线性有理函数非齐次性的由来及解决方法

事实上，如果z保持有界，那么s趋于零，那么分母多项式趋于-[字- A] ，因此n个特征值趋向于矩阵A的特征值。但如果^A具有非零特征值，则分母多项式具有n个以上的精确值：为了使阶数下降到=0，其中一些精确特征值必须“逃逸”到精确。实际上，假设^A具有m>0个非零特征值。要捕获像1/一样随趋于零而变化的IGENVALUES行为，请执行变量z=λ/的更改。矩阵多项式- zI+A]变成[λ^A-λI+A]=-1[λ^A- λI+A]。在本例中，通过Scilab命令tf2ss。在双精度浮点运算中，只需要1±10阶的乘法摄动-9破坏零极点抵消。当趋于零时，λ中矩阵多项式的m个特征值接近A的非零特征值的倒数。因此，z=λ/中矩阵多项式的m个特征值的模趋于一致。另一方面，如果^A是非奇异的，且应用于期望的权重非常大，则z中矩阵多项式的特征值将是稳定的：推论5.1小期望增益：在上述等式（1）中，将系数矩阵^A替换为A，其中是实的正标量。假设^A h是某个非零特征值。然后，对于非常小的>0，分母矩阵多项式[z^A- zI+A]具有不稳定的特征值；因此，除非零极点取消，否则整个模型（1-4）在模型一致性预期下是动态不稳定的。大期望增益：另一方面，假设^A i是非奇异的。然后是任意特征值o的模f[z^A- zI+A]处于most1+q1+4k^A-1公里-1kAk2k^A-1公里-1.其中k。k表示任何从属矩阵范数。证明：“小增益”结果来自Akian等人的推论1。

（2004），将综合理论纳入（Akian等人，2014）。非奇异^A的上界来自Higham和Tisseur（2003）的引理3.1。上述分析表明，在“积极”政策下，消除新凯恩斯模型（第4节）的不稳定特征值所需的不稳定零极点消除会消除尤其与期望项相关的动力学特征。实际上，[z^A]的特征值-zI+A]随参数连续变化，并且让的范围从1到0，数值计算表明，正是在积极政策下不稳定的两个特征值随着趋向于零（沿实轴向右移动）而趋于一致，而其他特征值则趋向于A的特征值。现在考虑反转过程，从=0开始，因此模型中没有期望项，然后逐渐将增加到1以恢复期望。A的初始值为0、0和0.417；当从0增加到1时，两个特征值在理论上保持不变，而第三个特征值从0.417移动到0.334。因此，期望的一个影响是在a的非零特征值中产生适度的偏移。因此，期望的更重要的动态影响是形成与有限特征值1.045和1.04相对应的两个附加模式。

然而，这些正是在传统的理性预期方法下，为了选择一种独特的模型一致性预测机制而被抑制的适度性。因此，这种传统的理性预期方法破坏了由预期产生的非常动态的特征。内部特征值使有限特征值上边界的建立复杂化（Higham和Tisseur，2003）。这种抑制还取消了模型的“零动态”，这可以解释诸如“价格谜题”之类的行为（Thistle和Miller，2016）。下一节将介绍一种确定唯一模型一致性预测机制的方法，而无需求助于零极点对消。事实上，无论动力学稳定性或不稳定性如何，它都会产生唯一的解。6最小平方误差解决方案本节提出了一个独特的模型一致性解决方案，至少在超级层面上，它是理性预期的自然延伸。它适用于所有情况（无论动态稳定性或不稳定性），并且通常不需要零极点对消。除了要求预测误差为零均值外，它还要求所有预测误差在最小二乘意义上最小化：该方法的关键是唯一的f^af值将实现这种最小化。具体而言，让Et表示（^AF+B）wt，即在时间t时，在模型一致性预期下实现的预测误差。然后，假设^AFis使得，给定wt序列，每个平方误差项e′tet最小化。这一标准并不是灵丹妙药。相反，它具有一些可能不受欢迎的特性，至少在某些情况下是如此。因为G=^AF+B，误差最小化是xtto冲击中内生变量即时反应的最小化（在最小二乘意义上）。

这意味着^af的“选择”方式是，模型通过预期^x1，tat对冲击的即时响应至少会抵消其通过外部变量ut对冲击的即时响应。期望项对冲击效应的部分“阻断”是传统理性期望模型解决方案中采用的零极点抵消的一种情况，但这并不意味着它是现实的。如果^A的列跨度包含B的列跨度，那么可以选择^AF，使^AF+B为零，并且冲击的直接影响被完全阻断：然后模型将表现出“完美的预见”或“自我满足的期望”，最小平方误差项当然将全部为贝塞罗。尤其是，当^A是非奇异的时，上述内容将适用——例如，在标度情况下必须如此。^AF+B变化的另一个结果是，G，整个模型的脉冲响应的初始值消失，并且G[z]是严格正确的。但是，虽然这一新假设明显加强了通常的理性预期假设，但它也具有类似的精神；与通常结合理性预期假设的不稳定零极点对消的有限精度相比，可以说相对温和。如果如第4节所示，政策参数反映在模型的矩阵系数中，则它保留了期望依赖于政策的关键特征。但它不需要模型的特定稳定性属性，并且通常避免了由于零极点对消，唯一解具有降阶动力学的特性。要确定唯一的解决方案，请注意矩阵b的每列b都可以唯一分解为bk+b⊥, 式中，Bk是其在^A和b柱跨度上的投影⊥与向量空间正交。

设BK由B和B各自列的投影BK组成⊥特殊正交分量b的⊥. 那么，对于任何t≥ 0，e′tet=w′t（^AF+B）′（^AF+B）wt=w′t（^AF）+Bk+B⊥)′（^AF+Bk+B⊥)wt=w′t（^AF+Bk）′（^AF+Bk）wt+w′tB′⊥B⊥因为这是一个非负量之和，所以它在所有可能的^af上的最小值必须至少为w′tB′⊥B⊥wt.现在，对于b中的任何列b，可以选择相应的列fof Fc（不一定唯一），以便^Af=-bk.让Fbe由这些柱组成。然后^AF=-Bk，和；对于任何t≥ 0，e′tet=w′tB′⊥B⊥重量。该唯一值^AF=-因此，对于任何给定的nwt，bk达到最小平方误差。上述讨论建立了以下推论6.1，假设模型（1,2）是正则的。设^AF=-Bk.假设得到的F[z]是正确的，并且初始条件是一致的。那么，定理3.5给出的预测机制就是唯一的模型一致性预测机制，它会导致最小二乘预测误差。根据定理3.6，较弱的条件是模型适定且初始条件弱一致。可以肯定的是，上述方法要求公众总体上校准对冲击的即时反应，以满足最小二乘预测误差的要求。

但在这里，唯一的解决方案并不像零极点对消法那样病态或“脆弱”：^af值中的一个小误差通常意味着只需要稍微大一点的误差；而在零极点对消的情况下，最小的误差意味着模型将动态不稳定。新凯恩斯主义的例子第4节的例子中，我们发现，-黑色=-0.833-0.155 0.322-0.417 0.469 -0.209-0.333 0.239 -0.075.设置^AF=-Bk，为得到的矩阵F【z】找到一个最小状态空间实现，我们得到了唯一的、最小平方误差、模型一致的表示。事实上，在实例w中，最小平方误差标准要求极点对消，产生较少病态解的一种实用方法可能只是简单地应用“小、，\'rando m摄动^AF值。预测机制：ξt+1=1.574-0.937-0.835-0.0942 0.978 0.2850.271 0.109 0.273ξt+-0.288-1.153 0.3701.003 0 -零点三零八零零-0.671ut，（28）^x1，t=0.488-1.171-0.528-0.592 0.334 0.437-0.349-0.049-0.0059ξt+-1.-0.311 0.4710 0.552 -0.374-0.125 0.130 0.23 3美国犹他州。（29）第二个方程的第二个矩阵系数是系统simpulse响应的初始值，它等于F；将其乘以^A得出上述结果-黑色。

根据定理3.6，该模型已建立良好，因此该预测机制可作为反馈/前馈预测器。将预测机制与模型方程（26）耦合产生一个系统，该系统可以用以下状态空间模型的形式表示（作为相应有理矩阵G[z]的实现而获得）：ζt+1=1.574-0.937 0.835-0.094 0.978 -0.287-0.271-0.109 0.273ζt+-0.290-1.161 0.3731.011 0 -0.3100 0 0.676ut，（30）xt=0.275-0.911 0.128-0.444-0.127-0.366-0.169-0.172 0.358ζt+0 0.0118 -0.0950 0.0522 -0.4170-0.0948 0.759美国犹他州。（31）确定预测误差的系数^AF+B与G相同，因此等于方程（31）的第二矩阵系数。与传统的解决方案相比，这种解决方案没有简化的动态顺序，而模型动力学的保留结果表明，新凯恩斯模型的制定存在困难。事实上，上述状态空间方程与关键模型方程的标准解释不符。例如，新的I-S方程（21）通常被认为是断言实际利率rt越高- ^π1，t，低输出yt；同样，gt越大，输出yt越高。但状态空间方程并不一致。请注意，GT是向量ut的第一个组成部分，YIT是xt的第一个组成部分。根据（31），GT对xt的任何组成部分没有直接影响；到（29）为止，它对利息成本的唯一影响是负影响，但它不仅是与新凯恩斯模型的通常解释不一致的最小二乘误差解。

在下一节中，除非对[z^A]的特征值进行抵消- zI+A]，任何模型一致预测系统下的模型特征值分析与I-Sequeation和预期Phillips曲线的通常解释相冲突。7新凯恩斯模型的稳定性通过将理性预期与动态稳定性分离，本文的方法可以更清楚地描述宏观经济模型的动态。为新凯恩斯模型制定稳定利率政策就是一个例证。如果R矩阵是稳定的，那么在没有零极点对消的情况下，整个模型的稳定性只取决于矩阵多项式的特征值[z^A- zI+A]。因此，人们可以通过改变泰勒规则参数，使所有矩阵多项式的特征值变得稳定，来玩弄中央银行的玩具版。冲洗度，ψ=1.10，ψ=-1.50，特征值为0.81±0。045i和0.76（通过降低ρr值，可以进一步降低模量）。这表明这是一个稳定的模型，其响应只有轻微的振荡。在传统的理性预期方法下，这些泰勒规则参数不会产生“确定性”模型，动态稳定性与确定性不相容。但总的来说，并没有这样的困难：例如，这种稳定程序可以结合使用上述最小二乘误差准则来执行。请注意，应用于产出的上述泰勒规则系数ψ的值为负值，这意味着产出水平越高，政策利率越低。这一惊人特征的原因在于新的I-S方程的特殊性。

该方程是从微观基础推导出来的，特别是从不同经济部门成员的最优规划问题的解决方案推导出来的。例如，假设家庭根据利率和其他变量的非线性函数的预期值来安排其在所有时间内的消费。在这种情况下，时间t的预期实际利率越高，同时的消费量就越低，而且，消费量越低，时间越早，从更高的利率中获利就越好。然后，通过将与最优性相关的一阶条件“对数线性化”来获得线性模型方程，这是一个信息近似过程，通常假设非线性函数的预期值可以近似为这些函数近似的预期值。新的I-S方程是通过在生成的方程组中识别输出和消耗来推导的。与消费计划问题的解决方案不同，这个方程当然并不意味着当前实际利率越高，早期的消费水平就越低。事实上，与通常的解释不同，很难辩称它甚至与当前的产出水平也存在负相关关系：对于当前实际利率的任何变化，几乎肯定会对下一期产出的预测1产生相应的变化，因此对今年的影响是不言而喻的。

最好按如下方式重新排列方程式，^y1，t- yt=τ（rt- ^π1，t）- gt，（32）可以看出，τ>0，这意味着实际利率越高，下一时期的预期产出增长越大。但是在整个模型的上下文中可以说更多：注意分母矩阵多项式[z^A- 零输入响应（第3.2节）与零状态响应（3.1）的情况完全相同。为了研究模型特征值，因此需要（在没有零极点对消的情况下）考虑零输入响应。但如果序列r、t、g、t、z等于零，则根据第3.2节的分析，I-S方程和预期的菲利普斯曲线有效地变为，yt+1=yt+τ（rt- πt+1）- gt，（33）πt+1=β-1πt- β-1κ（yt- zt）。（34）结果是新凯恩斯模型的完美预见版本，它产生了与一般版本相同的特征值。对于任何给定的初始条件，它都有唯一的解，根据该解，πt+1和yt+1的值由它们以前的值以及rt、GT和zt确定。因此，rt越大，yt+1越大。因此，兴趣越大，下一时刻的输出就越大。类似地，当β必要性和κ>0时，预期菲利普斯曲线（22）有效地表明，产出水平越高，下一个时期的预期通货膨胀增长率越低。对于与模型一致的期望，这两个方程都是如此。在确定整个模型中的通货膨胀时，这两个反转基本上相互抵消，因为从利率到通货膨胀的唯一传输渠道是通过输出。这就解释了为什么上述稳定政策规则中ψ的符号符合经济直觉，而ψ的符号则不符合。