保险损失的极值依赖和空间风险度量

Letη∈ R、 τ>0，ξ6=0，定义ξ（x）=η+τ（Z（s）（x）ξ- 1） /ξ和Z（x）=η+τlog（Z（s）（x）），x∈ R、 其中Z（s）是一个简单的最大稳定随机场。Letβ∈ N*使得存在满足2βξ（1+ε）<1的ε>0。那么，我们有，对于所有x，x∈ R、 limξ→0千伏Zξ（x）β，Zξ（x）β= Cov公司Z（x）β，Z（x）β.证据对于i=1，2，Zξ（xi）遵循参数η、τ和ξ的GEV，我们表示其密度为byf。对于ξ<0，我们很容易得到E[| Zξ（xi）|α]<∞ 对于任何α>0，对于ξ>0，我们对于所有α>0E[| Zξ（xi）|α]=Zη-τ/ξ| x |αf（x）ν（dx）+Z∞xαf（x）ν（dx）。很容易看出，第一个积分是有限的，第二个积分存在的唯一可能问题是∞. 我们有∞xαexp-[1+ξ（x- η)/τ]-1/ξ[1+ξ（x- η)/τ]-1/ξ-1ν（dx）=Zhη+τ（z-ξ- 1） /ξiαexp(-z） ν（dz），其中我们使用变量z的变化=[1+ξ（x- η)/τ]-1/ξ. As[η+τ（z-ξ- 1)/ξ] ~ξ→0τz-ξ/ξ，前一个积分是有限的，前提是αξ<1，通过假设E[| Zξ（xi）β| 1+ε]<∞. 现在，letYξ=Zξ（x）βZξ（x）β，ξ6=0，Y=Z（x）βZ（x）β。通过Cauchy-Schwarz不等式，Eh | Yξ| 1+εi≤rEh | Zξ（x）| 2β（1+ε）irEh | Zξ（x）| 2β（1+ε）i，由此得出E[| Yξ| 1+ε]<∞. 从Billingsley（1999，p.31）可以看出，（Zξ（x））ξ，（Zξ（x））ξ和（Yξ）ξ对于ξ在0附近是一致可积的。众所周知，Zξ（xi）d→ Z（xi），i=1，2，这意味着通过连续映射理论Zξ（xi）βd→ Z（xi）β。此外，对于任何z，z∈ R、 P赫兹（秒）（x）- 1i/ξ≤ z、 赫兹（秒）（x）- 1i/ξ≤ z= PZ（s）（x）≤ （1+ξz）1/ξ，z（s）（x）≤ （1+ξz）1/ξ= 经验值-五、[1+ξz]1/ξ，[1+ξz]1/ξ,andP公司对数Z（s）（x）≤ z、 对数z（s）（x）≤ z= 经验值(-V（exp（z），exp（z）），其中V是（z（s）（x），z（s）（x））的指数函数。

因此，limξ→0便士赫兹（秒）（x）- 1i/ξ≤ z、 赫兹（秒）（x）- 1i/ξ≤ z= P对数Z（s）（x）≤ z、 对数z（s）（x）≤ z,因此赫兹（秒）（x）- 1i/ξ，hZ（s）（x）- 1i/ξd→对数Z（s）（x），对数Z（s）（x）.因此，连续映射定理产生（Zξ（x）β，Zξ（x）β）d→ （Z（x）β，Z（x）β），因此，再次应用Yξd→ Y、 最后，Billingsley（1999）中的定理3.5得出limξ→0E（Zξ（xi））=E（Z（xi）），i=1，2和limξ→0E（Yξ）=E（Y）。结果马上就出来了。使用类似的参数，我们可以证明limξ→0Var（Zξ（xi）β=Var（Z（xi）β，i=1，2，对于任何x，x∈ R、 limξ→0更正Zξ（x）β，Zξ（x）β= 更正Z（x）β，Z（x）β.3.2应用Dβ、η、τ、ξ（x，x）的表达取决于x和x通过γW（x- x） 仅限；因此，我们在以下符号中使用Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x） ）。下面，我们研究了Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x） ）关于β和欧氏距离kx- xk表示不同的变异函数。由于变差函数是一个非负条件负定义函数，因此Berg等人（1984年，第4章，第3节，命题3.3）得出d（x，x）=pγW（x- x） ，x，x∈ R、 定义指标。对于许多常见的各向同性变差函数模型γW，γW（x-x） 是kx的严格递增函数-xk，这意味着by（14）和命题2，Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x） ）是kx的严格递减函数- xk；这种与距离的相关性降低似乎很自然。此外，（14）、（15）和（25）给出thatlimx-x个→0Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x） ）=1。现在，引入B={x∈ R： kxk=1}，对于函数f fromRto R，limkhk→∞f（h）=∞ 必须理解为limh→∞infu公司∈B{f（hu）}=∞. 使用（14）和（26），我们推断，假设limkx-xk公司→∞γW（x- x） =∞, 那个limkx-xk公司→∞Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x） ）=0。此外，γWto的增加速度越快，Dβ，η，τ，ξ（γW（x）的收敛速度越快-x） ）到0。

这些结果与我们的预期一致。我们现在深入研究了Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x） ）关于kx- xk和β，用于GEV参数η、τ和ξ的固定值。由于我们希望我们的研究与实践紧密联系，在那本书中，“非消极”一词被用来表示“有条件的非消极”。选择这些GEV参数的合理值。Ceppi et al.（2008）将广义帕累托分布（GPD）拟合到瑞士的现场观测中，获得了形状参数ξ，范围为-0.2到0。Della Marta et al.（2007）对欧洲风暴期间的GPD至ERA-40再分析数据进行了验证，还发现了负的形状参数，其值介于-0.1和-大多数陆地区域为0.3；参见图4.15。更一般而言，许多研究指出ξ通常略为负，这意味着风速最大值的分布有一个确定的右端点；当得到一个正值时，它永远不会离0太远。在欧洲年最大值的情况下，位置参数η的经典值介于25和30 m.s之间-1标度参数τ的通常值范围为2.5至3.5 m.s-1、例如，考虑到荷兰35个气象站的年最大风速，Ribatet（2013）获得的趋势面截距约为27 m.s-1对于η和3.25 m.s-1对于τ。我们考虑了法国上空从1.5o至4o经度和47.75o至49.25o纬度（基本上以巴黎为中心）。将GEV与这些数据的年最大值拟合，77个网格点上计算的平均估计值η=25.72 m.s-1，τ=2.50 m.s-1和ξ=-0.14.

由于这些不同的结果，我们使用η=30、τ=3和ξ=-0.2表示简化；以下描述的结果在质量上保持相同，但这些参数的值不同。g（s）β，β表达式中出现的积分（见（8））没有闭合形式，因此需要数值近似。为此，我们使用相对精度为3×10的自适应求积-此外，我们选择了变差函数（4），其中κ=1，ψ=0.5，1，1.5，2。对于风速最大值，平滑度参数ψ的值介于0.25和1.1之间似乎是合理的；e、 g，Ribatet（2013）获得了0.24（0.02），Einmahl et al.（2016）在类似数据上发现了0.40（0.02），而我们在上述区域得到了1.06（0.07），在覆盖德国鲁尔的区域得到了0.81（0.06）（括号内的数字表示标准偏差）。这种差异可能是因为再分析往往比现场观测更平滑。在我们的研究中，选择范围κ=1不会导致任何普遍性损失，因为如果κ与1不同，适当的曲线图将与下面相同，x轴上的值乘以κ。在实际情况下，当然应该取κ的真实值。从（5）中，我们知道情况ψ=2对应于∑=I的史密斯场。最后，情况ψ=1和ψ=1.5介于前面两个设置之间。根据上面的讨论，图1显示，随着欧几里德距离的增加，Dβ、η、τ、ξ从1减小到0，ψ值越大，速率越高。尤其是，Smith油田的下降速度比所有Brown-Resnick油田的下降速度都快，ψ<2，如果ψ的真实值接近0.5甚至1，使用Smith模型会导致严重低估损伤之间的相关性。

对于ψ=0.5（未显示），Dβ、η、τ、ξ小于0.01所需的最小欧氏距离约为1000，而对于ψ=2，则约为6。此外，有趣的是，对于给定的欧几里德距离，Dβ、η、τ、ξ随幂β以凹的方式略微增加，但基本上是恒定的，这表明我们的依赖度量对β的值只略微敏感。除了对最大稳定场的理解具有潜在的洞察力外，这一发现对实际实践也很有价值，因为这意味着极端风速造成的损害之间的相关性基本上是相同的，无论功率值如何。考虑（7）的扩展也是有意义的，其中相关损伤功率在X处为β，在X处为β，β和β不一定相等，如定理2所示。行为与我们刚才描述的（未显示）非常相似。特别是，对于给定的距离，这些值对组合（β，β）不太敏感。对于固定的β，相关性首先随β增大，然后随β减小，但随着β增大至12，达到最大值的β值增加至12。此外，β值越高，对β的敏感性越高。方差相对于距离的演化与相关性相似，但由于协方差的非标准化性质，与β（或刚刚提到的扩展中的组合（β，β））的灵敏度要大得多。4最大稳定场幂引起的空间风险度量及其对风极值的应用在本节中，我们研究了成本场{C（x）}x引起的空间风险度量的一些示例∈R=nZ（x）βox∈R、 （27）其中{Z（x）}x∈Ris是一个属于C的最大稳定随机场，具有GEV参数η∈ R、 τ>0，ξ6=0，功率β∈ N*满足βξ<1/2或βξ<1。

通常，Z将是Brown-Resnick随机场。00.20.40.60.81距离功率相关性00.20.40.60.81距离功率相关性00.20.40.60.81距离功率相关性00.20.40.60.81距离功率相关性图1：Dβ的演变，30,3，-0.2（γW（x- x） ）相对于距离kx- xk和功率β。Brown–Resnick油田的变异函数为γW（x）=kxkψ，x∈ R左上、右上、左下和右下面板分别对应ψ=0.5、1、1.5和2。如前所述，我们与混凝土应用密切相关，以防极端风速造成损失。我们将使用以下引理。引理2。设{Z（x）}x∈Rbe具有GEV参数η的可测最大稳定随机场∈ R、 τ>0，ξ6=0。Letβ∈ N*使得βξ<1。然后，随机场Zβ属于C证明。场Zβ显然是可测量的。此外，由于Z具有相同的单变量边际分布，函数x 7→ E[| Z（x）β|]是常数，因此是局部可积的。因此，命题1 inKoch（2019）得出Zβ具有a.s.局部可积样本路径。设{Z（x）}x∈Randβ与引理2中的一样。我们考虑{C（x）}x场∈R=Z（x）βx个∈Rand与预期相关的空间风险度量R（A，C）=E[LN（A，C）]，A∈ A、 很明显，C是可测量的。此外，由于它具有相同的单变量边际分布且βξ<1，因此它具有恒定的期望，并且对于任何x∈ R、 E[| C（x）|]=E[| C（0）|]<∞. 因此，Koch（2019）中的定理3给出了∈ A、 R（A，C）=E[C（0）]，且R（·，C）满足空间不变性、欠平移和空间次可加性公理。假设E[C（0）]6=0，则也得出R（·，C）满足0阶渐近空间齐性的定理，其中K（A，C）=0，K（A，C）=E[C（0）]，A∈ Ac.利用（6）、二项式定理和引理1，我们得到[C（0）]=βXk=0βkη -τξkτξβ-kΓ（1- [β - k] ξ）。

（28）与预期相关的空间风险度量并不重要，因为根据富比尼定理，它们没有考虑成本场C的空间依赖性。在下文中，我们详细研究了与方差相关的一些空间风险度量。然后，我们提供了a的LN（λa，C）分布的一个基于中心极限的近似值∈ A和λ足够大。最后，我们分析了一些与VaR和ES相关的空间风险度量。有关方差、VaR和ES作为经典风险度量的各自优缺点的讨论，请读者参考Koch（2019年，第3节）。4.1与方差相关的空间风险度量我们关注R（·，C）=Var（LN（·，C）），前提是它是有限的，其中C在（27）中给出。我们首先详细研究了函数λ7→ 特定区域A的R（λA，C）∈ A、 除其他外，我们推导出了r（λA，C），λ>0的有用表达式，这可能对保险业具有实际意义，并将允许我们证明特定配置中的空间次可加性公理。其次，我们在Z域上提供条件，使得R（·，C）满足（至少）第2.1.4.1.1节R（λA，C），λ>0Let{Z（x）}x研究中提出的部分公理∈Rbe具有GEV参数η的可测最大稳定随机场∈ R、 τ>0，ξ6=0。此外，让β∈ N*使得βξ<1/2和{C（x）}x∈R={Z（x）β}x∈R、 引理2得出C∈ 从引理1很容易得出，对于所有∈ A、 supx公司∈A{EC（x）} < ∞. 因此，使用定理4 inKoch（2019），我们得出∈ A和λ>0，R（λA，C）=λ[ν（A）]ZλAZλACovZ（x）β，Z（y）βν（dx）ν（dy）。（29）因此，利用Cov的表达Z（x）β，Z（y）β从（14）中获得，我们推导了当Z是具有各向同性变差函数的Brown–Resnick随机场，且区域A是圆盘或正方形时，R（λA，C）的表达式。

在整篇文章中，圆盘和正方形分别指具有正半径的闭合圆盘和具有正侧面的（闭合）正方形。下一章给出了相应的结果。定理3。设{Z（x）}x∈Rbe与各向同性变差函数γww相关的可测量Brown-Resnick随机场，对应的单变量函数为γW，uA，且具有GEV参数η∈ R、 τ>0，ξ6=0。Letβ∈ N*使得βξ<1/2和{C（x）}x∈R={Z（x）β}x∈R、 然后：1。设A是半径为R的圆盘。对于所有λ>0，我们有R（λA，C）=-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）+Z2Rh=0fd（h，R）gβ，η，τ，ξqγW，u（λh）ν（dh），（30），其中fd是独立且均匀分布在A上的两点之间的欧氏距离密度，给定h∈ [0，2R]，byfd（h，R）=2hRπarccosh2R-hπRr1-h4R！。设A是一个边为R的正方形。对于所有λ>0，我们有R（λA，C）=-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）+锆√h=0fs（h，R）gβ，η，τ，ξqγW，u（λh）ν（dh），其中fs是在A上独立且均匀分布的两点之间的欧氏距离的密度，写为asfs（h，R）=2πhR-8小时+2小时，小时∈ [0，R]，- 2.- b+3√b- 1+b+1√b-1+2圆弧2.-bb型-b√1.-(2-b） /b2小时，小时∈ [右，右√2] ，b=h/R证明。使用（14），我们得到，对于x，x∈ R、 Cov公司Z（x）β，Z（x）β= gβ，η，τ，ξqγW，u（kx- xk）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）。结果来自（29）和类似的论点，如科赫（2017）的推论1的证明。设命题5中的Zξ和Zas，以及{C（x）}x∈R={Zξ（x）β}x∈R、 利用Cauchy–Schwarz不等式，我们可以很容易地应用Lebesgue支配的收敛定理来证明thatlimξ→0R（λA，C）=λ[ν（A）]ZλAZλACovZ（x）β，Z（y）βν（dx）ν（dy）。因此，通过让ξ趋向于0，再次恢复ξ=0的情况。以下定理涉及R的极限λA，Zβasλ→ ∞.定理4。

设Z、β和C如定理3所示，并进一步假设γW、uis是可测量且满足极限的→∞γW，u（h）=∞. （31）那么，对于所有A，都是半径为R的圆盘或边为R的正方形，limλ→∞R（λA，C）=0。证据当A是磁盘时，我们显示结果；正方形的参数是相同的。由于h是[0，2R]上的连续函数，它是有界的。根据命题2-4，gβ，η，τ，ξ也是有界的，因此存在U>0，这样，对于所有h≥ 0且λ>0，| fd（h，R）gβ，η，τ，ξ（pγW，u（λh））|≤ U、 此外，fd和gβ、η、τ、ξ是连续的，因此是可测量的，它通过γW、uthat的可测量性得出，对于所有λ>0，函数h 7→ fd（h，R）gβ，η，τ，ξ（pγW，u（λh））是可测量的。因此，根据Lebesgue的支配收敛定理，事实上fd是一个密度和（31），limλ→∞Z2Rh=0fd（h，R）gβ，η，τ，ξqγW，u（λh）ν（dh）=Z2Rh=0fd（h，R）limλ→∞gβ，η，τ，ξqγW，u（λh）ν（dh）=limλ→∞gβ，η，τ，ξ（λ）。（32）最后，结合（26）、（30）和（32），我们得到limλ→∞R（λA，C）=-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）+limλ→∞gβ，η，τ，ξ（λ）=0。设Z和C如定理3所示。如果功能h 7→ γW，u（h）严格递增（分别递增），那么命题2意味着，对于所有h>0，函数λ7→ gβ，η，τ，ξ（pγW，u（λh））严格减小（分别减小）。因此，从定理3可以得出λ7→ 对于A是圆盘或正方形，R（λA，C）严格递减（分别递减）；因此，存在空间差异。此外，如果γW，uis是可测量且满足的（31），则定理4要求这种空间差异是总的，必须从limλ→∞R（λA，C）=0。定理3对保险业很有意义，因为它允许公司计算λ的值，从而使R（λa，C）等于期望的低方差水平。

换言之，它使人们能够找出一个地理区域的特征维度，以达到每面单元损失的特定低方差。下面，我们研究了在定理3的假设下，对于不同的β值，R（λA，C）如何相对于λ演化。所涉及的积分没有闭合形式，因此，如上所述，我们使用3×10的自适应求积-7as相对精度。我们在不丧失一般性的情况下设置R=1，并且，如第3节所述，我们选择η=30，τ=3，ξ=-0.2，考虑变异函数γW（x）=kxkψ，x∈ R、 ψ=0.5，1，1.5，2；在不同的边缘参数下也得到了类似的结果。图2显示，当ψ=2（蓝色曲线）对应于史密斯随机场时，迅速下降至0；正方形的减少速度稍微慢一些。这种行为类似于当成本场是超出给定阈值的史密斯随机场的指标函数时观察到的行为；见科赫（2017），图1。图2还显示，对于固定的β，当ψ减小时，减小到0的速度变得慢得多，这在理论上是预期的，因为收敛到0的速度随着变差函数到整体的发散速度的增加而增加。同样，如果ψ的真实值小于1，使用史密斯模型对极端风速进行建模的保险公司将实质上不会低估其风险。对于β的其他值，曲线非常相似，但对于给定的λ，R（λa，C）的值基本上随β呈指数增长；对数（R（λA，C））与β的关系曲线基本上是线性的（未显示）。从gβ、η、τ、ξ的表达式以及函数g（s）β相对于β的演变来看，这一特征是可以理解的（参见附录A中的图3）。因此，尽管β值对空间相关性度量Dβ、η、τ、ξ的影响很小，但它强烈影响R（λA，C）的值，λ>0。