线性有理函数非齐次性的由来及解决方法

通常也不会导致动力学的取消。由于本文的方法与动态稳定性考虑无关，因此可以通过策略研究稳定性。这一点在第7节中得到了说明，新凯恩斯模型的标准公式与理性预期的动态不兼容。第8节简要回顾了大量相关文献，并提出了一些研究建议。附录显示了论文的主要结果如何扩展到更一般的模型，给出了论文主体中省略的一些证明的细节，并概述了相关的数学背景，以供必要时参考。2问题公式本次展览基于Cho和McCallum（20-15）的一个简单抽象模型，虽然原则是概括的（见附录a）。对于所有t∈ Z、 xt=Axt-1+^A^x1，t+但（1）ut=车辙-1+重量。（2）矩阵A，^A∈ Rn×n（^A 6=0），B∈ Rn×mare常数。变量包括自变量t∈ Z、 表示离散时间瞬间，内生变量xt的向量∈ Rn×1，向量^x1，t∈ Rn×1表示xt值的一个时间步“预测”，以及外部输入ut向量∈ Rm×1，由序列wt驱动∈ 实值、独立、零均值随机变量的Rm×1，具有独立性，定义在公共概率空间上。预测^x1，t可能取决于协方差（或方差）矩阵的所有条目都是有限的。初始条件x-1，^x1，-1和u-1，被正式视为常数，在随机变量u，u，…，的序列上，ut–或等效顺序w，w，wt.假设多项式矩阵[z^A- z+z]是正则的–意味着它的行列式不会在所有z上消失∈ C、 在这种情况下，该模型也将被称为正则模型。

这是一个常见的假设，在这种情况下，它可以排除和期望无关的无意义的来源。当然，在没有其他方程的情况下，随机变量^x1、tand x是未定义的。为通用性起见，仅假设预测^x1，t与初始条件和驱动变量wt–a呈线性关系，此外，其对驱动变量的依赖性可由线性、常数系数、随机差异方程表示。这本质上是Muth（1961）假设3的一个版本，并通过其他理性预期方法得到满足。然后，线性恒常微分方程理论告诉我们，期望值必须遵循以下形式的方程：^x1，t=tXτ=0Ft-τwτ+xt+1，（3），其中Ft∈负t的Rn×mvanishes和Xt+1线性依赖于初始条件，但不依赖于wt。这种方程将被称为预测机制m。卷积核确定预测机制的脉冲响应矩阵，卷积和的限制确保预测基于适当的信息集。变量WT本质上只是定义ut随机结构的一种方便手段，因此考虑由经济外生变量ut驱动的预测机制也很有意义：^x1，t=tXτ=0Ft-τИuτ+xt+1，t型≥ 0，（4）每t≥ 0，英尺∈Rn×m.序列▄ut：=Ptτ=0Rt-τwτ=ut- Rt+1u-1决定仅取决于WT而非初始条件的内生变量序列的组成部分。下一节中进行的所有分析均基于上述预测形式的温和假设，以及上述规律性。

因此，它代表了在线性、恒定效率、随机差异方程的背景下对理性预期的一般分析。特别感兴趣的是无偏见的预测机制。设y为wt公共概率空间上定义的任意平方可积随机变量。对于t≥ -1，Cho和McCallum打算利用该模型来获取动态、随机、一般均衡（DSGE）模型的局部线性近似值。有关具体的数值实例，请参见第4节。在传统的理性预期范式下，Cho-McCallum模型已被用于捕捉具有任意数量的预期项的方程，具有任意的预期Alleads和lags（Broze et a l.，1995；Binder and Pesaran，19 97；McCallum，2007）；参见附录A，了解本文结果对此类一般模型的直接扩展。Et（y）表示y的期望值，条件是驱动变量w，w，wt–并受完整模型的约束，包括预测机制及其初始条件。给定一致的初始条件，如果完整模型（1–3）（分别，（1,2,4））满足（xt+1），则预测机制（3）（分别，（4））是模型一致的- ^x1，t）=0，或等效地，^x1，t=Et（xt+1），t型≥ -1.这种预测机制体现了“强”理性预期假设，即经济主体的行为，就像他们能够获得有关经济的所有相关信息一样，并在此基础上形成不包含任何系统性错误的预期。应该强调的是，适当的条件预期取决于预测机制，即使模型或分析师最初不知道该预测机制。

这是一个关键点，作者认为这一点在逻辑上是隐含的，并且完全符合强烈理性预期假设的精神。在经济学术语中，它提出了这样一种假设，即经济行为体（总体上）的行为，即他们不仅知道经济如何应对冲击和行为体的预期，而且还知道行为体自己的预期是如何形成的，以及如何对冲击作出反应。本文的主要结果包括模型一致性预测机制的一般存在性和唯一性结果（定理3.5，第15页），以及确保存在的简单结构条件的识别，以及以组合前馈/反馈实现形式的可实现性（定理3.6，第16页）。最后，它表明，对于一大类模型，不仅要求预测误差为零均值，而且要求它们在最小二乘意义上最小化，就可以确保唯一性（推论6.1，第22页）。3一般模型一致性解为了导出模型一致性预测机制的一般表示，我们分别考虑了初始条件为零值和驱动变量为零值的情况；通过线性，我们随后叠加得到的解。在第一种情况下，非均匀性的原因变得很明显。3.1零状态响应支持初始条件x-1，^x1，-1和u-1为零。在线性时不变系统的终结论中，产生的响应称为零状态响应。根据定义，预测机制的零状态响应必须具有卷积形式。在第一种情况下，根据驱动变量wt：^x1，t=tXτ=0Ft查找描述是很方便的-τwτ，t型≥ 0 .

（5） 由于模型（1,2）实际上是一个线性常数方程组，内生变量向量的序列必须具有类似的卷积形式：xt=tXτ=0Gt-τwτ，t型≥ 0 . （6） 自然地，▄gt取决于▄Ft，反之亦然。模型和模型一致性条件将提供两个描述其关系的方程。将卷积和（5,6）代入方程（1），并使用（2）消除ut：tXτ=0Gt-τwτ=At-1Xτ=0Gt-1.-τwτ+^AtXτ=0Ft-τwτ+BtXτ=0Rt-τwτt型∈ Z（7） 应用条件期望运算符E，~Gtw=A ~Gt-1w+^AFtw+BRtw，t型≥ 0 .但是在这里，w∈ Rm×1是任意的，所以它必须是▄Gt=A▄Gt-1英尺+快速公交系统，t型≥ 0 . （8） 对于与两个脉冲响应相关的第二个方程，引入t的模型一致性条件≥ 0：^x1，t=Et（xt+1）<==>tXτ=0Ft-τwτ=Et（t+1Xτ=0Gt+1-τwτ），<==>tXτ=0Ft-τwτ=tXτ=0Gt+1-τwτ。再次以w为条件取期望值，并进行因子分解，从而获得了结果方程对任意y w必须成立的基础，~Ft=~Gt+1，t型≥ 0 . （9） 零态响应的计算相当于求解系统（8,9），因此有效地简化为通过将▄Gt+1替换为▄Ftin（8）：▄Gt=A▄Gt获得的方程的解-1+AGt+1+BRt，t≥ 0 . （10） 为此，假设矩阵多项式[z^A- zI+A]是正则的–它的行列式不是相同的零。这是一个标准假设，对此有充分的理由。例如，见（King和Watson，1998；McCallum，1998）。特别是，无论预期如何，都有必要确保解决方案的唯一性。在这种正则性假设下，任何存在的解都是唯一的。

此外，它是指数级的，因此具有单边z变换：考虑到（10）可以通过上述矩阵多项式的线性化重写为一个初始矩阵微分方程（Lancaster，2008）；例如，参见Brüll（2009）的结果。将单边z变换及其左移和右移特性应用于（8,9），并记住▄GT必须为负t消失，一个结果▄G【z】=Az-1G[z]+^AF[z]+B[I- Rz公司-1]-1，（11）~F[z]=z[~G[z]-G]。（12） 方程式的出现反映了对附加边界条件的需要；不均匀性的结果是，仅当条件G-应用1=0。但是，给定模型（1,2）的形式，这种非均匀性只能由模型一致性预测机制产生。因此，额外的边界条件应以▄Ft表示：设置t=0 in（10）和（9），▄G=^A▄G+B=^A▄f+B。（13） 用^AF+B代替G，然后根据F求解变换F[z]和G[z]：~F[z]=[z^A- zI+A]-1h【zI- A] （^AF+B）[zI- R]- zBi[我]- Rz公司-1]-1，~G[z]=[z^A- zI+A]-1hz^A（^AF+B）[zI- R]- zBi[我]- Rz公司-1]-这证明，如果（8，9）存在合适的解，它们必须具有上述形式的变换，因此必须是唯一的。但是▄F【z】的形式也决定了存在：命题3.1假设【z^A】- 我很正常。

然后对于乘积^AF的任何给定值∈Rn×m，系统（8,9）存在一个解，使得▄Ftand▄gtVanish为负t，且▄a▄fh为规定值，仅当有理矩阵▄f[z]=[z^a- zI+A]-1h【zI- A] （^AF+B）[zI- R]- zBi[我]- Rz公司-1]-1正确。在这种情况下，逆z变换≈Ft:=z-1n[z^A-zI+A]-1h【zI-A] （^AF+B）[zI-R]- zBi[我]-Rz公司-1]-1o▄Gt：=Z-1n[z^A-zI+A]-1hz^A（^AF+B）[zI- R]- zBi[我]-Rz公司-1]-1包含独特的此类解决方案。证明：假设系统存在适当的解决方案。然后，对于负t，分别使用▄fta和▄gtvanish。它们各自的z变换就是适当的有理矩阵；通过逐步讨论，~F[z]和~G[z]具有命题陈述中给出的形式，其中▄Fis是▄Ft的初始值。这建立了唯一性（通过z变换反演）和存在的必要条件。相反，对于^AF的任何特定值，如果给定的矩阵F[z]是正确的，那么G[z]=[z^A也是正确的- zI+A]-1[z^A（^AF+B）- zB[I- Rz公司-1]-1] =（^AF+B）+[z^A- zI+A]-1[[字-A] （^AF+B）- zB[I-Rz公司-1]-1] =（^AF+B）+z-1F【z】。因此，F[z]和G[z]都是单边z变换。因为z-1F【z】是严格正确的，那么G【z】的逆变换的初始值必须等于AF+B。接下来（11）和（12）是满足的。然后再变换回时域，则表明（8）和（9）以及（10）是满足的。在t=0时应用（10）得到G=AG+B，因此A等于AF的规定值。但是，通过（9），Ft所有t=Gt+1≥ 因此，产品^AFtindeed的设定值att=0。这证明了存在的充分条件。上述结果引出了模型一致性预测机制（3）形式的必要条件：推论3.2让模型（1,2）是正则的。

对于乘积^AF的任何给定值∈Rn×m，任何模型一致性预测机制（3）必须满足▄Ft=Z-1n[z^A-zI+A]-1h【zI-A] （^AF+B）[zI- R]- zBi[我]-Rz公司-1]-1o。在▄F【z】适当的情况下。如果x-1，^x1，-1和u-1为零，且^x1，t=Ptτ=0Ft-τwτ，则模型（1,2）满足xt=tXτ=0Gt-τwτ，其中▄Gt：=Z-1n[z^A- zI+A]-1hz^A（^AF+B）[zI- R]- zBi[我]- Rz公司-1]-1o。预测误差在时间t实现≥ 0是xt- ^x1，t-1=（^AF+B）wt证明：关于模型一致性预测机制形式的必要条件，以及关于结果模型的解决方案，是命题3.1的直接结果，在前面的讨论中。为了满足模型方程，我们再次通过命题3.1，方程（8）通过线性得到满足，并且事实上，对于负t，<<GT消失，因此是（7）。因此，推论中的^x1、tand和xtin可解模型方程（1,2）。对于日期为t=-1，那么，x- ^x1，-1=x=~Gw=（^AF+B）w；根据方程式（9），对于≥ 0，xt+1- ^x1，t=t+1Xτ=0Gt+1-τwτ-tXτ=0Ft-τwτ=▄Gwt+1=（^A▄F+B）wt+1。（14） 这些预测误差均为零，证实了模型的一致性。该解决方案可以用外部输入utrather表示，而不是驱动变量wt，只需将▄F【z】和▄G【z】乘以【I】- Rz公司-1] ：F[z]=[z^A- zI+A]-1[[字- A] （^AF+B）[zI- R]- zB]，G[z]=[z^A- zI+A]-1z【^A（^AF+B）】zI- R]- B] ，右乘以[I]的时域计数erpart- Rz公司-1]-1恢复▄F【z】和▄G【z】是与Rt的卷积。由此可知，F=▄F。同样，Ft（分别为Gt）与UTI的卷积相当于▄Ft（分别为Gt）与wt（通过卷积关联度）的卷积。

因为[我- Rz公司-1] 它的有理矩阵逆都是正确的，因为它们的每个逆z变换的初始值都是恒等矩阵，所以它们中的任何一个相乘都不会改变正确性。推论3.2的以下对应项是直接的：推论3.3假设模型（1,2）是正则的。然后，对于任何指定的^AF值∈Rn×m，任意模型一致性预测机制（4）hasFt=Z-1{F[z]}=z-1{[z^A- zI+A]-1[[字-A] （^AF+B）[zI- R]- zB]}，其中F[z]是正确的。如果x-1、^x1、t和u-1均为零，且^x1，t=Ptτ=0Ft-τuτ，则得到的完整模型（14）满足文本=tXτ=0Gt-τuτ，其中gt=Z-1{G[z]}=z-1{[z^A- zI+A]-1z[^A（^AF+B）[zI- R]- B] }。预测误差在时间t实现≥ 0是xt- ^x1，t-1=（^AF+B）wt。如果F[z]和G[z]合适，则它们分别构成通常称为预测机制和相应模型的传递矩阵或传递函数矩阵。当转移材料合适时，它们具有状态空间实现。这种实现不是唯一的，它们的选择可能取决于有理矩阵结构的细节。但是，借助数值例程可以很容易地找到实现，例如MATLAB控制系统工具箱的命令tf2ss，orof Scilab（Scilab Enterprises，2012）。混凝土数值示例见第4节。特别警惕的读者会注意到，G[z]和G[z]的公式隐含了对术语[I]的精确取消- 亚利桑那州-1]-1，由模型方程（1）通过方程（12）产生，通过项[I-亚利桑那州-1] 产生于▄F【z】。

（若要查看取消，请将▄F【z】的解替换为方程式（12）。）然而，第3.4节中给出的F【z】的实施确保后一项也通过反馈从模型方程本身产生，在这种情况下，取消是代数的一种形式，不要求公众的总体行动具有有限的精确度。一个相关的问题是，整体模型可能对^A的值非常敏感：从数学上讲，该值的变化可能会引起标称矩阵多项式[z^A]的奇异摄动- zI+A]。彻底处理后一个鲁棒性问题超出了本文的范围；但解决方案的一个要素可能是将^合理地视为预测机制的一个参数，其输出将是^a^x1，t的乘积，即预测^x1，t的“经济影响”，而不是预测本身。3.2零输入响应为了充分描述模型一致性预测机制，必须考虑非零初始因素的影响。对于已分析的驱动项，现在（通过线性）可以考虑初始条件可能具有非零值，但所有驱动变量都消失的情况。从系统论的角度来看，模型的对应解称为“零输入响应”根据预测机制的定义，在这种情况下，^x1，t=xt+1，其中xt+1几乎依赖于初始条件，但根本不依赖于wt。对于任何t≥ 0，模型一致性因此要求xt+1=Et（^x1，t）=^x1，t。换句话说，^x1，t必须是xt+1的准确预测。因此，序列XT必须是以下“完美预见”模型的解决方案，该模型捕获驱动变量WT为零值f或所有t的情况≥ 0.xt=Axt-1+^A^x1，t+BRt+1u-1，（15）^x1，t-1=xt。