线性有理函数非齐次性的由来及解决方法

（16） 替换^x1，tin第一个方程式，xt=Axt-1+^Axt+1+BRt+1u-1.t型≥ 0 . （17） 进行单边z变换并求解X[z]，X[z]：=X[z]=[z^A- zI+A]-1[z^A^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】- Rz公司-1]-1u-1] ; （18） 这里，完美预见模型的第二个方程被用来用初始条件^x1代替x，-命题3.4假设模型（1,2）是正则的。LeText：=Z-1{X[z]}=z-1n[z^A- zI+A]-1[z^A^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】- Rz公司-1]-1u-1] o.那么，当且仅当ifX[z]存在一个完美的预见解- ^x1，-1完全正确。在这种情况下，唯一的此类解决方案具有xt=xtand^x1，t-1=xt+1。证明：通过上述讨论，任何解xtof（17）都必须具有X[z]形式的单边z变换。作为单边z变换，X[z]必须是适当的。此外，因为x必须等于^x1，-1，矩阵X【z】- ^x1，-1必须严格正确。这就建立了存在完美预见解决方案的必要条件。现在，假设x[z]- ^x1，-1完全正确。这意味着X[z]是正确的，而^x1，-1是t=0时逆变换X的值。重新排列表达式forX[z]：X[z]=Az-1[X[z]+zx-1] +^Az[X[z]- ^x1，-1] +BR[我- Rz公司-1]-1u-1、转换到时域，可以看到逆变换XT满足（17）。该解的唯一性来自于变换X[z]的唯一性。此外，如果^x1，t-1=xt，对于所有t≥ 0，则（15,16）满足。如果wt=0，则完整模型（1-4）满足xt=xt，t型≥ 根据命题3.4，初始条件将被称为一致的ifX【z】- ^x1，-1严格正确；在这种情况下，模型一致性预测机制必须具有xt=Z-1{X[z]}。在命题的最后一部分，用系统论术语来说，XT可以表示在模型一致性预测下完整模型（1-4）的零输入响应。

它显示了当t的任何驱动项消失时，系统如何响应非零初始条件≥ 然而，在可能超出结果限制的潜在应用中，应牢记推导的性质。如果模型已在负时间瞬间演化，且模型参数≥ 0与t=-1，假设x的实际值-1和u-1重新验证t零输入响应的初始条件≥ 但不太清楚预测^x1的实现会带来什么影响，-1、“完美预见”无需在模型参数发生变化的情况下适用。与上一节推导的公式一样，上述X[z]的解隐含地表示一个项[I- 亚利桑那州-1]-1从模型中升起的部分被一个术语完全取消- 亚利桑那州-1]-1来自预测机制。但是，可以通过使用模型方程的反馈来实现预测机制来解决这一问题，如第3.4.3.3节“总响应”中所述。整个系统的总响应是其零状态响应和零输入响应之和。事实上，确定任何模型一致性预测机制；那么xtand^x1，t必须是随机变量wτ，0的线性函数≤ τ ≤ t、 和初始条件x-1，^x1，-1和u-1、根据线性关系，它们必须通过对驱动变量和初始条件（即零状态和零输入响应）的单独响应求和来获得。与真有理矩阵F[z]和G[z]的状态空间实现一样，可以使用标准的软件工具对pro-permatrix[z]进行反演；它相当于用给定的适当传递矩阵计算系统的脉冲响应。定理3.5假设模型（1,2）是正则的。

对于任何^AF∈Rn×m，defift=Z-1{F[z]}=z-1{[z^A- zI+A]-1[[字-A] （^AF+B）[zI- R]- zB]}，Gt=Z-1{[z^A- zI+A]-1z[^A（^AF+B）[zI- R]- B] }，andxt=Z-1{X[z]}=z-1n[z^A- zI+A]-1[z^A^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】-Rz公司-1]-1u-1] o.假设初始条件一致（X【z】- ^x1，-1严格正确）。（1,2）存在一个模型一致性预测机制（4），当且仅当F[z]是适当的。在这种情况下，根据上述逆变换，唯一的模型一致性预测机制（4）为^x1，t=tXτ=0Ft-τИuτ+xt+1，t型≥ 0 ; （19） 得到的完整模型（1–4）满足性xt=tXτ=0Gt-τИuτ+xt，t型≥ 0。（20）预测误差在时间t实现≥ 0为（^AF+B）wt=（^AF+B）（ut- 车辙-1) .证明：如果初始条件一致，则模型一致性预测机制的必要形式，以及由该形式的预测机制产生的完整模型的唯一解，遵循推论3.3和命题3.4，通过模型和条件期望的线性。从零输入解决方案导出的术语对预测误差没有影响，因此（同样通过线性）在t时刻实现的总体预测误差为（^AF+B）wt，如第3.1节中导出的。

因此，特定的预测机制（19）确实与模型一致。应该强调的是，假设可以指定一个合适的^AF值，该值通过预期表示冲击对内生变量的即时经济影响，本节的结果解决了理性预期的不一致性：只要存在模型一致的预测机制，^AF就决定了G，然后，“合理性”确定所有t>0的fta和gta。在下一节中，将引入一个简单的假设，以确保^AF.3.4的任意值的存在适定性、存在性和反馈如果“特征矩阵”的逆，则称为正则模型（1,2）[-z^A+I- 亚利桑那州-1] 是适当的-或等效的，如果[z^A- zI+A]-1完全正确。例如，当^A是非奇异的时，情况就是这样，但当^A是幂零的时，情况就不是这样了。适定性为初始条件的一致性提供了一个简单的充分条件。如果^x1，-1.- Ax-1.- 布鲁-1.∈ 伊姆尼亚。实际上，如果（1,2）的解在wt=0且预测^x1时存在，则该条件显然是必要的，-1准确无误。合宜性和弱一致性意味着对任何可能的^AF值都存在一种模型一致性预测机制。从经济学角度来看，合宜性消除了经济行为体使用其对模型的预期聚合知识来“选择”存在解的参数值的任何假设。预测机制的理论定义是不现实的，从某种意义上说，如果没有反馈，直接实施将完全缺乏稳健性。

但事实证明，适定性还允许以前馈/反馈互连的形式实现与模型其余部分的模型一致性预测机制，如（1,2）所示。（该条件意味着这种互连的“适定性”，在特定意义上，该术语应用于反馈系统。）反馈的使用解决了模型参数A的关键鲁棒性问题，但对参数^A的敏感性仍然是一个n问题（在第3.1节末尾讨论）。为简洁起见，本节的证明被归入附录B。结果总结如下：定理3.6如果模型（1,2）是正则且适定的，且初始条件弱一致，则对于乘积αf的每个可能v值∈Rn×m，存在唯一的模型一致性预测机制。该预测机制可通过以下前馈/反馈定律实现：^x1，t=tXτ=0Φt-τ[Axτ+BRuτ]-tXτ=0ψt-τ^AFwτ- ψt（^x1，-1.- Ax-1.- 布鲁-1).此处，Φt：=Z-1{[I- z^A]-1} 和ψt：=Z-1{[I- z^A]-1z^A^Ag}，其中^agi是^A的广义逆（s.t.^A^Ag^A=^A）。4新凯恩斯模型的传统确定性本节仅为比较目的，展示了前一节的一般解如何有助于再现传统结果。例如，考虑Lubik a and Schorfeide（2004）的对数线性化新凯恩斯主义DSGE模型：yt=^y1，t- τ（rt- π1，t）+gt（21）πt=βπ1，t+κ（yt- zt）（22）rt=ρrrt-1+ (1 - ρr）（ψπt+ψ[yt- zt]）+r，t（23）gt=ρsgt-1+g，t（24）zt=ρzzt-1+z，t（25）标量变量yt、πt和Rt分别表示输出、波动和名义利率，表示为与趋势路径或稳态的百分比偏差；Gtandzt代表了前两个方程中外源位移的影响。

根据我们常用的表示法，即^y1，tand^π1，t表示时间t时的yt+1和πt+1预测。我们应写出wt=[g，tz，tr，t]\'，并将所得向量值序列的不同值视为独立、同分布和零均值。标量系数如下：τ代表跨期替代弹性，β是家庭的贴现因子，κ是经验菲利普斯曲线的斜率；第三个方程描述了货币当局的行为，ψ和ψ是“泰勒规则”系数。让xt=[ytπtrt]\'，ut=[gtztr，t]\'，wt=[g，tz，tr，t]\'，很容易将方程转化为形式（1,2）。根据（Lubik and Schorfeide，2003），将系数设置为（Lubik and Schorfeide，2004）表1中给出的平均值，β=0.99=0 0 -零点二零八三三三三零零-0.10416670 0 0.4166667xt公司-1+0.8333333 0.1897917 00.4166667 1.0848958 00.3333333 0.6204167 0^x1，t+0.8333333 0.1666667 -0.41666670.4166667 -0.4166667-0.20833330.3333333 0.3333333 0.8333333ut，（26）ut=0.7 0 00 0.7 00 0 0美国犹他州-1+重量（27）（各自的矩阵系数为A、^A、B和R的值）。该模型令人满意，因为[z^A]的所有九个条目- zI+A]-1是严格正确的，因此对于每一个可能的^AF值都存在一个模型一致的预测机制。根据系数的选择值，ψ，利率政策“泰勒规则”中的波动系数的值为1.10。如果ψ>1，那么当通货膨胀上升时，货币当局政策将利率提高更大的百分比（所有其他因素都相等）：这种政策被称为积极的；如果ψ<1，则称为被动策略。

例如，当ψ=0.90时，一般解只有一个不稳定特征值，而当ψ=1.10时，一般解有两个不稳定特征值。在理性预期的传统方法中，发现模型在被动情况下是“不确定的”，但在主动情况下是“确定的”：只有当存在两个不稳定的特征值时，它们的抑制才会消耗足够的自由度来产生唯一解。具体而言，当ψ=1.10时，一般解在z=1.4461829和z=1.0446352时具有不稳定的特征值。分母多项式对应的左特征向量分别为，-0.5818587 0.6738827 -0.4553268&-0.0473748 0.6928388 0.7195346.在整个pap过程中，在Scilab（Mac OS X版本5.5.2）中进行了计算。这些和相关计算的结果显示为7或8个重要数字，以表明计算确实需要精确的精度。另一方面，如果ψ=0.9，并且策略是“被动的”，那么模型只有一个不稳定特征值。同样，这里施加稳定性严格是为了进行比较。继Lubik和Schorfeide（2004）之后，假设所有初始条件均为零值，因此f集中于零状态响应。因为矩阵R是稳定的，所以必须考虑矩阵多项式G[z]。

自由参数^af仅出现在G[z]矩阵分数描述的数值中，因此选择其值以稳定其他不稳定模型的唯一方法是安排f或G[z]的不稳定“极点”被“零”抵消在多变量情况下，这意味着G[z]的分子matr IX多项式必须具有与分母矩阵多项式相同的不稳定特征值，具有相同的左特征向量。注意λi∈ C是G[z]的分子矩阵多项式的特征值，具有左特征向量ci，对于i=1和i=2，当且仅当复写的副本^A（^AF+B）=cB（λI- R）-1cB（λI- R）-1.上述方程的每一行代表三个方程，每一个方程都有一对不同的未知量（来自不同列o f^AF+B的前两行的条目）。因此，单极零对消并不能确定唯一的解决方案，而是两个同时进行的对消。

前两列复写的副本^Aare线性独立，为^AF+B的前两行产生唯一的解决方案；大概1.6999275 0.4900217 -0.61820741.85166 -0.5554980-0.4620143.这进而产生前两行F，0.8094723 0.4571583 -0.20667181.0118144 -0.3035443-0.1544551.前两行F的值确定了^AF的唯一值–大约，0.8665942 0.3233551 -0.20154081.4349934 -0.1388313-0.25368090.8975706 -0.0359379-0.1647171.因此，模型的动态稳定性要求决定了^AF的唯一值，因此，根据定理3.5，确定了唯一的模型一致性预测机制。得到的矩阵G[z]如下所示：（z- 0.3 34)-1.1.700z- 0.9 49 0.490z- 零点零四九七-0.618z1.852z- 零点九零三-0.555z+0.271-0.462z1.231z-0.369z 0.669z它可以以以下状态空间模型的形式实现：ζt+1=0.3343081ζt+0.8815320-0.2644596 0.4788405ut，xt=-0.4316088-0.32256070.4668023ζt+1.6999275 0.490 0217 -0.618 20741.85166 -0.5554980-0.46201431.230904 -0.3692712 0.6686162美国犹他州。而G[z]的最小状态空间实现通常是三阶的（参见第6节中的示例），在^AFit的参数空间中的这个孤立点是一阶的。

这证实了两极零对消，并再现了传统方法的确定结果。为了以这种方式抑制两个不稳定的特征值，输出预测和三次冲击预测的脉冲响应的初始值必须等于（近似）上述前两行F的相应条目给出的值：除非公众以这种方式对特殊冲击做出反应，由于精度有限，模型将不稳定。这种取消完全缺乏稳健性，使得它无法模拟任何真实世界的现象。此外，下一节表明，这种抑制的效果恰恰是消除期望产生的特征值（和动力学）。5理性预期和稳定性预期和稳定性之间的关系是一个长期存在的问题（Arrow和Nerlove，1958）。本节介绍了期望项对动力学影响的渐近分析。若一个“小”标量乘法权重附加到预测项的矩阵系数^a，则除非该矩阵为幂零矩阵，否则分母矩阵[z^a- 整体模型的zI+A]是低阶模型的奇异摄动，且=0：对于所有>0，分母多项式的次数是大于n的固定整数；但对于=0，它等于n。结果表明，当权重为正但非常小时，整个模型总是不稳定的。