线性有理函数非齐次性的由来及解决方法

直接分析有助于深入了解本文的核心问题，即解的非唯一性和相关的自由参数，当然也允许直接解更广泛的一类模型。要概述一种通用方法，请采用以下模型：hXi=0lXj=0Aij^xi，t-j=但是，A=I；（35）ut=车辙-1+重量（36）这里，Aij∈Rn×nare常数矩阵系数，如B∈Rn×mandR∈Rm×m。序列wt如本文主体所示，向量utagain表示wt驱动的外部输入。向量^x0，t∈Rn是内生变量的向量Xt，对于0<j≤ l、 ^x0，t-j=xt-jis xt的“滞后”版本。对于正i，0<i≤ h、 ^xi，Tre给出了在时间t时公式化的xt+i值的预测。为简洁起见，本附录重点介绍了当前方法的新部分，零状态响应的公式和解决方案：因此，所有初始条件都假设为零值，预测将仅取决于随机变量uτ，对于0≤ τ ≤ t、 形式上，预测机制采用形式为^xi，t的方程组形式-j=t-jXτ=0Fij，t-τuτ， 0<i≤ h，0≤ j≤ l，t≥ j，（37），其中Fij，t∈Rn×m。卷积和的上限反映了预测^xi，t-J必须完全基于时间t时的可用信息- j、 关于仲裁条款的形式可能会有更多的问题，但额外的结构很快就会显现出来。如前所述，考虑由wt，^xi，t直接驱动的预测机制也很方便-j=t-jXτ=0Fij，t-τwτ，i、 j 0<i≤ h，0≤ j≤ l t≥ j（38）如果y是定义在wt公共概率空间上的平方可积随机变量，则Et（y）表示y的期望值，以wτ为条件，对于0≤ τ ≤ t。

如果生成的完整模型满足以下所有条件，则预测机制是模型一致的≥ j- 1, 0 ≤ 我≤ h、 0个≤ j≤ l、 Et公司-j（xt+i-j- ^xi，t-j） =0<==> ^xi，t-j=Et-j（xt+i-j） 。需要注意的是，预期值不仅受模型方程（35,36）的影响，而且还受预测机制的影响。在其他方面，上述模型类似于Broze等人（1995）的“一般模型”。WTI不仅通过期望条件，而且通过外源输入对X产生因果影响。因此，xt必须构成WT与脉冲响应的卷积，其形式如下：xt=tXτ=0Gt-τwτ。（39）对于与▄GT和▄Fij，t相关的方程式，调用模型一致性，对于0<i≤ h、 andt公司≥ 0:tXτ=0Fij，t-τwτ=^xi，t-j=Et-j（xt+i-j） =Et-jt+i-jXτ=0Gt+i-j-τwτ=t型-jXτ=0Gt+i-j-τwτ。取左侧和右侧的期望值，条件为w，Fij，tw=t-jGt+i-jw，t型≥ 0 .这里，tdenotes是单位步长函数，对于负变元，它会消失，但另一方面，它是统一的。因为wis是任意的，~Fij，t=t-jGt+i-j、 0<i≤ h，t≥ 0 .给定▄Fij，t的上述形式，删除索引j，改为写入▄Fi，t=t▄Gt+i，0<i≤ h，t≥ 0，（40）和^xi，t-j=t-jXτ=0Fi，t-j-τwτ。（41）将上述卷积代入（35）后，纸张主体的方法yieldlXj=0A0jt-j▄Gt-j+hXi=1lXj=0AijFi，t-j=BRt，t型≥ 0 . （42）方程式（40）的应用导致Gt中的以下差异方程式：hXi=0lXj=0Aijt-jGt+i-j=BRt，t型≥ 0 . （43）为了确保差异方程的唯一解，无论理性预期如何，我们应假设相应的mat r ix多项式d【z】：=hXi=0lXj=0zi+l-jAijis常规。

在这种情况下，模型（35,36）也将被称为常规。方程（43）的系数随时间而变化，但最迟只能达到t=l。因此，时不变正则广义系统理论表明，任何解都是指数级的，因此都具有z变换。假设（43）和（40），因此（42）可以同时求解。对（40）的两侧进行z变换，得到任何0<i≤ h、 Fi【z】=Znt▄Gt+io=Zn▄Gt+io=zi”▄G【z】-我-1Xk=0z-kGk#。（44）然后取（43）中的转换，并根据（44）替换，hXi=0lXj=0Aijzi-j“~G[z]-我-1Xk=0z-kGk#=B[I- Rz公司-1]-1.（45）根据规律，~G[z]因此必须满足~G[z]=D[z]-1zl“hXi=1lXj=0i-1Xk=0Aijzi-j-kGk+B[I- Rz公司-1]-1#. （46）确定唯一解决方案需要规定初始值Gi，0≤i<h。这些值必须通过方程G=B与▄Fi，t，fo的初始值0<i<h，以及与aH0▄Fh，0的初始值相关-Phi=1Ai0Fi，0（by（42）和（4 0）），和Gi=Fi，0，0<i<h（by（40））。满足这些初始值的任何两个解GT都必须具有此z变换，并且对于负t为零。从z-t变换反演得出，这两个解实际上是相等的。命题A.1假设模型（35,36）是正则的。对于任何可能的值▄F1,0，▄F2,0，Fh-1,0和Ah0Fh，0，定义G：=B-对于所有0<i<h，φ=1Ai0Fi，0和Gi：=Fi，0。

设N[z]：=“hXi=1lXj=0i-1Xk=0Aijzi+l-j-kGk+zlB【I】- Rz公司-1]-1#.然后，存在一个（40，42）的解，该解与上述初始值Fi，0,0<i<h和Ah，0Fh，0一致，并且当且仅当以下有理矩阵正确时，负t的Fi，tandgt消失：Fh[z]=zh“D[z]-1N【z】-h类-1Xk=0z-kGk#。在这种情况下，唯一的此类解决方案由▄Fi，t=Z给出-1（zi“D[z]-1N【z】-我-1Xk=0z-kGk#），0<i≤ h，▄Gt=Z-第1[z]-当且仅当满足上述条件时，才存在模型一致性预测机制（38）。任何此类预测机制必须具有▄Fij，t=▄Fi，t-j、 对于所有0<i≤ h、 0个≤ j≤ l、 如果所有初始条件均为零值，且^xi，t-j=Pt-jτ=0Fi，t-j-τwτ，对于所有t≥ j、 对于所有i，j，0<i≤ h、 0个≤ j≤ l、 然后模型（35,36）满足xt=Ptτ=0Gt-τwτ，t型≥ 对于任何i，j，0<i≤ h、 0个≤ j≤ l、 和任何t≥ j- i、 预测误差由：xt+i给出-j- ^xi，t-j=t+i-jXτ=t-j+1Gt+i-j-τwτ。（47）证明：如果存在（4 0,42）的解，那么，通过上述讨论，Fi，tand，gt的单边z变换必须具有命题陈述中给出的形式，并且必须是适当的。这就建立了生存的必要条件。为了提高效率，请注意▄G【z】=h-1Xk=0z-kGk+z-hFh【z】；因此，如果▄Fh【z】是合适的，那么▄G【z】也是合适的。因此，这两个矩阵都是单边z变换：它们的逆变换对于负t为零。此外，逆变换的第一个h值为▄G【z】，分别为▄Gi，0≤ i<h。因此，所有的Fi[z]都是正确的。通过定义，G[z]满足（46），并且转换到时域表明其逆变换满足（43）。

定义的Fi[z]满足（44），0<i≤ h、 变换到时域表明，它们各自的逆变换满足（40）。因此，（42）是满足的。在（40）中设置t=0意味着0<i<h的逆变换的初始值Fi[z]确实是赋值，在（42）中设置t=0表明Ah0Fh，t在t=0时为单位赋值。这建立了（40,42）的适当解存在的条件的有效性。从上述讨论中可以看出其独特性。^xi，t的零态响应的各自独特形式-jand Xtender提出了一种模型一致性预测机制，然后按照前面的讨论，通过直接减去卷积和来表示误差。（与之前一样，预测机制可以很容易地用ut表示。）参数▄F1,0，▄F2,0。Fh-1,0和Ah0Fh，0因此确定Gvia（35-37）；给定这些值和模型方程，然后模型一致性确定0<i的▄Fi，t≤ h、 和▄Gt，对于所有t>0。解存在的充分“适定性”条件概括如下：推论A.2假设模式l（35,36）是正则的，并且D[z]-1zh+l-1正确。然后，对于任意可能值▄F1,0，▄F2,0，Fh-1,0和Ah0Fh，0，存在一个（唯一的）模型一致性预测机制。证明：根据命题A.1，定义G：=B-对于所有0<i<h，φ=1Ai0Fi，0和Gi：=Fi，0。注意N[z]：=“hXi=1lXj=0i-1Xk=0Aijzi+l-j-kGk+zlB【I】- Rz公司-1]-1#=“hXi=0lXj=0h-1Xk=0Aijzi+l-j-kGk-hXi=0lXj=0h-1Xk=iAijzi+l-j-kGk+zlB【I】- Rz公司-1]-1#=D[z]h-1Xk=0z-kGk- zl“hXi=0lXj=0h-1Xk=iAijzi-j-kGk（1-δjδk-（一）-BRz公司-1[我-Rz公司-1]-1#其中δ是Kronecker delta函数，当t=0时，其值为单位，但在其他情况下消失。

因此，Fh【z】=D【z】-1zh+l×”BRz-1[我- Rz公司-1]-1.-hXi=0lXj=0h-1Xk=iAijzi-j-kGk（1- δjδk-i） #。方括号中的术语是严格正确的，因此，如果D[z]-1zh+l-1是正确的，那么▄Fh【z】必须是正确的。B第3.4节的证明下面的简单引理列出了适定性的一些含义。引理B.1假设^A为非零且[z^A- zI+A]是规则的。则以下为等效值：[z^A- zI+A]-1完全正确<==> [z^A- zI+A]-1zI合适<==> [z^A- zI+A]-1[字- A] 是适当的<==> [z^A- zI+A]-1z^A合适<==> [z^A- zI+A]-1z^A严格正确<==> [z^A- I]-1正确<==> z^A[z^A- I]-1正确。证明：前四个等价物和最终一个都很简单。第五，请注意[z^A- I]-1可通过【z^A】实现- I+Az-1]-1，反之亦然，通过HAZ反馈-1： 这意味着一个是正确的，当且仅当另一个是正确的。正如所声称的那样，适定性确保了模型一致性预测机制的存在：命题B.2假设模型（1,2）是正则且适定性的，并且初始条件是弱一致的。那么对于任意给定的^AF值，（1,2）存在一个（唯一的）模型一致性预测机制。证明：假设x[z]是[z^a- zI+A]-1[z^A^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】- Rz公司-1]-1u-1] =^x1，-1+[z^A- zI+A]-1[[字- A] ^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】- Rz公司-1]-1u-1] =^x1，-1+[z^A- zI+A]-1[z（^x1，-1.- Ax-1.- 布鲁-1)- A^x1，-1.- BR[我- Rz公司-1]-1u-1] .初始条件的弱一致性意味着括号中的术语位于^A的图像中；此外，如果[z^A- zI+A]-1是严格正确的，然后由引理B.1，X[z]- ^x1，-1也严格正确。现在writeF[z]=[z^A- zI+A]-1[[字- A] （^AF+B）[zI- R]- zB）=[z^A- zI+A]-1hz^AF-[字- A] （AF+B）R+zA（AF+B）i、 如果[z^A- zI+A]-1是严格正确的，那么通过引理B.1，这是正确的有理矩阵的和，所以F[z]是正确的。

因此，根据定理3.5，无论^aF的值如何，都存在一种独特的模型一致性预测机制。这种存在模型一致性预测机制的简单有效条件也确保了包含反馈的实现的存在。考虑到第3.1节中▄F【z】和▄G【z】的推导可以从以下方程组开始，相当于（8,9）：▄Ft=A▄Gt+^A▄Ft+1+BRt+1，t型≥ 0，▄Gt=A▄Gt-1英尺+快速公交系统，t型≥ 0 .这就得到了变换后的方程我-[我-z^A]-1A级-[我-亚利桑那州-1]-1^A IF[z]G[z]=“[我-z^A]-1hBR【I】-Rz公司-1]-1.-z^AFi【I】-亚利桑那州-1]-1B[一-Rz公司-1]-（48）左侧表示反馈互连，右侧表示作为反馈回路输入的外部信号矢量。左手系数的反比存在：-[z^A-zI+A]-1z 00-[z^A-zI+A]-1z我-亚利桑那州-1A^A I-z^A我-z^A 00 I-亚利桑那州-1.– 根据引理B.1，如果[z^A]，则逆是正确的- zI+A]-1是严格正确的（如果A是非奇异的，则相反）；在这种情况下，逆函数与方程右侧的乘积也是合适的。因此，上述方程式描述了在反馈回路中，esfta和gta是唯一的，并且是从彼此之间以及从反馈回路外部信号中因果衍生而来的。通过线性和时间不变性，^x1，tand x的零态响应从它们的卷积核继承了这种关系。更明确地说，零状态响应的前馈/反馈实现可以通过将（48）的第一个方程转换为时域，并使用WT序列进行卷积：^x1，t=tXτ=0Φt-τ[Axτ+BRuτ]-tXτ=0ψt-τ^AFwτ，t型≥ 0 .此处，Φt：=Z-1{[I- z^A]-1} 和ψt：=Z-1{[I- z^A]-1z}。

根据引理B.1，首先是真有理矩阵的逆变换（其与^a的乘积是严格正确的），其次是矩阵的逆变换，其与^Ais的乘积是正确的。或者，ψt可以定义为适当矩阵Z的逆变换-1{[I- z^A]-1z^A^Ag}，其中^agi是^A的广义逆（使得^A^Ag^A=^A）。通过为所有t设置wt=0≥ 0，并转换到z域，很容易检查定理3.6中的扩展定律是否导致（通常）情况下相同的零输入响应，其中A为非零。如第3.2节所述（前提是初始条件弱一致）。这就建立了定理。前馈/反馈预测器的结构如图1所示，其中为了简单起见，初始条件被抑制，卷积核Φtandψtar由其z变换表示。[我- z^A]-1h^AF【zI】- R]- BRi【I】- z^A]-1A^ABAz-1ut+xt-+^x1，t++图1：实现适定模型的模型一致性预测（使用xt≡ 0).C数学预备课程本课程简要介绍了与z变换和多项式及有理矩阵相关的一些数学预备课程。欲了解更多详情，请参阅Chen（1999）或Fuhrmann和Helmke（2015）。单边z变换利用频域方法解决离散时间初值问题，通常采用单边或单边z变换：Y[z]：=z{yt}：=∞Xt=0ytz-t、 z∈ C（49）这里，yt可以是标量值、向量值或矩阵值。单边z变换可以解释为因果系统的脉冲响应。

如果它是一个有理函数（或有理矩阵），那么它必须是正确的：分子（其任何元素）的度数不应大于分母的度数。变换明显是线性的；其他基本属性总结如下。收敛假设矩阵yt的每个元素（yt）ij满足（yt）ij≤ Kαt，对于某些正K，α∈ R、 然后yt的z变换在| z |>α的任何地方收敛。当它的所有元素都满足这样的不等式时，ytis被称为指数级。因此，多项式和指数是指数级的，指数级函数的和、积和卷积也是指数级的。反演积分时域函数yti由Y【z】通过以下轮廓积分确定：yt=2πiIY【z】zt-1dz，t型∈Z、 其中，积分沿Z变换收敛区域内闭合轮廓的逆时针方向进行。如果Y[z]是一个适当的有理函数（或一个适当的有理矩阵-见下文），则反变换为f或负t。在实践中，通常通过其他方法进行反演，而不是直接计算上述积分。请参见下一节。左移规则变换根据定义，对于t的负值，忽略Yt的任何非零值。因此，它总是产生一个变换，其逆（见下文）对于t的负值消失。

这一特性反映在时域函数左移的标准规则中：Z{yt+1}：=∞Xt=0yt+1z-t=z∞Xt=0yt+1z-（t+1）=z[Y[z]- y] （50）移位序列yt+1的变换是通过简单地将未移位序列yt的变换乘以z来获得的–在湮灭序列的第一个元素后，其左移版本因负指数而消失。更一般地，通过重复应用上述公式，我们得到了Z{yt+τ}=Zτ“Y[Z]-τ -1Xk=0z-kyk#，τ ≥ 1、我们通过找到序列的单侧z变换来说明定义和移位操作，对于非负t为Rt，否则为零。在对R=I进行细分后应用左移，这当然会产生与指数序列的每个项乘以R相同的结果。因此，原始序列的z变换R[z]满足：z[R[z]- 一] =RR[z]。（51）求解，我们发现[z]=[zI- R]-1zI=[I- Rz公司-1]-1.（因为矩阵多项式-R] 是常规的–请参阅下一节）。当且仅当| z |大于矩阵的谱半径（即任何特征值的最大模）时，求和收敛，z变换存在。应用（51），我们得到了一个在计算中隐式调用的等式：z[[I- Rz公司-1]-1.- 一] =R[I- Rz公司-1]-1右移规则基本右移规则如下。Z{yt-1} =∞Xt=0yt-1z-t=z-1[∞Xτ=0yτz-τ+zy-1] =z-1[Y[z]+zy-1] .通过反复应用，我们发现，更一般地，Z{yt-τ} =z-τ“Y[z]+τXk=1zky-k#，τ ≥ 1.时域卷积z{tXτ=0xt-τyτ}=X[z]y[z]。多项式与有理矩阵d次的n×m矩阵多项式是具有n×m矩阵系数的多项式：P[z]=zdAd+zd-1Ad公司-1+ . . .