具有市场波动性的拟凸风险测度

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英文标题：
《Quasiconvex risk measures with markets volatility》
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作者：
Fei Sun, Yijun Hu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Since the quasiconvex risk measures is a bigger class than the well known convex risk measures, the study of quasiconvex risk measures makes sense especially in the financial markets with volatility. In this paper, we will study the quasiconvex risk measures defined on a special space $L^{p(\\cdot)}$ where the variable exponent $p(\\cdot)$ is no longer a given real number like the space $L^{p}$, but a random variable, which reflects the possible volatility of the financial markets. The dual representation for this quasiconvex risk measures will also provided.
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中文摘要：
由于拟凸风险测度是一个比众所周知的凸风险测度更大的类，因此对拟凸风险测度的研究尤其在具有波动性的金融市场中是有意义的。在本文中，我们将研究定义在特殊空间$L^{p（\\cdot）}$上的拟凸风险测度，其中变量指数$p（\\cdot）$不再是空间$L^{p}$那样的给定实数，而是一个反映金融市场可能波动的随机变量。还将提供此拟凸风险度量的对偶表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：波动性 Applications Presentation Differential Quantitative

具有市场波动性的拟凸风险度量孙飞、华怡君摘要，因为金融市场的波动性越来越大。在本文中，我们将研究在特殊空间Lp（·）上定义的拟凸风险度量，其中变量Exponent p（·）不再像空间Lp那样是给定的实数，而是一个随机变量，它反映了中央市场的可能波动性。还将提供此拟凸风险度量的对偶表示。拟凸；风险度量；双重代表；数学学科分类（2010）：91B30 91B32 46A401简介风险研究已成为金融市场的热门话题，这使得风险管理吸引了大量的关注。金融风险的衡量涉及两个问题：金融市场风险的量化，以及将该风险分配给各个机构。这导致了对风险度量研究的关注。Artzner等人（1997，19 99）在其开创性论文中首次介绍了一致性风险度量的类别。近年来，拟凸风险测度引起了人们的广泛关注。Cerreia Vioglio et al.（2011）声称，当不确定性下的决策问题被视为与自然的博弈时，拟凸函数可以解释为自然的成本函数。Drapeau et al.（2011）研究了不变律拟凸风险度量。有关拟凸风险度量的更多研究，请参见Cerreia Vioglio et al.（2011b）、Frittelliand Maggis（2011）、Drapeau和Kupper（20 13）、Drapeau et al.（2015）、Mastrogiacomo和Gianin（20 15）、De Jian和Long（2015）以及其中的参考文献。本文的主要重点是研究一类新的拟凸风险度量，它定义在一个特殊的金融头寸空间，即可变指数Bochner-Lebesguespace上。

给出了这类拟凸风险测度的对偶表示。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将简要回顾变指数Bochner-Lebesgue空间的定义和主要性质。第3节致力于定义变指数Bochnellebesgue空间上的拟凸风险度量。最后，在第4节中，我们将研究拟凸风险测度的对偶表示。电子邮件地址：fsun。sci@outlook.com (sunfei@whu.edu.cn)（F.Sun）；yjhu。math@whu.edu.cn（Y.Hu）2准备在本节中，我们将回顾Lp（·）的定义和主要属性。参见Cheng和Xu（2013）。3 Lp的拟凸风险度量（·）正如Cerreia Vioglio等人（2011）所指出的，一旦用经济上更合理的现金可加性假设取代了转换不变性，则“多元化”的更合理数学翻译应为所谓的拟凸性。特别是Sun和Hu（2018）从集值案例的角度研究了cashsub加性风险度量。此外，作为集值现金次加性风险度量的特例，Sunetal.（2018）研究了基于集值损失的风险度量。在本节中，拟凸风险测度理论将推广到波动性不可忽视的市场。本节的主要目标是研究定义在可变指数Bochner-Lebesguespaces上的拟凸风险度量的性质。备注3.1。根据Lp（·）的定义，每个f∈ Lp（·）是一个E值可测函数，E由K部分排序。因此，在不明确的情况下，我们也认为Lp（·）也由K部分排序。现在，拟凸风险度量onLp（·）的定义将通过公理化方法引入。定义3.1。

设E是由锥K诱导的偏序关系排序的Bananch空间，Lp（·）是变指数Bochner-Lebesgue空间。A映射 : Lp（·）→[-∞, +∞] 如果满足1单调性，则称为拟凸风险度量：对于任何f，f∈ Lp（·），f≤Kf公司=> （f）≤ （f） ；A2拟凸：对于任意f，f∈ Lp（·）和λ∈ [0, 1], （λf+（1-λ） f）≤ 最大{（f） ，则，（f） }。备注3.2。注意，拟凸风险测度不需要满足翻译不变性的性质，这是凸风险测度的一个关键公理。这使得拟凸风险测度成为一类特殊的风险测度。另一方面，拟凸性也使得拟凸风险测度与凸风险测度区分开来。为了研究拟凸风险测度的对偶表示，我们需要引入风险函数的概念。定义3.2。让RLp（·）×Lp（·）*表示风险函数R的类别：Lp（·）×（Lp（·））*→ [-∞, +∞] 满足以下要求：B1单调性：对于任何f，f∈ Lp（·）和g∈Lp（·）*, f≤Kf公司=> R（f，g）≤ R（f，g）；B2拟凸：对于任意f，f∈ Lp（·），g∈Lp（·）*和λ∈ （0，1），R（λf+（1-λ） f、g）≤max{R（f，g），R（f，g）}；B3下半连续：R在第一个分量中是下半连续的。现在，应确定拟凸风险度量的可接受集。定义3.3。给定拟凸风险测度, 验收设置为ν级∈ R由Aν指定为fo llowsAν：={f∈ Lp（·）：（f）≤ ν}. （3.1）备注3.3。给定拟凸风险测度, 很容易检查Aν是闭凸集并且具有单调性，即ν≤ ν表示ν Aν。事实上，通过A2，对于任何f，f∈ Aν和λ∈ [0, 1],（λf+（1- λ） f）≤ 最大值{（f） ，则，（f） }。自f起，f∈ Aν，我们有（f）≤ ν和（f）≤ ν、 这意味着Max{（f） ，则，（f） }≤ ν.因此（λf+（1- λ） f）≤ ν .通过（3.1），我们知道λf+（1- λ） f级∈ Aν，表示Aν是凸集。

也很容易证明Aν是一个闭集且具有单幂性。引理3.1。设定义为定义3.3。那么，我们有∈ Aν当且仅当hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xi（3.2）表示所有g∈ Qp（·），其中Qp（·）：=ng∈Lp（·）*:dgdu∈ Lp′（·）（K）o.证明。我们首先显示“仅当”部分。如果Aν=, 其含义是显而易见的。如果Aν6=,以下含义f∈ Aν表示hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xi表示所有g∈ Qp（·）也很简单。接下来，我们展示“if”部分。根据备注3.3，Aν是一个闭合的对流集。因此，根据Hahn-Banach定理，对于任何f∈ Lp（·）\\Aν，存在bg∈Lp（·）*, 例如HBG，fi>supX∈Aνhbg，Xi。现在，我们只需要显示bg∈ Qp（·）。事实上，通过评论？？，我们有HBG，Xi=ZOhmhbh，Xidu，其中BH=dbg/du∈ Lp′（·）(Ohm, E*). 然后，随着, 很容易检查Aν=Aν- K、 Hencehbg，fi>hbg，X- ki=ZOhmhbh，X- kidu=ZOhmhbh，Xidu-ZOhmhbh，kidu=hbg，Xi-ZOhmhbh，kidu代表所有k∈ K和X∈ Aν。因此，ROhmhbh，kidu≥ 0 f或所有k∈ K、 这意味着BH∈Lp′（·）(Ohm, K） 。根据Qp（·）的定义，我们有bg∈ Qp（·）。4对偶表示在本节中，我们将研究变指数Bochner-Lebesgue空间上拟凸风险测度的对偶表示，这也是本文的主要结果。定理4.1。A映射 : Lp（·）→ [-∞, + ∞] 是下半连续拟凸风险测度当且仅当对于任何f∈ Lp（·），（f） =supg∈Qp（·）R（f，g）（4.1），其中R∈ RLp（·）×Qp（·）表示为r（f，g）：=infν∈Rnν：hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xio（4.2）和qp（·）：=ng∈Lp（·）*:dgdu∈ Lp′（·）（K）o.（4.3）证明。我们首先显示“仅当”部分。支持se 是一个下半连续拟凸风险测度，我们声称 可以表示为（f） =infν ∈ R：f∈ Aν, f∈ Lp（·）。（4.4）事实上A（f）：=inf{ν∈ R：f∈ Aν}，很容易检查Ais是一种低连续拟凸风险度量。因此，我们只需要展示A（f）=（f） 对于任何f∈ Lp（·）。

如果f∈ Lp（·）是这样的（f） =+∞, 我们有A（f）=（f） =+∞. 同样的论证也适用于f∈ Lp（·）令人满意（f） =-∞. 如果（f）∈ R、 我们有∈ A.（f） ，这意味着A（f）≤ （f） 。另一方面，我们有f/∈ 对于任何r<（f）。因此，r<A（f），这意味着（f）≤ A（f）。因此，对于任何f∈ Lp（·）A（f）=（f）=inf{ν∈ R：f∈ Aν}。根据引理3.1，我们有∈ Aν当且仅当hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xi（4.5）表示所有g∈ Qp（·）。然后，从（4.4）和（4.5）中，我们得到（f） =infν ∈ R:hg，f i≤ supX公司∈Aνhg，Xi表示所有g∈ Qp（·）. （4.6）我们的目标是证明（f） =supg∈Qp（·）infν∈Rν：hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xi= supg公司∈Qp（·）R（f，g）。（4.7）为此，到（4.6），我们知道（f）≥ supg公司∈Qp（·）infν∈Rν：hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xi.接下来，我们将展示反向不等式。认为（f） >-∞, 否则（4.7）是微不足道的。现在，我们确定m<（f） 和定义：={X∈ Lp（·）：（十）≤ m} 。通过备注3.3，我们知道B是一个闭凸集，并且具有单调性。Sincef公司/∈ B、 根据Hahn-Ba-nach定理，存在一个bg∈Lp（·）*, 这样HBG、fi>supX∈Bhbg，Xi。（4.8）我们声称bg∈ Qp（·）。事实上，通过评论？？，我们有HBG，Xi=ZOhmhbh，Xidu，其中BH=dbg/du∈ Lp′（·）(Ohm, E*). 然后，随着, 很容易检查B=B- K、 因此，通过（4.8）hbg，fi>hbg，X- ki=ZOhmhbh，X- kidu=ZOhmhbh，Xidu-ZOhmhbh，kidu=hbg，Xi-ZOhmhbh，kidu代表所有k∈ K和X∈ B.因此，ROhmhbh，kidu≥ 0表示所有k∈ K、 这意味着BH∈ Lp′（·）(Ohm, K） 。根据Qp（·）的定义，我们有bg∈ Qp（·）。对于所有ν≤ m、 我们有一个ν B、 然后单击SUPX∈AνZOhmhbh，Xidu≤ supX公司∈BZ公司Ohmhbh，Xidu。（4.9）因此，通过（4.8）和（4.9）hbg，fi- supX公司∈Aνhbg，Xi≥ hbg，fi- supX公司∈Bhbg，Xi>0。（4.10）对于每个ν≤ m、 我们可以暗示（4.10）和ν7→ supX公司∈Aνhg，Xi是不减损的，我们有≤ supg公司∈Qp（·）infν∈Rν：hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xi. （4.11）该关系适用于每m<（f） 。

因此（f）≤ supg公司∈Qp（·）infν∈Rν：hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xi.然后（f） =supg∈Qp（·）R（f，g）。（4.12）现在，我们只需要显示R∈ RLp（·）×Qp（·）. 首先，通过 使用（4.12），很容易检查R是否满足B1和B3。接下来，我们将展示R满足B 2。通过备注？？，我们有hg，Xi=ZOhmhh，Xidu，其中h=dg/du∈ Lp′（·）(Ohm, E*). 对于任何f，f∈ Lp（·），α∈ （0，1）和g∈ Qp（·），R（αf+（1- α） f，g）=infν∈Rnν：hg，αf+（1- α） 金融机构≤ supX公司∈Aνhg，Xio=infν∈Rnν：ZOhmhh，αf+（1- α） fidu≤ supX公司∈Aνhg，Xio=infν∈Rnν：αZOhmhh，fidu+（1- α） ZOhmhh，fidu≤ supX公司∈Aνhg，Xio=infν∈Rnν：αhg，fi+（1- α） hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xio。在不丧失一般性的情况下，让hg，fi≥ hg，fi。ThenR（αf+（1- α） f、g）≤ infν∈Rnν：hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xio=R（f，g）≤ max{R（f，g），R（f，g）}，表示R满足B2。因此，R∈ RLp（·）×Qp（·）.现在，我们将显示“如果”部分。假设（f） =supg∈Qp（·）R（f，g）f或风险职能部门∈ RLp（·）×Qp（·）其中R（f，g）=infν∈Rν：hg，fi≤ supX公司∈Aνhg，Xi. 的单调性和下半连续性 是B1和B3的直接后果。现在，我们只需要证明 满意度A 2。由于R满足B2，对于任何λ∈ （0，1）和f，f∈ Lp（·），R（λf+（1- λ） f、g）≤ max{R（f，g），R（f，g）}。（4.13）因此，可以得出如下结论：（λf+（1- λ） f）=supg∈Qp（·）R（λf+（1- λ） f、g）≤ supg公司∈Qp（·）max{R（f，g），R（f，g）}≤ 最大值{（f） ，则，（f） }。因此 是一个下半连续拟凸风险测度。参考文献【1】Cerreia Vioglio，S.，Maccheroni，F.，Marinacci，M.，Montr ucchio，L.，完全单调拟凹对偶，Mat h.Oper。第36（2）号决议，321-3392011b。[2] De Jian，T.，Long，J.，拟凸风险统计与情景分析，数学。资金《经济学人》，9111-1212015年。[3] Drapeau，S.、Kupper，M.、Reda，R.，《关于律不变量拟凸函数的鲁棒表示的研究》，高级数学。

经济。，15, 27-39, 2011.[4] Drapeau，S.，Hamel，A.H.，Kupper，M.，拟凸和凸集值函数的完全对偶，集值和变分分析。，2015年【5】Frit t elli，M.，Maggis，M.，拟凸条件映射的对偶表示，SIAMJ。财务部。数学2,357-3 82, 2011.