保险损失的极值依赖和空间风险度量

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英文标题：
《Extremal dependence and spatial risk measures for insured losses due to
  extreme winds》
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作者：
Erwan Koch
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A meticulous assessment of the risk of impacts associated with extreme wind events is of great necessity for populations, civil authorities as well as the insurance industry. Using the concept of spatial risk measure and related set of axioms introduced by Koch (2017, 2019), we quantify the risk of losses due to extreme wind speeds. The insured cost due to wind events is proportional to the wind speed at a power ranging typically between 2 and 12. Hence we first perform a detailed study of the correlation structure of powers of the Brown-Resnick max-stable random fields and look at the influence of the power. Then, using the latter results, we thoroughly investigate spatial risk measures associated with variance and induced by powers of max-stable random fields. In addition, we show that spatial risk measures associated with several classical risk measures and induced by such cost fields satisfy (at least part of) the previously mentioned axioms under conditions which are generally satisfied for the risk of damaging extreme wind speeds. In particular, we specify the rates of spatial diversification in different cases, which is valuable for the insurance industry.
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中文摘要：
对与极端风事件相关的影响风险进行细致的评估对于人口、民政部门以及保险业来说都是非常必要的。利用科赫（2017、2019）提出的空间风险度量概念和相关公理集，我们量化了极端风速造成的损失风险。风力事件导致的保险成本与功率范围通常在2到12之间的风速成比例。因此，我们首先对Brown-Resnick极大稳定随机场的幂相关结构进行了详细的研究，并考察了幂的影响。然后，利用后一个结果，我们深入研究了与方差相关的空间风险度量以及由最大稳定随机场的幂引起的空间风险度量。此外，我们还表明，在通常满足破坏极端风速风险的条件下，与几个经典风险度量相关的空间风险度量以及由此类成本场诱导的空间风险度量满足（至少部分）上述公理。特别是，我们指定了不同情况下的空间多元化率，这对保险业很有价值。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Extremal_dependence_and_spatial_risk_measures_for_insured_losses_due_to_extreme_winds.pdf (1.44 MB)

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关键词：风险度量 风险度 Applications Differential Quantitative

极端温莎·科赫造成的保险损失的极端依赖性和空间风险度量*2019年12月18日摘要对极端风事件相关影响的风险进行细致评估对于居民、民政部门以及保险业来说非常必要。利用科赫（2017、2019）提出的空间风险度量概念和相关公理集，我们量化了极端风速造成的损失风险。风力事件导致的保险成本与功率范围通常在2到12之间的风速成比例。因此，我们首先对Brown-Resnick最大稳定随机场的幂相关结构进行详细研究，并观察幂的影响。然后，利用后一个结果，我们深入研究了与方差相关的空间风险度量，以及由最大稳定随机场的幂引起的空间风险度量。此外，我们还表明，与几个经典风险度量相关的空间风险度量以及由此类成本场引起的空间风险度量满足（至少部分）上述公理，前提是通常可以满足破坏极端风速的风险。

特别是，我们规定了不同情况下的空间差异率，这对保险业很有价值。关键词：极端风速；保险最大稳定随机场的幂；再保险；空间分布；空间风险度量及其公理；风损坏。数学学科分类（2000）：60F05；60G60；60G70；91B30.1简介温带气旋（如欧洲风暴）和热带气旋构成了社会的主要风险，从1999年12月洛萨和马丁风暴在欧洲（140人死亡，损失约190亿美元）以及在许多加勒比岛屿和洛里达部分地区的后果可以看出，2017年9月飓风Irma（至少134人死亡，损失超过678亿美元）。准确评估这一风险对民政部门和保险业至关重要。考虑到环境极端事件的空间性质，科赫（2017、2019）引入了空间风险度量的新概念，明确了空间的贡献，并允许在风险度量中考虑成本场的空间依赖性。与经典风险度量∏相关并由成本随机场C（例如，模拟风暴造成的损害造成的成本）引起的空间风险度量是在不同地理区域将∏应用于C的标准化积分所产生的空间函数。Koch（2017、2019）还提出了一套公理化描述，至少在∏和C的某些条件下，诱导空间风险度量的值预计如何随空间变量变化。据我们所知，科赫（2017、2019）的论文是第一篇在风险分布于地理区域的空间背景下建立风险度量理论的文章。

这一理论对保险业很有意义，因为它可以量化空间差异率。本论文的主要目的之一是应用空间风险度量的概念和相关公理来分析极端风速造成的损失风险。我们使用最大稳定随机场（例如，de Haan，1984；de Haan and Ferreira，2006；Davison et al.，2012）对极端风速进行建模，这特别适合于对给定变量在空间中所有点的时间最大值进行建模，因为它们构成了唯一可能的非退化极限场，即经过适当重新缩放的点方向最大值*EPFL，数学研究所，EPFL SB MATH MATH-GE，MA B1 457（马萨诸塞州巴蒂门特），瑞士洛桑1015号8站。苏黎世ETH（数学系，风险实验室）。电子邮件：erwan。koch@epfl.随机字段的中文相关副本（例如，de Haan，1984）。此外，我们考虑幂律损伤函数D（z）=（z/c）β，z>0，对于β∈ N \\{0}和c>0，特别适合于风力危害。我们的成本场模型源自D对最大稳定场的应用。虽然通过物理参数（分别为风荷载和风动能耗散率）证明了功率β等于2或3的有效成本，但已经表明，考虑保险成本时，它们可能会高得多。例如，Prahl et al.（2012）发现德国住宅建筑的指数从8到12不等，并认为如此大的指数源于保险合同中的免赔额。因此，本文的一个重要方面将是研究空间依赖性和风险如何随权力而演变。首先，我们深入研究了Brown-Resnick-max stablerandom油田的幂相关结构。

这一部分包含了Brown-Resnick油田的新理论结果，因此，与任何风险相关的考虑因素无关，极值社区可能会感兴趣。此外，我们使用控制年最大风速的广义极值（GEV）分布参数的典型值进行了数值研究，结果表明，两个站点的损伤之间的相关性基本上不取决于损伤功率的值。这对保险公司来说是一个有用的消息，因为这种力量的可能价值范围很大。然后，我们研究了由一些最大稳定随机场（主要是Brown-Resnick场）的幂引起的几个空间风险度量。利用第一部分，我们从理论上研究了与方差相关的空间风险度量以及由此类成本引起的空间风险度量。这一分析得到了数值研究的补充，其中，我们再次考察了幂β值的影响。此外，我们还表明，在通常能够满足极端风造成损失风险的条件下，与几个经典风险度量相关的空间风险度量以及由一些最大稳定场的幂导出的空间风险度量满足（至少部分）Koch（20172019）中引入的公理。除其他外，我们知道在经典风险度量为方差、风险值（VaR）和预期缺口（ES）的情况下，空间差异率。所得结果可能对保险业有有用的启示，在整个研究过程中，我们与具体的精算实践保持着密切的联系。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要介绍了空间风险度量的概念以及科赫（2017、2019）引入的相应公理集。

此外，我们还详细说明了作为所考虑的空间风险度量示例基础的成本场模型；我们特别回顾了有关风损伤函数的文献，并简要介绍了最大稳定场。第3节研究了Brown–Resnick随机场幂的相关结构。在第4节中，我们研究了由这些成本场引起的一些空间风险度量。最后，第5节提供了一个简短的总结以及一些观点。在本文中，属于RDD的元素≥ 1用粗体符号表示，而在更一般的空格中用普通字体表示。此外，ν表示Rd和N中的Lebesgue测度*= N \\{0}。最后，d=AND→ 分别表示等式和收敛不分布。对于随机场，分布必须理解为所有有限维分布的集合。2空间风险测度和成本场模型2.1空间风险测度和相应公理let A是rw的所有紧子集的集合，具有正Lebesgue测度和A的所有凸素集合。用C表示几乎确定（A.s.）局部可积样本路径上的所有实值和可测随机场的集合。每个领域都描述了特定类别事件在给定时间段内产生的经济或保险成本，例如[0，TL]。在下文中，TL被认为是固定的，并不是为了符号的简单性而出现的。每种类型的事件（如欧洲风暴或飓风）将在下面被命名为危险。设L为充分概率空间上定义的所有实值随机变量的集合。风险度量是somefunction∏：L→ 在本文中，R和将被称为经典风险度量，以避免与空间风险度量混淆。

一个经典的风险度量∏被认为是定律不变的，如果，对于所有X∈ 五十、 π（X）仅取决于X的分布。在本文中，当应用于随机领域时，形容词“可测量”表示“联合可测量”。Koch（2017、2019）引入了归一化的空间聚集损失函数，定义为asLN（A，C）=ν（A）ZAC（x）ν（dx），A∈ A、 C类∈ C、 （1）将空间的贡献和危险的贡献分开。数量LN（A，C）表示区域A上每个地面单元因危险而产生的经济或保险损失，其成本可以用成本场C建模。科赫（2017，2019）引入的空间风险度量R∏定义为∏（A，C）=∏（LN（A，C）），A∈ A、 C类∈ C、 其中∏是一个经典的风险度量。这一概念明确了空间在风险度量中的贡献，对于许多有用的风险度量∏，如方差、VaR和ES，使人们能够（至少）考虑C领域的部分空间依赖结构。对于给定的∏和C∈ C、 数量R∏（·，C）被称为与∏相关的空间风险度量，并由C引起。LN（A，C）的分布仅取决于A和C的有限维分布（Koch，2019，Theorem1）。因此，对于固定的a，如果∏是定律不变的，那么R∏（a，C）只取决于C的有限维分布。现在，让∏成为经典的风险度量，C∈ C固定，对于∈ A、 让巴登离开它的重心。科赫（2017、2019）为与∏相关的空间风险度量定义了以下公理，并由C、R∏（·，C）归纳得出：1。平移下的空间不变性：适用于所有v∈ 兰特A∈ A、 R∏（A+v，C）=R∏（A，C），其中+v表示由向量v.2平移的区域A。空间次可加性：对于所有A，A∈ A、 R∏（A∪ A、 C）≤ min{R∏（A，C），R∏（A，C）}。3.

序的渐近空间齐性-γ, γ ≥ 0：对于所有A∈ Ac，R∏（λA，C）=λ→∞K（A，C）+K（A，C）λγ+oλγ,式中，λA是通过应用于中心bAand比λ>0的A同质体而获得的面积，k（·，C）：Ac→ R、 K（·，C）：Ac→ R{0}是依赖于C的函数。引入空间反单调公理也是合理的：对于所有A，A∈ A、 A A.=>R∏（A，C）≤ R∏（A，C）。后者相当于空间次可加性公理。这些公理与空间风险度量属性有关，而与成本分布无关，后者是固定的。如科赫（2017、2019）所示，至少在成本场C和一些经典风险度量∏的某些条件下，它们似乎是自然的，是有意义的。空间次可加性公理定性地指出了空间多样性。如果一家保险公司对严格的不平等现象感到满意，那么最好是在这两个地区承保，而不是只在其中一个地区承保。序的渐近空间齐性定理-γ量化了面积变宽时的空间差异率。因此，了解γ可能对保险业有价值。有关这些概念的更多详细信息及其对实际精算实践的价值，请参阅Koch（2019），第2.1节和第2.2.2.2节极端风速的成本场模型。在本文中，我们假设成本为保险成本。科赫（2017）第2.3节中引入的一般成本场模型由{C（x）}x定义∈R={E（x）D（Z（x））}x∈R、 其中{E（x）}x∈Ris暴露场，D损伤函数和{Z（x）}x∈R环境变量产生风险的随机场。此处，假设成本是由一种独特的风危害（例如风暴、飓风、龙卷风）造成的，其特征是[0，TL]，Z]期间风速极值的随机场。

应用损害函数D到Z得出每个地点的保险成本比率，乘以风险敞口，得出相应的保险成本。为了本文的目的，我们选择暴露一致等于统一。我们考虑，对于β∈ N*c>0时，损伤函数D（z）=（z/c）β，z∈ R、 这非常适合风的情况。基于物理因素，预计特定结构的总成本将随着最大风速的平方或立方而增加。事实上，风荷载和风动能耗散率分别与风速的二次方和三次方成正比。对于正方形，参见Simiu和Scanlan（1996），方程（4.7.1），（8.1.1）和（8.1.8）以及以下方程（4.1.20）的解释。关于三次方，请参见Lamb和Frydendahl（1991年，第2章，第7页），其中风速的立方出现在严重性指数中，以及Emanuel（2005年）。在Powell和Reinhold（2007）对论文的讨论中，Kantha（2008）指出，agiven结构的风损伤必须与风所做功的速率（而不是所施加的力）成比例，因此强烈支持立方体而非正方形。除了关于正方形还是立方体更适合总成本的争论之外，过去二十年的几项研究发现，在考虑保险成本时，幂律的指数要高得多。例如，Prahl等人（2012年）发现，德国住宅建筑的保险损失（局部损坏功能）的赔付率从8到12不等。Prahl等人。

（2015）辩称，如果总成本遵循三次定律，但只有当该成本超过正阈值时，保险合同才生效（例如，在具有免赔额的合同的情况下），则保险公司的最终成本为幂律类型，但具有更高的指数。我们使用模拟检查了这一说法，并观察到结果指数取决于阈值（未显示）。一些作者（如Klawa和Ulbrich，2003；Pinto et al.，2007；Donat et al.，2011）甚至在保险损失的情况下，也使用了三次关系，他们用上述物理论点证明了这一关系的合理性。然而，他们将三次方应用于风速值和风分布的高百分位之间的差异，而不是有效风速；如Prahl等人（2015年，附录A3）所示，这相当于对有效风速施加更高的功率。由于损伤函数中右指数的各种可能值（尤其取决于免赔额的值），在本文中，我们将考虑β=1，在不丧失一般性的情况下，我们取c=1，这与我们为风险敞口选择的值一致。注意，文献中有时也会遇到指数损伤函数（例如，Huang等人，2001年；Prettenthaleret等人，2012年）；我们在此不考虑此类功能。此外，我们认为Z是一个最大稳定的随机场，因此Zβ属于C，即可测量且具有a.s.局部可积样本路径。后一个属性是满足的，例如，只要Z是可测量的，并且函数x 7→ EZ（x）β是局部可积的（Koch，2019，命题1）。最常见的情况是，Z将是Brown-Resnick随机区（具有适当的边距）；见下文。