什么使资产有用？

直觉判断新资产是否会给参考资产池增加增量差异的指导原则应该是，如果很容易复制参考资产池中新资产和其他因素的回报流，那么新资产不会给参考资产池增加差异。因此，使用参考池中的资产和因子无法复制其回报时间序列的资产应具有最高的增量差异。类似地，使用参考池中的资产和因子很容易复制的资产应具有较低的增量差异。为了增强我们的直觉，让我们考虑一些具体的例子，这些例子将有助于导出一个适当的增量变化定量度量应该显示的风格化特征。我们首先考虑一个基金π，我们假设其（一个周期）的回报率在整个时间段内是独立的，并从相同的随机变量rπ中提取，平均u和标准偏差σ。我们考虑另一项资产A，其（一个期间）回报率我们假设也随时间独立，并从随机变量Raw中得出，平均u和标准偏差σ与rπ相同，我们表示ρrπ和Ra之间的相关性。此外，我们表示π由投资分数0组成的投资组合≤ ω ≤ 我们的财富的1%投资于基金π，其余投资于购买资产A。很容易发现新投资组合的（一期）回报是独立的，从随机变量rπ=ωrπ+（1- ω） rA，其平均值和标准偏差读数为uπ：=E（rπ）=u和σπ：=pVar（rπ）=σp1- 2ω(1 - ω)(1 - ρ) (1)≤ σ、 其中，最后一个不等式源于0≤ ω ≤ 1和ρ≤ 1.

值得注意的是，不等式总是严格的，除非2ω（1-ω） =0，对应于只投资π或A，或ρ=1，即π和A完全相关。这将引导我们对多元化进行最基本但最基本的观察。预期回报和方差相等时，向资产组合中添加新资产总是会导致每单位风险的更高回报，除非新资产与现有投资组合完全相关，在这种情况下，预期回报的平均值和标准差保持不变。我们还注意到，对于固定ω，π和a之间的相关性越低，新投资组合的标准差越低，因此我们从投资组合中获得的“多元化价值”越大。在这个玩具示例中，投资组合π被视为单一资产，也就是说，我们对其分配没有控制权。我们之前对多资产案例的评论概括为，新资产A与其最佳复制投资组合之间的相关性越低，我们期望A提供的“多元化价值”就越多。让我们进一步将这一期望形式化。定义3.1。设P为返回值为xxx的资产参考池，设a为不在P中的资产，返回值为rA。我们用P作为P whosellocation中的资产组合来表示最能复制A的投资组合，我们表示ω*, 满意度ω*: = argminωVar（rA- rA）=argminωVarrA公司- ωTxxx（2） 其中rf表示无风险利率，andrA：=ωtxx+1.- 1TΩRf表示投资组合的回报，在P中的资产之间分配ω，其超额现金（分别为净杠杆）以无风险利率获得（分别为借款提供资金）。这里，我们使用收益的标准差作为风险的衡量标准。

然而，我们的目标并不是将风险的概念等同于收益的标准偏差，这可能无法捕捉非高斯分布中的细微尾部行为。我们不假设复制投资组合已全部投资（即1Tω=1），而是允许以（确定的）无风险利率rf借贷，在这种情况下，1Tω可以高于或低于1，这取决于我们是否需要为我们在池中的资产头寸提供资金，或者我们的财富中未投资于池中资产的部分。优化问题（2）是二次型的，很容易找到解ω*= Cov（xxx，xxx）-1Cov（xxx，rA）。（3） 表示r*A最佳复制投资组合的回报遵循thatCov（rA，r*A） =Var（r*A） （4）=Cov（rA，xxx）Cov（xxx，xxx）-1Cov（xxx，rA）。此外，复制的剩余返回（我们也称为跟踪错误），namelyrA- r*A、 方差为Var（rA- r*A） =Var（rA）- Var（r*A） 。（5） 直觉上，复制剩余收益的低方差表明，我们能够很好地利用参考池中的资产复制新资产的收益流，这反过来意味着，根据我们前面的指导原则，增量多元化的可能性很低。

换句话说，当新资产的回报与其最佳复制组合的回报之间的相关性很高，或者当最佳复制组合的回报与复制资产的回报之间的方差很高时，增长多元化的合适量化指标永远不应该很高。风格化事实1：当新资产A与参考池中最能复制A的资产组合之间的相关性较高时，资产A添加到参考池中的增量多元化的一个好的定量度量永远不应该很高。反面呢？什么样的情况下，Weintu可以得出结论，不会导致增量河道？从我们之前的讨论中首先想到的是，当新资产与其参考池中最佳复制资产组合之间的相关性为1时，尤其是当新资产A的回报可以记为参考池中资产回报的线性组合时，因此可以使用参考池中的资产完美且轻松地复制。风格化事实2：当新资产A的回报可以通过现有资产池中资产回报的线性组合获得时，资产A添加到参考资产池中的增量多元化的一个很好的定量度量应该是最低的。备注3.1。警惕的读者可能会想知道如何利用交易策略，如配对交易，只有当某些资产表现出强大的关系时才可能采用这种策略。我们注意到，只有当构成成对资产的两种资产之间的利差偏离其均衡机制，当然足以覆盖交易成本时，这些策略才是可行的。利差越偏离其均衡，盈利机会越大，因此这两种资产越有用。

与此同时，利差越偏离其均衡，就越难使用另一种资产的利差来精确复制一种资产的回报时间序列，因此一种资产对另一种资产的增量多元化程度越高。因此，成功的配对交易策略与我们目前的讨论是一致的。这里的微妙之处在于，为了有用，配对交易等策略既依赖于资产回报关系的有效长期均衡模型，也依赖于对均衡模型的巨大短期偏离。第二个程式化事实涉及的资产是参考池中资产回报的线性组合，因此可以使用参考池中的资产组合进行模拟，其分配不随时间变化，可以使用线性回归获得。此外，我们认为不可取的任何交易策略，其在一段时间内的回报完全取决于参考池中资产的当前和过去回报，以及参考池中其他因素的当前和过去价值。程式化事实3：设{xxxt}：={（xt，…，xnt）}为n个资产和因子参考池的资产回报和因子值的时间序列，以及{yt}新资产a的回报时间序列。当新资产的回报可以作为回报和池中因子的当前值和过去值的函数获得时，增加到参考池中的增量激励资产a的一个好的定量度量应该是最低的，即yt=f（xxxt，…，xxxt-m） ，对于某些函数f和内存m≥ 值得强调的是，参考池的时间序列特征，即{xxxt}，是离散时间，每个离散时间单位对应相同的挂钟时间。

因此，StylezedFact 3旨在丢弃新的交易策略或资产，这些交易策略或资产在与参考时间序列相同的时间尺度上利用现有资产或因素中存在的信息，或等效地仅考虑以比{xxxt}采样周期更高的分辨率挖掘参考池信息的新交易策略或资产，或者由参考池的特征时间序列{xxxt}的外部信号驱动。然而，程式化事实3并不是说，如果两个基金经理交易的资产范围相同，那么他们的基金不会为他们交易的资产范围提供多元化。多元化不仅仅是基金经理交易内容的结果，更重要的是，他/她交易方式的结果。程式化事实3简单地意味着，如果基金经理仅根据某一特定资产领域当前和过去的每日回报以及当前和过去的每日要素值进行交易，那么他的每日回报不应被视为与参考资产和要素领域有任何不同。然而，不同的基金经理，交易的资产完全相同，但使用更细粒度的数据或替代数据来驱动其交易决策，将产生一只作为资产的基金，分散他/她交易的资产范围。至关重要的是，因为基金经理交易的是相同范围的交易所交易资产（如股票、债券、期货等）并不意味着一方不能使另一方多样化！这是一个如此重要的区别，我们认为它证明了第四个程式化的事实。程式化事实4：增量多元化的良好定量衡量应该允许管理者多元化。

也就是说，在不同（随机）信号的驱动下，两支成分相同但随时间变化的配置不同的基金应该能够彼此多样化，尽管它们的成分相互吸引。资产回报率可以通过平均值进行放大和缩小。因此，从直觉上看，回报时间序列的规模与相应的资产增量差异是指参考池，还是更一般地说是指增量有用无关。这一观察结果引出了我们第五个也是最后一个程式化的事实。程式化事实5：增量多样性的一个好的定量度量应该是尺度变量。等效地，增量多元化的良好量化度量既不应取决于参考池中资产回报时间序列的标准差，也不应取决于新资产回报的标准差。3.2. 差异互信息时间尺度作为增量多元化的度量。为了激发我们对增量多元化的度量，我们从两个资产π和a的简单案例开始。案例1：假设两个资产，即π（分别为a）的高斯回归（GaussianReturns）与同一分布rπ（分别为rA）在时间上是独立的，具有平均值u和方差σ。我们假设（rπ，rA）是联合高斯分布，以及rπ和rAisρ之间的相关性。正如前面所讨论的，相关性ρ越低，通过结合π和A，我们可以获得的每单位风险回报越高。此外，我们还讨论了由参考资产库外部信息源驱动的激励策略，或者至少是参考资产池内生的信息，但在收益序列的解析过程中未完全接受。无论哪种方式，这意味着，如果一个增量变差π，那么知道rπ不应该减少我们对rA的不确定性。

假设高斯随机变量完全由其前两个矩决定，在知道rπ后，rA中剩余的不确定性由条件方差Var（rA | rπ）很好地表征，在这种情况下，它很容易显示为：Var（rA | rπ）=σ1.- ρ. （6） 当ρ≥ 0，Var（rπ）（方程式（1））随ρ增加而增加，而Var（rA | rπ）随ρ减少而减少，且两个多元化要求，即每单位风险的高预期回报和无关回报，是一致的。然而，当ρ<精确时，平稳性成立，因此有必要讨论过程的标准偏差，而不是样本的标准偏差。0，Var（rπ）仍然随着ρ的增加而增加，但Var（rA | rπ）现在也随着ρ的增加而增加。换句话说，当ρ<0时，通过结合π和A增加单位风险回报的可能性随着相关性的降低而增加，但π和A共享更多的潜在驱动因素。在这种情况下，似乎应该优先考虑Var（rπ）而不是Var（rA | rπ）来衡量多元化。然而，之前关于Var（rπ）的讨论仅在rπ和Rah具有相同的预期收益和方差时成立。当方差或预期有所不同时，我们就不能再仅仅根据Var（rπ）得出是否可以增加单位风险回报的简单结论。另一方面，条件方差，在一般情况下读取svar（rA | rπ）=Var（rA）1.- ρ, （7） 仍然为A和π之间的共享信息提供了有价值的见解，即知道rπ不会增加rA的不确定性；当两个资产不相关（ρ=0）时，不确定性保持不变，否则会降低。因此，偏离度的自然测量值A与π相加（A；π）=Var（rA | rπ）。（8） 备注3.2。

预期回报相等时，等式（8）作为增量多元化的衡量标准，用ρ惩罚同样多的新资产≈ -1和ρ为的新资产≈ 1，这可能被视为营养化，因为前者可用于构建单位风险回报率远高于后者的投资组合。然而，这在实践中并不存在问题，因为具有相同预期回报的两项资产不太可能具有接近-1的相关性；这将是一个任意地理机会。案例2：n资产，i.i.d.Gaussianst这种增量多元化的直观度量很容易扩展到多资产案例。如果我们考虑一个由n个资产和因子P组成的池，并从高斯随机向量xxx中独立（跨时间）得出相应的回报和因子值，该向量xxx也被假定为与rA共同为高斯向量，则可以扩展方程（8），以量化a向池P添加的增量差异，如下所示：D（a；P）=Var（rA xxx）。（9） 它紧随高斯恒等式d（A；P）=det（Cov（[xxx，rA]，[xxx，rA]））det（Cov（xxx，xxx）），（10），其中我们假设xxx是非退化的，在两种资产的特殊情况下，我们从中恢复方程（7）。案例3：在非高斯情况下，条件方差Var（rA | xxx）很可能是xxx的函数，因此通过对xxx的期望：D（a；P）=Exxx（Var（rA | xxx））获得更合适的候选变量来量化增量差异。（11） 作为增量差异度量的预期条件方差仅捕获联合分布的前两个时刻。这对于高斯分布是有效的，因为它们完全由前两个矩决定。

然而，非高斯分布通常表现出前两个矩无法捕捉到的尾部行为；这种尾部行为在我们对风险的直观理解中起着重要作用，因此应该纳入我们对增量多元化的衡量中。另一种看待这一点的方法是，虽然知道xxx可能不会减少rA的方差，但如果它确实影响rA的更高阶矩，那么A应该被视为与参考池更相关，而不是如果rA和xxx是独立的。因此，我们对增量差异的衡量应该能够区分统计独立性和去相关性，而根据命题3.1条件变异性则不能。提案3.1。设x和y是两个平方可积随机变量。ThenEy（Var（x | y））≤ Var（x），（12）且该不等式为等式，当且仅当ifE（y | x）=E（y）a.s.，或等效地，当且仅当任何f的Cov（y，f（x））=0。当xxx退化时，它可以被其最大的非退化子集所代替，而不丧失一般性。前者意味着后者。证据提示：这遵循总方差定律和希尔伯特投影定理。随机变量中的信息量的标准度量为概率度量EP，并允许pmf或pdf p（x），即熵（以位表示）的概念定义为灰分（x）=EP[-logp（x）]。（13） 除非另有说明，否则在本文的其余部分中，我们假设P接受pdf。