了全面研究。此外，我们还表明，在相对温和的条件下（通常满足破坏极端风速的风险），与几个经典风险度量相关的诱导空间风险度量满足（至少部分）假设。

方差、VaR和ES导致序的渐近空间齐性-2.-1和-分别为1。我们的结果对温带和热带气旋等精算实践中的风险评估有价值。除其他外，正在进行的工作包括将当前文件的结果应用于具体再保险条约以及与事件相关的证券（如巨灾债券）的定价。致谢作者感谢Anthony C.Davidson、Paul Embrechts、Pierre Ribereau和Christian Y.Roberts的评论。他还想感谢MIRACCLE-GICC项目、ETHZurich风险实验室、瑞士金融研究所、瑞士国家科学基金会（项目200021\\U 178824）和EPFL数学研究所的财政支持。一个简单的最大稳定随机场和β<1/2或β<1的情况本附录解释了，如果最大稳定随机场Z很简单（而不是有一般的GEV裕度）和β<1/2或β<1，则上述结果基本适用。关键是允许β取这些上界以下的任何值，并且不再需要是整数。由于标准Fréchetmargins对于极端风速远不现实，本节的兴趣主要在于更好地理解最大稳定场的一些特性。首先我们考虑依赖度量Corr（Z（s）（x）β，Z（s）（x）β），其中{Z（s）（x）}x∈Ris a simpleBrown–Resnick最大稳定随机场，β<1/2，即Dβ，1,1,1（x，x）。条件βξ<1/2，β∈ N*of（7）转化为β<1/2；允许任何负值，因为简单最大稳定场为a.s.正值。对于β<1/2，我们引入g（s）β（h）=Γ(1 - 2β）如果h=0，Z∞θβhC（θ，h）C（θ，h）2β-2Γ(2 - 2β）+C（θ，h）C（θ，h）2β-1Γ(1 - 2β）iν（dθ），如果h>0，当在函数g（s）β中设置β=β时，会出现（8）中规定的β。

用Z（s）的变差函数γ表示，从定理1可以看出，对于所有x，x∈ Randβ<1/2，Cov（Z（s）（x）β，Z（s）（x）β）=g（s）β（pγW（x- x） （）- [Γ(1 -β)]. 我们的依赖性度量（假设β6=0）很容易得出，其行为与我们在第3节中观察到的行为相似（未显示）。现在我们进一步详细研究函数g（s）β。对于命题2-4，非常相似的证明得出，对于β，β，β<1/2，函数g（s）β，（8）中定义的β和g（s）β严格递减，limh→0g（s）β（h）=Γ（1- 2β）（意味着g（s）β在[0，∞)) 和limh→∞g（s）β（h）=[Γ（1- β)]. 这意味着，对于任何h≥ 0，limβ→-∞g（s）β（h）=∞. 图3，使用自适应求积获得，相对精度为10-5表明，当|β|增加时，给定β的g（s）β（h）相对于h的减少越来越明显，并且对于h固定，g（s）β（h）斜率的绝对值随着|β|的增加而快速增加，这与∞. 显然，Cov（Z（s）（x）β，Z（s）（x）β）的行为相似；g（s）β，β也是如此。下一个定理给出了R（λA，C）的表达式，其中Z（s）是一个简单的布朗-雷斯尼克随机场，具有各向同性变差函数，A是圆盘或正方形，β<1/2。定理8。设{Z（s）（x）}x∈Rbe与各向异性变差函数γW相关的可测简单Brown-Resnick随机场，对应的单变量函数为γW，u。设β<1/2且{C（x）}x∈R={Z（s）（x）β}x∈R、 最后，让fd和fsbe如定理3所示。然后：1。设A是半径为R的圆盘。对于所有λ>0，我们有R（λA，C）=-[Γ(1 - β） ]+Z2Rh=0fd（h，R）g（s）βqγW，u（λh）ν（dh）。设A是一个边为R的正方形。对于所有λ>0，我们有R（λA，C）=-[Γ(1 - β） ]+锆√h=0fs（h，R）g（s）βqγW，u（λh）ν（dh）。我们还有定理4的等价物。定理9。设Z（s）、β和C如定理8所示。