什么使资产有用？

确定是否可以使用当前存在的任何信息预测收益时间序列的未来值，无论我们是否可以访问它，都是不切实际的。相反，我们专注于量化是否可以使用我们确实可以访问的数据预测时间序列，从时间序列的所有过去值开始，然后推广到我们可以访问的任何信息流。4.1. 自动可预测性对于回报的时间序列，我们可以说，当其过去的值能够有效减少未来值的不确定性时（即当其具有足够的内存时），它是自动可预测的。当{yt}是（强）平稳的时，熵氯酸盐h（{yt}）总是存在的，它可以在[5]中的方程（12.38）中显示出来。图9：资产类别内部多元化和跨资产类别多元化的比较。我们考虑三种资产，即道琼斯工业平均指数（EQ）、18种交易最活跃的全球货币（FX）和20种交易最活跃的美国期货合约。对于上述矩阵中的每一个对角线平方，我们计算由列（diversi fier）添加到由行（diversi fied）定义的宇宙中的宇宙中的平均增量差异Anaset。对于对角线正方形，我们计算了由列/行定义的宇宙中一项资产与宇宙其他部分相加的平均增量差异。附录B中提供了所考虑资产的完整列表以及其他设置详细信息。thath（{yt}）=limT→+∞h（yT | yT-1.y） 。（47）此外，可以显示h（yT | yT-1.

，y）随T减小。因此，PR（{yt}）：=h（yt）- 我们注意到，对于平稳过程，h（{yt}），（48）不依赖于t，它可以被视为在t的任何时刻，通过知道t的所有返回率，可以最大程度地减少返回的不确定性，这使得它适合于量化返回的可预测性。我们将PR（{yt}）命名为时间序列{yt}的自动可预测性度量。备注4.1。自动可预测性度量是通过a ffine变换变化的α、 β6=0，PR（{αyt+β}）=PR（{yt}）。命题4.1确认无记忆时间序列是最不可自动预测的。提案4.1。设{yt}为平稳离散时间随机过程，使得| h（yt）|<∞.然后，PR（{yt}）≥ 此外，PR（{yt}）=0if且仅当（y，…，yt）对于任何T是联合独立的。证据PR（{yt}）=极限→+∞h（yT）- h（yT | yT-1.y） ，h（yT）-h（yT | yT-1.y）≥ 每T为0，随T增加。因此，PR（{yt}）=0如果且仅当ifh（yt）- h（yT | yT-1.y） =每T为0，当且仅当（y，…，yT）对每T联合独立时成立。关于自动预测性度量的另一个观点是通过指出pr（{yt}）（49）=limT→+∞TDKL[p（y，…，yT）| p（y）…p（yT）]。提示：h（yT | yT-1.y）≤ h（yT | yT-1.y） andh（yT | yT-1.y） =h（yT-1年至今-2.y） 强平稳性。换句话说，自动预测性的衡量标准是回报时间序列与其无记忆等价物之间的KL发散率。这进一步证实了命题4.1和备注4.1。事实上，对于任何光滑的双射f，备注4.1可以将toPR（{f（yt）}）=PR（{yt}）化为一般化。4.2.

估计与增量多样性类似，自动可预测性的测量可以使用无模型方法、非参数方法或最大熵方法进行估计。无模型估计：在无模型的情况下，我们要求时间序列是平稳的和遍历的，但不一定是高斯的。根据推论3.2和3.3，^H（ymt）1-c（T）kPki=1ci（T）！，（50）其中{ymt}是{yt}的离散化版本，精度为m，^H（ymt）是离散熵H（ymt）和c（T）和ci（T）面积的原始频率估值器，根据推论3.3，是自动可预测性度量的一致（in（m，T））估值器。非参数估计：谱分析方法要求假设{yt}是一个平稳且遍历的高斯过程，在这种情况下，h（yt）=log（2πeVar（yt）），（51），由于遍历假设，样本方差提供了Var（yt）的一致估计。此外，我们还记得h（{yt}）=4πZ2πlog4πef（ω）dω，（52），其中f是{yt}的谱密度函数。因此，h（{yt}）可以在与前一节相同的时间内进行估计，首先通过平滑的周期图来估计光谱密度【10、11、12、27】，然后使用求积技术来估计积分。最大熵估计：自动可预测性度量的最大熵估计很容易从第3.4.3节中找到，以读取pr（{yt}）=log^γ（0）- 日志det公司^Γpdet公司^Γp-1.,式中，p、^γ（0）和^Γ根据第3.4.3.4.3节进行比较。外生可预测性自动可预测性的度量可以很容易地扩展到向量值时间序列asPR（{xxxt}）：=h（xxxt）- h（{xxxt}），（53），命题4.1仍然适用。

我们进一步扩展了这种可预测性度量，以捕获未来收益不确定性的减少，这不仅是因为我们知道当前和过去的收益，而且更普遍地说，我们知道任何给定因素或信号集的当前和过去值。定义4.1。我们用{xxxt}PR（{yt}|{xxxt}）表示{yt}可预测性的度量：=h（yt）- h（{yt}|{xxxt}）。（54）PR（{yt}|{xxxt}）表示通过观察因子或信号{xxxt}和{yt}的过去值，可以实现的未来回报值不确定性减少的最大量。直观地说，当两个进程相互独立且{yt}无记忆时，我们期望PR（{yt}|{xxxt}）最小。以下命题证实了这一点。提案4.2。设{yt}和{xxxt}是两个平稳的离散随机过程，使得| h（yt）|，| h（xxxt）|<∞. 然后，PR（{yt}|{xxxt}）≥ PR（{yt}）≥ 此外，PR（{yt}{xxxt}）=PR（{yt}）当且仅当{yt}和{xxxt}是独立的，并且PR（{yt}{124;{xxxt}）=0当且仅当{yt}和{xxxt}是独立的并且（y，…，yt）对于每个T是联合独立的。证据类似于命题4.1的证明。图10：交易最活跃的全球货币、美国股票和美国国债近收盘日收益率自动预测的最大熵估计。S、 期货。附录B中提供了资产符号到名称的映射以及其他设置细节。与一维情况一样，使用{xxxt}的{yt}可预测性度量也可以解释为联合过程{yt，xxxt}与分布与{yt，xxxt}相同的过程之间的KL发散率，除了第一个坐标过程（对应于{yt}）独立于其他坐标过程（对应于{xxxt}）且无记忆外。4.4.

插图让我们考虑AR（1）时间序列yt=φyt-1+ t、 直观地说，φ越低，时间序列越接近其创新白噪声，因此我们预计时间序列的自动预测性越低。此外，当时间序列与其创新白噪声相等时，即φ=0时，我们预计它是不可预测的。图（11a）和（11b）证实了这一点，其中我们用标准的Student-t噪声计模拟了{yt}，ν=4个自由度。再一次，最大熵和非参数估计几乎完全一致。对于无模型方法，它展示了正确的模式，尽管它的数据效率低于其他两种方法，因为它在相同样本量T下具有更高的估计方差。当自预测性度量很小时，无模型方法不可靠，甚至可能产生负估计；应首选非参数和最大熵方法。接下来，我们考虑评估交易最活跃的全球货币、美国蓝筹股和美国期货的可预测性。我们使用（a）T=2000（b）T=10000图11：AR的自动可预测性度量（1）yt=φyt-1+ t具有4个自由度的标准Student-t噪声。估计是基于大小为T的样本。对于非参数估计，我们使用Welch方法[27]获得了光谱密度的估计，该方法具有汉宁窗，窗大小等于100，重叠50%。对于无模型方法，我们将m设置为2-mis等于样品标准偏差的1/5。对于最活跃的美国蓝筹股，道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average）的成分股。对于期货，我们根据2017年的日均交易量选择了20个最活跃的期货，交易对象包括onICE、CME Group和CBOE。申报表将于2008年1月1日至2018年1月1日每日关闭。

对于货币，我们使用东部时间下午5点作为结算价，对于期货，我们使用收盘价。图（10）总结了结果。总体而言，可以看出，金融资产的自动可预测性与预期相当低，远低于我们在综合实验中获得的值（图（11a）和（11b））。然而，返回的时间序列不是白噪声，它们不显示内存，有些比其他更大。事实证明，股票比货币和期货更容易预测。未来的自动可预测性在很大程度上取决于一份合同到另一份合同。例如，小麦期货（W）是所有三种资产类别中最不可预测的资产之一，而玉米期货（ED）是68种资产中第二最可预测的资产。货币的可预测性在很大程度上有所不同。5、量化对分配尾部的影响衡量一项资产的收益{yt}可能对参考池{xxxt}中的尾部产生的影响，应隐含或明确地解决两个问题：新资产可能经历的尾部事件有多大，以及新资产的尾部事件与参考池的尾部事件相比在量级上如何？为了便于统计估计，我们再次假设{yt，xxxt}是一个联合平稳的andergodic离散时间过程。传统上，在一维情况下，分布是否有重尾通常与其大于2的偶数矩是否大于具有相同均值和方差的高斯分布的偶数矩有关。这种分布的例子是所谓的轻轨分布，定义为其第四个中心动量（也称为峭度）定义为kurt（yt）=E的分布年初至今- E（yt）pVar（yt）！（55）高于高斯分布，我们记得是3。

在[28]asKurt（xxxt）=E中，该度量扩展到多维情况ψ（xxxt）（56）式中ψ（xxxt）：=（xxxt- E（xxxt））TCov（xxxt，xxxt）-1（xxxt- E（xxxt）），对于长度为n的多变量向量，它等于n（n+2）。峰度比kr（xxxt）：=Eψ（xxxt）因此，n（n+2）可被视为参考池中资产回报率的衡量指标。注意到，当xxxt是多元高斯分布时，ψ（xxxt）遵循具有n个自由度的χ分布，并回顾具有n个自由度的χ分布的p阶矩-1i=0（n+2i），因此峰度比可以推广到尾比的更高阶矩，我们定义了Asr（xxxt；p）：=E（ψ（xxxt）p）Qp-1i=0（n+2i），p≥ 2.（57）峰度比对应于特殊情况p=2。然而，总的来说，p越大，尾比对极端事件越敏感。量化新资产对参考池尾部影响的一种自然方法是比较有无新资产的参考池尾部比率，例如通过差异（xxxt；p）- TR（yt，xxxt；p）。这种想法的主要限制是，当参考池中的资产数量n非常大时，反转协方差矩阵Cov（xxxt，xxxt）在数值上很难处理或不稳定（即容易出现病态）。为了避免这一限制，我们将XXXT替换为最佳复制portfolioreturns y*t： =xxxTtω*+1.- 1TΩ*rf，我们用YT替换创新或跟踪错误t： =年初至今- y*t、 我们通过比较最佳复制投资组合y的尾比率来衡量对尾部的影响*t、 有无创新术语tIT（yt，xxxt；p）=TR（y*t；p）- TR公司(t、 y型*t；p） 。（58）为了证实它确实衡量了新资产对现有参考池的影响，我们回顾了几个场景。

当（yt，xxxt）是jointlyGaussian时，也是(t、 y型*t） 对于所有p，它（yt，xxxt；p）=0≥ 2、当xxx为高斯分布时，y也为高斯分布*t、 andTR（y*t；p） =1，因此它（yt，xxxt；p）仅反映创新项尾部的非高斯性t、 相反，当TR（y*t；p） 6=1，这通常是因为xxx是非高斯的，更准确地说是因为xxx有重（轻）尾ifTR（y*t；p） >1（分别为TR（y*t；p） <1）。更一般地说，当新资产的创新（相对于参考池）使尾部更重时，IT（yt，xxxt；p）<0成立，IT（yt，xxxt；p）≥ 否则为0。我们的工作假设是{t} 6=0，yt的尾部对XXX尾部的影响程度在最佳复制投资组合和跟踪误差中得到充分反映，我们使用它（yt，xxxt；p）来量化对投资组合尾部的影响。何时{t} =0时，可以使用现有资产完全复制新资产，因此它不会影响引用池的尾部。在这种情况下，按照惯例，我们为每个β和p设置它（βtxxxxt，xxxt；p）=0。至于估计，它（yt，xxxt；p）可以以一致、快速和稳健的方式进行估计，因为由于我们的平稳遍历假设，方程（57）中的期望可以用样本平均值代替，并且串联y*去皮不相关，因此只需估计方差，这可以使用样本方差一致地完成。5.1. 插图我们比较股票和货币的尾部。作为股票的代理，我们使用道琼斯工业平均指数（DJIA）的成分，作为货币的代理，我们使用18种流动性最强的电子交易外汇兑美国。对于每项资产，我们计算2008年1月1日至2018年1月1日期间的每日收盘收益率。排序样本峰度如图（12a）所示。

对于每对货币，我们计算其对道琼斯工业平均指数组成部分尾部的影响；如图（12b）所示。对于道琼斯工业平均指数的每一个组成部分，我们计算它对我们货币世界尾部的影响；这如图（12c）所示。瑞士法郎美元的过度峰度可部分归因于-2011年9月，瑞士法郎开始盯住欧元，日均上涨9%；2015年1月，瑞士法郎取消盯住欧元，日均上涨17%。考虑到这种波动和相应的样本峰度（250）是多么不寻常，我们预计瑞士法郎兑美元将对道琼斯指数成分股的走势产生不利影响；正如图（12b）所示，我们的尾部撞击测量确实捕捉到了这一点。同样，样本峰度第二高的思科系统公司（Cisco Systems，Inc.）（CSCO）通过尾部影响的测量发现，对我们的一篮子货币尾部的影响最为严重，如图（12c）所示。然而，总的来说，比较样本峰度并不是一种精确到足以评估尾部撞击的方法。例如，当新资产的样本峰度大约等于参考池中资产的中值样本峰度时，仅从样本峰度就不清楚我们是否使用东部时间下午5点作为货币的每日切割。新资产将对尾部产生正面或负面影响。JPYUSD和PLNUSD的情况就是这样，它们的样本峰度（分别为7.21和7.72）与DJIA成分的中值样本峰度最接近，即7.62。另一方面，我们的方法粒度足够细，可以发现，尽管它们的rkurtose最接近JIA成分的中值峰度，但JPYUSD对DJIA尾部的影响最大，而PLNUSD对DJIA尾部的影响最为严重。

这是因为JPYUSD的尾部事件主要反映在DJIA成分中，而PLNUSD的尾部则更为特殊。有趣的是，有12种货币对的样本峰度低于JPYUSD，但对Ndjia尾部的影响比JPYUSD更大。6、量化被动投资的适用性一项新资产是否适合被动投资归结为一个人是否能够在不经常改变投资决策的情况下获得适当水平的风险调整回报，一个极端的例子就是购买和持有资产或卖空资产并长期持有短期头寸。作为一项有用性标准，被动投资的适用性主要取决于非常大的投资经理，如aspension基金、社会保障基金等，这些基金由于其规模，无法在市场上过于活跃，从而有可能支付过高的交易成本并侵蚀其回报。因此，什么是“体面的”风险调整回报可以由养老基金和类似大型投资经理喜欢的资产风险调整回报（如蓝筹股、ETF、指数基金和其他被动基金）来推动。为了对长期和短期被动策略进行统一处理，我们引入了资产a的双向夏普比率，该比率具有静态回报序列{yt}，我们将其定义为BSR（a）：=| E（yt）|- 钢筋混凝土- rfpVar（yt），（59），其中E（yt）是资产的预期总回报（即，在任何成本之前，如交易成本、交换和经纪费、卖空借款成本等），rcis是在一定时期内产生的总运营成本，以及在E（yt）>0时长期持有资产，在E（yt）<0时短期持有资产所产生的每单位财富的总运营成本，rfis是无风险利率。