什么使资产有用？

当我们需要这两种情况时，我们将使用连续熵或差分熵来强调Padmit是pdf，当P承认pmf时，离散熵或Shanon熵，在这种情况下，我们将使用符号H而不是H。一个相关的概念是条件熵，它可以定义为ash（y | x）=H（x，y）- h（x），（14）当h（x，y）和h（x）存在时，测量随机变量y中包含的信息量，而该信息量尚未包含在随机变量x中。在多资产高斯情况下，增量多样性的测量readsh（rA | xxx）=logdet（2πeCov（[xxx，rA]，[xxx，rA]））det（2πeCov（xxx，xxx））=logVar（rA | xxx）+log2πe.（15）换句话说，在高斯情况下，条件向性和条件方差是增量多元化的等效度量，因为一个完全由另一个决定，并且是另一个的增量函数。然而，一般而言，条件熵是以下意义上增量多样性的一个更一般的度量（文献[5]中的定理8.6.1]）。提案3.2。设x和y是两个具有有限熵h（x）和h（y）的随机变量。然后（y | x）≤ h（y），（16），当且仅当x andy独立时，不等式为等式。与无法区分独立性和去相关性的预期条件方差不同，条件熵作为增量差异的度量，提供了关于全分布尾部的信息，并且在rAis独立于xxx时最大化（对于给定的h（rA）），我们记得这意味着，但并不等同于，Cov（rA，f（x））=0，适用于任何f。情况4：超越时间独立性条件熵作为增量差异满足度的衡量标准，既有程式化事实1，也有程式化事实2。

为了了解原因，我们注意到，在高斯情况下，Var（rA | xxx）也是最佳复制投资组合剩余收益的方差，并使用方程（4）得出h（rA | xxx）=log“1- 更正（rA，r*A） sVar（r*A） Var（rA）#+h（rA）（17），证实h（rA | xxx）随着A与其最佳复制投资组合（程式化事实1）之间的相关性降低，并且当存在xxx的线性组合时，其最低-即，r*A=rA（程式化事实2）。在一般情况下，利用高斯随机变量在与上界h（rA，xxx）具有相同协方差矩阵的分布中是最大熵的事实，可以得出h（rA | xxx）≤日志“1- 更正（rA，r*A） sVar（r*A） Var（rA）+h（rA）+h（^x^x^x）- h（xxx）（18），其中^x^x^x是高斯分布，协方差矩阵与xxx的协方差矩阵相等。因此，h（rA | xxx）可以通过增加Cov（rA，r）任意变小*A） 或通过联合增加Corr（rA，r*A） 安德瓦尔（r*A） Var（rA），与程式化事实1和2一致。然而，条件熵作为增量多样性的衡量标准并不满足StylezedFact 3，因为我们一直忽略时间序列的时间方面，因为我们的i.i.d.假设（跨时间）。要了解原因，我们考虑y=f（xxxt-i） ，i>0，并注意到，在参考池特征时间序列xxxt的无记忆假设下，ytis独立于xxxt，因此对于给定h（yt）具有最高的条件熵。这里的主要问题是，作为增量多样性的衡量标准，条件熵不能捕捉跨时间的相似性。

对应于同一时间段xxx和yt的收益独立性不应是理想的激励情景，而基础随机过程{xxx}和{yt}的独立性应是。通过熵率的概念，将随机变量熵的概念推广到离散时间随机过程，熵率定义为灰分（{xtxtxt}）=极限→∞Th（xxx，…，xxxT），（19）当限制存在时。然后，将条件熵的概念扩展到定义条件熵Pyrate ash（{yt}|{xtxtxt}）=h（{yt，xtxtxt}）- 当h（{yt，xtxtxt}）和h（{xtxtxtxt}）存在时，h（{xtxtxtxt}）（20）。与随机变量的情况类似，条件熵率衡量随机过程{yt}中每单位时间所包含的信息量，该信息量在{xtxtxt}中尚未反映出来。此外，条件熵率完全捕获了时间序列之间的依赖关系，如下面的命题所述，该命题源自命题3.2。提案3.3。设{xtxtxt}和{yt}是两个具有有限熵率h（{xtxtxt}）和h（{yt}）的离散时间平稳随机过程。然后（{yt}|{xtxtxt}）≤ h（{yt}）。（21）如果我们进一步假设{xtxtxt}和{yt}具有有界记忆，即存在α，β>0和m≥ 1因此k、 αkI（m）≤ I（公里）≤ βkI（m），其中i（n）=h（y，…，yn）- h（y，…，yn | xxx，…，xnxnxn），则方程（21）中的不等式是等式，当且仅当{xtxtxt}和{yt}是独立的。证据等式（21）中的不等式是命题3.2的直接结果。此外，如果{xtxtxt}和{yt}是独立的，那么很容易看到h（{yt}|{xtxtxt}）=h（{yt}）。为了证明相反，我们注意到h（{yt}）- h（{yt}|{xtxtxt}）=limk→+∞I（km）km≥ αI（m）m≥ 因此，如果h（{yt}|{xtxtxt}）=h（{yt}），那么I（m）=0。As I（km）≤ βkI（m）对于每k，I（km）=0对于每k，这意味着（y。

，yn）和（xxx，…，xnxnxn）对于n是独立的，或者等效地，{xtxtxt}和{yt}是独立的。备注3.3。根据定义，h（{yt}|{xtxtxt}）=h（{yt}），当且仅当（y，…，yn）和（xxx，…，xnxn）之间的互信息随n增长过慢，特别是在o（n）中。这种缓慢增长只能归因于n增加时的过度横截面和/或时间耦合。此外，很容易看出，当{yt，xtxtxt}具有命名时，则h（{yt}|{xtxtxt}）=h（{yt}）如果且仅当{xtxtxt}和{yt}是独立的。因此，当nh（{yt}|{xtxtxtxt}）=h（{yt}）且{xtxtxt}和{yt}不独立时，（y，…，yn）和（xxx，…，xnxnxn）之间交互信息的缓慢增长只能归因于过度的时间耦合/内存。通过限制{yt，xtxtxt}的内存，我们能够确保只有在输入进程{xtxtxt}和{yt}之间独立的情况下，条件熵率h（{yt}|{xtxtxt}）才最大化。我们强调，假设金融时间序列没有过多的记忆，这与经验证据一致，因此，在下文中，我们可以省略有界记忆条件，作为命题3.3的要求。以下推论是建议3.3的直接结果。推论3.1。设{xtxtxt}和{yt}是两个离散时间平稳随机过程，使得h（{yt}|{xtxtxt}）=h（{yt}），则对于任何函数f，时间t，记忆m≥ 0和滞后p≥ 0、随机变量yt+pandf（xxxt。

，xxxt-m） 都是独立的。关于推论3.1的另一个观点是，使用条件熵率作为增量多元化的衡量标准，最佳情况对应于当前和未来回报独立于（因此无法使用）参考池中过去的资产回报和因素价值的资产，无论我们回望多远，在这种情况下，确实不可能使用资产和因素的参考池（以与共享采样频率相同的分辨率）复制新资产的收益流。上述观察结果的FLIP方面见提案3.4。提案3.4。设{xtxtxt}和{yt}是两个允许各向异性率的离散时间随机过程。如果存在函数f，且m>0，则t>m，yt=f（xxxt，…，xxxt-m） ，（22）thenh（{yt}|{xtxtxt}）=-∞.证据这个命题是h（ym+1，…，ym+n | xxx，…，xxxm+n=*) = -∞,由方程式（22）得出。命题3.4表明，作为增量多元化的衡量指标，条件熵增加了资产和要素的参考池，满足了程式化事实2和3。让我们研究条件entropyrate与程式化事实1的一致性。熵率并不总是普遍存在，当它们存在时，也没有通用的分析公式来计算它们。然而，对于平稳随机过程，熵率是保证存在的。均方意义上的最佳复制投资组合的概念（定义3.1）很容易扩展到非i.i.d。

案例作为具有动态分配的投资组合，这是优化问题ω的解决方案*t： =argminωVar年初至今- ωtxxt, （23）其解为ω*t=Cov（xxxt，xxxt）-1Cov（xxxt，yt），（24）以及新资产收益率yt与最佳复制投资组合收益率y之间的协方差*特雷德斯科夫（yt，y*t） =Var（y*t） （25）=Cov（yt，xxxt）Cov（xxxt，xxxt）-1Cov（xxxt，yt）。备注3.4。当{yt，xxxt}是联合平稳的，很容易从方程（24）和（25）中看出，最佳复制投资组合实际上是一个静态投资组合（即其目标分配是恒定的超时），{y*t} 是平稳的，并且新资产与其随时间变化的最佳复制portfoliois常数之间的相关性。我们记得*t： =xxxTtω*t型+1.- 1TΩ*t型射频。使用静态进程的以下属性（{xxxt，yt}）≤ h（xxxt，yt），并利用高斯随机变量的最大熵性质对上界h（xxxt，yt）进行了推广，得到了方程（18）的一个推广。i、 d.大小写：h（{yt}|{xxxt}）≤日志“1- 更正（yt，y*t） sVar（y*t） Var（yt）#+h（yt）+h（^x^x^x）- h（xxxt），（26），其中^x^x^x是与xxxt具有相同协方差矩阵的高斯分布。这证明，在平稳情况下，使用条件差分熵率作为增量多元化的度量与程式化事实1一致，即资产与其最佳复制投资组合之间的相关性作为新资产A提供给参考池的增量多元化金额的acap。最后，条件差异熵率也将事实4程式化。为了了解原因，我们考虑了两个组成成分相同且回报率为xxxt的基金π和π。让我们表示ωπt（sπt）和ωπtsπt基金各自的分配，每个分配都由不同的信号时间序列{sπt}或{sπt}驱动。

基金各自的返回时间序列读取{rπt}：={xxxTtωπt}和{rπt}：={xxxTtωπt}。很明显，分流量π增加到π，h{rπt}{rπt}取决于{sπt，sπt}的联合定律，当然不总是-∞. 因此，这两个基金可以彼此多元化；它们的信号过程之间的随机相似性越低，它们就越能使彼此多样化。备注3.5。我们强调，为了确保管理者的转变，条件差异熵率不需要知道基金管理人正在交易的基础资产或资产类别，这个/她的交易理论是什么，或者什么类型的数据（替代或其他）驱动他/她的交易决策。我们的方法完全基于他/她的资金回报。然而，条件差分熵率是尺度敏感的，因此不满足系统化事实5。实际上，对于任何标量α和向量βββ∈ Rn，h（{αyt}|{βββxxxt}）=h（{yt}|{xxxt}）+log |α|，其中 表示阿达玛积。将其用作增量多元化的另一个限制是，它可能是负面的。这两个缺点都与差异熵和沙农/离散熵之间的差异有关。严格地说，不同于离散的对等物以绝对值量化信息，微分熵和微分熵率仅以相对值量化信息。例如，h（{yt}|{xxxt}）是{yt}中包含的信息量在{xxxt}中尚未包含的时间的相对度量，但差异互信息率i（{yt}；{xxxt}）：=h（{yt}）- h（{yt}|{xxxt}）（27）是{yt}中每单位时间包含的信息量的绝对度量，也包含在{xxxt}中。变量的任何平滑变化（也称为异态），包括线性重缩放，都是非负的和无变化的。

较大的差异互信息率对应于{yt}和{xxxt}之间更高的相似性。因此，差异互信息时间尺度，定义为差异互信息率I（{yt}；{xxxt}）的倒数，是增量差异的候选度量。定义3.2。设P是资产和因子的参考池，其收益和因子值的时间序列我们表示为{xxxt}。设A是不在P中的资产，其收益时间序列我们表示为{yt}。让我们进一步假设{yt}和{xxxt}的熵率存在，并且可能是有限的。我们定义了增量多元化的度量——资产A将{yt}和{xxxt}之间的差异互信息时间标度添加到参考池P中，即ID（A；P）：=I（{yt}；{xxxt}），（28），其中我们使用约定1/0+=+∞ AND 1/+∞ = 0.事实上，迄今为止，尚未考虑增量多元化的候选衡量指标，包括预期的条件变量，满足标准化事实5。ID（A；P）表示在新资产A的回报和参考池P的回报之间查看1位相互/共享信息所需的时间。直观地说，它总是非负的，当A完全由P决定时，取其最低值0（即知道P的回报和因子值，有能力知道A的回报），并取其最高值+∞ 当A的收益值无法从P中推断出来时，无论我们的收益历史和P的因子值有多长。此外，不同的互信息时间尺度是不变的，通过杠杆和任何其他表示的平滑变化重新调整资产回报。这在以下命题中正式化。定理3.1。

对于满足定义3.2条件的任何参考池P和新资产A，（A）ID（A；P）≥ 0，（b）当| h（{yt}）|<∞, ID（A；P）=0当且仅当h（{yt}|{xxxt}）=-∞.（c） ID（A；P）=+∞ 当且仅当{yt}和{xxxt}是独立的。（d） 对于任何连续可微双射f:R→ R和g：Rn→ Rn，ID（A；P）=I（{f（yt）}；{g（xxxt）}）。证据让我们一般地表示p（u）随机变量u的概率密度函数。我们注意到，I（{yt}；{xxxt}）=limT→+∞TDKL（JT | | IT），其中它=p（y，…，yT）p（xxx，…，xxxT）和JT=p（y，xxx，…，yT，xxxT），DKL注意到了库尔贝克-莱布勒散度[5]。（a） 源自KL散度的非负性（也源自命题3.3），（d）源自KL散度的光滑双射不变性。对于（b），当i（{yt}；{xxxt}）=+∞, 其中给出了| h（{yt}）|<∞,等于h（{yt}|{xxxt}）=-∞. 对于regardto（c），ID（A；P）=+∞ 当且仅当I（{yt}；{xxxt}）变为0（总是从上面发生），或等价于h（{yt}）=h（{yt}|{xxxt}），我们使用命题3.3得出结论。提案3.5。增量多元化的衡量（A、P）→ ID（A；P）满足样式化行为1-5。证据如前所述（A，P）→h（{yt}|{xxxt}）满足程式化事实1（见等式（26））。此外，对于每个有限h（{yt}），函数h（{yt}|{xxxt}）→ ID（A；P）=h（{yt}）- h（{yt}|{xxxt}）是一个严格递增函数，其中ID（a；P）也满足程式化事实1。这也意味着id（A；P）是最低的当且仅当h（{yt}|{xxxt}）是最低的。因此，条件熵率满足形式化事实2和3的事实延伸至ID（A；P）。在类似的推理中，条件熵率允许经理多元化（程式化事实4）的事实延伸到不同的互信息时间尺度。

最后，与程式化事实5的一致性是定理3.1（d）的直接结果。3.3. 微分熵率与离散熵率在上一节中，我们讨论了微分熵（连续熵）和沙农熵（离散熵）之间的两个主要差异，即，与离散熵不同的是，通过重新缩放，微分熵既不是非负的，也不是不变的。连续随机变量的差分（连续）熵的另一个奇怪之处是，当离散化网格大小/体积变为零时，它不是作为离散化的离散熵的极限来获得的，这是离散到连续过渡的典型情况。尽管如此，在离散化误差任意小的限度内，随机变量的微分熵与离散化后的离散熵之间存在联系。我们在下面回顾的这个链接构成了我们在第3.4.1节中开发的增量多元化无模型估计的基础。定理3.2。设zzz为Rnand中取值的随机变量，允许微分熵（zzz），且zzz为取值于zn且满足ZZZM[i]=k，m的随机向量∈ R、 k级∈ Zif和仅ifkm≤ 它允许离散熵H（zzzm）。表示zzz的概率密度函数，如果满足以下性质，（a）p是连续且有界的，（b）R | p（zzz）log p（zzz）| dzzz<∞,（c） H（zzz）<∞,那么，h（zzz）=limm→+∞H（ZZM）- 明尼苏达州。（29）证明。这是文献[6]中定理1.3.1的多元推广。除了大小为2的间隔外，证明几乎相同-mbecome超立方体与第2卷-明尼苏达州。[5]的定理8.3.1给出了一个类似的结果，其中条件（A）替换为黎曼可积性，条件（b）替换为h（zzz）<∞, 和 = 2.-明尼苏达州。推论3.2。